Bài giảng Toán cao cấp - Trần Thị Xuyến

Bài giảng Toán cao cấp gồm có 6 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm số và giới hạn; Đạo hàm; Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến; Tích phân; Phương trình vi phân; Phương trình sai phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG BỘ MƠN TỐN ———————o0o——————– BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: Trần Thị Xuyến HÀ NỘI - 2013 GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Số tín chỉ: Phân bố thời gian: Lý thuyết 60 % Bài tập 40 % Chương 1: Hàm số giới hạn Chương 2: Đạo hàm Chương 3: Hàm số nhiều biến số cực trị hàm nhiều biến Chương 4: Tích phân Chương 5: Phương trình vi phân Chương 6: Phương trình sai phân TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN Điểm chuyên cần: 10 % Điểm kiểm tra kì: chiếm 30 % Thi hết học phần: 60% Thang điểm 10 Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐN CAO CẤP DỰ KIẾN Câu (2 điểm) • Xây dựng mơ hình tốn kinh tế hàm số biến biến • Ứng dụng đạo hàm biến kinh tế: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biến kinh tế; tính giá trị cận biên; tính hệ số co dãn • Ứng dụng đạo hàm nhiều biến kinh tế: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biến kinh tế; tính giá trị cận biên; tính hệ số co dãn • Các toán liên quan đến lãi đơn, lãi gộp, lãi gộp liên tục Câu (2 điểm) Có tính giới hạn mức độ trung bình tính giới hạn dạng vô định hàm số Câu (2 điểm): Có hàm biến thuộc loại • Tìm cực trị tự hàm biến • Tìm cực trị hàm biến với điều kiện dạng φ(x, y) = • Tìm giá trị lớn nhỏ hàm biến miền đóng bị chặn Câu (2 điểm): Có thuộc loại sau • Ứng dụng tích phân kinh tế • Tính tích phân xác định • Tính tích phân suy rộng Câu (2 điểm) Có bao gồm: • Phương trình vi phân cấp • Phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1.1 HÀM SỐ 1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ A Biến số Định nghĩa 1.1.1 Biến số đại lượng mà giá trị thay đổi tập số X = ∅ Ta thường kí hiệu biến số chữ cái: x, y, z X gọi miền biến thiên Các biến số kinh tế hay gặp p: giá QS : Lượng cung QD : Lượng cầu π : Lợi nhuận T C : Tổng chi phí V C : Chi phí biến đổi F C : Chi phí cố định AT C : Tổng chi phí bình qn AV C : Chi phí biến đổi bình qn T R: Tổng doanh thu K : Vốn L: Lao động C : Lượng tiêu dùng S : Lượng tiết kiệm Y : Thu nhập B.Hàm số Định nghĩa 1.1.2 Một hàm số f xác định X ⊂ R quy tắc cho tương ứng số thực x ∈ X với số thực y Kí hiệu: y = f (x) x gọi biến độc lập X gọi miền xác định y gọi biến phụ thuộc f (X) = {y ∈ R|y = f (x), x ∈ X} miền giá trị hàm số Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y = f (x), x ∈ X} C Các cách cho hàm số Hàm số cho bảng Hàm số cho biểu thức giải tích    x3 − 1, x > √ Ví dụ 1.1.1 y = − x hay y =   + x, x ≤ 3 Hàm số cho đồ thị hàm số D Hàm ẩn Định nghĩa 1.1.3 Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ x y : F (x, y) = y gọi hàm ẩn x Ví dụ 1.1.2 x2 + y − = hay x3 − y + = E Hàm ngược Định nghĩa 1.1.4 Cho hàm số y = f (x) với miền xác định X, miền giá trị Y Nếu ∀y0 ∈ Y , phương trình f (x) = y0 có nghiệm thuộc X ta xác định hàm số cho tương ứng y0 ∈ Y x0 ∈ X cho f (x0 ) = y0 Hàm số gọi hàm ngược hàm số y = f (x), kí hiệu là: f −1 Cách tìm hàm ngược • Viết f (x) = y tìm x theo y • Đổi chỗ kí hiệu x, y cho để biểu diễn f −1 hàm x Ví dụ 1.1.3 Tìm hàm ngược hàm sau y = (x − 1)2 , ∀x ≥ Các hàm ngược hàm số Hàm số y = sin x xác định X = − π2 , π2 có MGT [−1, 1] có hàm ngược y = arcsin x xác định [−1, 1] có MGT − π2 , π2 Hàm số y = cos x xác định X = [0; π] có MGT [−1, 1] có hàm ngược y = arccos x xác định [−1, 1] có MGT [0; π] Hàm số y = tan x xác định X = − π2 , π2 có MGT R có hàm ngược y = arctan x xác định R có MGT − π2 , π2 Hàm số y = cot x xác định X = (0; π) có MGT R có hàm ngược y = arccot x xác định R có MGT (0; π) Hàm số y = ax xác định R có MGT (0; +∞) có hàm ngược y = loga x xác định (0; +∞) có MGT R F Một số đặc trưng hàm số Hàm số đơn điệu • Hàm số y = f (x) gọi đơn điệu tăng miền X x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X • Hàm số y = f (x) gọi đơn điệu giảm miền X x1 > x2 f (x1 ) < f (x2 ); ∀x1 , x2 ∈ X Hàm số bị chặn • Hàm số f (x) xác định X gọi bị chặn X ∃M cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ X • Hàm số f (x) xác định X gọi bị chặn X ∃m cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ X • Hàm số f (x) bị chặn bị chặn gọi bị chặn f (x) bị chặn X ⇔ ∃a : |f (x)| ≤ a, ∀x ∈ X Hàm số chẵn, hàm số lẻ • Hàm số f (x) xác định X gọi hàm số chẵn ∀x ∈ X , ta có −x ∈ X f (−x) = f (x) • Hàm số f (x) xác định X gọi hàm số lẻ ∀x ∈ X , ta có −x ∈ X f (−x) = −f (x) Hàm số tuần hoàn Hàm số f (x) xác định X gọi hàm tuần hồn với chu kì T ∀x ∈ X , ta có x + T ∈ X f (x + T ) = f (x) Khi nói chu kì hàm tuần hồn ta thường lấy chu kì dương nhỏ G Các hàm số sơ cấp phép toán sơ cấp Các hàm số sơ cấp f (x) = C, C số Hàm lũy thừa f (x) = xα , α số • α ∈ N TXĐ D = R • α số ngun âm TXĐ D = R\{0} • α khơng số ngun TXĐ D = (0; +∞) √ m Chú ý: x n = n xm x > Hàm số mũ f (x) = ax TXĐ: D = R (a > 0, a = 1) Hàm số logarit f (x) = loga x (a > 0, a = 1) Khi a = 10, ta có hàm f (x) = lgx TXĐ: D = (0; +∞) Các hàm lượng giác: y = sin x; y = cos x, y = tan x, y = cot x Các hàm lượng giác ngược: y = arcsin x; y = arccos x, y = arctan x, y = arccotx Các phép toán sơ cấp Phép toán cộng, trừ, nhân, chia hàm số Phép hợp hàm Giả sử x thay đổi X , giá trị hàm số u = ϕ(x) thuộc miền xác định hàm số y = f (u) Khi đó, ta có quy tắc: x → u = ϕ(x) → y = f [ϕ(x)] Hàm y = f [ϕ(x)] gọi hàm hợp hàm y = f (u), u = ϕ(x) Các hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp hàm tạo thành từ hàm sơ cấp phép toán số học phép lấy hàm hợp −1 Ví dụ 1.1.4 Các hàm sơ cấp: lg(x2 + sin x), xx+1 , cos3 5x Một số mơ hình hàm số phân tích kinh tế Hàm cung Qs = S(p) Hàm cầu Qd = D(p) Hàm sản xuất Q = f (L) Hàm doanh thu T R = T R(Q) Hàm tổng chi phí T C = T C(Q) = V C(Q) + F C Hàm tổng chi phí bình quân AT C = T C(Q) Q Hàm chi phí biến đổi bình qn AV