Chuyên đề tổ hợp xác suất luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 39: TỔ HỢP – XÁC SUẤT(XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Qui tắc đếm :  Quy tắc cộng: Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực  Nếu A B tập hợp hữu hạn khơng giao thì: n ( A ∪ B )= n ( A ) + n ( B )  Quy tắc nhân: Một công việc hoành thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc Hốn vị, Chính hợp, tổ hợp  Hoán vị : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử + Số hốn vị Pn n ! ( n ≥ 1) Kí hiệu Pn số hoán vị n phần tử Ta có:=  Chỉnh hợp : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho +Số chỉnh hợp = Ank Kí hiệu Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) Ta có: n! (1 ≤ k ≤ n ) ( n − k )!  Tổ hợp : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập hợp gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho + Số tổ hợp: Kí hiệu Cnk số tổ hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n) Ta có: Cnk = n! (0 ≤ k ≤ n) k !(n − k )! Tính xác xuất :  Tính xác suất định nghĩa : Cơng thức tính xác suất biến cố A : P ( A ) = n ( A) n (Ω)  Tính xác suất cơng thức : Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com + Quy tắc cộng xác suất : * Nếu hai biến cố A, B xung khắc P ( A ∪ B= ) P ( A) + P ( B ) P ( A1 ) + P ( A2 ) + + P ( Ak ) * Nếu biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak xung khắc P ( A1 ∪ A2 ∪ ∪ A= k) ( ) + Cơng thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất biến cố A biến cố A là: P A = − P ( A) + Quy tắc nhân xác suất : * Nếu A B hai biến cố độc lập P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) * Một cách tổng quát, k biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak độc lập P ( A1 , A2 , A3 , , Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak ) II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Mô tả không gian mẫu, biến cố  Mối liên hệ biến cố  Tính xác suất định nghĩa  Tính xác suất cơng thức cộng xác suất  Tính xác suất cơng thức nhân xác suất  Tốn tổng hợp hai công thức xác suất … BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có ghế kê thành hàng ngang Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế có học sinh Xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B A B 20 C 15 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính xác suất biến cố HƯỚNG GIẢI: Do học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B nên ta xếp chỗ cho học sinh lớp C trước Lưu ý: Nếu học sinh lớp C ngồi đầu dãy cần học sinh lớp B ngồi bên cạnh, cịn học sinh lớp C khơng ngồi đầu dãy bên học sinh phải học sinh lớp B B1: Xét TH1: học sinh lớp C ngồi đầu dãy Sử dụng quy tắc nhân để tính số cách xếp học sinh cịn lại vào dãy ghế B2: Xét TH2: học sinh lớp C không ngồi đầu dãy Sử dụng quy tắc nhân để tính số cách xếp học sinh cịn lại vào dãy ghế Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com B3: Sử dụng quy tắc cộng để tính số cách xếp chỗ cho học sinh thỏa mãn để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B B4: Sử dụng quy tắc tính xác suất để tính xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Số cách xếp học sinh vào ngồi dãy ghế là: 6! cách Do học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B nên ta xếp chỗ cho học sinh lớp C trước TH1: học sinh lớp C ngồi vị trí đầu dãy ghế: Có cách + Chọn học sinh lớp B học sinh lớp B xếp cạnh học sinh lớp C: Có cách + Xếp học sinh lớp A học sinh lớp B cịn lại vào ghế trống: Có 4! cách Vậy có 2.2.4! = 96 (cách) TH2: học sinh lớp C khơng ngồi vị trí đầu dãy Vì học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B nên ta xếp học sinh lớp B ngồi bên học sinh lớp C: Có cách Coi học sinh nhóm cố định + Xếp học sinh lớp A nhóm học sinh nói vào ghế trống: Có 4! cách Vậy có 2.4! = 48 (cách) Số cách xếp chỗ cho học sinh thỏa mãn để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B là: 96 + 48 = 144 (cách) Suy xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B là: 144 = 6! Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, 3,…, Rút ngẫu nhiên hai lần, lần thẻ nhân số ghi hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận số chẵn A 14 B 25 36 C D 11 14 Lời Giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = × = 56 Gọi A biến cố: “tích nhận số lẻ” n ( A ) = × = 12 ⇒ n( A) = 56 − 12 = 44 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com ) = ⇒ xác suất biến cố A : P ( A Câu n( A) 44 11 = = n(Ω) 56 14 Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, 3,…, Rút ngẫu nhiên hai lần, lần thẻ nhân số ghi hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận số chẵn là: A B 25 36 Lời Giải C D 13 18 Chọn D Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = × = 72 Gọi A biến cố: “tích nhận số lẻ” n ( A ) = × = 20 ⇒ n( A) = 72 − 20 = 52 ⇒ xác suất biến cố A : P ( A= ) Câu n( A) 52 13 = = n(Ω) 72 18 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số lập từ tập X = {0;1; 2;3; 4;5;6;7} Rút ngẫu nhiên số thuộc tập S Tính xác suất để rút số mà số đó, chữ số đứng sau ln lớn chữ số đứng trước A B 11 64 C 16 D 32 Chọn C Từ số cho lập : số có3 chữ số Số cần chọn có dạng abc a ≤ b ≤ c TH1: a < b < c Chọn số thuộc tập {1; 2;3; 4;5;6;7} ta số thỏa mãn Do có C37 = 35 số TH2: a= b < c có C72 số thỏa mãn TH3: a < b = c có C72 số thỏa mãn TH4: a= b= c có C17 số thỏa mãn Vậy có: C37 + 2C72 + C17 = 84 số thỏa mãn chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước Vậy xác suất cần tìm là:= P Câu 84 = 448 16 Đội niên tình nguyện trường THPT gồm 15 HS, có HS khối 12, HS khối 11 HS khối 10 Chọn ngẫu nhiên HS thực nhiệm vụ Tính xác suất để HS chọn có đủ khối A 4248 5005 B 757 5005 C 151 1001 D 850 1001 Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Số phần tử không gian mẫu n ( Ω )= C156= 5005 Gọi A biến cố: “6 HS chọn có đủ khối” Xét trường hợp biến cố A + Số cách chọn HS bao gồm khối 10 11: C116 − C66 + Số cách chọn HS bao gồm khối 10 12: C106 − C66 + Số cách chọn HS bao gồm khối 11 12: C96 + Số cách chọn HS khối 10: C66 ( ) 6 6 Vậy n A = C11 + C10 + C9 − C6 = 755 ⇒ n ( A ) = 5005 − 755 = 4250 4250 850 = 5005 1001 Từ hộp chứa 12 cầu, có màu đỏ, màu xanh màu vàng, lấy ngẫu nhiên Xác suất để lấy cầu có hai màu bằng: Vậy xác suất cần tìm là: P= ( A) Câu A 23 44 B 21 44 C 139 220 D 81 220 Lời giải Chọn C Số phần tử không gian mẫu là: n ( Ω = ) C123= 220 Gọi A biến cố: “Lấy cầu có hai màu” - Trường hợp 1: Lấy màu vàng màu đỏ có: C82 = 28 cách - Trường hợp 2: Lấy màu vàng màu xanh có: C32 = cách - Trường hợp 3: Lấy màu đỏ màu xanh có: C81.C32 = 24 cách - Trường hợp 4: Lấy màu xanh màu đỏ có: C31.C82 = 84 cách Số kết thuận lợi biến cố A là: n ( A ) = 28 + + 24 + 84 = 139 cách Xác suất cần tìm là: P= ( A) Câu n ( A ) 139 = n ( Ω ) 220 Một trường có 50 em học sinh giỏi có cặp anh em sinh đơi Cần chọn học sinh số 50 học sinh để tham gia trại hè Tính xác suất em khơng có cặp anh em sinh đơi A 1225 1216 B 1225 Lời giải 12 C 1225 1213 D 1225 Chọn A Câu 3 Số cách chọn học sinh mà khơng có điều kiện 𝐶50 cách ⇒ |𝛺| = 𝐶50 Ta loại trừ trường hợp có cặp anh em sinh đôi Đầu tiên ta chọn cặp sinh đơi có cách chọn Sau chọn học sinh cịn lại từ 48học sinh, có 48 cách chọn Vậy số cách chọn em học sinh thỏa yêu cầu đề là: 𝐶50 − 4.48 = 19408 |𝛺𝐴 | 19408 1213 Vậy xác suất cần tìm 𝑃 = |𝛺| = 𝐶 = 1225 50 Một hộp kín có bút bi màu xanh khác 10 bút bi màu đỏ khác Lấy ngẫu nhiên bút bi Xác suất để lấy bút bi xanh bút bi đỏ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com A 200 273 B C D 45 91 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) =C153 C51.C102 Gọi A biến cố lấy bút bi xanh bút bi đỏ ⇒ n ( A ) = Xác suất biến cố A = P ( A) Câu C51.C102 45 = C153 91 Xếp ngẫu nhiên bốn bạn nam năm bạn nữ ngồi vào chín ghế kê theo hàng ngang Xác suất để có năm bạn nữ ngồi cạnh bằng: A 21 B 2520 C 126 D 18 Lời giải Chọn C Ta có: n ( Ω ) = 9! = 362880 Gọi biến cố A : “Xếp năm bạn nữ ngồi cạnh nhau” ⇒ n ( A ) = C51 × 5!