Bất đẳng thức Cô si

ŀ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn -1- KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định nghĩa: 0 0 A B A B A B A B  ≥ ⇔ − ≥   ≤ ⇔ − ≤   2. Tính chất: 1. , a b c d a c b d > > ⇒ + > + 7. n n a b a b > ⇔ > , n chẵn 2. , a b c d a c b d > < ⇒ − > − 8. n n a b a b > ⇔ > , n chẵn 3. , 0 a b c ac bc > > ⇒ > 9. 0, 1 1 ;0 1 n n n n n n m n a a b a a b a a b > > > ⇒ > = ⇒ = < < ⇒ < 4. , 0 a b c ac bc > < ⇒ < 10. 1 1 , 0a b ab a b > > ⇒ < 5. 0, 0 a b c d ac bd > ≥ > ≥ ⇒ > 11. A B A B + ≥ + . Đẳng thức xảy ra khi . 0 A B > 6. 0 n n a b a b > > ⇒ > 12. A B A B − ≤ − . Đẳng thức xảy ra khi . 0 A B < 3. Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng: 1. 1 1 2 x x − ≤ 9. 2 2 2 1 1 1 a b ab a b + ≥ + + + 2. ; , , a a a b c a b a b c + > ∈ + + + ℤ 10. 0 1 1 1 1 1 1 a b c ab ac bc a a bc ab < ≤ ≤ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ + ⇒ ≤ + + 3. ( ) 1 1 4 a b a b   + + ≥     ; ( ) 1 1 1 9 a b c a b c   + + + + ≥     11. ( ) 4 1 1 4 1 4 1 .1 2 1 2 a a a a + + + = + ≤ = + 4. ( ) 2 2 4 2 ab a b a b ab a b + + ≥ ⇒ ≤ + 12. 2 2 1 1 2 1 1 1 xy x y + ≥ − − − 5. 2 2 2 2 2 1 ; 2 2 2 2 1 a b a b a a a   + + ≥ ≤ =   +   13. 2 a a b c b c a + + ≥ + 6 2 2 a b ab   + ≥     hay ( ) 2 4 a b ab + ≥ 14. 1 1 4 ; , 0 a b a b a b + ≥ ≥ + 7 1 2 2; 2 a b a b ab b a a b ab + ≥ + ≥ ⇔ ≥ + 15. ( ) 2 1 4 .x y x y ≥ + 8 ( ) 2 a b a b + ≤ + 16. ( ) 1 2 2 2 1 1 k k k k k k k = > = + − + + + 17. ( ) 1 2 2 2 1 1 k k k k k k k = < = − − + + − www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn -2- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Đẳng thức thường dùng : ( ) 2 2 2 2 A B A AB B + = + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C AB AC BC + + = + + + + + ( ) 3 3 2 2 3 3 3 A B A A B AB B + = + + + Chứng minh rằng với mọi số thực , , a b c ta luôn có: + + ≥ + + 2 2 2 a b c ab bc ac Giải: + + ≥ + + ⇔ + + − − − ≥ 2 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ac a b c ab ac bc       ⇔ − + + − + + − + ≥                   2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 a b c a c b ab ac bc ( ) ( ) ( ) − − − − + − + − + ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 a b c a c b a ab b c ac a c cb b đúng. Đẳng thức xảy ra khi = = a b c . Chứng minh rằng với mọi số thực , a b không âm ta luôn có: ( ) 2 2 4 a b a b a b b a + + + ≥ + Giải: ( ) 2 1 1 2 4 2 2 2 a b a b a b a b ab a b +     + + + = + + ≥ + +         . Xét hiệu : ( ) 2 2 1 1 1 1 0 2 2 2 2 ab a b ab a b ab a b a b ab a b             + + − + = + + − − = − + − ≥                     đúng Vậy: ( ) 2 2 4 a b a b a b b a + + + ≥ + . Chứng minh rằng với mọi số thực , , , , a b c d e ta luôn có: ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e + + + + ≥ + + + Giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e + + + + ≥ + + + ⇔ + + + + ≥ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 0 a ab b a ac c a ad d a ac c ⇔ − + + − + + − + + − + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b a c a d a c ⇔ − + − + − + − ≥ đúng. www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn -3- Đẳng thức xảy ra khi 2 a b c d e = = = = . Chứng minh rằng với mọi số thực , , , a b c d ta luôn có: ( ) ( ) − + − ≤ + + + 2 2 2 2 2 2 a c b d a b c d Giải: ( ) ( ) − + − ≤ + + + 2 2 2 2 2 2 a c b d a