C = V C(Q) Q Hàm lợi nhuận π = T R − T C Hàm tiêu dùng C = C(Y ) 10 Hàm tiết kiệm S = S(Y ) 1.1.2 DÃY SỐ Định nghĩa 1.1.5 Hàm số f : N∗ → R n → f (n) gọi dãy số Kí hiệu: (xn ) xn gọi số hạng thứ n hay số hạng tổng quát Ví dụ: xn = 100(1 + 0.14)n có số hạng 114; 129.96; Bài toán lãi đơn Cho vay khoản vốn v0 với lãi suất kì r vịng n kì cuối kì lấy lãi để lại vốn Sau n kì tổng giá trị lãi vốn bao nhiêu? Cấp số cộng = v0 (1 + nr) cấp số cộng với công sai d = v0 r Bài toán lãi gộp Cho vay khoản vốn v0 với lãi suất kì r vịng n kì cuối kì lãi nhập vào vốn để tính lãi cho kì sau Sau n kì tổng giá trị lãi vốn bao nhiêu? Cấp số nhân = v0 (1 + r)n cấp số nhân với công bội q = + r n Tổng cấp số nhân: Sn = v1 + + = v1 1−q 1−q v1 Tổng cấp số nhân giảm dần: Sn = 1−q , (q < 1) Cấp số nhân ứng dụng phân tích tài Giá trị giá trị tương lai tiền tệ B = A + tiền lãi B đồng giá trị tương lai A đồng ngày hôm A đồng giá trị B đồng mà bạn có tương lai Với mức lãi gộp r , giá trị tương lai A đồng sau n kì là: B = A(1 + r)n Với mức lãi gộp r , giá trị B đồng mà bạn nhận sau n kì là: A = B(1 + r)−n Ví dụ 1.1.5 Cho biết lãi gộp 0,9 % tháng Muốn nhận 1,2 tỷ đồng sau năm phải gửi ngân hàng tiền? Trả lời: n = 3.12 = 36 Số tiền phải gửi là: A = 1, 2.(1 + 0.009)−36 ≈ 0, 8692 tỷ đồng ≈ 869, triệu đồng Giá trị ròng dự án (NPV) hiệu giá trị khoản tiền thu tương lai chi phí triển khai dự án Điều kiện để thực dự án là: N P V > Loại 1: Lợi tức thu lần N P V = B(1 + r)−n − Chi phí Loại 2: Lợi tức thu hữu hạn lần NP V = [ B1 B2 Bn + + + ] − Chi phí (1 + r) (1 + r) (1 + r)n Ví dụ 1.1.6 Một dự án đầu tư địi hỏi chi phí tỷ đồng mang tỷ đồng năm Với lãi suất gửi ngân hàng lãi gộp 10 % năm Ta có nên thực dự án hay khơng? Trả lời: N P V = 2.(1 + 0.1)−5 − = 0.2418 > Vậy ta nên thực dự án Ví dụ 1.1.7 Cho lãi suất ngân hàng % năm Một công ty đề nghị bạn góp vốn 600 triệu vào đầu năm cam kết trả hàng năm (vào cuối năm) 100 triệu liên tục năm Bạn có góp vốn khơng? Trả lời: NP V = [ Ta có dãy số 100 100 100 + + + ] − 600 + 0.09 (1 + 0.09)2 (1 + 0.09)7 100 100 100 1+0.09 , (1+0.09)2 , , (1+0.09)7 cấp số nhân có v1 = 100 − − qn = S7 = v1 1−q 1.09 − 1.097 1.097 100 1+0.09 , q = 1+0.09 nên = 503.295 N P V = 503.295 − 600 = −96, 705 < Vậy khơng nên góp vốn 1.2 1.2.1 GIỚI HẠN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa giới hạn dãy số Định nghĩa 1.2.1 Ta nói dãy số xn có giới hạn a (hay xn hội tụ đến a) ∀ > 0, ∃n0 : ∀n > n0 , |xn − a| < (Nói cách khác: ta làm cho số hạng dãy gần a cách chọn số n đủ lớn ) Kí hiệu: lim xn = a n→+∞ = lim u→−∞ Ta có: u dx + lim x + v→+∞ v dx +1 x2 dx = arctan − arctan u = − arctan u +1 x2 u lim u→−∞ v dx π = lim (− arctan u) = + u→−∞ x2 u dx = arctan v − arctan = arctan v x2 + v lim v→+∞ dx π = lim (arctan v) = + v→+∞ π π ⇒I= + =π 2 x2 Vậy tích phân hội tụ 4.3.