× 4! = 14400 Khi đó: P= ( A) Câu n ( A ) 14400 = = n ( Ω ) 362880 126 Cho tập A = {1;2;3;4;5;6} Tính xác suất biến cố chọn số tự nhiên có chữ số khác lập từ tập A, cho tổng chữ số A 20 B 20 C 20 D 20 Lời giải Chọn D Gọi A biến cố: “ số tự nhiên chữ số khác nhau, có tổng chữ số “ - Số số tự nhiên có chữ số khác lập là: A63 = 120 ⇒ Khơng gian mẫu: Ω =120 - Ta có + + 6= 9;1 + + 5= 9;2 + + 4= 18 ⇒ Số số tự nhiên có chữ số khác có tổng là: 3!+ 3!+ 3! = ⇒ n ( A) = 18 ⇒ P (= A) n ( A) 18 = = Ω 120 20 Câu 10 Gọi A tập hợp số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tập hợp A Tính xác suất để số chia hết cho Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com A 41 B C 10 41 D 50 Lời giải Chọn A Gọi số tự nhiên có chữ số có dạng abc Vì abc số tự nhiên chẵn nên c ∈ {0, 2, 4, 6,8} TH1: c = Ta có A92 = 72 số tự nhiên chẵn ( ) 256 số tự nhiên chẵn TH2: c = 2, 4, 6,8 Ta có A9 − A8 = Vậy, số phần tử tập hợp A là: 328 số tự nhiên chẵn, suy Ω = 328 Gọi X biến cố số lấy ngẫu nhiên từ A chia hết cho 5, suy Ω A = 72 Vậy, xác suất xảy biến cố A PA = ΩA 72 = = Ω 328 41 Câu 11 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Xác suất để số chọn có tổng chữ số lẻ bằng: A 41 81 B 40 81 C 16 81 D Lời Giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = × × = 648 Gọi A biến cố: “tổng chữ số số lẻ ” Gọi số cần tìm là: abc ( a, b, c ∈  ) 60 số Th1: ba chữ số a, b, c lẻ có × × = Th 2: hai chữ số chẵn chữ số lẻ có: • a chẵn, b chẵn, c lẻ có × × = 80 số • a chẵn, b lẻ, c chẵn có × × =80 số • a lẻ, b chẵn, c chẵn có × × = 100 số ⇒ n( A) = 60 + 80 + 80 + 100 = 320 ⇒ xác suất biến cố A : P(= A) n( A) 320 40 = = n(Ω) 648 81 Câu 12 Cho tập hợp A ={1; 2; 3; 4; 5} Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác lập thành từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác xuất để số chọn có tổng chữ số 10 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com A 30 B 25 C 22 25 D 25 Lời giải Chọn B Số phần tử tập n ( S ) = A53 + A54 + P5 = 300 Các số có tổng 10: {( 2,3,5) ; (1, 4,5) ;(1, 2,3, 4)} n ( B ) = P3 + P4 = 36 ⇒ P ( B ) = n ( B ) 36 = = n ( S ) 300 25 Câu 13 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Xác suất để số chọn có tích chữ số chẵn A 41 81 B 49 54 C D 98 135 Lời Giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = × × = 648 Gọi A biến cố: “Số chọn có tích chữ số lẻ” ( ) n A = × × = 60 ⇒ n ( A ) = 648 − 60 = 588 ⇒ xác suất biến cố A : P (= A) n( A) 588 49 = = n(Ω) 648 54 Câu 14 Một tập thể có 14 người có hai bạn tên A B Người ta cần chọn tổ công tác gồm người Tính số cách chọn cho tổ phải có tổ trưởng tổ viên A B phải có mặt khơng đồng thời có mặt hai người tổ A 11088 B 9504 C 15048 D 3003 Lời giải Chọn B Chọn nhóm bạn ta có C146 cách Chọn nhóm bạn có A B , có C124 cách Chọn nhóm bạn khơng có hai bạn A B , có C126 cách Suy số cách chọn bạn có mặt A B khơng đồng thời có mặt hai người tổ là: C146 − C124 − C126 = 1584 cách Chọn tổ trưởng từ nhóm bạn này, có cách Vậy có 1584.6 = 9504 cách chọn thỏa yêu cầu đề Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Câu 15 Trong trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trận 0, (khơng có hịa) Hỏi An phải chơi tối thiểu trận để xác suất An thắng trận loạt chơi lớn 0,95 A B C D Lời giải Chọn A Gọi n số trận An chơi Gọi A biến cố “ An thắng trận loạt chơi n trận” ( ) 1− P A = − ( 0.6 ) A biến cố “ An thua n trận” P ( A ) = Ta tìm số nguyên dương n thỏa P ( A ) ≥ 0.95 ⇔ 0.05 ≥ ( 0.6 ) n n Vậy n nhỏ An chơi tối thiểu trận Câu 16 Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Chia tổ thành nhóm nhóm người để làm nhiệm vụ khác Tính xác suất để chia ngẫu nhiên nhóm có nữ A 16 55 B 55 C 292 1080 D 292 34650 Lời giải Chọn A C84 = 34650 Không gian mẫu C12 Chỉ có nữ chia nhóm có nữ nam.Nhóm có C13 C39 = 252 cách Lúc cịn lại nữ, nam, nhóm thứ có C12 C36 = 40 cách chọn