Chuyên đề giá trị lượng giác của một cung

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website: tailieumontoan.com CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC - CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α Định nghĩa   Trên đường trịn lượng giác cho cung AM có sđ AM = α (còn viết ) y B M K A A' H x O B' • Tung độ y = OK điểm M gọi sin α kí hiệu sin α sin α = OK • Hồnh độ x = OH điểm M gọi cơsin α kí hiệu cos α cos α = OH • Nếu cos α ≠ 0, tỉ số tan α = sin α cos α • Nếu sin α ≠ 0, tỉ số cotg α ): cot α = cos α sin α sin α gọi tang α kí hiệu tan α (người ta cịn dùng kí hiệu tg α ) cos α cos α gọi cơtang α kí hiệu cot α (người ta cịn dùng kí hiệu sin α Các giá trị sin α , cos α , tan α , cot α gọi giá trị lượng giác cung α Ta gọi trục tung trục sin, cịn trục hồnh trục cơsin Hệ 1) sin α cos α xác định với α ∈  Hơn nữa, ta có π ) sin α , ∀k ∈ ; sin (α + k 2= cos (α + k = 2π ) cos α , ∀k ∈  2) Vì −1 ≤ OK ≤ 1; −1 ≤ OH ≤ nên ta có −1 ≤ sin α ≤ −1 ≤ cos α ≤ 3) Với m ∈  mà −1 ≤ m ≤ tồn α β cho sin α = m cos β = m Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com π + kπ ( k ∈  ) 5) cot α xác định với α ≠ kπ ( k ∈  ) 4) tan α xác định với α ≠  6) Dấu giá trị lượng giác góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM = α đường tròn lượng giác Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Góc phần tư I II III IV cos α + − − + sin α + + − − tan α + − + − cot α + − + − Giá trị lượng giác Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos” Giá trị lượng giác cung đặc biệt Góc α sin α cosα π π π π 00 300 450 2 2 600 2 900 2π 3π 1200 1350 2 2 π 3π 2π 1800 2700 3600 –1 –1 1 tan  3 ||  –1 || cot  || 3  3 –1 || || Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038  TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG Ý nghĩa hình học tan α Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc A Gọi T giao điểm OM với trục t ' At  tan α biểu diễn độ dài đại số vectơ AT trục t 'At Viết: tan α = AT Trục t 'At gọi trục tang y t M A x O T t' Ý nghĩa hình học cot α Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc B Gọi S giao điểm OM với trục s 'Bs  cot α biểu diển độ dài đại số vectơ BS trục s 'Bs Viết: cot α = BS Trục s 'Bs gọi trục côtang s' B y S M s x O Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Nhận xét: Website: tailieumontoan.com tan (α + k= π ) tan α , ∀k ∈ ; cot (α + k= π ) cot α , ∀k ∈  III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác Đối với giá trị lượng giác, ta có đẳng thức sau sin α + cos α = π sin α , α ≠ + kπ , k ∈  tan α = cos α cos α , α ≠ kπ , k ∈  cot α = sin α kπ , k ∈ tan α cot α = 1, α ≠ π 1 + tan α = , α ≠ + kπ , k ∈  2 cos α 1 + cot α = , α ≠ kπ , k ∈  sin α Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt Góc đối ( α −α ) Góc bù nhau( α π − α ) cos(−α ) = cos α sin(π − α ) = sin α sin(−α ) = − sin α cos(π − α ) = − cos α − tan α tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − cot α cot(−α ) = cot(π − α ) = − cot α Góc π ( α π + α ) − sin α sin(π + α ) = cos(π + α ) = − cos α tan(π + α ) = tan α cot(π + α ) = cot α Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Góc phụ nhau( α π −α ) π  