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG CỦA HÀM KHƠNG BỊ CHẶN Định nghĩa 4.3.2 Cho hàm số f (x) xác định [a; b) khả tích đoạn [a; t], t ∈ [a; b) không bị chặn lận cận điểm b (b gọi điểm kì dị) Khi đó, tồn tích phân t G(t) = f (x)dx a Kí hiệu hình thức t lim G(t) = lim t→b− Gọi b f (x)dx a t→b− b f (x)dx := a f (x)dx a tích phân suy rộng loại f (x) [a; b) Nhận xét: Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ Nếu giới hạn vô hạn không tồn ta nói tích phân suy rộng phân kì Tương tự: 60 • Nếu a điểm kì dị b b f (x)dx := lim f (x)dx t→a+ a t • Nếu a, b điểm kì dị b v f (x)dx := a • Nếu c b f (x)dx, c f (x)dx a b lim f (x)dx u→a+ ,v→b− u hội tụ c f (x)dx := b f (x)dx + a a f (x)dx hội tụ c Trường hợp đặc biệt Nếu f (x) khả tích [a; t], [t ; b] xác định [a; c), (c; b], c b điểm kì dị a f (x)dx tích phân suy rộng loại b c f (x)dx := b f (x)dx + a f (x)dx a c Tính hội tụ hay phân kì tích phân suy rộng vế trái phụ thuộc vào tính hội tụ hay phân kì tích phân suy rộng vế phải Ví dụ 4.3.2 Xét hội tụ tích phân sau I= dx x3 Lời giải: I= Ta có t lim t→0+ t dx = lim x3 t→0+ t dx x3 dx 1 =− + x 2t dx 1 = lim (− + ) = +∞ x 2t t→0+ Vậy tích phân phân kỳ 4.4 4.4.1 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Xác định quỹ vốn dựa theo lượng đầu tư Ta xem lượng đầu tư I quỹ vốn K biến số phụ thuộc vào thời gian t 61 I = I(t), K = K(t) Ta có: I(t) tốc độ tăng K(t) nên K (t) = I(t) Nếu biết hàm đầu tư I(t) xác định quỹ vốn K(t): K(t) = I(t)dt Hằng số C xác định dựa vào quỹ vốn ban đầu K0 = K(0) √ Ví dụ: Cho hàm đầu tư I = 40 t3 quỹ vốn thời điểm t = 90 Xác định hàm quỹ vốn K(t) Lời giải: Qũy vốn thời điểm t K(t) = √ 40 t3 dt = 40 √ t dt = 25 t8 + C √ Vì K(0) = 90 nên 25 08 + C = 90 ⇒ C = 90 √ Vậy K(t) = 25 t8 + 90 Xác định hàm tổng biết hàm giá trị cận biên • Nếu biết hàm M C(Q) T C = F C = T C(0) để tìm C • Nếu biết hàm M R(Q) T R = M C(Q)dQ Dựa vào chi phí cố định M R(Q)dQ Dựa vào điều kiện T R(0) = để tìm C • Nếu biết hàm M P C(Y ) hàm tiêu dùng C(Y ) = M P C(Y )dY Dựa vào điều kiện cho thêm để xác định C • Nếu biết hàm M P S(Y ) hàm tiết kiệm S(Y ) = M P S(Y )dY Dựa vào điều kiện cho thêm để xác định C Ví dụ: Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên M P C = 2e0.2Y −2 mức thu nhập Y = 10 lượng tiêu dùng nửa thu nhập Tìm hàm tiêu dùng Lời giải: Ta có C(Y ) = 2e0.2Y −2 dY = 10 e0.2Y −2 d(0.2Y − 2) = 10e0.2Y −2 + C Vì Y = 10 tiêu dùng nửa thu nhập nên C(10) = ⇒ 10e0,2.10−2 + C = ⇒ C = −5 Vậy C(Y ) = 10e0.2Y −2 − 62 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 5.1 5.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Các khái niệm chung Định nghĩa 5.1.1 Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến độc lập, hàm phải tìm đạo hàm vi phân Định nghĩa 5.1.2 Phương trình vi phân thường phương trình vi phân với hàm số phải tìm hàm biến số Ví dụ 5.1.1 y = y + x2 y − 2y = 2x3 sin x x(y − 3)dx + y(x − 3)dy = Định nghĩa 5.1.3 Phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình vi phân với hàm số phải tìm hàm nhiều biến số Ví dụ 5.1.2 x ∂u ∂u +y =u ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y Định nghĩa 5.1.4 Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có