Cuối người nhóm: có cách Theo quy tắc nhân có: 252.40.1  10080 cách Vậy xác suất cần tìm P  10080 16  34650 55 Câu 17 Một hộp chứa 12 viên bi kích thước nhau, có viên bi màu xanh đánh số từ đến ; có viên bi màu đỏ đánh số từ đến viên bi màu vàng đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp, tính xác suất để viên bi lấy vừa khác màu vừa khác số A 33 B 14 33 C 29 66 D 37 66 Lời giải Chọn D Không gian mẫu số cách lấy tùy ý viên từ hộp chứa 12 viên bi Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Trường hợp 2: Thí sinh làm sai câu, có C101 cách Trường hợp 3: Thí sinh làm 10 câu, có cách ⇒ n (= A ) C102 32 + C101 3= + 436 Vậy xác suất để thí sinh đạt từ 8,0 điểm trở lên P= ( A) n ( A ) 436 = n ( Ω ) 410 Câu 20 Cho đa giác 20 cạnh Lấy ngẫu nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh lấy đỉnh tam giác vng khơng có cạnh cạnh đa giác A 38 B 114 C 57 D 114 Lời giải Chọn C Đa giác nội tiếp đường tròn tâm O Lấy ngẫu nhiên đỉnh có C20 cách Để đỉnh đỉnh tam giác vng khơng có cạnh cạnh đa giác thực theo bước: Lấy đường kính qua tâm đường trịn có 10 cách ta đỉnh Chọn đỉnh lại 20 − − = 14 đỉnh (loại đỉnh thuộc đường kính đỉnh gần đường kính đó) cách Vậy có tất 10 × 14 = 140 tam giác thoả mãn Xác suất cần tính 140 = C20 57  Mức độ Câu Từ hộp có bút bi màu xanh, bút bi màu đen bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên bút Xác suất để bút chọn có hai màu A 118 429 B 460 1001 C 119 429 D 272 1001 Lời giải Chọn A Gọi A biến cố: “ bút chọn có hai màu” Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 11 Website: tailieumontoan.com Ta có n ( Ω ) =C155 Vì bút chọn có hai màu nên có trường hợp: TH1: Có hai màu xanh đen: - Chọn bút hai màu xanh, đen (có bút), có C95 cách chọn - Trong C95 cách chọn bút trên, có C55 cách chọn bút màu đen khơng có cách chọn để bút màu xanh Số cách chọn bút có hai màu xanh đen C95 − C55 TH2: Có hai màu đen đỏ: - Chọn bút hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có C115 cách chọn - Trong C115 cách chọn bút trên, có C55 cách chọn bút màu đen C65 cách chọn bút màu đỏ Số cách chọn bút có hai màu đỏ đen C115 − C55 − C65 TH3: Có hai màu đỏ xanh: - Chọn bút hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có C105 cách chọn - Trong C105 cách chọn bút trên, có C65 cách chọn bút màu đỏ khơng có cách chọn bút màu xanh Số cách chọn bút có hai màu đỏ xanh C105 − C65 Vậy P ( A ) Câu C − C ) + (C − C − C ) + (C − C ) (= 5 11 5 10 15 C 118 429 Từ hộp có bút bi màu xanh, bút bi màu đen bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên bút Xác suất để bút chọn có hai màu A 118 429 B 460 1001 C 119 429 D 272 1001 Lời giải Chọn A Gọi A biến cố: “ bút chọn có hai màu” Ta có n ( Ω ) =C155 Vì bút chọn có hai màu nên có trường hợp: TH1: Có hai màu xanh đen: - Chọn bút hai màu xanh, đen (có bút), có C95 cách chọn Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 12 Website: tailieumontoan.com - Trong C95 cách chọn bút trên, có C55 cách chọn bút màu đen khơng có cách chọn để bút màu xanh Số cách chọn bút có hai màu xanh đen C95 − C55 TH2: Có hai màu đen đỏ: - Chọn bút hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có C115 cách chọn - Trong C115 cách chọn bút trên, có C55 cách chọn bút màu đen C65 cách chọn bút màu đỏ Số cách chọn bút có hai màu đỏ đen C115 − C55 − C65 TH3: Có hai màu đỏ xanh: - Chọn bút hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có C105 cách chọn - Trong C105 cách chọn bút trên, có C65 cách chọn bút màu đỏ khơng có cách chọn bút màu xanh Số cách chọn bút có hai màu đỏ xanh C105 − C65 Vậy P ( A ) Câu C − C ) + (C − C − C ) + (C − C ) (= 5 11 5 10 15 C 118 429 Một túi đựng 10 thẻ đánh số từ đến 10 Rút ngẫu nhiên ba thẻ từ túi Xác suất để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho A C 2C33 + C43 C103 2C33 + C43 + C31C31C41 B C103 D 2C31C31C41 C103 Lời giải Chọn B Số cách rút ngẫu nhiên ba thẻ từ túi có 10 thẻ là: C103 