sin  − α  = cos α 2  π  cos  − α  = sin α 2  π  tan  − α  = cot α 2  π  cot  − α  = tan α 2  π π ( α + α ) 2 π  sin  + α  = cos α 2  π  − sin α cos  + α  = 2  π  − cot α tan  + α  = 2  π  cot  + α  = − tan α 2  Góc TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Chú ý: Để nhớ nhanh công thức ta nhớ câu: " cos - đối, sin – bù, phụ - chéo, π tang π côtang, chéo sin" Với nguyên tắc nhắc đến giá trị cịn khơng nhắc đối B CÁC DẠNG TOÁN: DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG PHÁP: Dấu giá trị lượng giác góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểm  ngọn) cung AM = α đường trịn lượng giác Vì cần xác định vị trí điểm M đường trịn lượng giác sử dụng bảng xét dấu giá trị lượng giác Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Vị trí điểm M thuộc góc phần tư I II III IV cos α + − − + sin α + + − − tan α + − + − cot α + − + − Giá trị lượng giác II VÍ DỤ MINH HỌA: π Cho < α < π Xác định dấu biểu thức sau:  3π  π  −α  b) tan  a) sin  + α    2  14π  π  c) cos  − + α  tan (π − α ) d) sin cot (π + α )   Lời giải 3π π  ⇒ sin  + α  < 2 2  3π π π  3π  −α  < b) Ta có − > −α > −π ⇒ > − α > − ⇒ tan  2   a) Ta có c) Ta có π π D cot α > Câu Điểm cuối α thuộc góc phần tư thứ tư đường tròn lượng giác Khẳng định sau ? A sin α > B cos α > C tan α > D cot α > Câu Điểm cuối góc lượng giác α góc phần tư thứ sin α , cos α dấu? A Thứ II B Thứ IV C Thứ II IV D Thứ I III Câu Điểm cuối góc lượng giác α góc phần tư thứ sin α , tanα trái dấu? A Thứ I B Thứ II IV C Thứ II III D Thứ I IV Câu Điểm cuối góc lượng giác α góc phần tư thứ cos α= A Thứ II B Thứ I II C Thứ II III D Thứ I IV Câu Điểm cuối góc lượng giác α góc phần tư thứ A Thứ III B Thứ I III C Thứ I II 5π Câu Cho 2π < α < Khẳng định sau đúng? A tan α > 0; cot α > sin α = sin α D Thứ III IV B tan α < 0; cot α < C tan α > 0; cot α < D tan α < 0; cot α > π Câu Cho < α < Khẳng định sau đúng? A sin (α − π ) ≥ B sin (α − π ) ≤ C sin (α − π ) < Câu 10 Cho < α < π π  A cot  α +  > 2  − sin α D sin (α − π ) < Khẳng định sau đúng? π  B cot  α +  ≥ 2  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C tan (α + π ) < D tan (α + π ) > TÀI LIỆU TOÁN HỌC Câu 11 Cho π Website: tailieumontoan.com < α < π Giá trị lượng giác sau dương ? π  B cot  − α  C cos ( −α ) D tan (π + α ) 2  3π Câu 12 Cho π < α < Khẳng định sau đúng?  3π   3π  − α  > − α  < A tan  B tan       3π   3π  − α  ≥ − α  ≤ D tan  C tan      π  π  Câu 13 Cho < α < π Xác định dấu biểu thức M= cos  − + α  tan (π − α )   A sin (π + α ) A M ≥ B M > C M ≤ D M < 3π π  sin  − α  cot (π + α ) Câu 14 Cho π < α < Xác định dấu biểu thức M = 2  A M ≥ B M > C M ≤ D M < Câu 15 Cho tam giác ABC có góc A tù Cho biểu thức sau: (2) N = cos A.cos B.cos C (1) M = sin A + sin B + sin C A B C (3) P = cos sin cot 2 (4) Q = cot A tan B cot C Số biểu thức mang giá trị dương là: A B C D IV HƯỚNG DẪN GIẢI : sin α > cos α >  → α  → Chọn A Câu Điểm cuối thuộc góc phần tư thứ  tan α >   cot α > sin α < cos α <  → α  → Chọn A Câu Điểm cuối thuộc góc phần tư thứ hai  tan α >   cot α > sin α < cos α >  → α  → Chọn B Câu Điểm cuối thuộc góc phần tư thứ hai  tan α <   cot α < Câu Chọn D Câu Chọn C Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Câu Ta có cos α= − sin α ⇔ cos α = cos α ⇔ cos α = cos α ⇔ cos α Đẳng thức cos α ⇔ cos α  → cos α ≥  → điểm cuối góc lượng giác α góc phần tư thứ I IV Chọn D Câu Ta có sin α ⇔ sin α ⇔ sin α = sin α Đẳng thức sin α = sin α  → sin α ≥  → điểm cuối góc lượng giác α góc phần tư thứ I II Chọn C Câu Ta có 2π < α < 5π  → điểm cuối cung α − π thuộc góc phần tư thứ I  tan α >  → Chọn A cot α > π π → điểm cuối cung α − π thuộc góc phần tư thứ Câu Ta có < α < → −π < α − π < −  2 III  → sin (α − π ) < Chọn D Câu 10 Ta có :  π π π π  → cot  α +  < 0 < α < → < α + < π    2 2   0 < α < π → π < α + π < 3π  → tan (α + π ) >   2 Chọn D Câu 11 Ta có π  sin α ; cos ( −α ) = − sin α ; cot  − α  = cos α ; tan (π + α ) = sin (π + α ) = tan α 2  sin α > π  Do < α < π → cos α <  → Chọn B  tan α <    3π  sin  − α  > π 3π → 3π  →    → tan  3π − α  > Câu 12 Ta có π < α < − α <  0<   2   cos  3π − α  >     Chọn B Câu 13 Ta có : π π π  π  < α < π → < − + α <  → cos  − + α  >  2 2     π < α < π → < π − α < π  → tan (π − α ) >  2  → M > Chọn B Câu 14 Ta có : Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3π  π  → M < Chọn D Câu 15 Ta có: A tù nên cos A < 0;sin A > 0; t anA < 0;cot A < Do đó: M > 0; N < 0; P > 0; Q < Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 Website: tailieumontoan.com Lời giải 1 ⇔ sin     sin2    ⇔ 2 4 sin     sin   sin    ⇔ sin   sin    Ta có sin   cos4   ⇔  sin2    sin2     ⇔ sin2    (Do sin2    ) Suy sin2   Ta lại có cos2    sin2    1  2 1 1 Suy A       =     Ví dụ 3: Biết sin x  cos x  m Tính sin x cos x sin x  cos4 x Lời giải *) Ta có  sin x  cos x   sin2 x  sin x cos x  cos2 x   sin x cos x (*) Mặt khác sin x  cos x  m nên m   sin  cos  hay sin  cos   m2  *) Đặt A  sin x  cos4 x Ta có A  sin2 x  cos2 x  sin2 x  cos2 x  = ( sin x + cos x )( sin x − cos x ) ⇒ A2   sin x  cos x   sin x  cos x     sin x cos x   sin x cos x  2  m      m     2m  m ⇒ A2        Vậy A   2m  m III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM      Tính P  tan   tan   1 7 A P   B P  C P  D P   3 3       Câu Cho góc  thỏa mãn    2 tan    Tính P cos     sin   4  6 Câu Cho góc  thỏa mãn cos   A P  B P  3 Câu Cho góc  thỏa mãn C P       2 D P   3  cot      Tính giá trị biểu thức  3   P  sin     cos   6 A P  B P  Câu Cho góc  thỏa mãn tan    C P  1      Tính Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 sin   cos  P sin   cos  D P   TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website: tailieumontoan.com 32 34 D P  11 11 3sin   cos  Cho góc  thỏa mãn tan   Tính P  5cos   sin  4 4 C P   D P  A P   B P  19 19 3sin   cos  Cho góc  thỏa mãn cot   Tính P  sin   5cos  15 15 C P  13 D P  13 A P   B P  13 13 A P  Câu Câu 30 11 B P  31 11 C P  Câu Cho góc  thỏa mãn tan   Tính P  sin   cos  A P   13 B P  10  13 C P  11  13 D P  12  13 Câu Cho góc  thỏa mãn sin   cos   Tính P  sin .cos  A P   16 B P   32 Câu Cho góc  thỏa mãn sincos  A P  91  125 B P  49  25 Câu 10 Cho góc  thỏa mãn    A P  C P    12 sin  cos  Tính P  sin   cos3  25 C P   D P   sin   cos   B P   D P   C P    Tính P  sin   cos  D P   Câu 11 Cho góc  thỏa mãn sin   cos   m Tính P  sin   cos  A P   m B P   m