phương trình Ví dụ 5.1.3 • y − 2y = 2x3 sin x PTVP cấp 63 • x(y − 3)dx + y(x − 3)dy = PTVP cấp Định nghĩa 5.1.5 Nghiệm PTVP thường hàm số thỏa mãn phương trình 5.1.2 Phương trình vi phân thường cấp Các dạng biểu diễn Phương trình vi phân thường cấp có dạng tổng quát sau F (x, y, y ) = (1.1) Các dạng thường gặp dy = f (x, y) dx M (x, y)dx + N (x, y)dy = Nghiệm phương trình vi phân thường cấp • Hàm số y = Φ(x, C), C số tùy ý thỏa mãn phương trình (1.1) gọi nghiệm tổng qt • Nghiệm tổng qt tìm dạng hàm ẩn Φ(x, y, C) = gọi tích phân tổng qt PTVP • Nghiệm riêng nghiệm thu cho nghiệm tổng quát giá trị C cụ thể • Tích phân riêng PTVP thu cho tích phân tổng quát giá trị C cụ thể Bài tốn Cauchy Tìm nghiệm phương trình vi phân F (x, y, y ) = thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0 ) = y0 64 5.2 5.2.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Phương trình tuyến tính Phương trình vi phân tuyến tính cấp có dạng dy + p(x)y = q(x) dx (2.1) Phương trình tuyến tính tương ứng dy + p(x)y = dx (2.2) Nghiệm tổng quát PT (2.2) y = Ce− p(x)dx Ví dụ 5.2.1 Giải phương trình dy 2y − =0 dx x Lời giải: Nghiệm tổng quát pt y = Ce 2dx x = Ce2 ln |x| = Cx2 Định lí 5.2.1 Nếu y0 (x) nghiệm pt (2.1), y(x) nghiệm phương trình liên kết (2.2) y0 (x) + y(x) nghiệm pt (2.1) Ví dụ 5.2.2 Giải phương trình: dy + y = 2ex dx Phương pháp biến thiên số B1: Giải PTVP (2.2) tìm nghiệm tổng qt có dạng y = Ce− số p(x)dx B2: Tìm nghiệm PTVP (2.1) có dạng (*) với C = C(x) Thay y = C(x)e− p(x)dx vào (2.1), đồng hệ số ta tìm C(x) 65 (∗), C B3: Thay C(x) tìm vào (*) ta nghiệm tổng quát PTVP (2.1) Ví dụ 5.2.3 Giải phương trình sau y = x(y − x cos x) 5.2.2 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Phương trình dạng M1 (x)M2 (y)dx + N1 (x)N2 (y)dy = (3.1) dy dx = f (x)g(y) Cách giải: • Chia hai vế pt (3.1) cho M2 (y)N1 (x) để đưa dạng: p(x)dx + q(y)dy = (3.2) • Lấy tích phân hai vế pt (3.2) ta tích phân tổng quát: p(x)dx + q(y)dy = C Lưu ý: q trình thực hiện, ta làm nghiệm làm cho M2 (y)N1 (x) = Ví dụ 5.2.4 Giải phương trình: ydx = ln ydy với điều kiện y(2) = Phương trình đưa dạng phân li biến số Phương trình dy = f (x, y) gọi phương trình Phương trình dx f (tx, ty) = f (x, y)∀t Cách giải: Đổi biến y = xz để đưa dạng phân li biến số với z hàm phải tìm Ví dụ 5.2.5 Giải phương trình (x − 2y)dy = (x − y)dx 66 dy Phương trình dạng dx = f (ax + by) Cách giải: Đổi biến z = ax + by để đưa dạng phân li biến số với z hàm phải tìm Ví dụ 5.2.6 Giải phương trình: dy = 2x + y dx Phương trình dạng dy dx =f a1 x+b1 y+c1 a2 x+b2 y+c2 • Nếu a1 b2 = a2 b1 biến đổi dạng dy dx (3.3) = g(a2 x + b2 y) • Nếu a1 b2 = a2 b1 đặt x = x0 + u, y = y0 + v a1 x + b y + c = với (x0 , y0 ) nghiệm hệ a2 x + b y + c = Khi phương trình (3.3) trở thành dv =f du a1 u + b v a2 u + b v Đây phương trình với v = v(u) hàm phải tìm nên ta đặt v = uz để chuyển dạng phân li biến số Ví dụ 5.2.7 Giải phương trình: dy 2x − y = dx 2y − x + 5.2.3 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Phương