07 hàm số bậc hai phần 3 đặng việt hùng image marked

Chuyên đề: Hàm số bậc nhất, bậc hai 07 HÀM SỐ BẬC HAI (Phần 3) DẠNG BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TIẾP TUYẾN Ví dụ [ĐVH] Tìm giao điểm đồ thị hàm số : a) y  x  y  x  x  b) y  x  y  x  x  Lời giải: a) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: x  x   x   x  x   x  x  Khi x  y  1 ; x  y  Vậy có giao điểm A  0;  1 A  3;  b) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: x2  4x 1  2x   x2  6x   Δ '    nên x1   , x2   Khi x1   y1   , x2   y2       Vậy có giao điểm M  5;1  , N  5;1  Ví dụ [ĐVH] Tìm tọa độ giao điểm hai đường parabol: x2 a) y  x  y   x b) y   x  y  x  x  Lời giải: a) Phương trình hồnh độ giao điểm: x    x  x   x   x  2 Khi x  2 y  ; x  y  Vậy có giao điểm A  2;  B  2;  x2  x   x  x   x  x   x  x  b) Phương trình hồnh độ giaod điểm: Khi x  y  ; x  y  Vậy có giao điểm I  0;1 J  4;  Ví dụ [ĐVH] Chứng minh đường thẳng: a) y   x  cắt  P  : y   x  x  b) y  x  tiếp xúc với  P  : y  x  x  Lời giải: a) Phương trình hồnh độ giao điểm:  x    x  x   x  x   Vì Δ    nên đường thẳng cắt  P  điểm phân biệt b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   x   x  x   Vì Δ    nên đường thẳng tiếp xúc với  P  Ví dụ [ĐVH] Cho hàm số y  x  x  m  Tìm giá trị m để đồ thị hàm số: a) Không cắt trục Ox b) Tiếp xúc với trục Ox c) Cắt trục Ox điểm phân biệt bên phải gốc O Lời giải: Cho y   x  x  m   0; Δ '    m  1   m a) Đồ thị không cắt trục Ox Δ '    m   m  b) Đồ thị tiếp xúc trục Ox Δ '    m   m  c) Đồ thị cắt trục Ox hai điểm phân biệt bên phải gốc O phương trình có nghiệm dương phân biệt Δ '  2  m  m    1 m   P   m     m  S  1    Ví dụ [ĐVH] Biện luận số giao điểm đường thẳng  d  : y  x  m với  P  : y  x  x  Khi cắt điểm A, B, tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AB Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   x  m  x  x   m  Δ     m   4m  25 Do đó: Nếu m   25 Δ  : phương trình vơ nghiệm nên  d   P  khơng có điểm chung 25 Δ  : phương trình có nghiệm kép nên  d  tiếp xúc với  P  25 Nếu m   Δ  : phương trình có nghiệm phân biệt nên  d   P  có hai điểm chung phân biệt Giả sử  P   d  cắt hai điểm A B phân biệt A, B có tọa độ: A  x1 ; x1  m  Nếu m   B  x2 ; x2  m  x x  Do trung điểm đoạn thẳng AB I  ; x1  x2  m     x  Theo định lí Vi-ét, ta có x1  x2  nên điểm I :   y   m Vì điều kiện m   25 19 nên y   19 Vậy quỹ tích trung điểm I phần đường thẳng: x  , giới hạn y   Ví dụ [ĐVH] Cho parabol  P  : y  x  x  Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A  4;1 biết rằng: a) d cắt  P  hai điểm phân biệt b) d tiếp xúc với  P  Lời giải: Gọi k hệ số góc đường thẳng qua A, phương trình d là: y   k  x    y  kx  4k  Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   kx  4k   x   k   x  4k   Δ   k     4k    k  8k  a) d cắt  P  hai điểm phân biệt Δ   k  8k     k     k   2  k   2 k   2 Phương trình d : y  kx  4k  b) d tiếp xúc với  P  Δ   k  8k    k   2     Vậy d : y   2 x  15  2; y   2 x  15  Ví dụ [ĐVH] Lập phương trình tiếp tuyến với  P  : y  x  x  a) Tại điểm A  2;1 b) qua B  1;   Lời giải: a) Đường thẳng d qua A  2;1 có hệ số góc k: y   k  x    y  kx  2k  Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   kx  2k   x  1  k  x   2k  Điều kiện tiếp xúc: Δ   1  k    2k     k  6k    k  3 Vậy tiếp tuyến d : y  3 x  b) Đường thẳng d qua B  1;  có hệ số góc k ' : Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   kx  k   x  1  k  x   k  Điều kiện tiếp xúc: Δ   1  k     k    k  2k  15   k  k  5 Khi k  , phương trình tiếp tuyến d1 : y  x  Khi k  5 , phương trình tiếp tuyến d : y  5 x  10 Ví dụ [ĐVH] Cho parabol  P  : y  x  x  Lập phương trình tiếp