cách Trong số từ đến 10 có ba số chia hết cho , bốn số chia cho dư , ba số chia cho dư Để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho ba thẻ phải có số ghi thỏa mãn: - Ba số chia hết cho - Ba số chia cho dư - Ba số chia cho dư - Một số chia hết cho , số chia cho dư , số chia cho dư Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 13 Website: tailieumontoan.com Do số cách rút để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho C33 + C43 + C33 + C31C41C31 cách 2C33 + C43 + C31C31C41 Vậy xác suất cần tìm là: C103 Câu Có 60 thẻ đánh số từ đến 50 Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để tổng số ghi thẻ chia hết cho A 11 171 B 12 C 89 D 409 1225 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu: Ω= C503= 19600 Gọi A tập thẻ đánh số a = A {3; 6; ; 48}= ⇒ A 16 cho ≤ a ≤ 50 a Gọi B tập thẻ đánh số = B {1; 4; ; 49}= ⇒ B 17 b cho ≤ b ≤ 50 Gọi C tập thẻ đánh số = C {2;5; ;59}= ⇒ C 17 c cho ≤ c ≤ 50 chia hết cho b c chia dư chia dư Với D biến cố: “Rút ngẫu nhiên thẻ đánh số từ đến 50 cho tổng số ghi thẻ chia hết cho ” Ta có trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Rút thẻ từ A : Có C163 (cách) Trường hợp 2: Rút thẻ từ B : Có C173 (cách) Trường hợp 3: Rút thẻ từ C : Có C173 (cách) Trường hợp 4: Rút tập thẻ: Có 16.17.17 = 4624 (cách) Suy D = 2.C173 + C163 + 4624= 6544 P Vậy xác suất cần tìm = Câu D 6544 409 = = Ω 19600 1225 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có năm chữ số khác đôi Xác suất để số chọn có ba chữ số chẵn hai chữ số lẻ lại đứng kề nhau? A 75 B 147 85 567 Lời Giải C D 58 567 Chọn C Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) =9 A94 Gọi A biến cố: “Số chọn có ba chữ số chẵn hai chữ số lẻ lại đứng kề nhau” Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 14 Website: tailieumontoan.com Có C53 cách chọn chữ số chẵn, có A52 cách chọn chữ số lẻ xếp chúng kề nhau, có 4! Cách xếp cho chữ số lẻ đứng kề Suy có C53 A52 4! cách xếp thoả mãn (kể chữ số đứng đầu) Ta tính số số thoả mãn đề mà có số chữ số đứng đầu, ta xét chữ số cuối: Có C42 cách chọn chữ số chữ số chẵn, có C52 cách chọn chữ số lẻ, coi chữ số lẻ nhóm ta 2 có số số C4 C5 2!.3! C53 A52 4!− C42 C52 2!.3! = 4080 Suy số số thoả mãn đề là: n ( A ) = P= ( A) Câu n ( A ) 4080 85 = = n ( Ω ) A94 567 Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn A 13 27 B 14 27 C D 365 729 Lời giải Chọn A Gọi A tập tất số nguyên dương đầu tiên, A = {1; 2; 3; ; 26; 27} = 351 Tổng hai số số chẵn hai số Chọn hai số khác từ A có: n ( Ω ) C= 27 chẵn lẻ Do đó: Chọn hai số chẵn khác từ tập A có: C13 = 78 Chọn hai số lẻ khác từ tập A có: C14 = 91 169 Số cách chọn là: 78 + 91 = Xác suất cần tìm là:= P Câu 169 13 = 351 27 Cho tập hợp A = {1; 2; ;100} Chọn ngẫu nhiên phần tử A Xác suất để phần tử chọn lập thành cấp số cộng bằng: A 132 B 66 C 33 D 11 Lời giải Chọn B Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập A ⇒ Không gian mẫu Ω =C100 Gọi biến cố A:“Ba phần tử chọn lập thành cấp số cộng” ∗ Cách Giả sử phần tử x; x + d ; x + 2d với x, d ∈  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 15 Website: tailieumontoan.com 99 ⇒ d ∈ {1; 2; ; 49} ⇒ có 49 ba số thỏa mãn 98 ⇒ d ∈ {1; 2; ; 49} ⇒ có 49 ba số thỏa mãn Với x = ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ 97 ⇒ d ∈ {1; 2; ; 48} ⇒ có 48 ba số thỏa mãn Với x = ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ Với x = 97 ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ ⇒ d ∈ {1} ⇒ có ba số thỏa mãn Với x = 98 ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ ⇒ d ∈ {1} ⇒ có ba số thỏa mãn Với x = ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ Với x = 99 ta có x + 2d ≤ 100 ⇔ d ≤ ⇒ d ∈∅ ⇒ khơng có ba số thỏa mãn ( ) Do ta thấy có tất ( 49 + 48 + 47 += + + 1) = 2450 ba số thỏa mãn 49 49 + Cách Giả sử phần tử a; b; c với a, b, c ∈ A Trong tập A có 50 số lẻ, 50 số chẵn 2b số chẵn Do a, b, c lập thành CSC nên a + c = Do hai số