C P  m  D P   m Câu 12 Cho góc  thỏa mãn tan   cot   Tính P  tan   cot  A P  B P  C P  D P  Câu 13 Cho góc  thỏa mãn tan   cot   Tính P  tan   cot  A P  100 B P  110 C P  112 Câu 14 Cho góc  thỏa mãn sin   cos   A P  12 B P  14 Câu 15 Cho góc  thỏa mãn A P  Tính P  tan   cot  C P  16   D P  115 D P  18 tan   cot   Tính P  tan   cot  B P  1 C P   D P  tan   3cot   Câu 16 Cho góc  thỏa sin   90    1800 Tính P  tan   cot  19  2 26  2 26  2 19  2 D P  B P  C P  9 9  Câu 17 Cho góc  thỏa mãn cos       Tính P  tan a   cot a A P  A P  B P  4 C P  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D P  6 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Website: tailieumontoan.com Câu 18 Câu 19 Câu 20 Nếu sin x + cos x = 3sin x + cos x A 5− 5+ hay 4 B 5+ 5− hay C 2− 2+ hay 5 D 3+ 3− hay 5 2b Giá trị biểu thức A = a cos x + 2b sin x.cos x + c sin x a−c A –a B a C –b D b Biết tan x = sin α cos8 α sin α cos α = A + + = Nếu biết biểu thức a b a+b a3 b3 1 1 A B C D 2 a +b a + b3 (a + b) (a + b) IV HƯỚNG DẪN GIẢI : tan α − = 1 Câu Ta có P  tan          tan     P  tan  1    sin     cos     4  Theo giả thiết:  → sin   → tan   → P     3       Vì Chọn B Câu Ta có  3   9      2        5 4  → →        4  tan        4    Chọn C   5  7     2       11 3 3 →   →       cot      3   Thay    vào Câu Ta có Thay   Câu    3 P vào , ta P   P , ta P   Chọn D  cos     cos      tan  25 Ta có  → cos            → sin   tan .cos   Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 19 Website: tailieumontoan.com Thay sin   31 cos    vào P , ta P  Chọn B 11 5 Câu Chia tử mẫu P cho cos  ta P  tan   3.2 − = =  tan  + 7.2 19 Chọn D  cot  Câu Chia tử mẫu P cho sin  ta P    5cot  = 13  3  Chọn D Câu Ta có P  sin   cos  .sin   cos    sin   cos  * P sin   1 cos  cos  Chia hai vế * cho cos  ta tan  1 52 1 12 = Chọn   tan   52 13 25 25  ⇔  sin .cos   16 16 ⇔ P 1  tan    tan  1 ⇔ P  Câu Từ giả thiết, ta có sin   cos   → P  sin .cos  = D Chọn B 32 Câu Áp dụng a  b  a  b   3ab a  b  , ta có P  sin   cos3   sin   cos    3sin  cos  sin   cos   Ta có sin   cos    sin   sin  cos   cos  = + 24 49 = 25 25 Vì sin   cos   nên ta chọn sin   cos   Thay   sin   cos        12  sin  cos     25   vào P 91 7  12 , ta P     = Chọn A 5 25 125 cos   Câu 10 Ta có sin   cos    sin  = ( sin α + cos α ) = 2 2 Suy sin   cos     sin   cos     Do     = 4 suy sin   cos  nên sin   cos   Vậy P   cos   Câu 11 Ta có sin   cos    sin  = ( sin α + cos α ) = 2 ) P  sin   cos = D Suy sin   cos     sin   cos   →( Chọn   m2 − m Chọn D Câu 12 Ta có P  tan   cot   tan   cot    tan .cot   2  2.1 = 2 Chọn B Câu 13 Ta có P  tan   cot   tan   cot    tan  cot  tan   cot    53  3.5 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 = 110 Chọn B TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Website: tailieumontoan.com Câu 14 Ta có sin   cos   Khi 1 2 → sin   cos    ⇔ sin  cos    sin  cos  P  cos  sin  sin α + cos α = sin α cos α  sin   cos2   sin .cos  sin .cos  = − ( sin α cos α ) ( sin α cos α ) 2 = 14 Chọn B Câu 15 Ta có tan   cot   ⇔ tan   Do   Thay tan   1  ⇔ tan   tan  1  ⇔ tan   tan  suy tan   nên tan   1 cot   1 vào 1   cot    tan   P , ta P 1 = −  1 Chọn C   