01 mở đầu về bất đẳng thức đặng việt hùng image marked

01 MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC (Full) Ví dụ [Svip] Cho số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: b) a  b   ab  a  b a) a  b  c   2(a  b  c) Lời giải 2 a) BDT  (a  1)  (b  1)  (c  1)  b) BDT  (a  b)  (a  1)  (b  1)  Ví dụ [Svip] Cho số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a  b  c  2(ab  bc  ca ) b) a  b  c   2a (ab  a  c  1) Lời giải a) BDT  (a  b  c)  b) BDT  (a  b )  (a  c)  (a  1)  Ví dụ [Svip] Cho số thực a, b, c, d , e Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2  b  c  ab  ac  2bc b) a  b  c  d  e2  a (b  c  d  e) Lời giải a  a) BDT    (b  c)   2  2 2 a  a  a  a  b) BDT    b     c     d     e   2  2  2  2  Ví dụ [Svip] Cho số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 1   a)    b) a  b  c  ab  bc  ca với a, b, c  a b c ab bc ca Lời giải 2   1   1   a) BDT           0 b  b c  c a  a b) BDT   a  b    b  c    c  a   2 Ví dụ [Svip] Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a  b3  a  b    ; với a, b    b) a  b3  c3  3abc , với a, b, c > Lời giải a) BDT  (a  b)(a  b)  b) Sử dụng đẳng thức a  b3  (a  b)3  3a 2b  3ab Khi đó, BĐT  (a  b  c)  a  b  c  (ab  bc  ca )   Ví dụ [Svip] Cho số thực a, b Chứng minh bất đẳng thức sau: b) a  b  a) a   4a a b6  ; với a, b  b2 a Lời giải 2 a) BDT  (a  1) (a  2a  3)  b) BDT  (a  b ) (a  a 2b  b )  Ví dụ [Svip] Cho số thực a, b, c, d , e Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2  a 2 b) (a  b5 )(a  b)  (a  b )(a  b ); ab  2 Lời giải 2 a) BDT  (a  1)  b) BDT  ab(a  b)(a  b3 )  Ví dụ [Svip] Cho a, b, c, d  R Chứng minh a  b  2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) a  b  c  d  4abcd b) (a  1)(b  1)(c  1)  8abc c) (a  4)(b  4)(c  4)(d  4)  256abcd Lời giải a) a  b  2a b ; c  d  2c d ; a b  c d  2abcd 4 2 2 2 2 b) a   2a; b   2b; c   2c c) a   4a; b   4b; c   4c; d   4d Ví dụ [Svip] Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức: a  b  c  ab  bc  ca (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a  b2  c2  a  b  c    3   a) (a  b  c)  3(a  b  c ) b) c) (a  b  c)  3(ab  bc  ca ) d) a  b  c  abc(a  b  c) e) abc ab  bc  ca  với a, b, c > 3 f) a  b  c  abc a  b  c  Lời giải Ta có bất đẳng thức   a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca     a  b  c   ab  bc  ca    a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a    a  b    b  c    c  a   (Đúng với 2 a,b,c) Dấu xảy a  b  c Vậy ta có đpcm a) Theo chứng minh ta có a  b  c  ab  bc  ca Nhân vế với cộng vế với a  b  c ta     a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c  a  b  c   a  b  c  (đpcm) Dấu xảy a  b  c   b) Theo câu a ta có a  b  c   a  b  c  a  b2  c2  a  b  c   abc  Chia vế bất đẳng thức cho ta      Dấu xảy a  b  c 2 (đpcm) c) Theo chứng minh ta có a  b  c  ab  bc  ca Cộng vế với  ab  bc  ca  ta a  b  c   ab  bc  ca    ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca  Dấu xảy a  b  c d) Sử dụng bất đẳng thức x  y  z  xy  yz  xz ta có: a  b  c  a 2b  b c  c a   ab    bc    bc  2 Lại có  ab    bc    bc   ab.bc  bc.ca  ca.ab  ab c  bc a  ca 2b  abc  a  b  c  2 Từ suy a  b  c  abc  a  b  c  (tính chất bắc cầu) Dấu xảy a  b  c e) Theo câu c ta có  a  b  c    ab  bc  ca  Với a, b, c  a  b  c  0, ab  bc  ca  Ta có a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c  ab  bc  ca 3 f) Theo câu d ta có a  b  c  abc  a  b  c   abc a  b  c  Nên ta có đpcm Dấu xảy a  b  c  Ví dụ 10 [Svip] Cho a, b  Chứng minh bất đẳng thức: a  b3  a 2b  b a  ab(a  b) (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 a) 3 ; với a, b, c >  3   a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 1 b) 3 với a, b, c > abc =  3  1; a  b  b  c  c  a3  1 1    1; c) với a, b, c > abc = a  b 1 b  c 1 c  a 1 d) 4(a  b3 )  4(b3  c3 )  4(c3  a )  2(a  b  c) ; với a, b, c  Lời giải a) Ta có bổ đề a  b3  a 2b  b a  ab(a  b)  a  b   a  b     a  2ab  b2   a  b    a  a 2b  2a 2b  2ab  b a  a 2b  b3   a  b3  a 2b  b a  ab  a  b  Dấu đẳng thức xảy hai số a b Áp dụng bất đẳng thức ta có 1   a  b  abc ab  a  b   abc ab  a  b  c  3 b  c  abc 3 c  a  abc  1  bc  b  c   abc bc  a  b  c   1  ca  c  a   abc ca  a  b  c  Dẫn đến 1 1 1  abc   3        3 abc a  b  abc b  c  abc c  a  abc  a  b  c   ab bc ca  a  b  c abc Dấu xảy ba số a, b, c b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có 1 1 1  3   3  3    3 3 a  b  b  c  c  a  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc Dấu đẳng thức xảy ba số c) Đặt a  x3 ; b  y ; c  z ; abc   xyz  Bài toán trở thành chứng minh 1 1 1   1  3  3  a  b 1 b  c 1 c  a 1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 Thay câu b biến x, y, z ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ba số d) Dễ thấy a  b3  ab  a  b   3a  3b3  3ab  a  b   4a  4b3  a  b3  3ab  a  b    a  b   4(a  b3 )  a  b Tương tự ta có Dẫn đến 3 4(b3  c3 )  b  c; 4(c3  a )  c  a 4(a  b3 )  4(b3  c3 )  4(c3  a )  2(a  b  c) Dấu xảy ba số a, b, c BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu [Svip]: Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? a  b A   a  c  b  d c  d a  b B   a  c  b  d c  d a  b a  b  C  D   a  d  b  c  a  c  b  d c  d c  d  Câu [Svip]: Trong khẳng định sau, khẳng định sau sai? a  b a  b bc A  B  a  a  c  b  a a  c a  c C a  b  a  c  b  c D a  b  c  a  c  b Câu [Svip]: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a  b A   ac  bd c  d a  b B   ac  bd c  d 0  a  b a  b C  D   ac  bd  ac  bd 0  c  d c  d Câu [Svip]: Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? A a  b  ac  bc B a  b  ac  bc a  b D   ac  bc c  Câu [Svip]: Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? C c  a  b  ac  bc 0  a  b a b A    c d 0  c  d a  b  a b B    c d c  d  a  b a  b  a b a d C  D      c d c  d c  d  b c Câu [Svip]: Nếu a  2c  b  2c bất đẳng thức sau đúng? B a  b A 3a  3b C 2a  2b Câu [Svip]: Nếu a  b  a b  a  b bất đẳng thức sau đúng? A ab  B b  a C a  b  Câu [Svip]: Nếu  a  bất đẳng thức sau đúng? 1 A  a B a  C a  a a a D 1  a b D a  b  D a  a Câu [Svip]: Bất đẳng thức  m  n   3mn tương đương với bất đẳng thức sau A n  m  1  m  n  1  B m  n  2mn C  m  n   m  n  D  m  n   2mn 2 2 Câu 10 [Svip]: Với a, b  0, ta có bất đẳng thức sau đúng? A a  b  B a  ab  b  C a  ab  b  D a  b  Câu 11 [Svip]: Cho hai số x, y dương thỏa x  y  12, bất đẳng thức sau không đúng?  x y A xy  B xy   C xy  x  y D xy    36   Câu 12 [Svip]: Cho ab  ab  a  b Mệnh đề sau đúng? A a  b  B a  b  C a  b  D a  b  Câu 13 [Svip]: Với a, b, c, d  Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? a a ac 1  b b bc a c a ac c  C    b d b bc d A B a a ac 1  b b bc D Có hai ba mệnh đề sai Câu 14 [Svip]: Bất đẳng thức (m  n)  4mn tương đương với bất đẳng thức sau ? A (m–n)2 + m + n  B (m + n)2 + m + n  C n(m–1)2 + m(n–1)2  D (m  n)  Câu 15 [Svip]: Mệnh đề sau mệnh đề ? A Nếu a  a  a B Nếu a  a a > C Nếu a  a a < D Nếu a  a > Câu 16 [Svip]: Cho a > b > Hãy chọn kết kết sau: a a 1 a b a a 1 a a 1 A  B  C  D  b b 1 b a b b 1 b b 1 1 a 1 b ,y Mệnh đề sau đúng? Câu 17 [Svip]: Cho a  b  x  1 a  a  b  b2 A Không so sánh B x  y C x  y D x  y 01 MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC (Full) Câu [Svip]: Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? a  b a  b A  B   a  c  b  d  a  c  b  d c  d c  d a  b a  b  C  D   a  d  b  c  a  c  b  d c  d c  d  a  b a  b HD: Ta có:    a  d  b  c Chọn C