a, c chẵn lẻ Đồng thời ứng với cách chọn hai số a, c xác định số b 2 2450 (bộ ba) Tổng số ba số a, b, c C50 + C50 = Vậy xác suất biến cố A = P Câu 2450 = C100 66 Cho tập hợp S = {1; 2;3; 4; ;17} gồm 17 số Chọn ngẫu nhiên tập có ba phần tử tập S Tính xác suất để tập hợp chọn có tổng phần tử chia hết cho A 27 34 B 23 68 C 34 D 12 Lời giải Chọn B Tập hợp số từ tập S chia hết cho {3;6;9;12;15} Tập hợp số từ tập S chia cho dư {1; 4;7;10;13;16} Tập hợp số từ tập S chia cho dư {2;5;8;11;14;17} *) TH1: Ba số lấy từ tập S chia hết cho : Có C53 cách chọn *) TH2: Ba số lấy từ tập S chia dư 1: Có C63 cách chọn *) TH3: Ba số lấy từ tập S chia dư 2: Có C63 cách chọn *) TH4: Một số chia hết cho 3, số chia dư 1, số chia dư 2: Có C51.C61 C61 cách chọn Vậy số phần tử biến cố A : “ Chọn ba số có tổng chia hết cho 3” : n ( A ) = C53 + C63 + C63 + C51.C61 C61 = 230 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 16 Website: tailieumontoan.com Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) =C173 A) Xác suất biến cố A P (= Câu 230 23 = 68 C173 Gọi M tập tất số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 Chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 A 35 34020 B 37 34020 C 37 3402 D 74 34020 Lời giải Chọn B Gọi A biến cố “chọn số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 ” Khi đó: n ( M ) = A95 (số có sáu chữ số đơi khác a1 có chín cách chọn, a2 a3 a4 a5 a6 chỉnh hợp chập phần tử nên có A95 ) TH1: a6 = a1a2 a3 a4 a5 có C95 cách chọn TH2: a6 = a1a2 a3 a4 a5 có C75 cách chọn TH3: a6 = a1a2 a3 a4 a5 có C55 cách chọn ⇒ n ( A ) = C95 + C75 + C55 = 148 Do P= ( A) n ( A ) 148 37 = = n ( Ω ) A9 34020 Câu 10 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Xác suất để số chọn có tổng chữ số số lẻ A 41 81 B 40 81 C 41 648 D 16 81 Lời giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu n(Ω ) 9.9.8 = = 648 A: “Số chọn có tổng chữ số số lẻ” Trường hợp 1: Số chọn có chữ số lẻ Số cách chọn xếp ba chữ số lẻ A53 Trường hợp 2: Số chọn gồm có chữ số chẵn chữ số lẻ Số cách chọn xếp chữ số số chẵn chữ số số lẻ C52 C51 3! Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 17 Website: tailieumontoan.com Số cách chọn xếp chữ số số chẵn chữ số lẻ có số đứng đầu C41 C51 2! 260 Vậy nên số số thỏa biến cố A là: C52 C51 3!− C41 C51 2! = Số kết thuận lợi cho biến cố A n( A) =60 + 260 =320 Vậy P(= A) n( A) 320 40 = = n(Ω) 648 81 Câu 11 Gọi S tập hợp số tự nhiên có ba chữ số (không thiết khác nhau) lập từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Chọn ngẫu nhiên số abc từ S Tính xác suất để số chọn thỏa mãn a ≤ b ≤ c A B 11 60 C 13 60 D 11 Lời giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu n (= Ω ) 9.10 = 900 Gọi biến cố A :“Chọn số thỏa mãn a ≤ b ≤ c ” Vì a ≤ b ≤ c mà a ≠ nên chữ số khơng có số Trường hợp 1: Số chọn có chữ số giống có số Trường hợp 2: Số chọn tạo hai chữ số khác Số cách chọn chữ số khác từ chữ số là: C92 Mỗi chữ số chọn tạo số thỏa mãn yêu cầu Vậy có 2.C92 số thỏa mãn Trường hợp 3: Số chọn tạo ba chữ số khác Số cách chọn chữ số khác từ chữ số là: C93 Mỗi chữ số chọn tạo số thỏa mãn yêu cầu Vậy có C93 số thỏa mãn Vậy n ( A ) =9 + 2.C92 + C93 = 165 Xác suất biến cố A là: P (= A) n ( A ) 165 11 = = n ( Ω ) 900 60 Câu 12 Gọi X tập hợp tất số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Lấy ngẫu nhiên số tập hợp X Gọi A biến cố lấy số có hai chữ số 1, có hai chữ số 2, bốn chữ số cịn lại đơi khác nhau, đồng thời chữ số giống không đứng liền kề Xác suất biến cố A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 18 Website: tailieumontoan.com A 176400 98 B 151200 98 C D 201600 98 Lời giải Chọn D Ta có: n(Ω) =98 TH1: Xếp Xếp hai chữ số 1, hai chữ số chữ số cịn lại: Có C82 C62 A 74 = 352.800 (cách) TH2: Số cách xếp cho không thỏa mãn yêu cầu toán Xếp hai chữ số đứng liền nhau: 7.C62 A 74 cách Xếp hai chữ số đứng liền nhau: 7.C62 A 74 cách Số cách xếp thuộc hai trường hợp trên: + Coi hai chữ số đứng liền nhóm X, hai chữ số đứng liền nhóm Y + Xếp X, Y số cịn lại có: C74 6! (cách) 151200 (cách) Vậy số cách xếp không thỏa mãn yêu cầu là: 2.7.C62 A 74 − C74 6! = ) 352.800 − 151.200= 201.600 ⇒ p ( A= ) Vậy n( A= Câu 13 201600 98 Cho tập A = {0;1; 2;3; 4;5;6;7} , gọi S tập hợp số có chữ số đôi khác lập từ tập A Chọn ngẫu nhiên số từ tập S , xác suất để số chọn có tổng chữa số đầu tổng chữ số cuối A 35 B 35 C 12 245 D 10 Lời giải Chọn B T Tổng chữ số tập S là= 7.8 = 28 Ta chia tập S thành hai tập B, C tập phần tử cho tổng phần tử B, C ∅ 14 B ∩ C = Suy ra: B {0;1;6;7} {0; 2;5;7} {0;3; 4;7} {0;3;5;6} Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C {2;3; 4;5} {1;3; 4;6} {1; 2;5;6} {1; 2; 4;7} Trang 19 Website: tailieumontoan.com Số số có chữ số lập từ tập S 7.7! Gọi a1a2 a8 số có chữ số thỏa mãn đề TH1 a1a2 a3 a4 lấy từ chữ số từ tập C có: 4.4!.4! số thỏa mãn TH2 a1a2 a3 a4 lấy từ chữ số từ tập B có: 4.3.3!.4! số thỏa mãn Vậy có 4.4!.4!+ 4.3!.4! = 4.4!( 3!+ 4!) số Xác suất để số chọn có tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối 4.4!( 3.3!+ 4!) = 7.7! 35 = P Câu 14 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có sáu chữ số đôi khác Xác suất để số chọn có mặt chữ số A 41 81 B 25 81 C 10 27 D 25 1944 Lời giải Chọn B 136080 Ta có khơng gian mẫu n ( Ω= ) A= Gọi biến cố A : “Số chọn có mặt chữ số 1” Số cần tìm có dạng là: abcdef  ( a ≠ 0) Trường hợp 1: a = Khi số có cách chọn vị trí Các chữ số cịn lại có A84 cách chọn Vậy có A84 = 8400 số  Trường hợp 2: a ≠ Khi số có cách chọn vị trí Số có cách chọn vị trí Các chữ số cịn lại có A84 cách chọn Vậy có 5.4 A84 = 33600 Do n ( A ) =8400 + 33600 =42000 Xác suất để số chọn có mặt chữ số P= ( A) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 n ( A ) 42000 25 = = n ( Ω ) 136080 81 Trang 20 Website: tailieumontoan.com Câu 15 Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt lấy từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 8, Tính xác suất để chọn số lớn số 2019 bé số 9102 A 83 120 B 119 180 C 31 45 D 119 200 Lời giải Chọn C Giả sử số tự nhiên có bốn chữ số khác abcd = 720 Ta có n= ( Ω ) 6.6.5.4 Gọi A biến cố: “Số chọn số lớn số 2019 bé số 9102” Tính n ( A) : TH1: a = , b = , c ≥ , d tuỳ ý khác a, b, c suy có 1.1.4.4 = 16 số TH2:= a 2, b > có 1.5.5.4 = 100 số TH3: a ∈ {3; 4;8} , b ; c ; d khác khác a , có 3.6.5.4 = 360 số TH4:= a 9; = b , c ; d khác khác a ; b có 1.1.5.4 = 20 số Suy n ( A) =16 + 360 + 100 + 20 = 496 n ( A) Vậy P= ( A) = n (Ω) 31 45 Câu 16 Trên mặt phẳng Oxy, ta xét hình chữ nhật ABCD với điểm A 2;0, B 2;2, C 4;2, D 4;0 (hình vẽ) Một châu chấu nhảy hình chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật cho chân ln đáp xuống mặt phẳng điểm có tọa độ nguyên (tức điểm có hồnh độ tung độ ngun) Tính xác suất để đáp xuống điểm M  x ; y  mà x  y  A B C Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D 21 Trang 21 Website: tailieumontoan.com Chọn B Số điểm có tọa độ ngun thuộc hình chữ nhật 7.3  21 điểm  x  2; 1;0;1;2;3;4    y  0;1;2  Để châu chấu đáp xuống điểm M  x , y  có x  y  châu chấu nhảy  x  2; 1;0;1;2 khu vực hình thang BEIA Để M  x , y  có tọa độ ngun   y  0;1;2  Nếu x  2;1 y  0;1;2  có 2.3  điểm  Nếu x  y  0;1  có điểm  Nếu x   y   có điểm   có tất    điểm thỏa mãn Vậy xác suất cần tính P   21 Câu 17 Trên mặt phẳng Oxy, ta xét hình chữ nhật ABCD với điểm A 2;0, B 2;2, C 4;2, D 4;0 (hình vẽ) Một châu chấu nhảy hình chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật cho chân ln đáp xuống mặt phẳng điểm có tọa độ nguyên (tức điểm có hồnh độ tung độ ngun) Tính xác suất để đáp xuống điểm M  x ; y  mà x  y  A B C Lời giải D 21 Chọn B Số điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật 7.3  21 điểm  x  2; 1;0;1;2;3;4    y  0;1;2  Để châu chấu đáp xuống điểm M  x , y  có x  y  châu chấu nhảy  x  2; 1;0;1;2 khu vực hình thang BEIA Để M  x , y  có tọa độ nguyên   y  0;1;2   Nếu x  