bất đẳng thức cô si

QUÝ VỊ ĐẠI BIỂU, QUÝ THẦY CÔ,CÁC EM HỌC SINH VỀ DỰ HỘI THẢO MÔN TOÁN THPT TỔ TỐN TIN TRƯỜNG THPT LÂM HÀ Ch ng IVươ : B T Đ NG TH C Ấ Ẳ Ứ B T PH NG TRÌNHẤ ƯƠ Tiết 29 –Đại số 10 Chương trình cơ bản Giáo viên th c hi n : Nguy n Th Kim Chiự ệ ễ ị Nhà toán học thiên tài người PHÁP Augustin Louis Cauchy (1789 -1857) BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC I. ÔN TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC II. BẤT ĐẲNG THỨC CÓ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI * Ví d m uụ ở đầ : 1. Bất Đẳng Thức Côsi: 2. Các Hệ Quả: 3. Ví Dụ : Ví d :ụ Cho . Ch ng minh r ng :ứ ằ ng th c xay ra khi nào ?́Đẳ ư ̉ . ab ba − + 2 = ( ) baba +− 2 2 1 . = ( ) 2 2 1 ba − Đẳng thức xảy ra ⇔ 0=− ba a b ⇔ = 0 ≥ 2 2 1 ( ) 2 . ( ) 2 a a b b   − +   = 2 ( ) 0a b − = ⇔ , 0a b ≥ ab 2 ba ≥ + Gi iả : III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1. Bất đẳng thức CÔSI: Đònh lý: Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoăïc bằng trung bình nhân của nó , ; ∀ ≥ a b 0 Đẳng thức xảy ra: + = a b ab 2 a b ⇔ = ab 2 ba ≥ + Hay: 2a b ab+ ≥ , ; ∀ ≥ a b 0 Ví dụ: Vd 1: Cho hai số a>0, b>0. Chứng minh rằng: Giải : * Áp dụng Côsi cho 2 số dương a,b: 1 2 (2)ab ab + ≥ ( ) ( ) 2 1a b ab+ ≥ Áp dụng Côsi cho 2 số dương 1, ab: Nhân vế theo vế của (1) và(2) ta có: III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ( )(1 ) 4a b ab ab + + ≥ * Đẳng thức xảy ra khi: 1 a b ab =   =  2 1 a b b =  ⇔  =  1 1 a b =  ⇒  =  ( Do a >0, b >0 ) ( )(1 ) 4a b ab ab + + ≥ Ví du:ï Vd 2: Cho số dương a. Chứng minh rằng : Giải: Áp dụng Côsi cho 2 số dương : 1 2a a + ≥ 1 1 2 .a a a a + ≥ 1 ,a a III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1 2a a ⇔ + ≥ Đẳng thức xảy ra khi: 1 a a = 1a ⇔ = ± a=1 (do a>0) ⇒ 2. Các hệ quả : Hệ quả 1: Tổng của một số d ng với nghòch đảo của nó lớn hơn hoặc ươ bằng 2. 1 2a a + ≥ , 0a∀ > III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI Hệ quả 2: Nếu x, y cùng dương và có tổng khơng đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y Hệ quả 3: Nếu x, y cùng dương và có tích khơng đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y III. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC COÂSI Với 160.000m dây ta sẽ rào khu rừng này một vùng hình chữ nhật của riêng ta. Làm sao để lãnh thổ của ta rộng nhất ? [...]... Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là : f(x)=16 Đẳng thức xảy ra khi x+3=5-x  x=4 III BẤT ĐẲNG THỨC C SI Củng cố : 1 Bất đẳng thức C si: 2 Các hệ quả : 3 Ứng dụng : • Chứng minh bất đẳng thức • Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, biểu thức III BẤT ĐẲNG THỨC C SI a + ≥2 b Hay a ab , ∀ , b ≥0 a+b ≥ ab 2 , ∀a; b ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=b III BẤT ĐẲNG THỨC C SI 2 Các hệ quả : Hệ quả 1: Tổng của một...III BẤT ĐẲNG THỨC C SI III BẤT ĐẲNG THỨC C SI …? III BẤT ĐẲNG THỨC C SI Giải: Gọi khu rừng được rào có chiều dài là x, chiều rộng là y (x,y>0) Khi đó diện tích khu rừng là xy Chu vi là : 2(x + y) =160.000 hay x+y=80.000 x+y Theo Cơ -si ta có: xy ≤ = 40.000 2 x+y 2 ⇔ xy ≤ ( ) = 1.600.000.000 2 Đẳng thức xảy ra, tức là xy=1.600.000.000 khi x=y=40.000 Nên... tích lớn nhất III BẤT ĐẲNG THỨC C SI 2 Các hệ quả : Hệ quả 2: Ý NGHĨA HÌNH HỌC Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vng có diện tích lớn nhất 1cm 2 16 cm2 15 cm2 Chu vi =16cm III BẤT ĐẲNG THỨC C SI 2 Các hệ quả : Hệ quả 3: Ý NGHĨA HÌNH HỌC Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vng có chu vi nhỏ nhất 1cm 2 20cm 16cm Diện tích =16cm2 III BẤT ĐẲNG THỨC C SI 3 Các ví dụ :... (x+3)(5-x) đạt giá trị lớn nhất với −3 ≤ x ≤ 5 Giải : III BẤT ĐẲNG THỨC C SI 3 Các vi dụ : Vd1: Tìm x để f ( x) = x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất với x>0 x Giải : * Vì x>0 nên 3 >0 Áp dụng c si cho hai số x và 3 : x x 3 3 f ( x ) = x + ≥ 2 x = 2 3 x x 2 3 * f(x) đạt giá trị3nhỏ nhất : f(x) = ⇔ x = ⇔ x 2 = 3 ⇔ x = ± 3 ⇒ x = 3 (do x>0) x III BẤT ĐẲNG THỨC C SI 3 Các vi dụ : Vd2: Tìm x để với x> -1 4 f ( x) = x... 1 > 0 ; 4 >0 x +1 Áp dụng BĐT C si cho hai số (x+1) và 4 f(x) = (x + 1) + x +1 -1 ≥ 2 4 x +1 ( x +1) : 4 −1 x +1 =3 Vậy f(x) đạt giá trò nhỏ nhất là : f(x) = 3 ⇔ (x + 1) = 4 x +1 ⇔ (x + 1)2 = 4 ⇒ ⇔ x =1 hoặc x=-3 x=1 (do x>-1) III BẤT ĐẲNG THỨC C SI Vd3: Tìm x để f(x)=(x+3)(5-x)đạt giá trị lớn nhất với − 3 ≤ x ≤ 5 Giải : − 3 ≤ x ≤ 5 nên Vì x+3≥ 0 , 5− x ≥ 0 Áp dụng c si cho hai số (x+3) và (5-x) : . BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC I. ÔN TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC II. BẤT ĐẲNG THỨC CÓ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI III. BẤT ĐẲNG THỨC C SI * Ví d m uụ ở đầ : 1. Bất Đẳng Thức C si: 2 III. BẤT ĐẲNG THỨC C SI 1. Bất đẳng thức C SI: Đònh lý: Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoăïc bằng trung bình nhân của nó , ; ∀ ≥ a b 0 Đẳng thức