c  d   d  c - Câu [Svip]: Trong khẳng định sau, khẳng định sau sai? a  b a  b bc A  B  a  a  c  b  a a  c a  c C a  b  a  c  b  c D a  b  c  a  c  b a  b bc HD: Ta có:   2a  b  c  a   (1) a  c a  b  2a  b  c  a  c  b  a     a  c a  b  a  c  b  c   3 a  b  a  c  b  c  c  a  c  b    sai Chọn D - Câu [Svip]: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a  b a  b A  B   ac  bd  ac  bd c  d c  d 0  a  b a  b C  D   ac  bd  ac  bd 0  c  d c  d 0  a  b HD: Ta có   ac  bd Chọn C 0  c  d - Câu [Svip]: Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? A a  b  ac  bc B a  b  ac  bc a  b C c  a  b  ac  bc D   ac  bc c  a  b HD: Với   ac  bc    Chọn D c  - Câu [Svip]: Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? 0  a  b a  b  a b a b A  B      c d c d 0  c  d c  d  a  b a  b  a b a d C  D      c d c  d c  d  b c a  b  a d HD: Ta có:   ac  bd   Chọn D b c c  d  - Câu [Svip]: Nếu a  2c  b  2c bất đẳng thức sau đúng? A 3a  3b B a  b C 2a  2b HD: Ta có: a  2c  b  2c  a  b  2a  2b Chọn C D 1  a b - Câu [Svip]: Nếu a  b  a b  a  b bất đẳng thức sau đúng? A ab  B b  a C a  b  HD: Ta có: a  b  a  b  b  a  b   a a  Do   ab  Chọn A b  D a  b  - Câu [Svip]: Nếu  a  bất đẳng thức sau đúng? 1 A  a B a  C a  a a a HD: Ta có:  a   a a  (với  a  nên A đúng) a Với a  a   a   a  nên B sai a Tương tự dễ thấy đáp án C D sai Chọn A D a  a - Câu [Svip]: Bất đẳng thức  m  n   3mn tương đương với bất đẳng thức sau A n  m  1  m  n  1  B m  n  2mn C  m  n   m  n  D  m  n   2mn 2 2 n  3n 2  HD :  m  n   3mn  m  n  2mn  3mn  m  n  mn    m    0 2  Đúng với m, n   Do cần tìm bất đẳng thức ln với m, n   A: không với m  2, n  B: m  n  2mn   m  n   với m, n   2 D: không với m  n  Chọn B C: không với m  0, n   - Câu 10 [Svip]: Với a, b  0, ta có bất đẳng thức sau đúng? B a  ab  b  A a  b  C a  ab  b  D a  b  b  3b  HD : a  ab  b   a     Chọn C 2  - Câu 11 [Svip]: Cho hai số x, y dương thỏa x  y  12, bất đẳng thức sau không đúng? A  x y B xy     36   xy  C xy  x  y xy  D  x  y   36 , xy  x  y   x  y Chọn D x y xy   , xy    HD : - Câu 12 [Svip]: Cho ab  ab  a  b Mệnh đề sau đúng? A a  b  B a  b  C a  b  HD : a  b  ab  a  b D a  b    a  b    a  b    a  b Chọn B - Câu 13 [Svip]: Với a, b, c, d  Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? a a ac a a ac A    B    b b bc b b bc a c a ac c  C    D Có hai ba mệnh đề sai b d b bc d a c a c HD : Dễ thấy C sai rõ ràng ban đầu  vế sau lại  Chọn C b d b d - Câu 14 [Svip]: Bất đẳng thức (m  n)  4mn tương đương với bất đẳng thức sau ? A (m–n)2 + m + n  B (m + n)2 + m + n  C n(m–1)2 + m(n–1)2  D (m  n)  HD: Ta có  m  n   4mn  m  2mn  n  4mn  m  2mn  n    m  n   Chọn D 2 - Câu 15 [Svip]: Mệnh đề sau mệnh đề ? A Nếu a  a  a B Nếu a  a a > C Nếu a  a a < D Nếu a  a > a  HD: Ta có a  a  a  a  1    a  0; a  Chọn A a  - Câu 16 [Svip]: Cho a > b > Hãy chọn kết kết sau: a a 1 a b a a 1 a a 1 A  B  C  D  b b 1 b a b b 1 b b 1 a a 1 HD: Ta có a  b   a  ab  b  ab  a 1  b   b 1  a    Chọn C b b 1 - 1 a 1 b ,y Mệnh đề sau đúng? 1 a  a  b  b2 A Không so sánh B x  y C x  y D x  y 2  b  a  b  a  ab   Chọn B 1 a 1 b b  ab  a  ba    HD : x  y  2 2 1 a  a 1 b  b 1  a  a 1  b  b  1  a  a 1  b  b2  Câu 17 [Svip]: Cho a  b  x  ... 2c  b  2c bất đẳng thức sau đúng? B a  b A 3a  3b C 2a  2b Câu [Svip]: Nếu a  b  a b  a  b bất đẳng thức sau đúng? A ab  B b  a C a  b  Câu [Svip]: Nếu  a  bất đẳng thức sau đúng?... [Svip]: Bất đẳng thức  m  n   3mn tương đương với bất đẳng thức sau A n  m  1  m  n  1  B m  n  2mn C  m  n   m  n  D  m  n   2mn 2 2 Câu 10 [Svip]: Với a, b  0, ta có bất đẳng. .. - Câu [Svip]: Bất đẳng thức  m  n   3mn tương đương với bất đẳng thức sau A n  m  1  m  n  1  B m  n  2mn C  m  n