Chuyên đề: Hàm số bậc nhất, bậc hai 07 HÀM SỐ BẬC HAI (Phần 3) DẠNG BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TIẾP TUYẾN Ví dụ [ĐVH] Tìm giao điểm đồ thị hàm số : a) y x y x x b) y x y x x Lời giải: a) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: x x x x x x x Khi x y 1 ; x y Vậy có giao điểm A 0; 1 A 3; b) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: x2 4x 1 2x x2 6x Δ ' nên x1 , x2 Khi x1 y1 , x2 y2 Vậy có giao điểm M 5;1 , N 5;1 Ví dụ [ĐVH] Tìm tọa độ giao điểm hai đường parabol: x2 a) y x y x b) y x y x x Lời giải: a) Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x x x 2 Khi x 2 y ; x y Vậy có giao điểm A 2; B 2; x2 x x x x x x x b) Phương trình hồnh độ giaod điểm: Khi x y ; x y Vậy có giao điểm I 0;1 J 4; Ví dụ [ĐVH] Chứng minh đường thẳng: a) y x cắt P : y x x b) y x tiếp xúc với P : y x x Lời giải: a) Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x x x Vì Δ nên đường thẳng cắt P điểm phân biệt b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x x x Vì Δ nên đường thẳng tiếp xúc với P Ví dụ [ĐVH] Cho hàm số y x x m Tìm giá trị m để đồ thị hàm số: a) Không cắt trục Ox b) Tiếp xúc với trục Ox c) Cắt trục Ox điểm phân biệt bên phải gốc O Lời giải: Cho y x x m 0; Δ ' m 1 m a) Đồ thị không cắt trục Ox Δ ' m m b) Đồ thị tiếp xúc trục Ox Δ ' m m c) Đồ thị cắt trục Ox hai điểm phân biệt bên phải gốc O phương trình có nghiệm dương phân biệt Δ ' 2 m m 1 m P m m S 1 Ví dụ [ĐVH] Biện luận số giao điểm đường thẳng d : y x m với P : y x x Khi cắt điểm A, B, tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AB Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x m x x m Δ m 4m 25 Do đó: Nếu m 25 Δ : phương trình vơ nghiệm nên d P khơng có điểm chung 25 Δ : phương trình có nghiệm kép nên d tiếp xúc với P 25 Nếu m Δ : phương trình có nghiệm phân biệt nên d P có hai điểm chung phân biệt Giả sử P d cắt hai điểm A B phân biệt A, B có tọa độ: A x1 ; x1 m Nếu m B x2 ; x2 m x x Do trung điểm đoạn thẳng AB I ; x1 x2 m x Theo định lí Vi-ét, ta có x1 x2 nên điểm I : y m Vì điều kiện m 25 19 nên y 19 Vậy quỹ tích trung điểm I phần đường thẳng: x , giới hạn y Ví dụ [ĐVH] Cho parabol P : y x x Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A 4;1 biết rằng: a) d cắt P hai điểm phân biệt b) d tiếp xúc với P Lời giải: Gọi k hệ số góc đường thẳng qua A, phương trình d là: y k x y kx 4k Phương trình hồnh độ giao điểm: x x kx 4k x k x 4k Δ k 4k k 8k a) d cắt P hai điểm phân biệt Δ k 8k k k 2 k 2 k 2 Phương trình d : y kx 4k b) d tiếp xúc với P Δ k 8k k 2 Vậy d : y 2 x 15 2; y 2 x 15 Ví dụ [ĐVH] Lập phương trình tiếp tuyến với P : y x x a) Tại điểm A 2;1 b) qua B 1; Lời giải: a) Đường thẳng d qua A 2;1 có hệ số góc k: y k x y kx 2k Phương trình hồnh độ giao điểm: x x kx 2k x 1 k x 2k Điều kiện tiếp xúc: Δ 1 k 2k k 6k k 3 Vậy tiếp tuyến d : y 3 x b) Đường thẳng d qua B 1; có hệ số góc k ' : Phương trình hồnh độ giao điểm: x x kx k x 1 k x k Điều kiện tiếp xúc: Δ 1 k k k 2k 15 k k 5 Khi k , phương trình tiếp tuyến d1 : y x Khi k 5 , phương trình tiếp tuyến d : y 5 x 10 Ví dụ [ĐVH] Cho parabol P : y x x Lập phương trình tiếp tuyến P biết rằng: a) Tiếp tuyến tạo với tia Ox góc 450 