Một số kỹ thuật giải toán bất đẳng thức

MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC                   Tác giả: Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên Nguyễn Đình Thi Lớp 10Toán 1 THPT chuyên Lương Văn Chánh. Tuy hòa,tháng 2 năm 2008 Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 1 Bất đẳng thức là một nội dung rất hay và khó .Càng nghiên cứu ta càng thấy sự đa dạng,phong phú của nó.Chúng tôi viết bài viết nay nhằm góp một phần nhỏ của mình vào việc rèn luyện kó năng giải bất đẳng thức.Vì đây là bài viết đầu tiên,và chúng tôi đang ở trình độ lớp 10 nên mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng không thể tránh khỏi sai xót.Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của độc giả. MỘT SỐ KĨ THUẬT ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.Kó thuật tách số mũ +Để thuận tiện cho việc chứng minh,tôi xin đề cập lại tới bất đẳng thức(bđt) Hon-đe Với a,b,c,x,y,z là những số thực dương thì ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c x y z m n p axm byn czp + + + + + + ≥ + + Bài toán 1 Cho , , 0 a b c > .Chứng minh 2 2 2 4 4 4 4 3 3 a b c a b c b c a + + + + ≥ Lời giải: Theo bđt Hon-đe thì ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ( ) a b c a b b c c a a b c b c a + + + + ≥ + +       Đặt 2 2 2 , , x a y b z c = = = Ta cần chứng minh bđt 3 2 2 2 ( ) 9 3 x y z x y z x y y z zx + + + + ≥ + + 3 2 2 2 ( ) 3 3 ( )x y z x y y z y z z x x< = > + + +≥ + + + Ta có 3 3 2 2 ( ) [ ( ) ] x y z x y z+ + = + + ( ) 3 2 3 2 2 2 2 3 ( )( )x xy x xy   = + ≥   ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 3 3( ) xy yz zx x y z = + + + + Vậy bài toán chứng minh Đây chỉ là kó thuật nhỏ,tách mũ 3 thành 3 2. 2 nhưng nó có vẻ hiệu quả và làm cho lời giải bài toán gọn hơn . Và ta tiếp tục với kó thuật này qua bài toán sau Bài toán 2 Với a,b,c>0 v& 2 2 2 3 a b c + + = .Chứng minh 9a b c b c a a b c + + ≥ + + Lời giải: Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 2 Ta có 2 2 2 2 ( ) a b c a b c a b c b c a ab bc ca ab bc ca + + + + = + + ≥ + + Vậy việc còn lại là chứng minh bđt sau 2 ( ) 9 a b c ab bc ca a b c + + ≥ + + + + Ta có 3 3 2 2 ( ) [( ) ] a b c a b c+ + = + + 3 3 2 2 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( )( ) cyc ccyc cycyc a ab a ab   = + ≥       ∑ ∑∑ ∑ 9( ) ab bc ca = + + 3 9() ) ( aa b b bc ca c ≥ + +⇒ + + (đpcm) (!) Bài toán 3 Với 4 4 4 , , 0& 3 a b c a b c > + + = .Chứng minh 2 2 2 ) 3 a b c a b c a + + ≥ 2 2 2 3 ) 2 a b c b b c c a a b + + ≥ + + + Lời giải: a)Theo bđt Hon-đe thì 2 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) cyc cyc a b c a b c a b a + + ≥ ∑ ∑ Vậy ta chỉ cần chứng minh 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) 9( ) a b c a b b c c a + + ≥ + + Nếu đặt 2 2 2 , , x a y b z c = = = thì bđt cần chứng minh 3 ( ) 9( ) x y z xy yz zx ⇔ + + ≥ + + Tới đây,việc chứng minh hoàn toàn tương tự