tuyến  P  biết rằng: a) Tiếp tuyến tạo với tia Ox góc 450 b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  1 c) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y   x  Lời giải: a) Theo giả thiết tiếp tuyến d tạo với tia Ox góc 450 nên hệ số góc đường thẳng d d  tan 450  , d : y  x  b Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   x  b  x  x    b   Điều kiện tiếp xúc: Δ '     b    b  2 Vậy phương trình đường thẳng d y  x  b) Tiếp tuyến d song song với đường thẳng y  x  nên hệ số góc d 2, d : y  x  b, b  Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   x  b  x  x    b   Điều kiện tiếp xúc: Δ '  25    b    b   Vậy phương trình tiếp tuyến d y  x  17 17 c) Tiếp tuyến d vng góc với đường thẳng y   x  nên có hệ số góc d 3, d : y  3x  b Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   x  b  x  x   b  Điều kiện tiếp xúc: Δ '     b    b  7 Vậy phương trình tiếp tuyến d y  x  Ví dụ [ĐVH] Tìm m để đường thẳng d : y  x  cắt parabol  P  : y  x  mx  hai điểm P, Q mà đoạn PQ  Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x  mx   x   x   m  1 x   Điều kiện cắt điểm P, Q : Δ   m  2m   Ta có PQ    x2  x1    y2  y1   2   x2  x1    x2   x1  1    x2  x1   2   x12  x22  x1 x2    S  P  Theo định lí Vi-ét: S  x1  x2   nên: 1  m    b c   m, P  x1 x2   a a 25 5 2  1  m   (chọn)  m 1    m  1 2 2 DẠNG TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ BẬC HAI Ví dụ [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, bé (bé nhất) có hàm số: a) y  x  x  10 b) y  2 x  x  Lời giải: a) y  x  x  10 có a   nên y đạt giá trị bé đỉnh x1   b  2a 14   271 y1  f  x1   f    không tồn giá trị lớn  14  b) y  2 x  x  có a  2  nên y đạt giá trị lớn đỉnh x1    1 y1  f  x1   f     không tồn giá trị nhỏ  4 Ví dụ [ĐVH] Cho hàm số y  x  x  b   2a a) Vẽ đồ thị hàm số y  x  x  đoạn  0; 4 b) Tìm GTLN GTNN y  0; 4 c) Tìm tập hợp giá trị x   0; 4 cho y  Lời giải: a) Tập xác định: D    Tọa độ đỉnh: I (3;5)  Bảng biến thiên: x 3 f ( x) 4  Bảng giá trị: x y  Đồ thị hàm số hình vẽ sau: 3 4 3 b) Dựa vào bảng biến thiên, ta max y  5; y   0;4 0;4 c) Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y  x   0;1 Vậy bất phương trình y   x   0;1 Ví dụ [ĐVH] Cho hàm số y  x  x   P  a) Vẽ đồ thị  P  b) Xét biến thiên hàm số khoảng  0;1 c) Xác định giá trị x cho y  d) Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn  0;3 Lời giải: Tập xác định: D    Tọa độ đỉnh: I (2; 1)  Bảng biến thiên:  x    f ( x) 1  Bảng giá trị: x y 1  Đồ thị hàm số hình vẽ sau: b) Bảng biến thiên hàm số khoảng (0;1) sau: x f ( x) c) Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y  x  1;3 Do đó, bất phương trình y   x  1;3 d) Dựa vào đồ thị, ta max y  3; y  1 0;3 0;3 Ví dụ [ĐVH] Với hàm số y   x  x  y  x  x  a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm tập hợp giá trị x cho y  c) Tìm tập hợp giá trị x cho y  Tập xác định: D    Tọa độ đỉnh: I (1; 4)  Bảng biến thiên:  x Lời giải:  f ( x)   Bảng giá trị: 1 x y  Đồ thị hàm số hình vẽ sau:   Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y  x  (1;3) Do đó, bất phương trình y   x  (1;3) x   Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y   x  Do đó, bất phương trình y   x  ( ;1)  (3;  ) b) Tập xác định: D    Tọa độ đỉnh: I (1; 4)  Bảng biến thiên:  x 1    f ( x)   Bảng giá trị: x 3 2 y 4   Đồ thị hàm số hình vẽ sau:  Ta có y   1  4  2 x  x    x   4; x  2 x  Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y   x   Do đó, bất phương trình y   x  ( ;  4)  (2;  )  Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y    x  Do đó, bất phương trình y   x  ( 4; 2) Ví dụ [ĐVH] Cho hàm số y  x  x  m  P  a) Tìm m để  P  qua M  2;1 ; b) Khảo