b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 1 c) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y x Lời giải: a) Theo giả thiết tiếp tuyến d tạo với tia Ox góc 450 nên hệ số góc đường thẳng d d tan 450 , d : y x b Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x b x x b Điều kiện tiếp xúc: Δ ' b b 2 Vậy phương trình đường thẳng d y x b) Tiếp tuyến d song song với đường thẳng y x nên hệ số góc d 2, d : y x b, b Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x b x x b Điều kiện tiếp xúc: Δ ' 25 b b Vậy phương trình tiếp tuyến d y x 17 17 c) Tiếp tuyến d vng góc với đường thẳng y x nên có hệ số góc d 3, d : y 3x b Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x b x x b Điều kiện tiếp xúc: Δ ' b b 7 Vậy phương trình tiếp tuyến d y x Ví dụ [ĐVH] Tìm m để đường thẳng d : y x cắt parabol P : y x mx hai điểm P, Q mà đoạn PQ Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x mx x x m 1 x Điều kiện cắt điểm P, Q : Δ m 2m Ta có PQ x2 x1 y2 y1 2 x2 x1 x2 x1 1 x2 x1 2 x12 x22 x1 x2 S P Theo định lí Vi-ét: S x1 x2 nên: 1 m b c m, P x1 x2 a a 25 5 2 1 m (chọn) m 1 m 1 2 2 DẠNG TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ BẬC HAI Ví dụ [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, bé (bé nhất) có hàm số: a) y x x 10 b) y 2 x x Lời giải: a) y x x 10 có a nên y đạt giá trị bé đỉnh x1 b 2a 14 271 y1 f x1 f không tồn giá trị lớn 14 b) y 2 x x có a 2 nên y đạt giá trị lớn đỉnh x1 1 y1 f x1 f không tồn giá trị nhỏ 4 Ví dụ [ĐVH] Cho hàm số y x x b 2a a) Vẽ đồ thị hàm số y x x đoạn 0; 4 b) Tìm GTLN GTNN y 0; 4 c) Tìm tập hợp giá trị x 0; 4 cho y Lời giải: a) Tập xác định: D Tọa độ đỉnh: I (3;5) Bảng biến thiên: x 3 f ( x) 4 Bảng giá trị: x y Đồ thị hàm số hình vẽ sau: 3 4 3 b) Dựa vào bảng biến thiên, ta max y 5; y 0;4 0;4 c) Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y x 0;1 Vậy bất phương trình y x 0;1 Ví dụ [ĐVH] Cho hàm số y x x P a) Vẽ đồ thị P b) Xét biến thiên hàm số khoảng 0;1 c) Xác định giá trị x cho y d) Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn 0;3 Lời giải: Tập xác định: D Tọa độ đỉnh: I (2; 1) Bảng biến thiên: x f ( x) 1 Bảng giá trị: x y 1 Đồ thị hàm số hình vẽ sau: b) Bảng biến thiên hàm số khoảng (0;1) sau: x f ( x) c) Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y x 1;3 Do đó, bất phương trình y x 1;3 d) Dựa vào đồ thị, ta max y 3; y 1 0;3 0;3 Ví dụ [ĐVH] Với hàm số y x x y x x a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm tập hợp giá trị x cho y c) Tìm tập hợp giá trị x cho y Tập xác định: D Tọa độ đỉnh: I (1; 4) Bảng biến thiên: x Lời giải: f ( x) Bảng giá trị: 1 x y Đồ thị hàm số hình vẽ sau: Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y x (1;3) Do đó, bất phương trình y x (1;3) x Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y x Do đó, bất phương trình y x ( ;1) (3; ) b) Tập xác định: D Tọa độ đỉnh: I (1; 4) Bảng biến thiên: x 1 f ( x) Bảng giá trị: x 3 2 y 4 Đồ thị hàm số hình vẽ sau: Ta có y 1 4 2 x x x 4; x 2 x Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y x Do đó, bất phương trình y x ( ; 4) (2; ) Dựa vào đồ thị, ta thấy ( P) nằm đường thẳng y x Do đó, bất phương trình y x ( 4; 2) Ví dụ [ĐVH] Cho hàm số y x x m P a) Tìm m