Chuyên đề quan hệ vuông góc luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VNG GĨC Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN A LÝ THUYẾT   Cho véc tơ tùy ý a, b, c k , l ∈  Cộng véc tơ:        OA a= , AB b, OB= a + b Lấy điểm O tùy ý không gian, vẽ=    Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K MN = MK + KN     Trừ véc tơ: a − b = a + (−b)    Quy tắc ba điểm: MN = KN − KM    Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC = AB + AD     Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ ta có AC ′ = AB + AD + AA′ Tích véc tơ:   Tích véc tơ a với số thực k véc tơ Kí hiệu k a  +) Cùng hướng với a k >  +) Ngược hướng với a k <   +) k a = k a    Hệ quả: Nếu I trung điểm A, B, O tùy ý OA + OB = 2OI Tích vơ hướng hai véc tơ      +) Định nghĩa: a.b = a b cos ( a, b )    +) Hệ quả: a ⊥ b ⇔ a.b = 2  2 +) a= a= a a AB + AC − BC     +) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b Gọi a′ hình chiếu vng góc a đường      thẳng chứa b thì: a.b = a′.b +) Với ba điểm A, B, C ta có AB AC = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com   Định nghĩa: Ba véc tơ a, b, c gọi đồng phẳng giá chúng song song nằm mặt phẳng Các định lý:        c ma + nb ( với m, n xác định a) Cho a, b không phương: a, b, c đồng phẳng ⇔ ∃m, n ∈  := nhất)    b) Nếu ba véc tơ a, b, c khơng đồng phẳng véc tơ x biểu diễn dạng:     x = ma + nb + kc với m, n, k xác định B CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh AB G trộng tâm cảu tam giác BCD       1   3     3      , AC c= , AD d Phân tích véc tơ MG theo d , b, c AB b= Đặt=  1   3 B MG = b + c + d − b+ c+ d A MG =     3 − b− c− d D MG = − b− c+ d C MG = Lời giải Đáp án A A M D B G C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com     1      MG = MB + MC + MD = AB + MA + AC + MA + AD 3 3           = AB + MA + AC + AD = AB +  − AB  + AC + AD 3           1 1 1 = − AB + AC + AD = − b+ c+ d 3 3 Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M N theo thứ tự trung điểm cạnh AB CD Mệnh đề ( ) sau sai?         ( ) ( )    AD + BC     D MC + MD − 4MN = MN B.= A AC + BD = AD + BC  C AC + BD + AD + BC = −4 NM ( ) Lời giải: Đáp án D A M B D N C             A.Đúng vì: AC + BD = ( AD + DC ) + ( BC + CD ) = AD + BC     ( AM + MN + ND ) + ( BM + MN + NC )       = MN + ( AM + BM ) + ( ND + NC ) = MN            C.Đúng vì: AC + BD + AD + BC = AN + BN = ( AN + BN ) = −2 ( NA + NB ) = −4 NM B Đúng vì: AC + BD = Vậy D sai   Ví dụ Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều, AD = AC Giá tri cos ( AB, CD ) là: A B Đáp án B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C − Lời giải: D Website: tailieumontoan.com Gọi N trung điểm CD Tam giác BCD nên BN ⊥ CD Tam giác ACD cân A nên AN ⊥ CD ta có:              AB.CD ⇒ cos AB, CD = AB.CD = AN + NB CD = AN CD + NB.CD =   = AB CD ( ) ( )   = CD = a; BC = AD = b; CA = BD = c Giá trị cos ( BC , DA ) là: Cho tứ diện ABCD có AB Ví dụ A a2 − c2 b2 B b2 − c2 a2 C c2 − a2 b2 D a − b2 c2 Lời giải Chọn A          BC.DA= BC DC + CA= CB.CD − CB.CA ( ) 1 CB2 + CD2 − BD2 ) − ( CB2 + CA2 − AB2 ) ( 2 1 = ( AB2 + CD2 − BD2 − CA2 ) = ( 2a2 − 2c2 ) = a2 − c2 2 2   a −c a2 − c2 BC , DA = Vậy cos =    b2 BC DA = ( ) Ví dụ Trong mặt phẳng (  ) cho tứ giác ABCD điểm S tùy ý Mệnh đề sau đúng?     A AC + BD = AB + CD     B SA + SC = SB + CD (Với S điểm tùy ý)     C Nếu tồn điểm S mà SA + SC = SB + SD ABCD hình bình hành      D OA + OB + OC + OD = O giao điểm AC BD Lời giải Đáp án C          A Sai AC + BD = AB + CD ⇔ AC − AB + DC − DB =⇔ B ≡ C (Vơ lí) B Sai vì: Gọi O O ' theo thứ tự trung điểm AC BD Ta có          SA + SC = SO SB + SD= SO ' ⇔ SO= SO ' ⇔ O ≡ O ' điều không ABCD khơng phải hình bình hành C Đúng – Chứng minh tương tự ý B Ví dụ Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M trung điểm AA ' , O tâm hình bình hành ABCD Cặp ba vecto sau đồng phẳng?       A MO, AB B ' C B MO, AB A ' D '       C MO, DC ' B ' C D MO, A ' D B ' C ' Lời giải Đáp án A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com D' C' A' B' D M C O A B Cách 1: Ta có MO // ( CDA ' B ' ) ; AB / / A ' B ' ⇒ AB // ( CDA ' B ' ) , B ' C ' nằm mặt phẳng    ( CDA ' B ') nên vecto MO, AB, BC ( CDA ' B ')  dồng phẳng có giá song song hay nằm mặt phẳng 1       A ' B ' + B 'C = A' B ' + B 'C ' = AB + B ' C = A 'C 2 2    Vậy vecto MO, AB, BC đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD M N theo thứ tự trung điểm AB CD Bộ ba vecto đồng phẳng?       A BC , BD, AD B AC ; AD; MN       C BC ; AD; MN D AC ; DC ; MA Cách 2: Ta có MO= ( ) ( ) Lời giải Đáp án C A M D B N C     AD = AM + MN + ND     BC = BM + MN + NC       ⇒ AD + BC = MN ⇒ MN = AD + BC 2    Vậy ba vecto BC ; AD; MN đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD M điểm đoạn AB MB = MA N điểm đường thẳng      CD mà CN = kCD Nếu MN , AD, BC đồng phẳng giá trị k là: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A k = B k = C k = D k = Lời giải Đáp án A A M N B Q D N C Qua M vẽ mặt phẳng (α ) song song với AD BC (α ) cắt AC P , BD Q CD N Ta có MP //PN //AD    Các vecto MN , AD, BC có giá song song hay nằm mặt phẳng (α ) nên đồng phẳng   Ta có CN = CD Vậy k = 3   Ví dụ Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 M điểm cạnh AD cho AM = AD N điểm đường thẳng BD1 P điểm đường thẳng CC1 cho M , N , P thẳng hàng  MN Tính  NP A B C D Lời giải Đáp án B P D1 C1 A1 B1 C D M A        B     BN xBD1= = yc AB a= , AD b= , AA1 c và= ; CP yCC Đặt = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com STUDYTIP      Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo vecto a, b, c   Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên MN = α NP (1)     Ta có: MN = MA + AB + BN     1  1  =− b + a + xBD1 =− b + a + x BA + BC + BB1 3        1  =− b + a + x −a + b + c =(1 − x ) a +  x −  b + xc ( ) 3  ( ( ) ) Ta lại có:             NP =NB + BC + CP =− xBD1 + b + yc =− x b − a + c + b + yc     ⇒ NP = xa + (1 − x ) b + ( y − x ) c ( 3) ( ) Thay (2), (3) vào (1) ta được: 1 − x = αx  3  α = ,x = ,y  x − = α (1 − x ) Giải hệ ta được= 3   x α ( y − x ) =  MN Vậy  = NP Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, CB, AD G   trọng tâm tam giác BCD, α góc vectơ MG NP Khi cos α có giá trị là: A 2 B C Đáp án: C Lời giải:    Đặt= AB a= ; AC b= ; AD c;           (a + b + c) ⇒ MG = AG − AM = (−a + 2b + 2c) ⇒ AG =       PN= AN − AP= (a + b − c) Khơng tính tổng qt, giả sử độ dài cạnh tứ diện       ⇒ a = b = c = a= b b= c c= a 1.1.c os60=     MG.PN cosα cos( MG= , PN )   (*) ⇒= MG PN         Ta có: ⇒ MG.PN= (−a + 2b + 2c)(a + b − c) 12           2 1 = (−a − ab + ac + 2ab + 2b − 2bc + 2ac + 2bc − 2c ) = 12 12 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D         (−a + 2b + 2c) 2= ; PN= (a + b − c) = MG= 2 Thay vào (*) ta 1 12 = ⇒ cosα = = = (*) 2 Website: tailieumontoan.com 2 C.Bài tập rèn luyện kỹ Câu 1: Cho ABCD A1 B1C1 D1 hình hộp, với K trung điểm CC1 Tìm khẳng định khẳng định sau:         A AK = AB + AD + AA1 B AK = AB + BC + AA1         D AK =AB + AD + AA1 C AK = AB + AD + AA1 2 Hướng dẫn giải          Có AK = AC + CK = ( AB + AD) + AA1 = AB + AD + AA1 2 B A C D K A1 D1 B1 C1 Chọn A Câu 2: M CD1 ∩ C1 D Khi đó: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 với =         AM = AB + AD + AA1 AM = AB + AD + AA1 2 2 A B         AM = AB + AD + AA1 AM = AB + AD + AA1 2 C D Hướng dẫn giải ( hính vẽ câu 1)           Ta có: AM =AD + DM =AD + DC1 =AD + ( DC + DD1 ) =AD + AB + AA1 2 Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 3:       Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Khi đó: tổng góc ( D1 A1 , C C1 ) + (C1 B, DD1 ) + ( DC1 , A1 B) là: A 1800 B 2900 C.3600 D 3150 Hướng dẫn giải B A C D K A1 D1 B1 C1 Ta có:   ( D1 A1 , C C1 ) = 900     (C B , DD ) ( C 1350 = = 1 B, CC1 )     ( DC (= DC1 , D1C ) 900 = , A1 B )       ⇒ ( D1 A1 , C C1 ) + (C1 B, DD1 ) + ( DC1 , A1 B ) = 900 + 1350 + 900 = 3150 Chọn D Câu 4:       D Cho hình lập phương ABCD A1 B1C , đặt = α ( AC = , DC ); β ( = DA , BB ); γ ( AA1 , C1C ) 1 1 Khi đó: α + β + γ : A 3600 B 3750 C 3150 D 2750 Hướng dẫn giải ( hình câu 3)   = α ( AC = , DC1 )   DA1 , BB1 ) = β (=   AA1 , C1C ) = γ (=   (= AC , AB1 ) 600   ( DA 1350 = , A1 A)   (= AA1 , A1 A) 1800 ⇒ α + β + γ = 600 + 1350 + 1800 = 3750 Chọn B Câu 5:   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB=6; AD=4; AB AD = 12 Tính   ( SC − SA) A 76 B 28 C 52 D 40 Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Gọi SA = SB = SC = a Ta có: SAC ⇒ AC =SA =a SAB vuông cân S ⇒ AB = a 2; BC = SB + SC − 2SB SC cosBSC = a ⇒ AC + AB = BC ⇒ABC vuông A Gọi I trung điểm BC I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi d ( ) = SB = SC nên S ∈ d trục tam giác ABC d qua  I d ⊥ ABC Mặt khác: SA ( Vậy SI ⊥ ABC Câu 44: ) ( ) nên I hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC Đáp án D ( ) Ta có SA ⊥ ABCD ⇒ SA ⊥ BD Do tứ giác ABCD hình thoi nên BD ⊥ AC , mà SA ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC ) hay BD ⊥ SC , BD ⊥SO AD khơng vng góc với SC Câu 45: Đáp án A ( ) ( ) ( ) ( Mặt phẳng P vng góc với OH nên P song song với SO Suy P ∩ SAH tuyến đường thẳng qua I song song với SO cắt SH K Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ) theo giao ( ) ( ) ( Từ giả thiết suy P / / BC , P cắt (ABC), SBC Website: tailieumontoan.com ) đường thẳng qua I K song song với BC cắt AB, AC,SB,SC M, N, Q, P Do thiết diện tứ giác MNPQ Ta có MN PQ song song với BC suy I trung điểm MN K trung điểm PQ , lại có tam giác ABC tam giác SBC cân S suy IK vng góc với MN PQ nên MNPQ hình thang cân Đáp án D Câu 46: ( ) Ta có BD ⊥ AC , BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ SAC ⇒ BD ⊥ SC , O trung điểm BD ⇒ (SAC ) mặt phẳng trung trực cyả đoạn BD Ta có OI song song SA suy IO ⊥ ( ABCD ) Câu 47: Vậy SA = SB = SC khẳng đính sai Đáp án D ( ) ( ) Vì SA ⊥ ABCD ⇒ AC hình chiếu vng góc SC lên ABC D Suy góc SC ( mp ABC D tanα = Câu 48:  Xét tam giác SAC SCA ) góc SC & AC ⇒ α = vng A có: SA a = = ⇒ α = 60° AC a Đáp án A Gọi M , N , P hình chiếu S lên cạnh AB , AC , BC Theo định lý ba đường vng góc ta có M , N , P hình chiếu H lên cạnh AB , AC , BC  =SNH  =SPH  ⇒SMH =SNH =SPH ⇒ HM = HN = NP ⇒ SMH ⇒ H tâm đường tròn nội tiếp ABC Câu 49: Đáp án A a ⊥ b a c trùng nên đáp án A sai b ⊥ c Nếu  Câu 50: Đáp án D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Có AB ⊥ BC ⇒ABC tam giác vng B ( ) Website: tailieumontoan.com SA ⊥ AB ⇒SAB , SAC tam giác vuông A SA ⊥ AC  Ta có SA ⊥ ABC ⇒  AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ SB ⇒SBC tam giác vuông B SA ⊥ BC Mặt khác  Vậy bốn mặt tứ diện tam giác vuông nên đáp án D Câu 51: Đáp án D AB ⊥ BC AE ⊥ SB ⇒ BC ⊥ (SAB ) ⇒ BC ⊥ AE Vậy:  ⇒ AE ⊥ SC (1) SA ⊥ BC AE ⊥ BC Tương tự: AF ⊥ SC (2) Từ (1); (2) ⇒ SC ⊥ ( AEF ) Vậy đáp án D Ta có:  Câu 52: Đáp án B ’ A A= ’B A’D ⇒ Hình chiếu A’ ( ABCD ) trùng với H tâm đường trịn ngoại Vì A= tiếp ∆ABD (1)  = 600 nên ∆ABD tam giác (2) Mà tứ giác ABCD hình thoi BAD Từ (1) (2) suy H trọng tâm ∆ABD Câu 53 Đáp án C Gọi M trung điểm BC BC ⊥ AM (1) Hiển nhiên AM = a Mà SA ⊥ ( ABC ) ⇒ BC ⊥ SA (2) Từ (1) (2) suy ra: BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( P) ≡ ( SAM ) Khi đó, thiết diện hình chop S.ABC cắt ( P ) ∆SAM ∆SAM vuông A nên: 1 a 3a S ∆SAM =SA AM =⋅ ⋅a = 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 54 Đáp án A Tứ giác ABCD hình vng cạnh a nên AC = a SA ⊥ ( ABCD) ⇒ AC hình chiếu vng góc SC lên ( ABCD )  góc SC lên ( ABCD ) ⇒ SCA Tam giác SAC vuông A nên:  = SA =a ⋅ = ⇒ SCA  =300 tan SCA AC a Câu 55 Đáp án D I  A ' C ∩ AC ' = Gọi  H C ' D ∩ CD ' = C ' D ⊥ CD ' ⇒ C ' D ⊥ ( A ' BCD ') Mà  C ' D ⊥ A ' D ' ⇒ IH hình chiếu vng góc AC' lên ( A’BCD’)  ⇒C ' IH góc AC' lên ( A’BCD’)  Mà tan C ' IH= C 'H = IH ⋅ 2= 2 Câu 56 Đáp án D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  SH ⊥ AH  SH ⊥ ( ABC ) ⇒  SH ⊥ BH  SH ⊥ CH  Xét ba tam giác vuông ∆SHA, ∆SHB, ∆SHC có: = SB = SC  SA ⇒ ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC   SH chung ⇒ HA = HB = HC mà H ∈ ( ABC ) ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Câu 57 Đáp án C Gọi N trung điểm BC =  SB SC  BC ⊥ SN ⇒ ⇒ BC ⊥ ( SAN )  =  AB AC  BC ⊥ AN  M ∈ ( P) Theo ra: BC ⊥ ( P) ⇒  ( P) / /(SAN) Kẻ MI / / AN , MK / / SA ⇒ Thiết diện ( P ) tứ diện SABC ∆KMI ∆ABC ∆SBC hai tam giác cạnh a a a ⇒ AN= SN= = SA ⇒ ∆SAN tam giác cạnh ⇒ ∆KMI tam giác cạnh 2 a −b 3  a −b  ⋅ ⇒ S ∆KMI = ⋅  a 16  a  Câu 58 Đáp án B Câu A: sai b vng góc với a Câu B bởi: a / /( P) ⇒ ∃a ' ∈ ( P) cho a '/ / a , b ⊥ ( P ) ⇒ b ⊥ a ' Khi đó: a ⊥ b Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu C câu D sai vì: b nằm (P) Vậy: chọn đáp án B Câu 59 Đáp án C a ,= SB a Có SM ⊥ ( ABC ) nên AM hình chiếu  SA lên ( ABC ) AM = BM = ( )    ⇒ SA ,( ABC ) = ( SA , AM ) = SAM Áp dụng định lý Pytago: SM = SB − AM = a Xét tam giác SAM có: SM = = tan SAM =3 ⇒ SAM 600 AM Câu 60 Đáp án A Câu 61 Đáp án A Vì qua đường thẳng dựng vơ số mặt phẳng Câu 62 Đáp án D Thiết diện hình thang vng qua trung điểm cạnh AB,CD,CS,SB, nên diện tích thiết diện là:    BC + BC  ⋅ SA (8 + 4).6  = S  = = 36 2 Câu 63 Đáp án C Theo ra, hình chóp SABC hình chóp tam giác Gọi H trung điểm BC , ta có: SG ⊥ ( ABC ) , G ∈ AH a2 b − a , SH = = Mặt khác, ta có: AH 2 a2 2  =b ⋅ −  AG  =b ⋅ − = 3b − a ⇒ SG =SA.sin SAG   b2  SA  Câu 64 Đáp án C  Để C1 nằm S C AS C < 900 2b − a  ⇒ cos AS C >0⇔ >0⇔b >a 2b Câu 65 Đáp án C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 O , SA Do hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm= SO ⊥ ( ABCD) Câu 66 Đáp án C Website: tailieumontoan.com = SC, SB CD ⊥ AP ⇒ CD ⊥ ( APB) ⇒ BG ⊥ CD Ta có:  CD ⊥ BP   AD ⊥ CM ⇒ AD ⊥ ( BCM ) ⇒ BG ⊥ AD Tương tự:   AD ⊥ BM Suy ra: BG ⊥ ( ACD) ⇒ BG ⊥ AP Kẻ KL qua trọng tâm G ∆ACD song song với CD ⇒ AP ⊥ KL ⇒ ( P) mặt phẳng  BKL KL =CD = ( ) ⇒ ( ACD) ∩ (BKL) = Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều: Gọi G trọng tâm Δ ACD G tâm ∆ACD BG ⊥ ( ACD) SD nên Trong mp ( ACD ) , kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt AC , AD K, L Ta có: ( BKL) ⊥ ( ACD) , AP ⊥ KL ⇒ AP ⊥ ( BKL) KL =CD = Vậy: ( P) ≡ ( BKL) ⇒ ( ACD) ∩ (BKL) = Câu 67 Đáp án B  AC ,( ABCD = ) CAC = α Ta có:  ( ⇒ tan α = ) 1 CC1 a = = AC a 2 Câu 68 Đáp án A ( P) Kẻ AE ⊥ BC , SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAE ) = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Thiết diện mặt phẳng ( P ) hình chóp S ABC tam giác SAE có diện tích Câu 69 Đáp án C H EF ∩ SD Gọi = Do AD ⊥ BC , SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAD ) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ EF ⊥ AH ⇒ S AEF = EF AH EF = BC a Mà= a S AEF =a Do H trung điểm SD ⇒ AH =⇒ Câu 70 Đáp án A Ta có:  A ' D ⊥ AD '   A' D ⊥ C ' D '  (t / c hv) (C ' D ' ⊥ ( A ' D ' DA)) ⇒ A ' D ⊥ ( AC ' D ') ⇒ A ' D ' ⊥ AC '  A ' B ⊥ AB '    A ' B ⊥ B 'C '  (1) (t / c hv) ( B ' C ' ⊥ ( A ' D ' DA)) ⇒ A ' B ⊥ ( AB ' C ') ⇒ A ' B ⊥ AC ' Từ (1),(2) ⇒ AC ' ⊥ ( A ' BD ) Câu 71 Đáp án C (2) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 a2 Website: tailieumontoan.com Ta có: S ∈ ( SAB ) ⇒ S hình chiếu S ( SAB ) (1)  BC ⊥ AB    BC ⊥ SA (t / c hv ) ⇒ BC ⊥ ( SAB ) (SA ⊥ ( ABCD )) ⇒ B hình chiếu C ( SAB ) (2) ( ) ( )   = ,( SAB ) = SC , SB = BSC a Từ (1),(2) ⇒ SC Xét tam giác SAB vng A ta có: SB = SA2 + AB = a Xét tam giác SBC vng B ta có: BC a tan= α = = SB a 2 Câu 72 Đáp án C  BH ⊥ AC (gt)  Ta có:   (SA ⊥ ( ABCD ))  BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ SC  ,( BHK ) = 90 Mà BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( BHK ) ⇒ SC ( ) Câu 73 Đáp án B ABCD hình vng cạnh 2a ⇒ AC= 2a ⇒ AO= a Ta có: SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ OA hình chiếu SA  = 45 Vậy góc SA ( ABCD ) SAO = Xét tam giác SAO ta có tan SAO SO ⇒ SO = a AO Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Câu 74 Đáp án B   AB ⊥ AD Ta có:   AB ⊥ SA  Website: tailieumontoan.com (t/ c hv) (SA ⊥ ( ABCD )) ⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ AB ⊥ SD Giả sử SB ⊥ SD ⇒ SD ⊥ ( SAB ) (vô lý) Hay ∆SBD tam giác vuông Câu 75 Đáp án B Cách 1: Dựng CK ⊥ IC ' K , d (C ; IC ' ) = CK OC '.CI Xét ∆ICC ' , ta có: OC '.CI = CK IC ' ⇒ CK = IC ' Mà: a = = = OC ' OC.tan 60° a a , IC= '2 OI + C ' O 2 a 13a 2 = +a = 12 12 3a 13 ⇒ d (C ; IC ') = CK = 13 = CI Cách 2: Dựng OH ⊥ IC ' , ta có OI = CI ⇒ d (C ; IC ' ) = 3d (O; IC ' ) = 3OH Sau dùng công thức: 1 = + 2 OH OI OC '2 hay OH IC ' = OI OC ' Suy OH Câu 76 Đáp án C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Vì ∆CC' A vng C nên ta dựng CH ⊥ AC ' CH khoảng cách từ C đến AC ' 1 1 = + = 2+ = 2 2 CH CA CC ' a 2a 2a a a 2a ⇒ CH = ⇒ CH = = 3 Câu 77 Đáp án A Do SABC hình chóp nên SO ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆SAO vuông O , dựng OH ⊥ SA Câu 78 Đáp án D ⇒ = 1 1 = + = + 2 2 OH OA OS a 3 a 3             a a 3 + = ⇒ OH = = a a a 6 