trình Bernoulli Dạng dy + p(x)y = y α q(x), (α = 0; 1) dx (3.4) Cách giải: • Chia hai vế pt cho y α được: y −α • Đặt z = y 1−α ta có: dz dx dy + p(x)y 1−α = q(x) dx dy = (1 − α)y −α dx 67 (3.5) • Thay vào pt (3.5) ta được: dz dx + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x) Đây phương trình tuyến tính với hàm phải tìm z Ví dụ 5.2.8 Giải phương trình sau y − y = xy 68 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 6.1 KHÁI NIỆM 6.1.1 SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG SỐ PHỨC Định nghĩa số phức • Đơn vị ảo, kí hiệu i, số thỏa mãn i2 = −1 • Số phức có dạng z = a + bi, a, b ∈ R a gọi phần thực, kí hiệu Rez ; b gọi phần ảo, kí hiệu Imz • Hai số phức phần thực nhau, phần ảo a + bi = c + di ⇔ a = c, b = d a + bi = ⇔ a = b = • Số phức liên hợp z = a + bi z = a − bi Các dạng biểu diễn số phức Dạng đại số z = a + bi Dạng hình học: Biểu diễn số phức z = a + bi điểm có tọa độ (a; b) mặt phẳng tọa độ Oxy Dạng lượng giác số phức z = a + bi, z = z = r(cos ϕ + i sin ϕ) √ r = a2 + b , cos ϕ = sin ϕ = √ a a2 +b2 √ b a2 +b2 Dạng hàm mũ số phức Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) z = reiϕ Phương trình bậc hai x2 + px + q = Nghiệm pt bậc hai 69 Nếu ∆ = p2 − 4q > pt có hai nghiệm thực phân biệt x = − p2 ± √ ∆ 2 Nếu ∆ = p2 − 4q = pt có nghiệm kép x = − p2 Nếu ∆ = p2 − 4q < pt có hai nghiệm phức liên hợp x = − p2 ± i 6.1.2 √ −∆ KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Định nghĩa 6.1.1 Hàm số với đối số nguyên Hàm số u = f (n), n ∈ N(n ∈ N∗, n ∈ Z) gọi hàm số với đối số nguyên Kí hiệu: un Định nghĩa 6.1.2 Sai phân Sai phân (sai phân cấp 1) hàm số u = un độ chênh lệch giá trị hàm số hai thời điểm Sai phân hàm số u = un thời điểm n kí hiệu ∆un ∆un = un+1 − un Ví dụ 6.1.1 Hàm số un = n3 có sai phân cấp thời điểm n ∆un = un+1 − un = (n + 1)3 − n3 = 3n2 + 3n + Định nghĩa 6.1.3 Sai phân cấp m Sai phân cấp m hàm số u = un sai phân sai phân cấp m − hàm số Sai phân cấp m hàm số u = un thời điểm n kí hiệu ∆m un ∆m un = ∆(∆m−1 un ) = ∆m−1 un+1 − ∆m−1 un 70 Ta có: ∆2 un = ∆un+1 − ∆un = un+2 − 2un+1 + un Tương tự, ta biểu diễn ∆m un qua un , un+1 , un+2 , , un+m Định nghĩa 6.1.4 Phương trình sai phân Phương trình sai phân phương trình với hàm phải tìm hàm đối số nguyên u = un , hàm phải tìm xuất dạng sai phân cấp Định nghĩa 6.1.5 Cấp phương trình sai phân Cấp phương trình sai phân cấp cao sai phân có phương trình Định nghĩa 6.1.6 Nghiệm phương trình sai phân Nghiệm tổng quát phương trình sai phân hàm đối số nguyên un = ϕ(n, C1 , C2 , , Cn ) thỏa mãn phương trình (C1 , C2 , , Cn số bất kì) Nghiệm riêng phương trình sai phân nghiệm thu cho nghiệm tổng quát giá trị cụ thể C1 , C2 , , Cn 6.