tan    cos     sin    2 2  Câu 16 Ta có  →  → cos      90    180 cot   2  tan    26  2 Thay  Chọn C vào P , ta P   cot   2   4     tan    sin     cos       Câu 17 Ta có  → sin          cot     0            tan    vào , ta P  Chọn A Thay  P    cot       Câu 18 3 1 − sin x + cos x =⇒ ( sin x + cos x ) =⇔ sin x.cos x = − ⇒ sin x.cos x = 4  1+ sin x =  Khi sin x, cos x nghiệm phương trình X − X − = 0⇒  1− sin x =  Ta có sin x + cos x = ⇒ = ( sin x + cos x ) = +) Với sin x = 1+ 5+ ⇒ 3sin x + cos x = 4 +) Với sin x = 5− 1− ⇒ 3sin x + cos x = 4 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Website: tailieumontoan.com Chọn A A = a + 2b tan x + c tan x cos x   2b   2b  2b  a + 2b tan x + c tan x ⇔ A 1 +  = a + b + c ⇔ A + tan x =     a − c   a−c  a−c   A= a cos x + 2b sin x.cos x + c sin x ⇔ Câu 19 ( ) ( a − c ) + ( 2b ) A (a − c) ⇔ = ( a − c ) + ( 2b ) A (a − c) ⇔ a ( a − c ) + 4b ( a − c ) + c 4b 2 (a − c) 2 a ( a − c ) + 4b a = (a − c) = ( a ( a − c ) + 4b 2 (a − c) ) ⇔ A =a Chọn B Câu 20 (1 − t ) ⇒ t2 = a b a+b ab ab ab ⇔ b (1 − t ) + at = ⇔ at + bt − 2bt + b = ⇔ ( a + b ) t − 2bt + b = a+b a+b a+b 2 b ⇔ ( a + b ) t − 2b ( a + b ) t + b = ⇔t= a+b Đặt cos α = t Suy cos α = Vậy: + b a = ;sin α a+b a+b sin α cos8 α + = a3 b3 a (a + b) + b (a + b) = (a + b) Chọn C DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng hệ thức lượng giác bản, đẳng thức đáng nhớ, mối liên hệ cung đặc biệt sử dụng tính chất giá trị lượng giác để biến đổi + Khi chứng minh đẳng thức ta biến đổi vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lượng khác + Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất nhân tử chung tử mẫu để rút gọn làm xuất hạng tử trái dấu để rút gọn cho II VÍ DỤ MINH HỌA : Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 Website: tailieumontoan.com Ví dụ : Biểu thức A = cos 750 + sin 420 có giá trị rút gọn sin ( −3300 ) − cos ( −3900 ) A −3 − 0 B − 3 −1 C D 1− Lời giải Chọn A cos 300 + sin 600 A= = =−3 − 0 sin 30 − cos 30 − π  Ví dụ : Đơn giản biểu thức A = cos  α −  + sin (α − π ) , ta được: 2  A = A cos a + sin a B A = 2sin a C A = sin a – cos a D A = Lời giải Chọn D π  = A cos  − α  − sin (π − α ) A = sin α − sin α = 2  Ví dụ : Đơn giản biểu thức A (1 – sin x ) cot x + (1 – cot x ) , ta : = A A = sin x B A = cos x C A = – sin x D A = – cos x Lời giải Chọn A = A (1 – sin x ) cot x + (1 – cot 2= x ) cot x − cos x + − cot x = sin x III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM: sin 5150.cos ( −4750 ) + cot 2220.cot 4080 Câu Biểu thức A = có kết rút gọn cot 4150.cot ( −5050 ) + tan197 0.tan 730 1 C cos 250 D sin 650 cos 550 2 π  π  π  π  Đơn giản biểu thức = A cos  − α  + sin  − α  − cos  + α  − sin  + α  , ta có : 2  2  2  2  A Câu 2 sin 25 A A = 2sin a Câu B A = cos a C A = sin a – cos a D A = Tính giá trị biểu thức : P  cos A P  1 Câu B  3 5 7  cos  cos  cos 8 8 B P  C P  D P  2 O O O O Tính giá trị biểu thức P  sin 10  sin 20  sin 30   sin 80 A P  B P  C P  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D P  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Website: tailieumontoan.com Câu Tính giá trị biểu thức P  tan10.tan 20.tan 30 tan 80 A P  Câu C P  