sát hàm số vẽ  P  với m tìm được; c) Tìm tập hợp giá trị y cho x  0; d) Tìm tập hợp giá trị y cho x  Lời giải: a) Theo ra, ta có y ( 2)     m   m  Do đó, phương trình parabol ( P) : y  x  x  b)  Tập xác định: D    Tọa độ đỉnh: I ( 2;1)  Bảng biến thiên:  x  2 f ( x)    Bảng giá trị: 4 3 x y  Đồ thị hàm số hình vẽ sau: 2 1 c) Với x  0, dựa vào đồ thị, ta y    Ty  (5;  ) d) Với x  0, dựa vào đồ thị, ta y    Ty  1;    Ví dụ [ĐVH] Cho Parabol  P  : y  x  x  đường thẳng d : y  mx  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  P  // Bỏ qua ý b) Tìm tham số m để hai đồ thị hai hàm số tiếp xúc (có điểm chung), cắt hai điểm phân biệt c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x  x   2m  Lời giải: b) PT hoành độ giao điểm d  P  : x  x   mx   x  x  mx  x  x   m   Để hai đồ thị hai hàm số tiếp xúc thì: 3  m   m  3 Để hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt thì: 3  m   m  3 c) Xét phương trình x  x   2m  * Ta có Δ     2m   8m  Kết luận: +) PT vô nghiệm m  +) Có nghiệm m  +) Có nghiệm phân biết m  Ví dụ [ĐVH] Cho Parabol  P  y  x  a) Khảo sát biến thiên vẽ  P  // bỏ qua ý em b) Xác định điểm M  P  để đoạn OM ngắn c) Chứng minh OM ngắn đường thẳng OM vng góc với tiếp tuyến M  P  Lời giải: 1 1  b) Gọi M  x; x  1   P   OM  x   x  1  x  x    x     , x   2 2  2 2 1 1   M ; , M   ;  2 2  2  c) Trong hai trường hợp ta có OM vng góc với tiếp tuyến (P) M Dấu đẳng thức xảy x   Ví dụ [ĐVH] Cho đường thẳng d : y  x   2m Parabol  P  qua điểm A 1;0  đỉnh S  3; 4  a) Lập phương trình vẽ Parabol  P  b) Chứng minh d qua điểm cố định c) Chứng minh d cắt  P  hai điểm phân biệt Lời giải:  A 1;0    P  a  b  c  a)  P  : y  ax  bx  c Ta có   9a  3b  c  4  S  3; 4    P  Hơn S  3; 4  đỉnh nên  a   a  b  c   b 6     3  b  6a  9a  3b  c  4  b     P  : y   x  x  2a 5 5 b  6a     c   b) d khơng có điểm cố định c) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d)  x  x   x   2m  x  x   10 x   10m   x  16 x  10m   (*) 5 33 Hai đồ thị cắt (*) có hai nghiệm phân biệt, tức Δ  66  10m   m   Ví dụ 9* [ĐVH] Cho hai hàm số y1  x   x  y2  x  x 1 4 a) Chứng minh đồ thị y1 có trục đối xứng b) Tìm giá trị x để y1  y2 Lời giải: a) y1  f  x   x   x  có D  R : x  D   x  D f  x    x    x   x   x   f  x  Vậy f hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng Oy 2 x x  1  b) Ta có y1  f  x   2   x  2 x x   Ta xét trường hợp: - Với x  1: y1  y2  2 x  Chọn nghiệm: 11  105 11  105 x x  x   x  11x    2 4 11  105  x  1 - Với 1  x  1: y1  y2   x  x   x  x    4  x  Chọn nghiệm 1  x  4 - Với x  1: y1  y2  x  Vậy giá trị x cần tìm x  x   x  x     x  (thỏa mãn) 4 11  105  x  Ví dụ 10* [ĐVH] Cho f  x   ax  bx  c thỏa mãn f  x   1, x  1; 0;1 Chứng minh: f  x   , x   1;1 Lời giải:  a   f 1  f  1   f    f  1  a  b  c     b   f 1  f  1   f   Ta có:  f    c    f 1  a  b  c c  f     1 Do đó: f  x   ax  bx  c  f 1  x  x   f  1  x  x   f   1  x  2 Vì f  1  1, f    1, f 1  nên có: f  x  1 1 f 1 x  x  f  1 x  x  f    x  x  x  x  x   x 2 2 2 1  x  x   x   1   1 x  x    x     2 1  x  x  x  ... Lời giải: a) Tập xác định: D    Tọa độ đỉnh: I (3; 5)  Bảng biến thiên: x ? ?3 f ( x) 4  Bảng giá trị: x y  Đồ thị hàm số hình vẽ sau: ? ?3 4 ? ?3 b) Dựa vào bảng biến thiên, ta max y  5; y ... trình y   x  1 ;3? ?? d) Dựa vào đồ thị, ta max y  3; y  1 0 ;3? ?? 0 ;3? ?? Ví dụ [ĐVH] Với hàm số y   x  x  y  x  x  a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm tập hợp giá trị x cho y  c) Tìm tập hợp giá...  x  mx  x  x   m   Để hai đồ thị hai hàm số tiếp xúc thì: ? ?3  m   m  ? ?3 Để hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt thì: ? ?3  m   m  ? ?3 c) Xét phương trình x  x   2m  * Ta có Δ