như bđt (!) b)Theo bđt Hon-đe thì 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ( ) ) ( ) cyc cyc cyc a a b c a b c + ≥ + ∑ ∑ ∑ Vậy cần chứng minh bđt sau 2 3 2 2 4 ( ) 9 ( ( ) ) c yc c yc a a b c ≥ + ∑ ∑ 2 3 2 2 4( ) 9 2 2 ( ) cyc cyc a a b abc a b c   <=> ≥ + + +     ∑ ∑ Mà 2 2 2 2 2 2 ( ) a b b c c a abc a b c + + ≥ + + Vậy ta còn chứng minh bđt này ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4( ) 9 4( ) a b c a b b c c a + + ≥ + + Bđt này đã được chứng minh trong câu a Qua 3 bài,ta có thể thấy được hiệu quả của kó thuật nhỏ này Kết thúc kó thuật này,ta xét bài toán sau Bài toán 4: (Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên) Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 3 Với 2 2 2 , , 0. 3 a b c a b c > + + = . Chứng minh 3 2 3 cyc a ab bc ca a bc + + ≥ + ∑ Lời giải: Theo bđt(!) thì 3 3 ( ) ( ) 9( ) 27 3 cyc cyc a b c ab bc ca a ab + + + + ≥ => ≥ ∑ ∑ Vì vậy,ta cần chứng minh bđt sau 3 3 ( ) 2 27 cyc a a b c a bc + + ≥ + ∑ Ở bđt này,vế phải có dạng mũ 3,vì thế ta nghó tới việc dùng bđt Hon-đe.Nhưng muốn dùng được thì ta phải tìm cách khử các mẫu ở vế trái.Vì thế,ta cần chứng minh bđt phụ sau 2 2 3 9 ( ) 2 cyc cyc cyc a a ab = ≥ + ∑ ∑ ∑ 2 3 9 ( ) ( 3 ) ( )(3 ) ( 3 ) cyc cyc cyc cyc cyc ab a abc ab ab ab abc ⇔ − ≥ − + − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3 )(3 ) ( 3 ) cyc cyc cyc ab ab ab abc ⇔ − + + − ∑ ∑ ∑ ( )(3 ) ( )(3 ) cyc cyc cyc cyc a ab ab ab ≥ − + − ∑ ∑ ∑ ∑ (3 )(3 ) ( 3 ) 0 cyc cyc cyc cyc cyc ab ab a ab ab abc ⇔ − + − − + − ≥ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Vì 32 2 2 2 2 2 3 3 1 a b c a b c abc + + = ≥ ⇒ ≥ và dễ dàng ta có 3 0& 3 0 ab bc ca a b c − − − ≥ − − − ≥ 3 2 2 2 (3 )(3 ) 3 0 3 .1 3 cyc cyc cyc ab a ab abc a b c abc ⇒ − − + − ≥ + − ∑ ∑ ∑ 3 3 0 abc abc ≥ − = 3 3 3 9 2 2 2 a b c ab bc ca ⇒ ≥ + + + + + Và ta áp dụng bđt trên cho việc chứng minh bài toán Ta có: 3 3 3 27( ) (1 1 1)( 2 )( ) 2 2 cyc cyc cyc cyc a a a ab a bc a bc ≥ + + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ 3 ( ) a b c ≥ + + 3 3 3 3 ( ) 2 2 2 27 a b c a b c a bc b ca c ab + + ⇒ + + ≥ + + + Vậy bài toán chứng minh xong. Và chúng ta sẽ kết thúc kó thuật đầu tiên qua bài toán sau Bài toán 5: (Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên). Cho a,b,c>0 và 2 2 2 3 a b c + + = .Chứng minh bđt 2 3 4 3 3 3( ) 2 cyc a ab bc ca a bc ≥ + + + ∑ Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 4 Lời giải: Hoàn toàn tương tự,theo bđt(!) thì 3 9() ) ( aa b cc b b ca ≥ + ++ + 6 2 ( ) 3( ) 27 a b c ab bc ca + + ⇔ ≥ + + 2 2 3 ( ) 3( ) 3 a b c ab bc ca + + ⇔ ≥ + + Vì vậy,ta cần chứng minh bđt sau 2 4 3 3 ( ) 2 3 cyc a a b c a bc + + ≥ + ∑ Tới đây,ta có 1 bổ đề khác đó là bài của Pháp 2005 Với a,b,c>0 và 2 2 2 3 a b c + + = thì ta có 3 ab bc ca c a b + + ≥ (1) Chứng minh bổ đề này: Bđt(1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 9 3( ) a b b c c a a b