Một số phương pháp giải toán cực trị ở THCS

nhất, nhỏ nhất trên cơ sở hệ thức các kiến thức liên quan, xây dựng mô hình, giải pháp chung cho từng loại, có kế hoạch cho học sinh tiếp cận từng bài sao cho phù hợp với thời lượng chương trình và nội dung kiến thức, sau mỗi nội dung thực hiện tôi có phương pháp kiểm tra đánh giá kịp thời nhằm đánh giá sự tiến bộ của học sinh, cũng như thu lại tín hiệu ngược từ quá trình giảng dạy để từ đó có các biện pháp cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với từng đối tượng học sinh, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và gây hứng thú say mê cho học sinh. Trong quá trình dạy học để tránh khô khan, nhàm chán tôi kết hợp nhiều phương pháp, kỹ thuật dạy học khác nhau như tổ chức hoạt động nhóm, dạy học nêu và giải quyết vấn đề, bàn tay nặn bột … nhằm phát huy tối đa tính tích cực của học sinh giúp học sinh ghi nhớ vận dụng hiệu quả hơn nội dung tri tức chiếm lĩnh được.

Phòng giáo dục đào tạo huyện mỹ hào Trờng thcs tđ lê hữu trác a KINH NGHIM MT S PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ THCS Lĩnh vực/ mơn học: Tốn học Người thực hiện: Chức v: Giỏo viờn Năm học 11 A M ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Thực trạng vấn đề nghiên cứu Tốn học mơn học chiếm vị trí quan trọng trường phổ thơng Dạy tốn tức dạy phương pháp suy luận Học toán tức rèn luyện khả tư lôgic Các toán phương tiện tốt việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ sảo Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ( hay gọi toán cực trị ) tốn tìm lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài … để hình thành cho học sinh có thói quen tìm giải pháp tối ưu cho công việc cụ thể thực tiễn sau Các toán cực trị toán tương đối hay tương đối khó, loại phong phú đa dạng đòi hỏi phải vận dụng kiến thức hợp lý, nhiều độc đáo bất ngờ Các toán cực trị thường đưa vào lớp chọn, trường chuyên với đối tượng học sinh giỏi, sách giáo khoa đề cập đến tập loại Toán cực trị loại tốn gần gũi với thực tế, có nhiều ứng dụng thực tế Chẳng hạn: - Hai xóm A B cách sơng Tìm vị trí bờ sơng để bắc cầu cho quãng đường từ A đến B ngắn - Một cửa sổ hình chữ nhật cao h(m) Phần nửa đường trịn đường kính d(m); chu vi cửa sổ 6(m) Hãy xác định h, d cho cửa sổ có diện tích bé nhất.Điều chứng tỏ toán học thực tiễn khơng tách rời Trong chương trình tốn học THCS, học sinh thực làm quen với loại toán cực trị từ năm lớp 7, kiến thức loại toán nâng dần lớp lớp học nhiều chương trình THPT Toán cực trị nhắc đến nhiều loại sách đọc thêm tài liệu tham khảo, giáo viên tốn thường vất vả việc sưu tầm, tuyển chọn gây hứng thú học tập, lịng say mê học tốn học sinh Với mong muốn có tài liệu hệ thống toán cực trị để dạy cho học sinh trung học sở sưu tầm, tuyển chọn số phương pháp giải toán cực trị số tốn cực trị thơng dụng bậc THCS viết thành đề tài: “Một số phương pháp giải toán cực trị THCS” để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn trường trung học sở Ý nghĩa giải pháp Trên sở nghiên cứu đề tài, hệ thống lại phân loại tập giá trị lớn nhất, nhỏ sở hệ thức kiến thức liên quan, xây dựng mơ hình, giải pháp chung cho loại, có kế hoạch cho học sinh tiếp cận 22 cho phù hợp với thời lượng chương trình nội dung kiến thức, sau nội dung thực tơi có phương pháp kiểm tra đánh giá kịp