để P qua M 2;1 ; b) Khảo sát hàm số vẽ P với m tìm được; c) Tìm tập hợp giá trị y cho x 0; d) Tìm tập hợp giá trị y cho x Lời giải: a) Theo ra, ta có y ( 2) m m Do đó, phương trình parabol ( P) : y x x b) Tập xác định: D Tọa độ đỉnh: I ( 2;1) Bảng biến thiên: x 2 f ( x) Bảng giá trị: 4 3 x y Đồ thị hàm số hình vẽ sau: 2 1 c) Với x 0, dựa vào đồ thị, ta y Ty (5; ) d) Với x 0, dựa vào đồ thị, ta y Ty 1; Ví dụ [ĐVH] Cho Parabol P : y x x đường thẳng d : y mx a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số P // Bỏ qua ý b) Tìm tham số m để hai đồ thị hai hàm số tiếp xúc (có điểm chung), cắt hai điểm phân biệt c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x x 2m Lời giải: b) PT hoành độ giao điểm d P : x x mx x x mx x x m Để hai đồ thị hai hàm số tiếp xúc thì: 3 m m 3 Để hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt thì: 3 m m 3 c) Xét phương trình x x 2m * Ta có Δ 2m 8m Kết luận: +) PT vô nghiệm m +) Có nghiệm m +) Có nghiệm phân biết m Ví dụ [ĐVH] Cho Parabol P y x a) Khảo sát biến thiên vẽ P // bỏ qua ý em b) Xác định điểm M P để đoạn OM ngắn c) Chứng minh OM ngắn đường thẳng OM vng góc với tiếp tuyến M P Lời giải: 1 1 b) Gọi M x; x 1 P OM x x 1 x x x , x 2 2 2 2 1 1 M ; , M ; 2 2 2 c) Trong hai trường hợp ta có OM vng góc với tiếp tuyến (P) M Dấu đẳng thức xảy x Ví dụ [ĐVH] Cho đường thẳng d : y x 2m Parabol P qua điểm A 1;0 đỉnh S 3; 4 a) Lập phương trình vẽ Parabol P b) Chứng minh d qua điểm cố định c) Chứng minh d cắt P hai điểm phân biệt Lời giải: A 1;0 P a b c a) P : y ax bx c Ta có 9a 3b c 4 S 3; 4 P Hơn S 3; 4 đỉnh nên a a b c b 6 3 b 6a 9a 3b c 4 b P : y x x 2a 5 5 b 6a c b) d khơng có điểm cố định c) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) x x x 2m x x 10 x 10m x 16 x 10m (*) 5 33 Hai đồ thị cắt (*) có hai nghiệm phân biệt, tức Δ 66 10m m Ví dụ 9* [ĐVH] Cho hai hàm số y1 x x y2 x x 1 4 a) Chứng minh đồ thị y1 có trục đối xứng b) Tìm giá trị x để y1 y2 Lời giải: a) y1 f x x x có D R : x D x D f x x x x x f x Vậy f hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng Oy 2 x x 1 b) Ta có y1 f x 2 x 2 x x Ta xét trường hợp: - Với x 1: y1 y2 2 x Chọn nghiệm: 11 105 11 105 x x x x 11x 2 4 11 105 x 1 - Với 1 x 1: y1 y2 x x x x 4 x Chọn nghiệm 1 x 4 - Với x 1: y1 y2 x Vậy giá trị x cần tìm x x x x x (thỏa mãn) 4 11 105 x Ví dụ 10* [ĐVH] Cho f x ax bx c thỏa mãn f x 1, x 1; 0;1 Chứng minh: f x , x 1;1 Lời giải: a f 1 f 1 f f 1 a b c b f 1 f 1 f Ta có: f c f 1 a b c c f 1 Do đó: f x ax bx c f 1 x x f 1 x x f 1 x 2 Vì f 1 1, f 1, f 1 nên có: f x 1 1 f 1 x x f 1 x x f x x x x x x 2 2 2 1 x x x 1 1 x x x 2 1 x x x ... Lời giải: a) Tập xác định: D Tọa độ đỉnh: I (3; 5) Bảng biến thiên: x ? ?3 f ( x) 4 Bảng giá trị: x y Đồ thị hàm số hình vẽ sau: ? ?3 4 ? ?3 b) Dựa vào bảng biến thiên, ta max y 5; y ... trình y x 1 ;3? ?? d) Dựa vào đồ thị, ta max y 3; y 1 0 ;3? ?? 0 ;3? ?? Ví dụ [ĐVH] Với hàm số y x x y x x a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm tập hợp giá trị x cho y c) Tìm tập hợp giá... x mx x x m Để hai đồ thị hai hàm số tiếp xúc thì: ? ?3 m m ? ?3 Để hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt thì: ? ?3 m m ? ?3 c) Xét phương trình x x 2m * Ta có Δ