04 bất đẳng thức cô si phần 2 đặng việt hùng image marked

04 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 2) DẠNG KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: ab bc ca    a  b  c  Phép cộng:  2 2a  b  c   a  b   b  c   c  a  abc  ab bc ca , Phép nhân:  2 a b c  ab bc ca  a, b, c  0 Ví dụ [Svip] Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bc ca ab    abc a b c Hướng dẫn giải: Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc              a b c 2 a b  2 b c  2 c a  bc ca ca ab ab bc    abc a b b c c a Ví dụ [Svip] Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  bc ca ab    a  b  c 3 Chứng minh a b c Hướng dẫn giải:  bc b  c c  a a  b bc ca ab ca ab         2    a b c a b c a b c    bc ca   ca ab   ab bc            b   c  a b c a       2  bc ca 2 a b ca ab 2 b c   2 a b c  ab bc c a   a b c  a b c   a  b  c  33 a b c  a  b  c  bc ca ab    a  b  c 3 Vậy a b c Ví dụ [Svip] Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p  a)  p  a  p  b  p  c   abc abc Chứng minh b) 1 1 1    2    pa pb pc a b c Hướng dẫn giải: a) Ta có:  p  a  p  b  p  c    p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a   p  a    p  b  p  b   p  c  p  c   p  a   2 2 p  a  b  p  b  c  p  c  a    abc 2 b) Ta có: 1 1 1  1 1  1 1                p  a p  b p  c  p  a p  b   p  b p  c   p  c p  a  1     p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a  1    p  a    p  b  p  b   p  c  p  c   p  a  2 1 1  2    a b c  DẠNG KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ Ví dụ [Svip] Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b a b c   3 Chứng minh (1) bca cab abc Hướng dẫn giải: yz  a  b  c  a  x   zx   Đặt: c  a  b  y   b  a  b  c  z    x y  c   Khi vế trái bất đẳng thức (1) trở thành yz zx x y   2x 2y 2z Ta có: y z z x x y 1 y x 1 z x 1 z y               2x 2y 2z 2 x y 2 x z 2 y z   Hay a b c   3 bca cab abc 2 y x  x y z x  x z (đpcm) Ví dụ [Svip] Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b Chứng minh a2 b2 c2    a  b  c (1) bca cab abc Hướng dẫn giải: z y 3 y z yz  a  b  c  a  x   zx   Đặt: c  a  b  y   b  a  b  c  z    x y  c   Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:  y  z 2   z  x 2   x  y 2  x  y  z 4x 4y 4z Ta có: 2  y  z    z  x    x  y   yz  zx  xy   yz  zx    zx  xy    xy  yz        4x 4y 4z x y z 2 x y  2 y z  2 z x   Hay yz zx zx xy xy yz    zx y x y y z z x a2 b2 c2    a  b  c (đpcm) bca cab abc abc p   p  a  p  b  p  c  Ví dụ [Svip] Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p  Chứng minh  p  a   p  b   p  c 2 (1) Hướng dẫn giải: Ta có: p  a  bca  Tương tự: p  b  0; p  c  p  a  x   Đặt:  p  b  y   p  x  y  z p  c  z   Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau 1 x yz    xyz x y z Ta có 1 1 1  1 1  1 1                2 x x y z y  2 y z  2 z x  1 1 1 1 x yz       2 2 xy yz zx xyz x y y z z x 1 p    (đpcm) 2  p  b   p  c   p  a  p  b  p  c   Hay  p  a 2 Ví dụ [Svip] Cho bốn số dương x; y; z; t Chứng minh x3 y3 z3 t3     x3  yzt y  xzt z  xyt t  xyz Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có x3 y3 z3 t3    x3  yzt y  xzt z  xyt t  xyz x3 y3 z3 t3 x3  y  z  t     1 x3  y  z  t y  x3  z  t z  x3  y  t t  x3  y  z x3  y  z  t Dấu đẳng thức xảy ba số  x3  y  x  y Ví dụ [Svip] Cho hai số thực dương x; y  Chứng minh   x  1 y  1 Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có x  x  1 y  y  1 x3  y  x  y x2 y2      x  1 y  1  x  1 y  1  x  1 y  1 y  x  2 x2 y2  y 1 x 1 xy  x  1 y  1  xy x  y  xy xy xy   8 x  1.1 y  x   y   xy 2 Dấu đẳng thức xảy hai số  Ví dụ [Svip] Cho bốn số thực dương a; b; c; d abcd 16abcd   Chứng minh bất đẳng thức  a  b  b  c  