thời nhằm đánh giá tiến học sinh, thu lại tín hiệu ngược từ q trình giảng dạy để từ có biện pháp cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy gây hứng thú say mê cho học sinh Trong trình dạy học để tránh khô khan, nhàm chán kết hợp nhiều phương pháp, kỹ thuật dạy học khác tổ chức hoạt động nhóm, dạy học nêu giải vấn đề, bàn tay nặn bột … nhằm phát huy tối đa tính tích cực học sinh giúp học sinh ghi nhớ vận dụng hiệu nội dung tri tức chiếm lĩnh Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu trường THCS trọng điểm Lê Hữu Trác, huyện Mỹ Hào, Tỉnh Hưng Yên Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 9B, 8B lớp thực nghiệm, lớp 8A, 9A lớp đối chứng Lĩnh vực khoa học nghiên cứu lĩnh vực toán học khối 8,9 II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH Cơ sở lí luận Tri thức khoa học nhân loại ngày địi hỏi cao Chính vậy, việc giảng dạy nhà trường phổ thơng ngày địi hỏi nâng cao chất lượng toàn diện, đào tạo hệ trẻ cho đất nước có tri thức bản, phẩm chất nhân cách, có khả tư duy, sáng tạo, tư độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học Mơn Tốn mơn học góp phần tạo u cầu Việc hình thành lực giải Toán cho học sinh trung học sở việc làm khơng thể thiếu người thầy, rèn luyện cho em có khả tư sáng tạo, nắm kiến thức bản, gây hứng thú cho em u thích mơn Tốn Mơn Tốn có vị trí đặc biệt quan trọng trường phổ thơng, có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ Tốn học mơn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, mơn học khơng thể thiếu q trình học tập, nghiên cứu sống hàng ngày Một nhà toán học có nói: “Tốn học xem khoa học chứng minh” Thật vậy, tính chất trừu tượng, tính xác, tư suy luận logic Tốn học coi "mơn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo Trong mơn học trường phổ thơng, Tốn học coi môn học bản, tảng để em phát huy lực thân, góp phần tạo điều kiện để em học tốt môn khoa học tự nhiên khác 33 Vậy dạy để học sinh nắm kiến thức bản, cách có hệ thống mà phải nâng cao phát triển để em có hứng, thú say mê học tập câu hỏi mà thày cô đặt cho Tuy nhiên để học tốt mơn tốn người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tư tốn học, làm cho em trở nên u thích tốn từ em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu thời đại Cơ sở thực tiễn Là giáo viên dược phân công giảng dạy mơn tốn lớp với đối tượng học sinh giỏi, em có tư nhạy bén nhu cầu hiểu biết ngày nâng cao, làm để phát huy hết khả em trách nhiệm giáo viên Qua giảng dạy chương trình tốn tơi nhận thấy đề tài giải toán cực trị đề tài thật lí thú, phong phú đa dạng khơng thể thiếu mơn tốn THCS Giải tốn tìm cực trị dạng tốn hay, khó, với mong muốn cung cấp cho em số phương pháp giải toán cực trị, giúp em làm tập tốt nhằm tích cực hố hoạt động học tập, phát triển tư Các biện pháp tiến hành Trong trình nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo… xu đẩy mạnh cơng đổi bản, tồn diện giáo dục, xuất phát từ mâu thuẫn thực tiễn dạy học đảm bảo chuẩn mục tiêu đầu ra, tơi nhận thấy phải đổi tồn diện từ mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học, cho nội dung, bài, chương, nhằm tích cực hóa hoạt động người học, để người học tự giác tích cực chiếm lĩnh tri thức, hình thành phát triển lực nhận thức, lực hành vi Trong phạm vi đề tài, thực số biện pháp đat hiệu cao