c a b c c a b ⇔ + + + + + ≥ = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c c a b ⇔ + + ≥ + + Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . a b b c c a ab bc bc ca ca ab a b c c a b c a a b b c + + ≥ + + = + + (đpcm) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 6 a b b c c a abc ⇒ + + ≥ Và ta trở lại với bài toán Chúng ta cần chứng minh bđt 2 4 3 3 ( ) 2 3 cyc a a b c a bc + + ≥ + ∑ Ta có 4 4 3 3 2 cyc a a bc       +   ∑ ( ) 4 2 4 2 2 2 2 4 3 9 2 cyc a b c a a abc   + + =     +   ∑ ( ) 4 4 4 4 4 2 4 6 3 9 2 cyc a b c abc a a abc   + + + ≥     +   ∑ ( ) ( ) 4 3 4 4 4 4 2 2 2 2 4 2 2 2 3 . 9 27 2 cyc a abc b abc c abc a b c a a abc   + + + + + + + =     +   ∑ ( ) 8 8 2 6 4 8 4 4 3 . .( 2 ) ( 2 ) .9 .2 7 3 a b c a a a a b c a a b c   + + + ≥ =    +   ∑ (Theo bđt Cauchy-Schwarz suy rộng cho 3 biến và 8 dãy) 2 4 3 3 ( ) 2 3 cyc a a b c a bc + + ⇒ ≥ + ∑ (đpcm) Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 5 2.Kó thuật Cô-si đảo Chúng ta sẽ mở đầu kó thuật này qua bài toán sau Bài toán 1:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Chứng minh 3 a b c a ≥ + − ∑ Lời giải: Ta có 1 2 b c a b c a a a + − + − + ≥ 2 b c b c a a a + + − ⇔ ≥ 2 a a b c a b c ⇔ ≥ + − + Hoàn toàn tương tự,ta có các bđt sau: 2 b b a c b a c ≥ + − + và 2 c c a b c a b ≥ + − + Cộng 3 bđt trên vế theo vế ta được 2 a a b c a b c ≥ + − + ∑ ∑ Mặt khác,theo bđt Nesbit thì 3 2 a b c ≥ + ∑ 3 a b c a ⇒ ≥ + − ∑ Vậy bài toán được chứng minh Lời giải này vận dụng bđt Cauchy một cách khéo léo đó là đem từng phân số nghòch đảo lại rồi dùng mới dùng bđt.Việc làm như vậy đã làm cho lời giải bài toán khá gọn và đẹp. Bài toán 2: (Phạm Kim Hùng) Cho , , , 0 a b c d ≥ .Chứng minh , , , 2 2 2 4 a b c d cyc c d a b d a cb ≥ + + + + + ∑ Lời giải: Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) a a a b c d b c d b c d     + + + ≥       + + + +     ∑ ∑ Vì thế,ta cần chứng minh 2 2 2 2 2 a b c d ≥ + + ∑ mặt khác 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) .1 ( ) 4 2 b c d b c d a b c d a a a + + + + + + + + ≤ = Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a b c d a b c d ⇒ ≥ + + + + + chứng minh tương tự thì ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b b c d a a b c d ≥ + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c c d a b a b c d ≥ + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2d d a b c a b c d ≥ + + + + + Cộng các bđt trên vế theo vế ta được đpcm Đẳng thức xảy ra khi 2 biến bằng 0 và 2 biến còn lại bằng nhau Bài toán 3:(Vasile Girtoaje,MS,2006) Với a,b,c là các số không âm.Chứng minh 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b a bc b ca c ab + + + + + ≥ + + + Lời giải: Ta có: 2 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a bc a bc a bc ab ac a bc a b c a b c a b c a b c + + + + + + + ≥ ⇔ ≥ + + + + 2 ( ) 2 ( ) ( )( ) a b c a b c a bc a b a c + + ⇔ ≥ + + + Chứng minh tương