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 6.2.1 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP Dạng phương trình: un+2 + pun+1 + qun = (2.2) Cách giải Phương trình đặc trưng tương ứng là: k + pk + q = 71 (2.3) TH1 Nếu (2.3) có nghiệm thực phân biệt k1 , k2 nghiệm tổng quát (2.2) là: un = C1 k1n + C2 k2n TH2 Nếu (2.3) có nghiệm kép k = nghiệm tổng quát (2.2) là: un = C1 k n + C2 nk n TH3 Nếu (2.3) có nghiệm phức liên hợp k = α ± iβ, k không thuộc R n nghiệm tổng quát  (2.2) là: un = r (C1 cos ϕn + C2 sin ϕn)  cos ϕ = √ α2 r= α2 + β ,  sin ϕ = α +β √ β2 α +β Ví dụ 6.2.1 Giải phương trình sau un+2 − 4un = 0, u(0) = 1, u1 = un+2 + un+1 + un = un+2 − 4un+1 + 4un = 6.2.2 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP m Dạng phương trình: un+m + a1 un+m−1 + + am un = (2.4) Cách giải PT đặc trưng tương ứng: k m + a1 k m−1 + + am = (2.5) TH1 Nếu (2.5) có chứa j nghiệm thực phân biệt k1 , , kj nghiệm tổng quát (2.4) có chứa: C1 k1n + + Cj kjn TH2 Nếu (2.5) có chứa nghiệm ki bội s nghiệm tổng qt (2.4) có chứa C1 kin + C2 nkin + C3 n2 kin + Cs ns−1 kin TH3 Nếu (2.5) có chứa nghiệm phức liên hợp k = α ± iβ, k không thuộc R bội s nghiệm tổng quát (2.4) có chứa: rn (C1 cos ϕn + C2 sin ϕn) + nrn (C3 cos ϕn + s−1 n C4 sin ϕn) + + n r (C2s−1 cos ϕn + C2s sin ϕn)  cos ϕ = √ α2 α +β r = α2 + β ,  sin ϕ = √ β2 α +β Ví dụ 6.2.2 Giải phương trình sau 72 un+3 − un+2 + 4un+1 − 4un = un+3 + un = 6.3 6.3.1 PTSP TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT CẤP m LIÊN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT Dạng PT: un+m + a1 un+m−1 + + am un = f (n) (2.6) PT tương ứng: un+m + a1 un+m−1 + + am un = (2.7) Định lí 6.3.1 Nếu un nghiệm tổng quát (2.7), u∗n nghiệm riêng (2.6) nghiệm tổng quát (2.6) un = un + u∗n 6.3.2 CÁCH GIẢI PTSP TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT CẤP m Cách giải phương trình (2.6) với f (n) = Pm (n)β n , β ∈ R Giải pt (2.7) để tìm un Tìm nghiệm riêng u∗n (2.6) • Tìm dạng nghiệm riêng u∗n + Nếu PT đặc trưng có tất nghiệm k = β u∗n = β n Qm (n) + Nếu PT đặc trưng có nghiệm k = β (bội s) u∗n = ns β n Qm (n) • Thay dạng u∗n vào pt (2.6), đồng hệ số ta tìm u∗n Nghiệm tổng quát (2.6) un = un + u∗n Ví dụ 6.3.1 Giải phương trình sau un+3 − un+2 + 4un+1 − 4un = 4n un+3 + un = 2.(−1)n 73 Dạng PT: un+m + a1 un+m−1 + + am un = f (n) + g(n) Cách giải: Giải PT tương ứng để tìm nghiệm un Tìm nghiệm riêng u∗n phương trình un+m + a1 un+m−1 + + am un = f (n) Tìm nghiệm riêng u∗∗ n phương trình un+m + a1 un+m−1 + + am un = g(n) Nghiệm PT ban đầu un = un + u∗1n + u∗2n Ví dụ 6.3.2 Giải phương trình sau un+2 − 4un+1 + 4un = 2n + n2 74 ... riêng định lý Cauchy 26 2.4 2.4.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa 2.4.1 Đạo hàm cấp n hàm số y = f (x) đạo hàm đạo hàm cấp n − hàm số f (n) (x) = [f (n−1) (x)] Ví dụ 2.4.1... hợp hàm y = f (u), u = ϕ(x) Các hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp hàm tạo thành từ hàm sơ cấp phép toán số học phép lấy hàm hợp −1 Ví dụ 1.1.4 Các hàm sơ cấp: lg(x2 + sin x), xx+1 , cos3 5x Một số... chiếm 30 % Thi hết học phần: 60% Thang điểm 10 Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương CẤU TRÚC ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP DỰ KIẾN Câu (2 điểm) • Xây dựng mơ hình