xây dựng cho em hệ thống kiến thức, em hiểu thật sâu kiến thức cách vận dụng kiến thức để giải tốn nào, xây dựng phương pháp giải cho loại có ví dụ minh họa Đổi phương pháp dạy học đổi đánh giá, vừa thực tự đánh giá vừa đánh giá đồng đẳng, sau thực hện xong nhiệm vụ đưa đáp án chuẩn, học sinh tự đánh giá đánh giá chéo để đảm bảo tính khách quan , kết hợp với đánh giá giáo viên 44 Giáo viên nhận xét đánh giá cách giải hay nhằm động viên khích lệ kịp thời học sinh, giúp em có hứng thú học tập phát huy hết khả sáng tạo thân, giúp cho em phát triển toàn diện trí tuệ, thể lực, nhân cách, đồng thời rèn cho em kỹ giao tiếp, nhận xét, đánh giá, … Thời gian tạo giải pháp Tôi nghiên cứu thực đề tài năm học 2014-2015 đầu năm học 2015-2016 hoàn thành vào tháng năm 2016 55 B NỘI DUNG I MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI - Giúp học sinh có hệ thống tập cực trị ,có phương pháp giải phù hợp cho loại - Giúp học sinh có hứng thú học tập mơn, từ tích cực chủ động việc chiếm lĩnh tri thức - Rèn tư sáng tạo, phân tích, tổng hợp kĩ vận dụng kiến thức giải tốn Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát giải nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức kỹ thu nhận được.Củng cố hướng dẫn học sinh làm tập để nâng cao chất lượng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho thân, Coi đề tài tài liệu nghiên cứu đê thơng qua giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào q trình giảng dạy mơn Tốn trường THCS đạt hiệu cao II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH 1.Mô tả giải pháp đề tài PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ Chương I Những kiến thức I- Khái niệm Cho hàm số f(x) xác định miền D M gọi giá trị lớn f(x) miền D điều kiện sau đồng thới thoả mãn: a, f(x) ≤ M , b, ∃ x0 ∈ D cho f(x0) = M ∀x ∈ D Ký hiệu M = maxf(x), x ∈ D M gọi giá trị nhỏ f(x) miền D điều kiện sau đồng thời thoả mãn: a, f(x) ≥ M, ∀x ∈ D b, ∃ x0 ∈ D cho f(x0) = M Ký hiệu M =minf(x), x ∈ D 66 II- Các kiến thức thường dùng: x2 ≥ với x Tổng quát [ f(x) ]2n ≥ 0, ∀x ∈ R, n ∈ Z a, x -[ f(x) ]2n + M ≤ M [ f(x) ]2n + M ≥ M Suy ra: ≥ với x b, y x+y ≤ x + , dấu “=” xảy x, y dấu c, y x−y ≤ x , dấu xảy x,y dấu Chứng minh: a, x ≥ Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối b, Ta có xy x ≥ xy ⇔ ⇔ ⇔ x2 + x y ⇔ ( x + Do x x Nên y + + y ≥ xy ≥ 2xy + y2 ≥ x2 + 2xy + y2 y x+y ≥0; y x y )2 ≥ ( x+y )2 ≥0 x+y ≥ Dấu xảy x, y dấu, x y c, Ta có: xy ≥ xy ⇒ - xy ≤ -xy Tương tự phần b ta chứng minh x - y ≤ x−y Dấu xảy x, y dấu, x y Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy) dạng bất đẳng thức Côsi a, ( a + b )2 ≥ 4ab, dấu xảy a = b b, a b + ≥2 b a , ( a.b > ) dấu xảy a = b c, a + b ≥ ab , ( a ≥ 0, b ≥ ) dấu xảy a = b Hệ quả: 77 a ≥ 0, b ≥ a + b = k ( khơng đổi ) + Thì (a.b) đạt giá trị lớn a = b Hai số khơng âm có tổng khơng đổi tích lớn hai số a ≥ 0, b ≥ a.b = k ( không đổi ) + Thì (a + b) đạt giá trị nhỏ a = b Hai số khơng âm có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số Suy ra: Trong hình chữ nhật có diện tích hình xng có chu vi nhỏ Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn Bất đẳng thức Bunhia cốpxki (ax + by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) a x = b y (a,b tỷ lệ với x, y) Dấu xảy Chứng minh: Xét hiệu: (ax + by)2 – (a2 + b2) (x2 + y2) = a2x2 + b2y2 + 2abxy - a2x2 - a2y2- b2x2 - b2y2 = - (a2y2 - 2abxy - b2x2) = - (ay – bx)2 ≤ Do đó: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) Dấu xảy ay = bx ⇔ a x = b y Tổng quát: 2 2 (a1x1 + a2x2 + … + anxn)2 ≤ ( a + + a n )( x + + x n ) a1 a a = = = n xn Dấu xảy khi: x x III- Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp bất đẳng thức Đây phương pháp sử dụng nhiều, hay gặp Ở cần sử dụng kỹ biến đổi đồng nhất, bất đẳng thức để xuất dấu hiệu nhận biết 88 khái niệm (Phần I), từ xác định giá trị lớn hay giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: f(x) = x2 + x + Với biểu thức miền D toàn miền xác định biểu thức, tập R Ta có: + f(x) = x + x + = x + x + 4 2 3 f(x) = (x + )2 + ≥ Giá trị nhỏ biểu thức x = - Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x − 4x + 10 Nhận xét: x2 – 4x + 10 = (x-2)2 +6 ≥ 6, ∀x ∈ D (D=R) Tử số dương Do đó: A lớn mẫu số đạt giá trị nhỏ Mẫu số có giá trị nhỏ x = Suy A đạt giá trị lớn x = Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn hàm số y = x - + - x Trước hết xác định miền D = {x ≤ x ≤ 4} Ta viết y = x - + - x Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cốpxki ta có: y2 ≤ (12 + 12)(x – + - x) y2 ≤ x-2 Do y > nên max y = 4-x =1 hay x = ∈ D Vậy giá trị lớn y x = Phương pháp miền giá trị hàm số 99 Giả sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x ∈ D Điều có nghĩa phương trình f(x) = y phải có nghiệm với x ∈ D Sau giải phương trình điều kiện có nghiệm thường dẫn đến bất đẳng thức: m ≤ y0 ≤ M Từ suy ra: f(x) = m max f(x) = M Ví dụ 1: Trong cặp nghiệm phương trình: x2 – ( x2 + )y + 8x + = (1) Hãy tìm cặp nghiệm (x,y) cho y lớn Trước hết: (1) ⇔ (1-y)x2 + 8x + – y = (2) Nếu – y = y=1⇒x =-4 Nếu – y ≠ y ≠ ⇒ ∆’ = 16 - ( – y )( – y ) ∆’ = - y2 + 8y + ∆’ = ( + y )( – y ) (x,y) nghiệm phương trình (1) phương trình (2) phải có nghiệm Do ∆’ ≥ ⇔ ( + y )( – y ) ≥ ⇔-1≤y≤9 Suy ra: max y = ∆’ = 0, x = Vậy cặp nghiệm thoả mãn toán (1; 9) x +1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x + 1) Ta thấy (x2 + 1)2 > 0, x4 + > Nên A đạt giá trị lớn A đạt giá trị nhỏ ngược lại 1010 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O; R) Một tia Ax nằm hai tia AB AC cắt BC P cắt (O) E Tìm vị trí tia Ax cho độ dài DE lớn nhất? Bài giải A O D D1 B E C E1 x Ta có DE = AE – AD AE dây (O) ⇒ maxAE = 2R đường kính Nối AO kéo dài cắt BC D1, (O) E1 ⇒ AD1 ⊥ BC Luôn có: AD ≥ AD1 Dấu xảy D ≡ D1 Tức minAD = AD1 ⇔ AE ≡ AE1 đường kính Như AE đạt cực đại đồng thời AD đạt cực tiểu Cho nên vị trí DE đạt giá trị lớn Vậy maxDE = D1E1 Ax qua tâm O Bài tập áp dụng: Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) M điểm di động cung nhỏ BC Xác định vị trí M để tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh tam giác ABC có giá trị lớn Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R Điểm M di chuyển nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A, B với nửa đường trịn C, D Tìm giá trị nhỏ tổng SACM + SBDM 4545 Trong tất tam giác ABC có độ dài cạnh BC góc A khơng đổi Hãy tìm tam giác có chu vi lớn Trong hình chữ nhật có đường chéo d khơng đổi, hình có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn V- Dạng 5: Sử dụng bất đẳng thức đại số Khi giải tốn cực trị hình học có số trường hợp ta phải đưa biểu thức đại số Khi ta vận dụng cách tìm cực