tự,ta có các bđt 2 ( ) 2 ( ) ( )( ) b c a b c a b ca b c b a + + ≥ + + + 2 ( ) 2 ( ) ( )( ) c a b c a b c ab c a c b + + ≥ + + + Cộng 3 bđt trên vế theo vế ta được 2 ( ) 2 ( ) ( )( ) a b c a b c a bc a b a c + + ≥ + + + ∑ ∑ Ta có: 2 2 ( ) 2 ( ) ( )( ) ( )( )( ) a b c a b c a b a c a b b c c a + + = + + + + + ∑ ∑ 2( )( )( ) 6 6 2 2 ( )( )( ) ( )( )( ) a b b c c a abc abc a b b c c a a b b c c a + + + + = = + ≥ + + + + + + Đẳng thức khi 1 biến bằng 0 và 2 biến còn lại bằng nhau. Vậy bài toán được chứng minh Bài toán 4: (Nguyễn Đình Thi) Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 7 3 2 2 ( ) 3 ( ) 2 a b c a b c + > + + ∑ Lời giải: Ta có 2 2 2 2 3 ( ) ( ) 1 1 3 ( ) ( ) a b c a b c a b c a b c + + + + + + ≥ + + 2 2 2 2 3 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) a b c a b c a b c a b c a b c + + + + + + ⇔ ≥ + + 3 2 2 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) a b c a b c a b c a b c + + ⇔ ≥ + + + + Hoàn toàn tương tự,ta có các bđt sau: 3 2 2 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) b c a b c a b c a a b c + + ≥ + + + + và 3 2 2 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) c a b c a b c a b a b c + + ≥ + + + + Cộng 3 bđt trên vế theo vế 3 2 2 2 ( ) 6( ) ( ) ( ) a b c ab bc ca a b c a b c + + + ⇒ ≥ + + + + ∑ Mà 2 2 6( ) 3 4( ) 3 . ( ) 2 ( ) 2 ab bc ca ab bc ca a b c a b c + + + + = > + + + + ( Do a,b,c là 3 độ dài 3 cạnh của 1 tam giác) Vậy bài toán được chứng minh Ta sẽ tiếp tục với kó thuật khá thú vò qua bài toán sau Bài toán 5: (Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên) Với 2 2 2 , , 0 & 3 a b c a b c > + + = . Chứng minh 2 2 2 2 4 4 4 3 3 3 2 2 2 ( ) 2 2 2 3 a b c a b c a bc b ca c ab + + + + + + + ≥ + + + Ta có 3 3 4 2 2 2 2 1 1 1 4 2 2 a bc a bc a a + + + + + ≥ + + 3 2 3 4 2 2 2 3 6 2 4 2 2 a bc a a bc a a + + + + ⇔ ≥ + + 2 2 4 3 3 2 2 4( 2) 2 2 3 6 a a a bc a bc a + + ⇔ ≥ + + + + Chứng minh tương tự ta có các bđt sau 2 2 4 3 3 2 2 4( 2) 2 2 3 6 b a b ca a bc a + + ≥ + + + + 2 2 4 3 3 2 2 4( 2) 2 2 3 6 c c c ab c ab c + + ≥ + + + + Cộng các bđt trên vế theo vế ta được 2 2 4 3 3 2 2 4( 2) 2 2 3 6 a a a bc a bc a + + ≥ + + + + ∑ ∑ Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 8 Tới đây,ta dùng bđt Cauchy-Schwarz,tiếp đó dùng bđt Mincopski và một bổ đề phụ 3 3 3 9 ( 2 2 2 ) a b c ab bc ca ≥ + + + + + Ta có ( ) 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4( 2) 2 3 6 2 18 3 cyc cyc cyc cyc a a a bc a a ab a + + ≥ + + + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 2 2 ( ) (3 2 ) 4 ( ) 2( ) ( ) 4 9 18 9 36 3 cyc cyc cyc cyc a a a a     + +           ≥ ≥ = + + ∑ ∑ ∑ ∑ ⇒ bài toán được chứng minh có lẽ kó thuật này có hiệu lực không kém và ta tiếp tục với Bài toán 6: (Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên) Với a,b,c>0.chứng minh 3 4 7( ) 8 ( ) 3 3 b c a b c +     + +   ≥ ∑ Lời giải: Cũng giống như bài trên,ta đem từng phân số nghòc đảo lại rồi dùng bđt Cauchy Ta có 3 4 8 3( ) 8 3( ) 3. 