BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
2
a b
ab
+
≥
Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm: Cho a, b ≥ 0 Khi đó:
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b
3
a b c
abc
Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: Cho a, b, c ≥ 0 Khi đó:
3
+ + ≥ Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: Cho a1, a2, …, an ≥0 Khi đó: 1 2
1 2
n n
n
a a a n
Đẳng thức xảy ra ⇔ a1=a2 = = a n
1 1+ ≥ 4
Hệ quả 1: Với a, b >0 thì
a b a b+ Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b
Hệ quả 2: Với a, b, c >0 thì 1 1 1 9
a+ + ≥b c a b c Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
+ +
Hệ quả 3: Cho n số thực dương a1, a2, …, an Khi đó 1 2
n
n
n
n
a a a
≥ + + + Đẳng thức xảy ra ⇔ a1=a2 = = a n
Hệ quả 4: Cho a b, ≥ 0và m n, ∈` Khi đó m n m n m n n m Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b
a + +b + ≥a b +a b
MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH
Kĩ thuật cơ bản :
Ví dụ 1 : Tìm GTLN của : y= x2(1− x ) ,x∈(0,1)
Lời giải
Do x,1− >x 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
3
2 (1 2 ) (1 2 )
y= x − x =x x − x ≤⎛ + + − ⎞ =
1 54
y
⇒ ≤
Dấu ‘=’ xảy ra 1 2 1
3
27
Max y = khi 1
3
x =
Ví dụ 2 : Tìm GTNN của : 1 ,
1
x
Trang 2423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: 08 7305 7668
Do x− >1 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
( 1)
y= x− + + ≥1
Dấu ‘=’ xảy ra 1 1 2
1
x
− 2
= Vậy Min y=3 khi x
Ap dụng :
Bài 1: Tìm GTLN của :
1)y=x(2−x) , x∈ ,2)(0 2) y= +(x 1)(1 2 )− x , ( 1, )1
2
x∈ − 3) y=x3(2−x) , x∈(0,2) 4) y=x(1−x2) , x∈(0,1)
Bài 2: Tìm GTNN của :
1) y x 22
x
2 2 2
1
x x
+
⎝ ⎠ x≠ −1
Ví dụ 3 : Cho a b c, , >0.Chứng minh :
a) a2+b2+ ≥4 2a+2b + b a b) a(1+ +b) b(1+ +c) c(1+a) 3≥ 3abc(1+3abc) c)a b− +1 b a− ≤1 ab với a b, ≥1
Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
2
2
4 4
4 4 2
+ ≥ + ≥ + ≥ b Cộng lại ta được :
2a +2b + ≥8 4a+4b+2a b ⇒( đpcm )
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b 2
b)
Ta có :
a +b +b +c +c +a = a+ +b c + ab+bc+ca
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
3
2 2 2 3
3 3
+ + ≥
Cộng lại ta được đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = = c a b
c)
Trang 3Ta có : a b− =1 a a
b− ≤a + − =
Tương tự : 1
2
− ≤
2
ab
b a
Cộng lại ta đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b
Áp dụng :
Cho a b c, , >0.Chứng minh :
+ + ≥ + b)a2(1+b2)+b2(1+c2)+c (1
c)(a b b c c a+ )( + )( + ) 8≥ abc d) ab bc ac a b c
b
c + a + ≥ + +
Ví dụ 4 : Cho a b, ,c>0.Chứng minh :
a +b +c ≥a bc+b ac+c ab
Lời giải :
Áp dụng Cauchy 6 số :
6
4a +b +c ≥6 a b c =6a bc
Tương tự :
6
4b +a +c ≥6 b a c =6b ac
6
4c +a +b ≥6 c a b =6c ab
Cộng các vế lại ta được đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b c
Ví dụ 5 : Cho a b c, , >0 thỏa a b c+ + =1 Chứng minh rằng :
a− b− + b− c− + c− a− ≥
Lời giải :
Ta có :
2 4