trị biểu thức đại số cách sử dụng bất đẳng thức, phương pháp tìm cực trị phần I với điều kiện cụ thể yếu tố hình học tốn Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có diện tích S Các điểm D, E, F thứ tự thuộc cạnh AB, BC, AC cho AD = k.AB, BE = k.BC, CF = k.CA a, Tính diện tích tam giác DEF theo S k b, Với giá trị k diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ A F D B E C a, Hai tam giác ABC ACD có đường cao hạ từ C đến AB đó: SACD AD = =k SABC AB ⇒ SACD = k.SABC = k.S Tương tự SCDF = k.SACD = k2.S Nên SADF = k.S – k2S = k(1 – k)S Tương tự SBDE = k(1 – k)S SCEF = k(1 – k)S Do đó: SDEF = S – 3k(1 – k)S = [1 – 3k(1 – k)]S 4646 b, Do S không đổi Nên SDEF đạt giá trị nhỏ [1 – 3k(1 – k)] đạt giá trị nhỏ Ta có: – 3k(1 – k) = 3k2 – 3k + 1 + = 3(k – k + 12 ) 1 ≥ = 3(k – )2 + 4 Dấu xảy k = 1 Vậy minSDEF = S ⇔ k = Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Gọi x, y, z theo thứ tự khoảng cách từ điểm M tam giác tới cạnh BC, AC, AB a b c + + Xác định vị trí điểm M để tổng x y z có giá trị nhỏ A z c y b M x B a C Gọi S diện tích tam giác ABC ⇒ S = SMBC + SMAC + SMAB S = (ax + by + cz) ⇒ ax + by + cz = 2S Ta xét biểu thức a b c + + P = (ax + by + cz)( x y z ) x y y z x z + + + = a2 + b2 + c2 + ab( y x ) + bc( z y ) + ca( z x ) 4747 Theo bất đẳng thức côsi Với x, y, z > x y + ≥2 y x , dấu xảy x = y Ta có: y z + ≥2 z y , dấu xảy y = z x z + ≥2 z x , dấu xảy x = z Do P ≥ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a b c + + x y z ) ≥ (a + b + c)2 Hay 2S( ⇒ a b c ( a + b + c) + + ≥ x y z 2S a b c ( a + b + c) + + 2S Nên ( x y z ) = ⇔ x=y=z ⇔ M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ví dụ 3: Trong tam giác vng có tổng hai cạnh góc vng khơng đổi tam giác có chu vi nhỏ A c B b a C Gọi P chu vi tam giác ABC Ta có: P=a+b+c Do b, c khơng đổi ⇒ P nhỏ a nhỏ Đặt b + c = 2m không đổi 4848 Suy ra: b=m+x c = m – x Áp dụng định lý Pitago Xét a2 = b2 + c2 a2 = (m + x)2 + (m – x)2 a2 = 2m2 + 2x2 ≥ 2m2 2x2 ≥ Do a2 = 2m ⇔ x = ⇔ b=c Vậy chu vi tam giác vuông ABC nhỏ tam giác ABC tam giác vuông cân A Bài tập áp dụng: Cho hình vng KLMN có cạnh Người ta nội tiếp hình vng hình thang ABCD với đáy AB CD cho A trung điểm KN, đỉnh B, C, D thuộc cạnh KL, LM, MN Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác ABCD BK = Cho đường trịn (O; R) đường kính AB M điểm di động đường trịn Vẽ MH vng góc với AB (H thuộc đoạn AB) Xác định vị trí M đường trịn (O; R) cho diện tích tam giác OMH lớn Cho tam giác ABC cân A Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động cạnh AB, AC cho AM = CN Xác định vị trí M, N để: a, MN có giá trị nhỏ b, Diện tích tam giác AMN có giá trị lớn Kế hoạch thực đề tài Biện pháp thực hiện: tích hợp nội dung vào học lớp, ôn tập bồi dưỡng buổi chiều, giao nhà cho học sinh Phần đại số: Dạng 1, dạng 2, dạng 3, dạng 4, dạng 5, dạng dạy chương trình đại số lớp 8B, kết hợp củng cố chương trình đại số 9B (thời gian tiết) Dạng 5, dạng 6, dạng dạy chương trình đại số 9B (thời gian tiết) Phần hình học 4949 Dạng 1, dạng 2, dạng 3, dạy chương trình hình học lớp 8B, kết hợp củng cố chương trình hình học lớp 9B (thời gian tiêt) Dạng 4, dạng dạy chương trình hình học (thời gian tiết) Phạm vi áp dụng Đề tài áp dụng thử nghiệm với học sinh lớp 8,9 Bước đầu khảo sát đánh giá chất lượng so với năm học