c  d  d  a  abcd Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có abcd 16abcd   a  b  b  c  c  d  d  a  abcd  ab bc cd d a 16abcd     abcd abcd abcd abcd  a  b  b  c  c  d  d  a   55 ab bc cd d a 16abcd abcd abcd abcd abcd  a  b  b  c  c  d  d  a   55  a  b  b  c  c  d  d  a  16abcd 16abcd 5  a  b  b  c  c  d  d  a  Dấu đẳng thức xảy bốn số Ví dụ [Svip] Cho ba số thực dương a; b; c Chứng minh a  b3  c3  a  b  c  2a  2b  2c Hướng dẫn giải:  a  a  2a  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b3  b  2b  a  b3  c3  a  b  c  2a  2b  2c  c  c  2c  Dấu đẳng thức xảy ba số Ví dụ [Svip] Cho ba số thực dương a; b; c Chứng minh 5a  4b  7c  2ab  6bc  8ca Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có a  b  2ab  2 2 2 b  c  2bc  3b  3c  6bc  5a  4b  7c  2ab  6bc  8ca c  a  2ca  4c  4a  8ca  Dấu đẳng thức xảy ba số BÀI TẬP TỰ LUYỆN x x x  12   15   20  Câu [Svip] Chứng minh với x            3x  x  x  5  4   Câu [Svip] Cho a, b, c số thực thoả a  b  c  Chứng minh 8a  8b  8c  2a  2b  2c Câu [Svip] Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh a2 2 3a  8b 14ab  b2 2 3b  8c 14bc  c2  (a  b  c) 3c  8a 14ca 2 Câu [Svip] Cho a, b, c >0 thoả mãn: ab  bc  ca  Chứng minh a  a2  b  b2 c   c2  Câu [Svip] Cho a, b, c số thực dương thay đổi thoả mãn: a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a2 b2 c2   b  c  bc a  c  ac a  b  ab Câu [Svip] Cho ba số x, y, z > thoả x  y  z  xyz Tìm GTLN biểu thức A  x y z   x  yz y  xz z  xy Câu [Svip] Cho a, b, c > 0, abc = Tìm GTLN biểu thức P  1   2 a  2b  b  2c  c  2a  Câu [Svip] Cho a ,b, c > a + b + c = Chứng minh ab  2c  2c  cb  2a   ac  2b  2b  ab  bc  ac Câu [Svip] Cho a, b, c > thỏa mãn 04 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 2) 1 1    Chứng minh abc  1 a 1 b 1 c x x x  12   15   20  Câu [Svip]: Chứng minh với x            3x  x  x  5  4   Lời giải: x x x x Đặt  a,  b,  c  a, b, c    12  ab, 20 x  bc, 15 x  ca ab ac bc    abc c b a Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có BĐT cần chứng minh  (1) ab bc ab bc bc ca bc ca ca ab ca ab  2  2b;  2  2c;  2  2a c a c a a b a b b c b c ab bc ca  ab bc ca   2     2a  b  c     a  b  c  (1) a b  c a b  c BĐT chứng minh, dấu "  " xảy  a  b  c hay 3x  x  x  x  Câu [Svip]:Cho a, b, c số thực thoả a  b  c  Chứng minh 8a  8b  8c  2a  2b  2c Lời giải: a b c a Đặt  x,  y,  y  x, y, z     x3 , 8b  y , 8c  z xyz  2a.2b.2c  2a b  c  20  BĐT cần chứng minh  x3  y  z  x  y  z Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có (1) x3    3 x3 1.1  x; y    3 y 1.1  y; z    3 z 1.1  z  x  y  z    x  y  z   x  y  z  x  y  z   x  y  z  3 (2) Lại áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có x  y  z  3 xyz   x  y  z   Khi từ (2)  x3  y  z  x  y  z  (1) BĐT chứng minh, dấu "  " xảy  x  y  z  hay 2a  2b  2c   a  b  c  Câu [Svip]: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh a2 3a2  8b2 14ab  b2  3b2  8c2 14bc Lời giải: c2  (a  b  c) (1) 3c2  8a2 14ca Phân tích Nhìn vào dạng BĐT ta phán đoán 3a  8b  14ab   ma  nb  với m, n  Dấu "  " xảy  a  b   ma  na   3a  8a  14a  25a  m  n  Đến ta nhẩm đốn tìm m  2, n  Bây ta vào lời giải tốn Với a, b  có 3a  8b  14ab  2a  3b  3a  8b  14ab   2a  3b   4a  9b  12ab  3a  8b  14ab  a  b  2ab    a  b   Điều với a, b    3a  8b  14ab  2a  3b Tương tự  3b  8c  14bc  2b  3c;  3c  8a  14ca  2c  3a a2 b2 c2   P (2) 2a  3b 2b  3c 2c  3a Ta chứng minh P   a  b  c  (3), với a, b, c  Thật vậy, áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có  a2 b2 c2     2a  3b    2b  3c    2c  3a      a  b  c  2a  3b 2b  3c 2c  3a   VT (1)   a  b  c   a  b  c  (3) a2 b2 c2       2a  3b 2b  3c 2c  