b
Tương tự :
2 4
1 1 2 a
c
2 4
1 1 2 b
c
Trang 4423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: 08 7305 7668
6
VT
a b=c
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ =
Ví dụ 6 : Cho a b, ,c>0.Chứng minh :
c a b +a b c +b c a ≥ a
1 1 1 1
b c
⎛ + + ⎞
Lời giải :
Ta có
2
2
2
2
a b c
+ +
Áp dung bất đẳng thức Cauchy ta có :
2
4b b a b( + ) b
a b
+
Tương tự :
2
+ +
+
3
4
2
+ +
+
3
4 Cộng các vế lại vá áp dung bất đẳng thức Cauchy ta được đpcm
Ví dụ 7 : Cho a b c, , >0 thỏa a b c+ + =3 Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
1 1 1
c b a c b
Lời giải :
Ta có :
a +b +c ≥ ab+bc+c
a
Ta chứng minh tiếp :
Đặt x ab bc ca= + +
Trang 5Do ( +bc+ca)2 ≥3abc a b c( + + ) suy ra 2
9
x abc≤
Ta lại có : a2+b2+c2 =(a b c+ + )2 −2(ab bc ca+ + ) 9 2= − x
Suy ra :
a2+b2 +c2 − ≤ − x − =− − + ≤
abc
Vậy ta có đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b c
Ap dụng :
Bài 1: Cho a b c, , >0 Chứng minh :
a b c
Bài 2 : Cho a b c, , >0thỏa abc=1 Chứng minh :
1
Bài 3: Cho a b, ,c>0và abc=1.Chứng minh :
3 3
≥
Bài 4 : Cho a, b, c >0 thỏa a b c+ + =abc Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1
b +c +a ≥
Bài 5: Cho a b c, , >0 Chứng minh :
2
b c + a c + a b
Bài 6 : Cho a b c, , là ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng :
a)( )( )( )
8
abc
a b c + b c a + c a b ≥
Kĩ thuật cộng thêm :
Ví dụ 8: Cho a b c, , >0.Chứng minh :
a) a2 b2 c2 1 1 1
b +c + a ≥ + +a b
+ +
Lời giải :
a)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
2
1 2
a
b + ≥
Trang 6423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: 08 7305 7668
2
1 2
b
c + ≥
2
1 2
c
a + ≥
Cộng các vế lại ta được đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b c
b)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
3
2b c+ 9 ≥
+
c a
+
b
2
2a b+ 9 ≥3
+
a b=c
2
Cộng các vế lại ta được đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ =
Lưu ý : Trong ví dụ 2 do dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = = nên muốn Cauchy để mất mẩu của a b c 2
2
a
b c+ thì 2b c+ phải chia cho 9 đễ dấu ‘=’ xảy ra
Áp dụng :
Bài 1 : Cho a b c, , >0và a2+ + =b2 c2 3.Chứng minh :
2
b c+a c+a b≥
Bài 2: Cho a b c, , >0 thỏa abc=1 Chứng minh rằng :
Bài 3 : Cho a b c, , >0.Chứng minh :
1 1 1
+ + + + + ≥ + +
c
Bài 4 : Cho a b c, , >0.Chứng minh :
1 1 1 1
Kĩ thuật hạ bậc :
Ví dụ 9: Cho a b c, , là 3 số dương thỏa ab bc ca+ + =3 Chứng minh rằng: a3+ + ≥b3 c3 3
Lời giải
Trang 7Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
b
2(a + +b ( ca) 9=
3 3 1 3
a +b + ≥ a
3 3 1 3
b +c + ≥ c b
3 3 1 3
c +a + ≥ ac
Cộng các vế lại ta có :
3) 3 3
c + ≥ ab bc+ +
⇔ = = Dấu ‘=’ xảy ra
Ví dụ 10: Cho a b, ,c>0và abc=1.Chứng minh :
Lời giải :
Ap dụng hệ quả ta có :
3 3
+ ≥
1
abc=
Do nên 3 13 2 2
1
a b c
a b ≤ a b b a abc =
+ +
Tương tự :
1
1
a
1
1
b
Cộng các vế lại ta được đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = = =a b c 1