1 4 ( ) 7( ) 7( ) a b c a b c b c b c + + + + + ≥ + + 3 4 24 9( ) 7( ) 8 3( ) 4 7( ) 7( ) a b c b c a b c b c b c + + + + + +   ⇔ ≥   + +   3 4 7( ) 28( ) ( ) 8 3( ) 24 16( ) b c b c a b c a b c + + ⇔ ≥ + + + + Hoàn toàn tương tự,ta có các bđt 3 4 7( ) 28( ) 8 3( ) 24 16( ) c a c a b c a b c a + +   ≥   + + + +   3 4 7( ) 28( ) 8 3( ) 24 16( ) a b a b c a b c a b + +   ≥   + + + +   Cộng 3 bđt trên vế theo vế ta được Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 9 3 4 7( ) 28( ) 8 3( ) 24 16( ) b c b c a b c a b c + +   ≥   + + + +   ∑ ∑ Không mất tính tổng quát,giả sử a b c ≥ ≥ thì 28( ) 28( ) 28( ) a b c a b c + ≥ + ≥ + và 1 1 1 24 16( ) 24 16( ) 24 16( ) c a b b c a a b c ≥ ≥ + + + + + + Theo bất đẳng thức chebusep thì 28( ) 1 1 .(54( )) 24 16( ) 3 24 16( ) cyc cyc b c a b c a b c a b c   + ≥ + +   + + + +   ∑ ∑ 1 9 .54( ). 3 3 54( ) a b c a b c   ≥ + + =   + +   ⇒ Bài toán được chứng minh Để nhìn nhận kó hơn về kó thuật nhỏ này,ta tiếp tục với bài toán sau Bài toán 7: (Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên) Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Chứng minh 2 3 3 8 k k cyc a a bc   ≥   +   ∑ Với 0,8 k = Lời giải: (Nguyễn Đình Thi) Theo bđt Cauchy 10 số thì ta có: 8 2 2 10 8 8 8. 1 1 10 3 3 a bc a bc a a   + + + + ≥       8 2 2 10 8 8 6 8 10 3 3 a bc a a bc a a   + + + ⇔ ≥       0,8 2 2 2 3 3 .10 15 8 8 8 6 4 8 3 a a a a bc a bc a a bc a   ⇔ ≥ =   + + + + +   0,8 2 2 3 15 8 4 8 3 a a a bc a bc a   ⇒  + ≥  + +   Chứng minh tương tự thì ta có các bđt sau: 0,8 2 2 3 15 8 4 8 3 b b b ca b ca b   ≥   + + +   0,8 2 2 3 15 8 4 8 3 c c c ab c ab c   ≥   + + +   [...]... c + d ) Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 26 BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG THUẦN NHẤT Với các bất đẳng thức không thuần nhất có điều kiện các biến thì có thể chuyển về dạng thuần nhất để chứng minh.Trong bài viết nhỏ này,ta chỉ xét ở các bất đẳng thức không thuần nhất và cũng không có điều kiện Bài toán 1 Cho a,b,c>0.chứng minh a2 + b2 + c 2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca) Lời giải: Nhân... trên luôn đúng Bài toán được chứng minh ≥0 Ta sẽ kết thúc kó thuật này qua bài toán sau Bài toán 6(Phan Thành Nam) 3 Chứng minh Cho a, b, c ≥ 0 & a + b + c = 1 Với k=12 a + k(b − c)2 + b + k(c − a)2 + c + k(a − b)2 ≤ 3 Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 18 L i gi i: 1 Bài này ,đẳng thức xảy ra tại 2 điểm a = b = c = ,a=1,b=c=0 và hoán vò 3 Vì thế,ta có lời giải 2 2   a + k... áp dụng bất đẳng thức (!!) và bổ đề (*) ta được Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 13 ∑ cyc      a 2 + 3bc  2a 16 15   ≥ 3      16   15 2a 16   2 3  15 a 2 + 3b c   ≥ 3    3  3 2      ∑ cy c  ⇒ đpcm Vậy bài toán được chứng minh 4.Kó thuật nhân lượng trung gian Chúng ta sẽ bắt đầu với kó