2;1 y  0;1;2  có 2.3  điểm Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 22 Website: tailieumontoan.com  Nếu x  y  0;1  có điểm  Nếu x   y   có điểm   có tất    điểm thỏa mãn Vậy xác suất cần tính P   21 Câu 18 Có sách Văn học khác nhau, sách Toán học khác sách Tiếng Anh khác xếp lên kệ ngang Tính xác suất để hai sách môn không cạnh A 19 12012 B 19 1012 C 19 1202 D 8008 Lời giải Chọn A T.A T.A T.A T.A T.A T.A T.A Gọi Ω biến cố “xếp 14 sách lên kệ sách cách tùy ý” ⇒ n ( Ω ) =14! A biến cố “xếp 14 sách lên kệ sách cho hai sách môn không cạnh nhau” - Xếp sách Tiếng Anh vào kệ có 7! cách - sách Tiếng Anh tạo chỗ trống (gồm chỗ trống chỗ trống trước sau) Đánh số từ đến , từ trái sang phải cho chỗ trống Khi ta xét trường hợp: TH1: Xếp sách Văn Toán vào vị trí từ đến có 7! cách TH2: Xếp sách Văn Tốn vào vị trí từ đến có 7! cách TH3: Xếp cặp sách Văn – Toán chung vào ngăn , ngăn 3, 4, 5, 6, xếp tùy ý số sách cịn lại Ta có: + Số cách chọn cặp sách Văn – Tốn: 3.4 cách + Vị trí sách cặp sách: 2! cách + Xếp sách lại vào ngăn 3, 4, 5, 6, có 5! cách Vậy ta có số cách xếp cặp sách Văn – Toán chung vào ngăn , ngăn 3, 4, 5, 6, xếp tùy ý số sách lại 3.4.2!.5! cách Tương tự cho xếp cặp sách Văn – Toán vào ngăn 3, 4, 5, 6, n ( A ) 7!( 2.7!+ 3.4.2.6.5!) Số trường hợp thuận lợi biến cố = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 23 Website: tailieumontoan.com Vậy P= ( A) n ( A) 19 = n ( Ω ) 12012 Câu 19 Gieo súc sắc cân đối đồng chất ba lần liên tiếp Gọi P tích ba số ba lần tung (mỗi số số chấm mặt xuất lần tung), tính xác suất cho P không chia hết cho A 82 216 B 60 216 C 90 216 D 83 216 Lời giải Chọn D Gieo súc sắc cân đối đồng chất nên khơng gian mẫu có số phần tử n   63  216 Gọi A biến cố tích số chấm lần gieo liên tiếp không chia hết cho Gọi x, y, z số chấm lần gieo theo thứ tự Để thoả điều kiện không chia hết cho xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Cả lần gieo không xuất mặt 6: 43  64 khả Trường hợp 2: Cả lần gieo xuất mặt lần, lần gieo cịn lại không xuất mặt chẵn Cả lần mặt chấm: x  y  z  có cách chọn Chỉ lần mặt chấm, lần lại nhận giá trị: có: 2.3  cách Chỉ lần mặt chấm: 3.22  12 cách Trường hợp có 12    19 Do n  A  64  19  83 Suy P  A  n  A n   83 216 Câu 20 Gọi S tập số có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn có chữ số 3,4,5 đứng liền chữ số 6,9 đứng liền A 135 B 700 C 210 D 630 Lời giải Chọn C Không gian mẫu số số tự nhiên có chữ số đơi khác Ω =9.9.8.7.6.5.4 Gọi A biến cố số chọn thỏa mãn yêu cầu đề Số thỏa mãn yêu cầu đề bắt buộc phải có chữ số 3,4,5,6,9 nên cần chọn thêm chữ số từ số cịn lại (0,1,2,7,8) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 24 Website: tailieumontoan.com Số cách chọn chữ số C52 (1) Theo đề ta “buộc” chữ số 3,4,5 lại xem phần tử có 3! cách, tương tự buộc chữ số lại xem phần tử có 2! cách (2) Sau hốn vị phần tử gồm phần tử chọn (1) phần tử chọn (2) có 4! Cách Tổng cộng có C52 3!.2!.4! số Nhưng cách tính cịn số có dạng Oabcdef tức có số đứng đầu Ta tính số phần tử trường hợp tương tự cách làm số có chữ số chắc số đứng đầu, ta có C41 3!.2!.3! = Ω A C52 3!.2!.4! − C41 3!.2!.3! Vậy Xác xuất biến cố A là: P(= A) Ω A C52 3!.2!.4! − C41 3!.2!.3! = = 9.9.8.7.6.5.4 210 Ω Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 25 ... không gian mẫu, biến cố  Mối liên hệ biến cố  Tính xác suất định nghĩa  Tính xác suất cơng thức cộng xác suất  Tính xác suất cơng thức nhân xác suất  Tốn tổng hợp hai công thức xác suất …... k ≤ n ) ( n − k )!  Tổ hợp : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập hợp gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho + Số tổ hợp: Kí hiệu Cnk số tổ hợp chập k n phần tử... Cơng thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất biến cố A biến cố A là: P A = − P ( A) + Quy tắc nhân xác suất : * Nếu A B hai biến cố độc lập P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) * Một cách tổng quát, k biến