B P  C P  2 cos x − ta có Đơn giản biểu thức A = sin x + cos x A = A cos x + sin x Câu D P  Tính giá trị biểu thức P  tan10 tan tan 30 tan 89 A P  Câu B P  D P  B A = cos x – sin x C A = sin x – cos x cos x.cot x + 3cos x – cot x + 2sin x không phụ thuộc x Biểu thức A = C B –2 2 tan a − sin a Biểu thức rút gọn A = : cot a − cos a D –3 A Câu A tan a B cos a (1 − tan x ) A= Câu 10 Câu 11 Câu 12 C tan a D sin a không phụ thuộc vào x tan x 4sin x cos x 1 A B –1 C D − 4 2 cos x − sin y Biểu thức B = − cot x.cot y không phụ thuộc vào x, y 2 sin x.sin y Biểu thức − A B –2 C D –1 4 2 8 Biểu thức C= ( sin x + cos x + sin x cos x ) – ( sin x + cos x ) có giá trị không đổi A Câu 13 D A = − sin x – cos x B –2 C D –1 Hệ thức sai bốn hệ thức sau:  + sin a − sin a  B  − tan a  = + sin a   − sin a sin α cos α + cot α sin α + cos α cos α − = C D = cos α + sin α cos α − sin α − cot α − cos α sin α − cos α + tan x + tan y = tan x.tan y A cot x + cot y Câu 14  A P  Q  Câu 15   B P  Q  1 C P  Q  D P  Q  Biết A, B, C góc tam giác ABC , mệnh đề sau đúng: A sin  A  C    sin B B cos  A  C    cos B C tan  A  C   tan B D cot  A  C   cot B Câu 16  Cho P  sin    .cos     Q  sin   .cos    Mệnh đề ? 2  2  Biết A, B, C góc tam giác ABC , A sin C   sin  A  B  B cos C  cos  A  B  C tan C  tan  A  B  D cot C   cot  A  B  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24 Website: tailieumontoan.com Câu 17 A Cho tam giác ABC Khẳng định sau sai ? A C B  cos sin 2 C sin  A  B   sin C B cos A C B  sin 2 D cos  A  B   cos C A, B, C ba góc tam giác Hãy tìm hệ thức sai: 3A  B  C A sin A   sin 2 A  B  C  B sin A   cos A  B  3C C cos C  sin D sin C  sin  A  B  2C  Câu 18 IV HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Ta có : ( ) sin 250 − sin 250 + cot 420.tan 420 sin1550.cos1150 + cot 420.cot 480 ⇔ A= A= cot 550.tan 550 + cot 550.cot ( −1450 ) + tan17 0.cot17 cos 250 − sin 250 + ⇔ A= ⇔ A= 2 Chọn C Câu Ta có: A = sin α + cos α + sin α − cos α ⇔ A = 2sin α Chọn A Câu Ta có :   7   7 7       cos   cos   cos  cos 8 8   3 5  3 5 5     cos   cos   cos  cos   8 8   2      P  cos  cos  8   3   3  3     cos  sin   cos  sin 8 8 8  3 3  Do   P  sin  cos   2.1  Chọn D  8 Vì Câu Do 10O  80O  20O  70O  30O  60O  40O  50O  90O nên cung lượng giác tương ứng đôi phụ Áp dụng công thức sin 90O  x   cosx , ta P  sin 10O  cos 10O   sin 20O  cos 20O   sin 30O  cos 30O   sin 40O  cos 40O       Chọn C Câu Áp dụng công thức tan x tan 90 x   tan x.cot x  Do P  Chọn B Câu Áp dụng công thức tan x tan 90 x   tan x.cot x  Do P  Chọn B Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 25 Website: tailieumontoan.com Câu Ta có: 2 2 cos x − cos x − ( sin x + cos x ) cos x − sin x A = = = sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x x) ( cos x − sin x )( cos x + sin= cos x − sin x = sin x + cos x Như vậy, A = cos x – sin x Chọn B Câu Ta có: A= cos x.cot x + 3cos x – cot x + 2sin 2= x cos x + + cot x ( cos x − 1) 2 x Chọn A = cos x + − cot x.sin= x cos x + − cos= Câu Ta có: tan a − sin a A= = ⇔A cot a − cos a   sin a  − 1 2 a  tan a.tan a  cos tan a = = cot a   cos  − 1  sin a  Chọn A Câu 10 Ta có : (1 − tan x ) A= 2 tan x − tan x ) ( 1   = − − ⋅  4sin x cos x tan x tan x  cos x  (1 − tan x ) − (1 + tan x ) = tan x 2 tan x (1 − tan x ) − (1 + tan x ) = 2 tan x 2 −4 tan x = = −1 tan x Chọn B Câu 11 Ta có : cos x − sin y cos x − sin y cos x.cos y 2 B= − cot x cot y = − sin x.sin y sin x sin y sin x.sin y = cos x (1 − cos y ) − sin y sin x sin y = 2 cos x sin y − sin y sin y ( cos x − 1) = = −1 sin x sin y (1 − cos2 x ) sin y Chọn D Câu 12 Ta có: C= ( sin x + cos x + sin x cos x ) – ( sin x + cos8 x ) 2 2 ( sin x + cos x ) − sin x cos x  – ( sin x + cos x ) − 2sin x cos x  =     2 2 1 − sin x cos x  – ( sin x + cos x ) − sin x cos x  + 2sin x cos x   2 2 1 − sin x cos x  – 1 − sin x cos x  + 2sin x cos x (1 − sin x cos x + sin x cos x ) – (1 − sin x cos x + 4sin x cos x ) + 2sin x cos x =1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 26 Website: tailieumontoan.com Chọn C Câu 13 A vì: tan x + tan y = tan = x.tan y VP 1 + tan x tany = VT B (1 + sin a ) + (1 − sin a ) = + sin a − sin a + 2sin a = VT + = −2 − = − tan = a VP 2 − sin a + sin a − sin a cos a − sin α − cos α sin α + cos α + cot α = = = = VP C VT cos α − sin α sin α − cos α − cot α 2 Chọn D Câu 14 Ta có : P  sin    .cos       sin . cos    sin .cos      Và Q  sin   .cos     cos . sin     sin .cos  2  2  Khi P  Q  sin .cos   sin .cos   Chọn A Câu 15 Vì A, B, C ba góc tam giác suy A  C    B Khi sin  A  C   sin   B   sin B ; cos  A  C   cos   B    cos B tan  A  C   tan   B    tan B ; cot  A  C   cot   B    cot B Câu 16 Chọn B Vì A, B, C góc tam giác ABC nên C  180o   A  B  Do C A  B góc bù  sin C  sin  A  B ; cos C   cos  A  B  Và tan C   tan  A  B ; cot C  cot  A  B  Câu 17 Ta có A  B  C    A  B    C Do cos  A  B   cos   C    cos C Chọn D Câu 18 A, B, C 0 ba góc tam giác  A  B  C  180  A  B  180  C Ta có sin  A  B  2C   sin 1800  C  2C   sin 1800  C    sin C Chọn D Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 27 Website: tailieumontoan.com BÀI KIỂM TRA TỔNG HỢP 15 PHÚT Câu Điểm cuối α thuộc góc phần tư thứ hai đường tròn lượng giác Hãy chọn kết kết sau A sin α > 0; cos α > B sin α < 0; cos α < C sin α > 0; cos α < D sin α < 0; cos α > 5π Kết Câu Cho 2π < a < A tan a > , cot a > Câu B tan a < , cot a < C tan a > , cot a < D tan a < , cot a > 15π π  Cho 7π < α < Xác định dấu biểu thức M sin α tan  + α  = 2  B M > C M ≤ π  Tính giá trị cos  + ( 2k + 1) π  3  A M ≥ Câu π  A cos  + ( 2k + 1) π  = − 3  D M < π  B cos  + ( 2k + 1) π  = 3  π  D cos  + ( 2k + 1) π  = 3  π  C cos  + ( 2k + 1) π  = − 3  Câu Cho biết tan α = Tính cot α 1 A cot α = B cot α = C cot α = D cot α = tan α π Câu Cho góc  thỏa mãn sin α = < α < π Tính P = + tan α 12 12 D P   25 25 sin   3sin .cos   cos  Câu Cho góc  thỏa mãn tan   Tính P  5sin   cos  9 24 A P   B P   C P    D P   65 13 65 29 A P  3 Câu 2003π  A= cos (α + 26π ) − 2sin (α − 7π ) − cos1,5π − cos  α +  B sin α C − cos α   + cos (α − 1,5π ) cot (α − 8π )  D cos α Tính giá trị biểu thức A = sin x + cos x + 3sin x cos x A A = –1 Câu 10 C P  Biểu thức sau có kết thu gọn : A − sin α Câu B P  B A = C A = D A = –4 Hệ thức sau sai? Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com A C Câu sin   1  sin     cos  1  cos   2   tan   cot   sin x  tan x   sin x  cot x tan x B  sin x cos x  tan x  tan x  sin x cos x tan x D tan x  HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ cos x   sin x cos x Điểm cuối α thuộc góc phần tư thứ hai đường tròn lượng giác Hãy chọn kết kết sau A sin α > 0; cos α > B sin α < 0; cos α < C sin α > 0; cos α < D sin α < 0; cos α > Lời giải sin α > Điểm cuối α thuộc góc phần tư thứ hai →   → Chọn C cos α < Câu Cho 2π < a < 5π Kết A tan a > , cot a > B tan a < , cot a < C tan a > , cot a < D tan a < , cot a > Lời giải Chọn A 5π ⇒ tan a > , cot a > 15π π  Cho 7π < α < Xác định dấu biểu thức M sin α tan  + α  = 2  Vì 2π < a < Câu A M ≥ B M > C M ≤ D M < Lời giải Chọn B 15π π  ⇒ tan  + α  < , sin α < 2  π  Tính giá trị cos  + ( 2k + 1) π  3  Vì 7π < α < Câu π  A cos  + ( 2k + 1) π  = − 3  π  C cos  + ( 2k + 1) π  = − 3  π Ta có cos  3 π  B cos  + ( 2k + 1) π  = 3  π  D cos  + ( 2k + 1) π  = 3  Lời giải π  π  π  cos  + π + k 2π  = cos  + π  = + ( 2k + 1) π  = − cos = −  3  3  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 29 Website: tailieumontoan.com Chọn C Tính cot α 1 B cot α = C cot α = Cho biết tan α = Câu A cot α = D cot α = Lời giải Chọn A Câu Cho góc  A P  3 thỏa mãn sin α = B P  tan α      Tính P = + tan α C P  12 25 D P   12 25 Lời giải  cos     sin       cos      tan    Ta có          12 Thay tan    vào P , ta P   Chọn D 25 sin   3sin .cos   cos  Câu Cho góc  thỏa mãn tan   Tính P  5sin   cos  9 24 A P   B P   C P    D P   65 65 29 13 Lời giải Chia tử mẫu P cho cos  ta P Câu tan   tan   2.2  3.2    2 13 tan   5.2  Chọn A Biểu thức: 2003π  A= cos (α + 26π ) − 2sin (α − 7π ) − cos1,5π − cos  α +    + cos (α − 1,5π ) cot (α − 8π ) có  kết thu gọn : A − sin α B sin α C − cos α D cos α Lời giải Ta có: π  A= cos (α + 26π ) − 2sin (α − 7π ) − cos (1,5π ) − cos  α + 2003  + cos (α − 1,5π ) cot (α − 8π ) 2  π π π    A= cos α − 2sin (α − π ) − cos   − cos( α −  + cos  α +  cot α 2 2 2   = A cos α + 2sin α − − sin α − sin α cot= α cos α + sin α − cos= α sin α Chọn B Câu Tính giá trị biểu thức A = sin x + cos x + 3sin x cos x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 30 Website: tailieumontoan.com A A = –1 B A = C A = D A = –4 Lời giải Ta có A = sin x + cos x + 3sin x cos x = ( sin x ) + ( cos x ) + 3sin x cos x 3 =( sin x + cos x ) − sin x.cos x ( sin x + cos x ) + sin x cos x =1 Chọn B Câu 10 A C Hệ thức sau sai? sin   1  sin     cos  1  cos     tan   cot   sin x  tan x   sin x  cot x tan x B  sin x cos x  tan x  tan x  sin x cos x tan x D tan x  cos x   sin x cos x Lời giải Ta có : sin x  tan x sin x cos x    sin x    cos x   sin x  cot x tan x tan x sin x Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 6: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α Định nghĩa   Trên đường tròn lượng giác. .. 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ I PHƯƠNG PHÁP : • Từ hệ thức lượng giác mối liên hệ hai giá trị lượng giác, biết giá trị lượng giác ta suy giá trị lại Cần... TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC I PHƯƠNG PHÁP : • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác • Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng hệ thức lượng