Ap dụng :
Bài 1: Cho a, b, c > 0 thỏa a3+ + =b3 c3 3 Chứng minh rằng: a5+ + ≥b5 c5 3
Bài 2 : Cho a, b, c > 0 thỏa a b3 3+b c3 3+c a3 3 =3 Chứng minh rằng a7+ + ≥b7 c7 3
Bài 3: Cho a b c, , >0thỏa a+ + =b c 1 Chứng minh rằng:
1 ab+1 bc+1 ca ≥
3
2 2)a+ + ≥2b c 4(1−a)(1−b)(1−c)
Bài 4: Cho a b c, , >0 thỏa ab+bc+ca=3 Chứng minh rằng: a6+ + ≥b6 c6 3
Bài 5: Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng:
+ + ≥⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜
4
3 ⎞
⎟
⎠
Bài 6: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1
a b+b c+c a ≥a b c+b c a+c a b
Trang 8423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: 08 7305 7668
Ví dụ 11: Cho a b c, , >0 thỏa a b c+ + =3 Chứng minh rằng : 2 2 2 3
Lời giải
Ta có :
b
Tương tự :
2
2
b c
c a
≥ − +
≥ − +
c c
Cộng lại ta được :
2
ab bc ca
VT ≥ a b+ + −c + +
(1)
Mặt khác ta có : 3(ab bc ca+ + ) (≤ a b c+ + )2= ⇒9 ab bc ca+ + ≤3 (2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b c
Áp dụng :
Bài 1 : Cho a b c, , >0 thỏa ab bc ca+ + =3 Chứng minh rằng :
Bài 2: Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng : 2 3 2 2 3 2 2 3 2
2
+ +
Bài 3: Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng : 2 3 2 2 3 2 2 3 2
3
+ +
Kỹ thuật cân bằng hệ số:
Ví dụ 12: Cho a b, >0 thỏa a b+ ≤1 Chứng minh rằng S a b 1 1 5
a b
= + + + ≥ Lời giải
Ta có :
a+ ≥b a b
+ Suy ra :
Trang 9( )
3
a b
+
1
a b
⇔ = = Dấu ‘=’ xảy ra
2
Ví dụ 13: Cho a b, ,c>0 thỏa ab+ +bc ca=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2 2
P 4= a +4b +c
Lời giải :
Áp dụng Cauchy ta có :
a +b ≥ ab
( 2) (a2 2)b2 2c2 2 (ab bc ca) 2
2 2
2 2
+ ≥ + ≥ Suy ra :
α α+ + α α+ + ≥ α + + = α
Ta chọn α là số dương thỏa :
8
2
α + = ⇒ =α α − +
Suy ra :
1 33 2
P≥− +
Dấu ‘=’ xảy ra
4
4
1 33
1 3
a b
a b
a c
b c
c
ab bc ca
α α
=
⎪ + + = ⎪⎩
⎩
3
Vậy GTNN P = − +1 2 33 4
4
1 33
1 3 33
a b
c
⎧ = =
⎪⎪
⇔ ⎨
− +
⎪ =
Ap dụng :
Cho a b c, , >0 Chứng minh :
a) a2 b2 4c2 a 3b
9
c a b
b c+c a+a b ≥ − −
Bài tập nâng cao:
Trang 10423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: 08 7305 7668
Bài 1: Cho a b c, , >0 Chứng minh :
3
+ +
⎛ + ⎞⎛ + ⎞⎛ + ⎞≥ +
Bài 2: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 1 1
c b a c
+
2 3
abc c b a c b
+ +
≥ + +
Bài 3: Cho a b c, , >0 thỏa abc=1 Chứng minh rằng :
a)
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 3
b)
1
Bài 4: Cho a b c, , >0 thỏa a b c+ + =1 Chứng minh rằng:
a + − +b c b + − +c a c + − ≤ a b
Bài 5: Cho a b c, , >0 thỏa a+ + =b c 3 Chứng minh rằng : a+ b+ c ≥ab+bc+ac
Bài 6: Cho a b, ,c>0 thỏa abc=8 Chứng minh rằng :
4 3
Bài 7: Cho a b c, , >0 thỏa ab bc ca+ + =1 Chứng minh rằng : 3 1 3 1 3 1
abc
Bài 8: Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng :( 5 2 )( 5 2 )( 5 2 ) ( )3
a − +a b − +b c − + ≥c a b c+ +
Bài 9: Cho a b c, , >0.Chứng minh
3
2
a b c