b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ − + − ≤ + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b d a b c d a b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ − − + + − − + ≤ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c a c b d b d a b c d ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⇔ − − ≤ + + ⇔ − + ≤ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ac bd a b c d ac bd a b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≤ + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ac bd a b c d ac ac bd bd ac ad bc bd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ ≤ + ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ac bd ad bc ad ad bc bc ad bc Đẳng thức xảy ra khi = ad bc . CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH CÁC SỐ HẠNG HOẶC TÁCH CÁC THỪA SỐ MỘT VẾ Chứng minh rằng với mọi n N ∈ , ta có : 1 1 1 1 1.5 5.9 (4 3)(4 1) 4 n n + + + < − + Giải: Ta có : 1 1 4 1 1 . . 1 1.5 4 1.5 4 5 1 1 4 1 1 1 . . 5.9 4 5.9 4 5 9 1 1 1 1 . (4 3)(4 1) 4 4 3 4 1 n n n n   = = −       = = −       = −   − + − +   Cộng vế theo vế ta được : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.5 5.9 (4 3)(4 1) 4 5 5 9 4 3 4 1 n n n n   + + + = − + − + + −   − + − +   1 1 1 4 1 1 . 4 4 1 4 4 1 4 1 4 4 n n n n n n n   = − = = < =   + + +   . PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI. www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn -4- NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI. NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn. Quy tắc dấu bằng: dấu bằng " " = trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu " " = phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu " " = thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu " " = xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT : " , " ≤ ≥ cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại. Dạng tổng quát ( n số): 1 2 , , , 0 n x x x ∀ ≥ ta có: • •• • Dạng 1: 1 2 . 1 2 n n n x x x x x x n + + ≥ • •• • Dạng 2: 1 2 1 2 n n n x x x n x x x + + ≥ • •• • Dạng 3: 1 2 1 2 n n n x x x x x x n         + + ≥ Dấu " " = xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n x x x = = = Hệ quả 1: Nếu: 1 2 n x x x S const = = + + thì: ( ) 1 2 max n n S P x x x n   =     khi 1 2 n S x x x n = = = = Hệ quả 2: Nếu: 1 2 n x x x P const = = thì: ( ) 1 2 min n n S x x x n P + + + = khi 1 2 n n x x x P = = = = Chứng minh rằng nếu mọi số thực , , a b c ta luôn có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 a b b c c a a b c + + + ≥ Giải: www.mathvn.com  Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn -5- ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 8 8 2 0 a b ab b c bc a b b c c a a b c a b c c a ca  ≥   ≥ ⇒ + + + ≥ =   ≥   + ≥ + ≥ + ≥ Bình luận: • •• • Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. • •• • Cần chú ý rằng: 2 2 2 x y xy + ≥ vì , x y không biết âm hay dương. • •• • Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Cô Si. • •• • Trong bài toán trên dấu " " ≥ ⇒ đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số. Chứng minh rằng nếu , , 0 a b c > và thỏa mãn . . 1 a b c = thì 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 3 2 3 2 3 a b b c c a + + ≤ + + + + + + Giải: Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 ; 1 2 2 3 2 1 . 