trước so với chất lượng đối chứng 8a 9a thấy kết lớpthực nghiệm tiến vượt bậc hẳn, thăm dò yêu thích thái độ học tập mơn thu kết tích cực Đề tài áp dụng cho học sinh khối 8, dành cho đội tuyển học sinh giỏi nhà trường để nâng cao hứng thú học tập kết môn Hiệu áp dụng Sau áp dụng đề tài tơi thấy có lợi ích sau: *.Về phía học sinh: Hình thành phát triển lực chuyên mơn cách có hệ thống rèn luyện kỹ phân tích, nghiên cứu, khái quát tổng hợp hoạt động nhóm, tư logic để giải vấn đề… hứng thú sôi học, hăng say học tập, thảo luận có tinh thần trách nhiệm, có khả giao tiếp, biết cách đưa đến tính thống nhận thức mơn học *.Về phía giáo viên Thu tín hiệu ngược từ phía học sinh, từ có cách đánh giá q trình học tập học sinh cách khách quan xác phát sai lầm học sinh để điều chỉnh kịp thời phù hợp với đối tượng học sinh *.Đối với q trình dạy học nói chung Đề tài khơng áp dụng cho mơn tốn mà qua hình thành phát triển cho học sinh nhiều kỹ phương pháp học tập cho mơn học khác, hình thành lực hành vi, lực nhận thức thái độ học tập tích cực cho học sinh, xây dựng mơi trường học tập tích cực tự giác, chủ động, giúp em có kỹ năng, có tri thức tốt bước vào sống Kết thực 5050 Qua trình áp dụng thực tiễn tơi thấy học sinh tích cực chủ động, tự tin việc tiếp thu kiến thức Trong trình giảng dạy trường THCS trọng điểm Lê Hữu Trác- Mỹ Hào áp dụng đề tài vào lớp 8B năm học 2014-2015, vào lớp 9B năm học 2015-2016 đối chứng với lớp 8A năm học 2014-2015 lớp 9A năm học 20152016 sau dạy xong kiểm tra đánh giá kết đạt sau: Kết kiểm tra đợt (chưa áp dụng đề tài) Lớ p 8A 8B Sĩ số Điểm giỏi SL 42 39 Điểm % 14,3 20,5 SL 15 14 % 35,7 35,9 Điểm TB SL 21 17 % 50 43,6 Điểm yếu SL 0 % 0 Kết kiểm tra đợt (đã áp dụng đề tài vào lớp 8B năm học 2014-2015) Lớ p 8A 8B Sĩ số 42 39 Điểm giỏi SL 19 Điểm % 19 48,7 SL 16 15 % 38 38,5 Điểm TB SL 18 % 43 12,8 Điểm yếu SL 0 % 0 Kết kiểm tra đợt (sau áp dụng đề tài vào học kỳ lớp năm học 2015-2016) Lớ Sĩ số p 9A 9B 42 39 Điểm giỏi SL 12 25 % 28,6 64,1 Điểm SL 16 12 % 38,1 30,8 Điểm TB SL 14 % 33,3 5,1 Điểm yếu SL 0 % 0 Kết học tập 8B, 9B tốt hẳn lớp 8A, 9A trình học tập hướng dẫn giáo viên em chủ động tiếp thu kiến thức cách tốt nhất, em phát kiến thức, đưa phương pháp giải , thực tế làm lớp, có hệ thống tập vận dụng nhà giúp em nắm sâu , ghi nhớ lâu hơn, hào hứng học tập, chiếm lĩnh kiến thức Lớp 8A,9A đạt kết thấp 8B, 9B học theo phương pháp cũ, nặng nề, tẻ nhạt, không hào hứng học, tập sách giáo khoa, sách tập không 5151 hệ thống nên học sinh thấy khó khăn việc ghi nhớ phương pháp giải toán Mặt khác áp dụng đề tài vào bồi dưỡng học sinh giỏi trường Lê Hữu Trác cho kết tốt, tốn tìm cực trị em giải thục Bài học kinh nghiệm Trên số dạng toán thường gặp chương trình tốn THCS Mỗi dạng có đặc điểm khác Việc phân dạng giúp học sinh dễ tiếp thu kiến thức thấy toán áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng tốn tơi chọn tốn điển hình để học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, tìm tịi phát cách giải cho loại hiểu cách làm, cách vận dụng để giải toán tương tự toán sở tốn quen thuộc Trong q trình giảng dạy đặc biệt ý đến nội dung tốn có xếp theo trình tự từ dễ đến khó, nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợp với lực học sinh để phát huy tối đa khả phát kiến thức, tư lơgic người học Bên