thuật này qua bài chọn đội tuyển Trung Quốc Bài toán 1: Với... m,n,k thích hợp để đẳng thức xảy ra Mục đích của ta sau khi dùng bđt Cauchy-Schwarz thì ( m(a2 + b2 + c2 ) + (n + k)(ab + bc + ca)) triệt tiêu hay gọn lại Ở đây ta triệt tiêu ko ( ) Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 17 được nên đưa về dạng bình phương 1 tổng,vì thế,phương trình đầu tiên của m,n,k là n + k = 2m Do đẳng thức xảy ra khi a:b:c=3:1:0 Ta muốn tìm đẳng thức liên quan... Bài toán 3 Cho a,b,c>0.Chứng minh 1 1 1 9 a) + + ≥ a b c 2 + abc 1 1 1 9 b) + + ≥ ab bc ca 1 + 2abc Lời giải: 1 1 1 3 a) Ta có + + ≥ 3 a b c abc 9 9 9 3 = ≤ 3 = 3 mà 2 + abc 1 + 1 + abc 3 abc abc Đpcm Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 27 b) hoàn toàn tương tự Bài toán 4 ( Trần Nam Dũng) Cho a, b, c ≥ 0 Chứng minh 2(∑ a2 ) + abc + 8 ≥ 5(a + b + c) cyc L i gi i: Bất đẳng thức. .. các bdt đó thì ta có được đpcm Bài toán 13(Yugoslavia 1987)Cho a,b>0.Chứng minh 1 1 2 (a + b) + (a + b) ≥ a b + b a 2 4 Lời giải: 1 1 1 VT ≥ 2ab + ( a + b ) = ab + a + ab + b ≥ a b + b a 4 4 4 Vậy bài toán được chứng minh Bài toán 14:Cho a, b ∈ R a ≠ − b Chứng minh 2  1 + ab  a +b +  ≥2  a+b  Lời giải: 2 2 Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 31 1 + ab ⇒ ab + bc + ca =... a 2c + b 2 a + c 2 b + 6 a b c ( a 3 + b 3 + c 3 + 2( a 2 c + b 2 a + c 2 b ) ≥ 3 a 2 b + b 2 c + c 2 a ) Đây chính là bất đẳng thức ((**)) Bài toán 4 Cho a , b , c ≥ 0 chứng minh: ∑b cyc 2 a 4 ≥ 2 +c a+b+c Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 34 Lời giải: Ta có ∑ cyc a = 2 b + c2 ∑ cyc a2 ≥ ab 2 +a c 2 (a + b + c )2 4 ≥ 2 2 ∑ a c + ∑ ac a + b + c cyc 3 3 3 a + b + c +... 1 ≥ 2(ab + bc + ca) Bài toán 9 (Nguyễn Đình Thi)Với A,B,C là 3 góc của 1 tam giác.Chứng minh Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 29 A ∑ cos 2 ≥ cyc 8 27 (∑ cos2 cyc A 2B cos ) 2 2 Lời giải: Ta có 1 bdt phụ để giải bài này đó là ∑ cos cyc 2 A 9 ≤ (*) 2 4 A = Do ∑ cos 2 cyc 2 ∑ cos A + 3 cyc ≤ 2 9 mà 4 3 ∑ cos A ≤ 2 nên (*) luôn đúng cyc Trở lại với bài toán, BDT 2  2 A  ... các bđt trên vế theo vế ta có dpcm Bài toán 10 Cho a,b,c>0.chứng minh (ab + bc + ca)(1 + 1 ) ≥ 12 a + b + c abc Lời giải: Ta có ab + bc + ca ≥ 3abc(a + b + c) và 1 + 1 ≥ abc 2 abc nhân 2 bdt trên vế theo vế dpcm Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 30 Bài toán 11:Cho a,b,c>0.chứng minh 2 1 1  (a+b) +  a + b + +  ≥ 8 1 + 2 (*) a b  Lời giải: Ta có ( 2 ) 2  1  1 1 2  (a+b)... c ) 1 4( a + b + c ) 3 7 9   4 2( a + b + c )  7  = 3   =3  4 2( a + b + c )     ⇒ đpcm Vậy bài toán được chứng minh Và chắc chắn chúng ta sẽ thấy được hiệu quả của kó thuật này qua bài toán sau Bài toán 2 (Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên) Bất đẳng thức là bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học 12 Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh a b c 3 ( )k + ( )k + ( )k ≥ k Với k = 0,9