2 1 2 3 a b ab b b a b ab b ab b a b + ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + + ⇒ ≤ + + + + . Tương tự : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . ; . 2 1 2 1 2 3 2 3 bc c ac a b c c a ≤ ≤ + + + + + + + + Cộng vế theo vế : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 3 b 2 3 2 3 ab b bc c ac a a b c c a   + + ≤ + +   + + + + + + + + + + + +   . Mặt khác : 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ab b ab b bc c ac a ab b abc ab b ab c abc ab + + = + + + + + + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 ab b ab b ab b ab b ab b ab b + + = + + = = + + + + + + + + . Vậy : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . 2 2 3 2 3 2 3 a b b c c a + + ≤ + + + + + + Lời bình : Bài toán trên sử dụng đến bất đẳng thức cơ bản ( ) 2 0 x y − ≥ đúng với mọi , x y ∈ ℝ . Cho , x y là các số thực dương khác 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 10 10 2 16 16 2 2 2 2 1 1 Q 1 . 2 4 x y x y x y y x   = + + + − +       Giải: 10 10 4 4 2 2 1 2 x y x y y x   + ≥       . Đẳng thức xảy ra khi 12 12 x y = ( ) 16 16 8 8 1 1 4 2 x y x y + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi 16 16 x y = . www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn -6- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 8 4 4 2 2 8 8 4 4 2 2 4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 Q x y x y x y x y x y x y x y x y ⇒ ≥ + − + = + + − + − = + − + − Mặt khác : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y x y   + + ≥ +     hay ( ) ( ) 2 4 4 2 2 2 1 1 x y x y + ≥ + . Đẳng thức xảy ra khi 2 2 1 x y = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 5 1 1 1 1 1 4 2 8 8 2 8 2 2 x y x y Q x y x y x y   ⇒ + ≥ + ⇒ ≥ + − + − = + − − ≥ −     Đẳng thức xảy ra khi 2 2 1 x y = . Vậy : 5 minQ 2 = − khi 2 2 1 x y = = . Cho , , x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 3 3 12 x z y x z y y z x xyz xyz xyz             + + + + + ≥             Giải: Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân: 3 3 3 3 3 3 2 ; 2 ; 2 x z xz y x yx z y zy y z x xyz y xyz xyz z xyz xyz x xyz + ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 x z y x z y xz yx zy y z x xyz xyz xyz y xyz z xyz x xyz                 ⇒ + + + + + ≥ + +                 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân: 3 3 3 3 3 3 3 4 4.3 . . 12. xz yx zy xz yx yx y xyz z xyz x xyz y xyz z xyz z xyz     + + ≥ =     Vậy : 2 2 2 3 3 3 12 x z y x z y y z x xyz xyz xyz             + + + + + ≥             . Cho n nguyên và 2 n ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 n A x x = + Giải: 1 1 1 1 1 ( 1) n n n n n n x n so n x x x x n A n n n n n x x n + +   + = + + + + ≥ + ≥      Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 1 n n x x n n x + = ⇔ = www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn -7- Giá trị nhỏ nhất của 1 1 n n n A n + + = Cho n nguyên và 2 n ≥ và 1 n x k n + ≥ > . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 n A x x = + Giải: Với 1 n x k n + ≥ > 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 0 n n n n n n f x f k x k x k x k x k x x k x k k − − − −     ≥ ⇔ + − − ≥ ⇔ − + − + + + + ≥        1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 0 n n n n x k xk x x k x k k − − − −     ⇔ − − + + + + ≥         1 2 3 2 1 ( ) 1 1 1 1 0 n n n n x k xk xk x x k x k k − − − −     − ⇔ − + + + + ≥         Ta có: 1 2 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n xk x x k x k k k n + − − − − − + − + + + + ≤ < = < Suy ra ( ) ( ) f x f k ≥ đúng với mọi 1 n x k n + ≥ > . Giá trị nhỏ nhất của 1 n A k k = + khi x k = . Cách 2 : Nháp : 1 , 0 1 1 ( 1) 1 n n n n x n so m m x x nx x n A x n x m m m m m x x + >     = + + + + − ≥ + + −          Ta chọn m sao cho: 1 1 1 n n n x k m x k x m x + +  =  ⇒ = =  =   Bài giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n n n n n x n so n k x x nx x n A x n x k k x k k x k + + + + + + +     = + + + + − ≥ + + −          Vì 1 n x k n + ≥ > nên 1 n n k + < suy ra: 1 ( 1) 1 1 ( ) n n n n n A k k f k k k k +   + ≥ + − = + =     Cho hai số thực 0, 0 x y ≠ ≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: ( ) 2 2 x y xy x y xy + = + − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 3 3 1 1 A x y = + . Đề thi Đại học khối A năm 2006 www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn -8- Giải: Xét ( ) ( ) 2 2 * x y xy x y xy+ = + − . Chia cả hai vế cho 2 2 x y Đặt 1 1 ,u v x y = = . Ta được ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3( ) ( ) 3 4 u v u v u v uv u v u v uv x y xy x y + + = + − ⇒ + = + − ⇒ + − + = ≤ . ( ) 2 4( ) 0 0 4 u v u v u v ⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤ Khi đó : 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 ( )( ) ( )( ) 2 x y x y x y xy x y x y xy x y xy A x y x y x y x y + + + − + + + + = = = = 2 2 2 1 1 2 ( ) 16 A u v xy x y ⇒ = + + = + ≤ . Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 u v = = hay 1 2 x y = = . Cho 3 số thực dương , , x y z thoả : 3 x y z + + ≥ .Tìm GTNN của 2 2 2 x y z A x yz y zx z xy = + + + + + Giải: ( ) 2 2 2 2 x y z x y z x yz y zx z xy x y z yz zx xy + + + + ≥ + + + + + + + + . Ta có : yz zx xy x y z + + ≤ + + . Suy ra : ( ) 2 2 2 2 3 2 2 x y z x y z x y z x y z x y z x yz y zx z xy + + + + + + ≥ = ≥ + + + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi: 3 1 x y z x y z x y z x y z x yz y zx z xy   + + =   = = ⇔ = = =    = =  + + +  Cho , , 0 x y z > và thoả mãn điều kiện 2 2 2 1 3 x y z + + ≥ .Tìm giá trị nhỏ nhất của: 3 3 3 2 3 5 5 2 3 3 5 2 x y z T x y z x y z x y z = + + + + + + + + . www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn -9- Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 3 5 5 2 3 3 5 2 2 8 x y z x y z T x x y z y x y z z x y z x y z xy yz zx + + = + + + + + + + + + + + + + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 10 30 2 8 10 x y z x y z x y z T x y z x y z x y z + + + + + + ≥ ≥ + + + + + + + ≥ ≥ Đẳng thức xảy ra khi : ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 2 3 5 5 2 3 3 5 2 1 3 1 3 x y z x x y z y x y z z x y z x y z x y z x y z  = =  + + + + + +   = = ⇔ = = =    + + =   Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện = . . 1 x y z .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) + + + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 x y z y z x z x y P y y z z z z x x x x y y Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: Cách 1: ≥ + + ≥ + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x xyz y y xyz z z xyz y y x x z z P y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y Đặt:  = − + +   = +     = + ⇒ = − +     = +    = + −   1 ( 2 4 ) 2 9 1 2 ( 2 4 ) 9 2 1 (4 2 ) 9 x x a b c a y y z z b z z x x y y a b c c x x y y z z a b c Khi đó:         − + + − + + − ≥ + + ≥ − + + + + + +                   2 2 4 2 4 4 2 2 6 4 9 9 a b c a b c a b c b a c c a b P a b c a c b a b c . Hay ( ) ≥ − + + = 2 6 4.3 3 2 9 P . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức của = 2 P khi = = = 1 a b c . Lời bình: Lời giải trên khá phức tạp , việc đặt ẩn , , a b c gặp nhiều khó khăn đối với HSPT. Cách 2: Phân tích bài toán: Để tiện cho việc trình bày , tạm đặt , , a x b y c z = = = www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn -10- Bài toán trở thành : Cho , , a b c là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện 1 abc = .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4 2 2 4 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b c b c a c a b P b c c a a b + + + = + + + + + Bài giải: Dễ thấy: ( ) 2 2 4 2 2 3 2 2 2 b c bc a b c a a + ≥ = ⇒ + ≥ . Tương tự ( ) ( ) 4 2 2 3 4 2 2 3 2 ; 2 b c a b c a b c + ≥ + ≥ Khi đó 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 a b c P b c c a a b ≥ + + + + + Đặt 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 2 9 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 2 9 9 2 4 2 9 n p m a m b c p m n n p m p m n m n p n c a b P m n p p a b m n p c  + − =   = +     + − + − + − + −   = + ⇒ = ⇒ ≥ + +         = + + −    =   ( ) 2 2 4 6 4.3 3 6 2 9 9 n p m p m n P P m n p m n p       ⇒ ≥ + + + + + − ≥ + − ⇒ ≥             Cho các số thực không âm , x y thay đổi và thỏa mãn + = 1 x y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) = + + + 2 2 4 3 4 3 25 S x y y x xy . Đề thi Đại học khối D năm 2009 Giải: Nhận xét: vai trò giống nhau (đối xứng) của , x y . ( ) ( ) ( ) = + + + = + + − + + 3 3 2 2 2 2 2 2 12 16 34 12 16 34 S x y x y xy x y x y xy x y xy Hay ( ) ( )     = + + − + + = − +         2 2 2 2 1 191 12 3 16 34 4 4 16 S x y x y xy x y xy xy Vì , x y không âm và thỏa mãn + = 1 x y suy ra   + ≤ ≤ =     2 1 0 2 4 x y xy   ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ − + ≤     2 1 1 3 1 191 25 4 0 4 4 4 4 4 16 2 xy xy . Vậy giá trị lớn nhất của = 25 2 S khi = = 1 2 x y và giá trị nhỏ nhất của = 0 S khi = = 0, 1 x y . Cho các số thực , x y thay đổi và thỏa mãn ( ) + + ≥ 3 4 2 x y xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) = + + − + + 4 4 2 2 2 2 3 2 1 A x y x y x y Đề thi Đại học khối B năm 2009 Giải: www.mathvn.com [...]... = + 2ab 6ab 3ab chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Lời bình: lời giải 1 và lời giải 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên Cho x ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x + 1 x Giải: Phân tích bài toán: Với α + β... x2 y2 Đẳng thức xảy ra khi : = y −1 x −1 x −1+1 x Mặt khác x − 1 = x − 1 1 ≤ = Đẳng thức xảy ra khi : x − 1 = 1 ⇔ x = 2 2 2 y −1+1 y y − 1 = y − 1 1 ≤ = Đẳng thức xảy ra khi : y − 1 = 1 ⇔ y = 2 2 2 2xy ⇒P ≥ = 8 Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2 x y 2 2 Vậy min P = 8 khi x = y = 2 ( ( ) ) Tương tự : Cho a, b, c là hai số thực dương và thỏa mãn b 2 + c 2 ≤ a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. .. c 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 Hướng phân tích khác : a2 + 1 1 1 a + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ a b c 2 Lời bình : Nếu a, b, c > 0 , thì (a + b + c ) 2 2 1 1 1 + + +  ≥ a b c  (a + b + c ) 2 2   9 +  a + b + c  1 1 1 9 + + ≥ a b c a +b +c ( ) 2 a +b +c a 2 b2 c2 Tổng quát : Cho x , y, z > 0 và ba số a, b, c bất kỳ, ta luôn có : (Bất đẳng thức s+ + ≥ x y z x +y +z a b c vac) Đẳng thức. .. ≥ a Đẳng thức xảy ra khi: = b = c +a 2 4 2 2 4 b c +a b c +a ( a 3 ( ) ( ( ) ) 1 1 3 b3 1 1 + c + b + a ≥ b Đẳng thức xảy ra khi: = c = b +a 2 4 2 4 2 c a +b c a +b ( b3 ) ( ) ( ( ) ) 1 1 3 c3 1 1 + a + b + c ≥ c Đẳng thức xảy ra khi: = a = b +c 2 4 2 4 2 a b +c a b +c ( c3 ) ) ( ) Cộng vế theo vế ta được : ( ( a3 b c +a ) + ( b3 c a +b ) + ( c3 a b +c ) ≥ ( ) ( ) ) 1 a + b + c Dấu đẳng thức. .. giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân  2 a +b +  3 3≥  2 2      Tương tự cho các trường hợp còn lại 3 2 a+ 1 1 +b + 3 3 = 2 ( ) ( ) 3 2 a +b = a +b 2 3 Cách khác : Giả sử với mọi m > 0 , ta luôn có : a + b = 1 (a + b ) m ≤ m đoán m > 0 bao nhiêu là phù hợp? a + b = m 2  Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi  1 ⇔m = 3 a = b = 3  Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình... 2 , z 2 , xy, yz, zx cho ta điều gì ?, phải chăng những hằng đẳng thức ( có dạng : ax − by ) 2 ( ) + (by ) ≥ 0 ⇔ ax 2 2 ≥ 2axby ? • Phân tích : -31- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2 http//:www.maths.vn 2 ax + ay ≥ 2axy Đẳng thức xảy ra khi x = y 2 2 2 2 2 by + cz ≥ 2 bcyz Đẳng thức xảy ra khi by = cz 2 2 cz + bx ≥ 2 cbzx Đẳng thức xảy ra khi cz = bx 2  a + b = 3 a = 1   Bây giờ ta... = 1 ⇔ b = 2 a = bc  1  c =  2 Giải : 2 2 x + y ≥ 2xy Đẳng thức xảy ra khi x = y 2 2y + 1 2 1 2 2 2 z ≥ 2yz Đẳng thức xảy ra khi 2y = 2 z + 2x ≥ 2zx Đẳng thức xảy ra khi 1 2 1 2 z 2 z = 2x 2 2 2 2 2 2 Cộng vế theo vế ta được : 3x + 3y + z ≥ 2 xy + yz + zx ⇒ 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 (đpcm) ( ) x = y  2y 2 = 1 z 2   x = y = 1 2 Đẳng thức xảy ra khi :  ⇔  z = 2  1 z 2 = 2x 2  2 xy + yz... 4n = 5p  3  25 47 = n = 4 12  p=5   Giải : 3x 2 + 25 25 25 ≥ 2 3 x Đẳng thức xảy ra khi 3x 2 = 3 3 3 4y 2 + 25 25 25 ≥ 2 4 y Đẳng thức xảy ra khi 4y 2 = 4 4 4 5z 2 + 5 ≥ 2 5.5z Đẳng thức xảy ra khi 5z 2 = 5 ( ) Cộng vế theo vế ta được 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 10 x + y + z − 235 235 (đpcm) = 12 12  5 x = 3  5  Đẳng thức xảy ra khi y = 4  z =1    Cho 3 số thực không âm a, b, c Chứng... = Đẳng thức xảy ra khi t = 1  2  2  16 t∈ ;+∞  () 2  ĐIỂM RƠI TRONG BẤT DẲNG THỨC COSI Bài toán mở đầu : Cho a, b > 0 và thỏa mãn a + b ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 1 + a 2 + b2 + 1 2ab Lời giải 1 Ta có: P = 1 1+a +b 2 2 + Giải: 4 1 4 4 ≥ 2 = ≥ =2 2 2 2ab a + 2ab + b + 1 (a + b) + 1 2 1 + a 2 + b 2 = 2ab (a − b )2 + 1 = 0   ⇔ Hệ vô nghiệm Vậy không tồn tại min P Đẳng. .. 3 3 abc + 3 ≥6 3 a b c abc Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 nhưng khi đó a + b + c = 3 > 3 abc 1 3 =6 abc 3 ( trái giả thiết ) 2 Phân tích bài toán : 3 , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 2 3 1 1 bình nhân ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ Đặt: x = 3 abc ≤ 2 2 2  1 1 1 1 1 1 Khi đó : a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 = 3  x +  Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = 3 a b c x