cạnh thân giáo viên phải không ngừng lỗ lực trau dồi kiến thức, củng cố nâng cao chuyên môn nghiệp vụ , đổi phương pháp giảng dạy để xây dựng cho phương pháp giảng dạy thích hợp cho chủ đề phù hợp với đối tượng học sinh theo hướng tiếp cận lực người học.Tuy nhiên để chất lượng dạy học đạt kết tốt, tập phải đảm bảo mục tiêu học,phù hợp với chuẩn kiến thức kỹ trường THCS Khi đánh giá kết em, giáo viên cần cơng minh, đánh giá q trình cố gắng học sinh, động viên kịp thời để kích thích tích cực, hăng say học tập khám phá tri thức học sinh 5252 C.KẾT LUẬN Nhận định chung Trên toàn nội dung tìm cực trị mơn tốn 8, 9, xếp chi tiết từ dễ đến khó, tơi hệ thống phân dạng có phương pháp giải cụ thể cho dạng, tích hợp tốn vận dụng thực tế, tơi lồng ghép vào tiết học, với nội dung, chương trình hợp lí nhất, phù hợp với nội nung kiến thức học lực học sinh tránh gây mệt mỏi, nhàm chán cho học sinh Ngoài cần quan tâm đến đối tượng học sinh, số dạng tập khó áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi Việc áp dụng chuyên đề thực cần thiết, đạt hiệu định vận dụng với đối tượng học sinh Từ hình thành cho em kỹ vận dụng học tập, lĩnh hội tri thức khoa học vận dụng thực tế vào sống Những điều kiện áp dụng * Đối với giáo viên: Phải tâm huyết với nghề, có kế hoạch cụ thể để triển khai nội dung đề tài giảng dạy bồi dưỡng học sinh * Đối với học sinh: Cần u thích mơn học, say mê tìm tịi khám phá kiến thức, chủ động tiếp lĩnh hội kiến thức cách tốt nhất, tích cực làm tập giao Triển vọng áp dụng phát triển đề tài Toán cực trị loại toán hay khó THCS, cịn vận dụng vào thực tế sống, cần tiếp tục triển khai vận dụng vào thực tiễn trường THCS trọng diểm Lê Hữu Trác, áp dụng vào chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi qua để nghiên cứu sâu dạng tập đề cập đến chuyên đề, để bổ sung cách phù hợp cho học sinh trung học sơ sở Đồng thời rèn cho học sinh tư suy luận, phân tích, dự đốn, tổng hợp, giải vấn đề kỹ khác, giúp cho học sinh u thích mơn học, say mê học tập cịn sở cho em học môn học khác từ nâng cao chất lượng học tập học sinh Những kiến nghị đề xuất 5353 *.Đối với cấc cấp quản lí: tơi xin đề xuất tăng cường tài liệu tham khảo, tổ chức chuyên đề, hội thảo bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên *.Đối với giáo viên: cần tích cực nghiên cứu tài liệu tự nâng cao kiến thức chuyên môn, chuẩn bị dạy chu đáo, tổ chức hoạt động dạy học đạt kết cao nhất, từ nâng cao chất lượng dạy giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức cách có hiệu Thường xuyên trao đổi kinh nghiệm với tổ nhóm chuyên môn, bạn đồng nghiệp để phát huy ưu điểm, khắc phục hạn chế thân để nâng cao lực chuyên môn nghiệp vụ *.Việc đổi phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực phát huy tính độc lập sáng tạo học sinh,tiếp cận lực người học, chèc lát mà trình lâu dài Mục tiêu cuối hướng dẫn học sinh biết giải toán, học toán biết vận dụng toán học vào môn khác vào thực tế Đề tài đề cập tới vấn đề trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiên theo mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn lớp 8,9 Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút dạy tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, với góp ý đồng nghiệp hy vọng đề tài tơi góp phần tăng thêm hiệu học tập học sinh Dù cố gắng