3a  a  b  c  Từ (2) (3) ta có BĐT cần chứng minh, dấu "  " xảy  a  b  c Câu [Svip]: Cho a, b, c >0 thoả mãn: ab  bc  ca  a b c    Chứng minh  a2  b2  c2 Lời giải: a a a Với ab  bc  ca     a2 ab  bc  ca  a  a  b  a  c  (1) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có a a a a  2  ab ac ab ac 2a  a  b  a  c   1 a a       a  b  a  c   a  b a  c  a 1 a a     (2)  2 ab ac  1 a b 1 b b  c 1 c c     ;    Tương tự (3)    b2  b  c b  a   c2  c  a c  b  a b c 1 ab bc ca        Từ (2) (3) ta   a2  b2  c2  a  b b  c c  a  BĐT chứng minh, dấu "  " xảy  a  b  c  Khi từ (1)  a Câu [Svip]: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thoả mãn: a  b  c  a2 b2 c2   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 b  c  bc a  c  ac a  b  ab Lời giải: b  c2 a2 a2 a2  2   Có  b  c    b  c  2bc   bc  b2  c2 b2  c2 b  c  bc 2 b c  2 2 b b c c  ;  Tương tự ta có 2 2 a  c  ac c  a a  b  ab a  b 2  a2 b2 c2  Do P   2  (1)   A  b  c c  a2 a2  c2  yzx zx y x yz ,b  ,c  2  2 y z  x z  x y x y z  1 y z z  x x y Khi A   (2)      3    2x 2y z y z  3 x  Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có Đặt x  b  c , y  c  a , z  a  b  x, y, z    a  yz zx x y  x y  y z   z x x y y z z x                   x y z y x z y x z  y x  z y x z Khi từ (2)  A    3  Kết hợp với (1)  P  Dấu "  " xảy  a  b  c  Vậy Pmin  đạt a  b  c  Câu [Svip]: Cho ba số x, y, z > thoả x  y  z  xyz x y z   Tìm GTLN biểu thức A  x  yz y  xz z  xy Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có x y z x y z A      x  yz y  xz z  xy x yz y xz z xy 1 2  11 1 1 1              yz zx xy   y z z x x y   1  xy  yz  xz x  y  z        2 x z y xyz xyz Trong sử dụng BĐT quen thuộc  x  y    y  z    z  x    x  y  z  xy  yz  zx 2 Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Câu [Svip]: Cho a, b, c > 0, abc = 1 1   Tìm GTLN biểu thức P  2 a  2b  b  2c  c  2a  Lời giải: 1 1    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 a  2b  a  b  b   2ab  2b  2 ab  b  1 1 1  ;  Tương tự 2 b  2c  bc  c  c  2a  ca  a  1 1    Dẫn đến P     ab  b  bc  c  ca  a   1    xy  y  yz  z  xz  x  Chứng minh bổ đề: 1 1 xyz      xy  y  yz  z  xz  x  xy  y  yz  z  xyz  x  y xy y xy  y      1 xy  y  y   xy  xy  y xy  y  Bổ đề xyz   Áp dụng điều ta có P  Dấu đẳng thức xảy ba số Câu [Svip]: Cho a ,b, c > a + b + c = 1 1 Chứng minh    2 ab  2c  2c cb  2a  ac  2b  2b ab  bc  ac Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ab  2c  2c  ab  2c  2c  a  b  c    a  2c  b  2c  ab  2cb  ab  2ac   ab  2cb  ab  2ac     ab  4ab  ab  2c  2c Tương tự Dẫn đến 2 ab  ab  bc  ca 2 cb  2a  2  ab  bc  ca   ab  bc  ca    4ab ab ab  2c  2c   bc  ab  bc  ca  cb  2a  2  ; ac  2b  2b ac  2b  2b   ca  ab  bc  ca 2 ab  bc  ca  ab  bc  ca   ab  bc  ac Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Câu [Svip]: Cho a, b, c > thỏa mãn 1   2 1 a 1 b 1 c Chứng minh abc  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 b c b c  1 1   2 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 b 1 c 1 a c a b 2 ; 2 b 1 a 1 c 1 c 1 a 1 b 1 1 abc   abc  Nhân vế thu a 1 b 1 c 1  a  1 b  1 c  1 Tương tự Dấu đẳng thức xảy a  b  c  ... a2 b2 c2   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 b  c  bc a  c  ac a  b  ab Lời giải: b  c2 a2 a2 a2  2   Có  b  c    b  c  2bc   bc  b2  c2 b2  c2 b  c  bc 2 b c  2 2... thức P  2 a  2b  b  2c  c  2a  Lời giải: 1 1    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 a  2b  a  b  b   2ab  2b  2 ab  b  1 1 1  ;  Tương tự 2 b  2c  bc  c  c  2a...  a2 b2 c2     2a  3b    2b  3c    2c  3a      a  b  c  2a  3b 2b  3c 2c  3a   VT (1)   a  b  c   a  b  c  (3) a2 b2 c2       2a  3b 2b  3c 2c