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Cách 1: Gọi I hình chiếu A BM H hình chiếu A SI  AH ⊥ SI ⇒ ⇒ AH ⊥ ( SBM )  AH ⊥ BM ⇒ AH = d ( A; ( SBM )) Gọi N trung điểm AB ⇒ DN song song BM ⇒ d ( D; ( SBM )) = d ( N ; ( SBM )) = d ( A; ( SBM )) Mặt khác ta có hình chiếu vng góc DS lên (SAC ) SO ⇒ DSˆO = 30° Đặt DO = x ⇒ SO = x (O = AC ∩ BD) a Từ SO= ⇒ BD= a ⇒ ABCD hình vng cạnh a AO + SA2 ⇒ x= a2 ⇒ S ABM = S ABCD − S BCM = 1 2a a 2a ⇒ = ⇒ d ( D; ( SBM )) = + ⇒ AH = Mà S ABM = AI BM ⇒ AI = 2 AH AI SA 3 1 1 = + + Cách 2: 2 AH AK AB AS 2a = + = ⇒ AH = a 4a 4a a ⇒ d ( D; ( SBM )) = AH = Câu 79 Đáp án C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Trong mặt phẳng ( ABC ) dựng HK ⊥ BC K ⇒ BC ⊥ (SKH ) Từ giả thiết ta có SHˆ K = 30°, BC = AB + AC = 4a Ta có sin ABC = ⇒ HK = AC HK = = BC HB a a Do M trung điểm cạnh BC nên MH song song AC ⇒ MH song song (SAC ) ⇒ d ( M ; ( SAC )) = d ( H ; ( SAC )) Trong mặt phẳng (SAB) kẻ DH ⊥ SA D ta có: AC ⊥ ( SAB) ⇒ AC ⊥ DH Trong ∆SHK ta có SH = HK tan SKH = ⇒ DH ⊥ ( SAC ) ⇒ a 1 = + ⇒ HD = 2 DH HA HS Vậy d ( M ; ( SAC )) = d ( H ; ( SAC )) = HD = Câu 80 Câu 80: Đáp án A a 5 Theo giả thiết mặt phẳng ( AB' C ' ) tạo với ( A' B' C ' ) góc 60° nên AKˆ A' = 60° Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ta có A' K = a A' C ' = 2 a d ( B; ( AB ' C ' )) = d ( A' ; ( AB' C ' )) Dựng A' H ⊥ AK ⇒ A' H ⊥ ( AB' C ' ) ⇒ d ( A' ; ( AB ' C ' )) = A' H ⇒ AA' = A' K tan 60° = Tính A' H = Câu 81 Đáp án B a = d ( BC ; ( AB ' C ' ))  AB = AD ⇒ ∆BAD cạnh a Theo giả thiết  ˆ  BAD = 60° ⇒ OA ⊥ OB OO' ⊥ ( ABCD ) ⇒ Tứ diện OSAB vng O có a a ; OA = ; OS = a 2 1 1 ⇒ = + + 2 d (O; ( SAB)) OA OB OS 1 4 = + + = 2+ 2+ 2 a 3a a a a 3 a       2   OB = 19 a ⇒ d (O; ( SAB)) = 3a 19 Câu 82 Đáp án C = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Gọi K trung điểm C1 F Do ∆A1 B1C1 nên A1 F ⊥ B1C1 ⇒ EK ⊥ B1C1 EK song song A1 F ⇒ A1 F song song (DEK ) Dựng FH ⊥ DK ⇒ d (= DE; A1 F ) d ( A1 F= ;( DEK )) FH (vì FH ⊥ (DEK ) ) Trong tam giác vuông DFK ta có: 1 1 1 16 17 = + = 2+ = 2+ = 2 2 FH FD FK a a a a a   4 a ⇒ FH = 17 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ... BN − AM BN c osϕ ? ?Góc hai đường thẳng Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa: Góc hai đường thẳng cắt a b góc nhỏ bốn góc mà a b cắt tạo nên Góc hai đường thẳng cắt a b không gian góc hai đường thẳng... PHẲNG VUÔNG GÓC GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Định nghĩa  Góc hai mặt phẳng (α ) ( β ) góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng  Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc chúng phương pháp tính góc. .. Q ) D Góc đường thẳng a mặt phẳng ( P ) góc đường thẳng b mặt phẳng ( P) Câu a b song song Mệnh đề mệnh đề sau? A Góc hai mặt phẳng ln góc nhọn B Góc mặt phẳng ( P ) mặt phẳng ( Q ) góc mặt