học hỏi trau dồi kiến thức song khơng tránh khỏi thiếu xót, tơi mong nhận quan tâm góp ý chân thành đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp để đề tài ngày hoàn thiện 5454 TÀI LIỆU THAM KHẢO Các toán cực trị - Lê Mộng Ngọc ( Nhà xuất giáo dục – 1996 ) 250 toán đại số bồi dưỡng học sinh cấp - Võ Đại Mau ( Nhà xuất Thành phố Hồ Chí Minh ) Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 8, ( Nhà xuất Hà Nội – 1995 ) - Vũ Hữu Bình Tơn Thân Tốn nâng cao chun đề Đại số hình học lớp ( Nhà xuất Giáo dục – 2004 ) - Vũ Dương Thuỵ Nguyễn Ngọc Đạm 5555 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG MỞ ĐẦU Sơ yếu lí lịch I Đặt vấn đề 1.Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.Ý nghĩa giải pháp Phạm vi nghiên cứu II.Phương pháp tiến hành 1.Cơ sở lí luận 2 3 2.Cơ sở thực tiễn Các biện pháp tiến hành 4 thời gian tạo giải pháp NỘI DUNG I Mục tiêu đề tài II Phương pháp tiến hành 1.Mô tả giải pháp PHẦN I: Các toán cực trị đại số Chương I: Những kiến thức I Khái niệm II Kiến thức thường dùng III Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1.Phương pháp bất đẳng thức 2.Phương pháp miền giá trị Chương II: dạng toán thường gặp Dạng 1:Đa thức bậc chứa dấu giá trị tuyệt đối 11 Dạng 2:Đa thức bậc hai 13 Dạng 3: Đa thức bậc cao 15 Dạng 4:Phân thức 16 Dạng 5: Căn Thức giá trị tuyệt đối 18 Dạng 6: Cực trị có điều kiện 22 5656 Dạng 7: tốn tổng hợp 24 PHẦN II: Cực trị hình học phẳng Chương I: kiến thức I.Toán cực trị hình học II.Các phương pháp giải tốn cực trị hình học 1.Phương pháp 28 28 2.Phương pháp 29 2.Phương pháp Chương II Các dạng toán cực trị 30 Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác 32 Dạng 2: dùng tính chất đường vng góc, đường xiên 36 Dạng 3: Sử dụng tính chất độ dài đường gấp khúc 38 Dạng 4: Sử dụng tính chất bất đẳng thức đường tròn 41 Dạng 5: Sử dụng bất dẳng thức đại số 45 Kế hoạch thực đề tài 48 Phạm vi áp dụng 48 .Hiệu sử dụng 48 49 Kết thực KẾT LUẬN Nhận định chung 52 2.Những điều kiện áp dụng 52 3.Triển vọng vận dụng đề tài phát triển 52 Kiến nghị, đề xuất Tài liệu tham khảo 53 54 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS TRỌNG ĐIỂM LÊ HỮU TRÁC 5757 Tổng điểm…………………… Xếp loại……………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH – HIỆU TRƯỞNG ( Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MỸ HÀO Tổng điểm…………………… Xếp loại……………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH – TRƯỞNG PHỊNG ( Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) 5858 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN Tổng điểm…………………… Xếp loại……………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC ( Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) 5959 ... toán cực trị để dạy cho học sinh trung học sở sưu tầm, tuyển chọn số phương pháp giải toán cực trị số tốn cực trị thơng dụng bậc THCS viết thành đề tài: ? ?Một số phương pháp giải tốn cực trị THCS? ??... tài giải toán cực trị đề tài thật lí thú, phong phú đa dạng khơng thể thiếu mơn tốn THCS Giải tốn tìm cực trị dạng tốn hay, khó, với mong muốn cung cấp cho em số phương pháp giải toán cực trị, ... giá trị cố định không đổi y - Giải tốn cực trị hình học phải rõ vị trí hình học y để y đạt giá trị nhỏ y = y1 hay y = y2 II- Các phương pháp giải toán cực trị hình học Người ta giải tốn cực trị