Chuyên đề quan hệ song song luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ SONG SONG Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG A LÝ THUYẾT I ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Mặt phẳng Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh phần mặt phẳng Mặt phẳng khơng có bề dày khơng có giới hạn Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ in hoa chữ Hy Lạp đặt dấu ngoặc () Ví dụ mặt phẳng ( P ) , ( Q ) , (α ) , ( β ) … Để biểu diễn mặt phẳng, ta thường dùng hình bình hành miền góc ghi tên mặt phẳng vào góc hình biểu diễn P P Đường thẳng mặt phẳng tập hợp điểm Do đó, - Nếu điểm A thuộc đường thẳng a , ta kí hiệu A ∈ a đơi cịn nói đường thẳng a qua điểm A - Nếu điểm A thuộc mặt phẳng (α ) , ta kí hiệu A ∈ (α ) đơi cịn nói mặt phẳng (α ) qua điểm A - Nếu đường thẳng a mặt phẳng (α ) , ta kí hiệu a ⊂ (α ) đơi cịn nói mặt phẳng (α ) qua (hoặc chứa) đường thẳng a Quy tắc để vẽ hình biểu diễn hình khơng gian - Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng - Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt Hai đoạn thẳng song song phải vẽ song song Trung điểm đoạn thẳng phải lấy điểm đoạn thẳng - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất Các tính chất thừa nhận hình học khơng gian - Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt - Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Như vậy, mặt phẳng khơng gian xác định cách thức sau: - Mặt phẳng qua điểm khơng thẳng hàng A, B, C Kí hiệu mp ( ABC ) - Mặt phẳng qua đường thẳng a điểm A khơng thuộc đường thẳng a Kí hiệu: ; mp ( A, a ) B A mp(ABC) A a a b a C mp(A;a) b mp(a,b) - Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt a b Kí hiệu, mp ( a, b ) - Mặt phẳng qua hai đường thẳng song song a , b - Tính chất 3: Trong khơng gian có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng - Tính chất 4: Trong khơng gian, hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com - Tính chất 5: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng - Tính chất 6: Trong mặt phẳng khơng gian, kết biết hình học phẳng 3.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng không gian a) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng (α ) Có thể xãy khả sau: d - Đường thẳng d mặt phẳng (α ) khơng có điểm chung Trong trường hợp ta nói đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) , kí hiệu d / / (α ) α d - Đường thẳng d mặt phẳng (α ) có điểm chung Trong trường hợp ta nói ta nói đường thẳng d cắt mặt phẳng (α ) A , kí hiệu: d ∩ (α ) = { A} A α - Đường thẳng d mặt phẳng (α ) có nhiều điểm chung.Trường hợp ta nói đường thẳng d nằm mặt phẳng (α ) ta kí hiệu: d ⊂ (α ) hay (α ) ⊃ d d α b) Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng phân biệt (α ) ( β ) Có thể xảy khả sau: - Hai mặt phẳng (α ) ( β ) khơng có điểm chung Trong trường hợp ta nói mặt phẳng (α ) ( β ) song song với nhau, kí hiệu (α ) / / ( β ) α β - Hai mặt phẳng (α ) ( β ) có điểm chung Trong trường hợp ta α nói mặt phẳng (α ) ( β ) có phần chung đường thẳng, giả sử đường d thẳng d , ta kí hiệu (α ) ∩ ( β ) = β Đường thẳng d gọi giao tuyến hai mặt phẳng Như vậy, việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng tương ứng với việc xác định hai điểm thuộc đồng thời hai mặt phẳng phân biệt Ngồi ra, biết ba điểm phân biệt thuộc đồng thời hai mặt phẳng ba điểm phải nằm thẳng c) Vị trí tương đối hai đương thẳng: Cho hai đường thẳng phân biệt a b Có thể xảy khả sau: - Các đường thẳng a b thuộc mặt phẳng Khi a b cắt điểm hoạc song song với - Các đương thẳng a b không nằm mặt phẳng Trong trường hợp ta nói đường thẳng a b chéo A Hình chóp hình tứ diện Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 a b Website: tailieumontoan.com S S cạnh bên S Mặt bên A A1 A3 A2 Hình chóp: ( ) , cho đa giác lồi Trong mặt phẳng α D B C A1 A5 A2 A4 cạnh đáy Mặt đáy A3 ( ) A1 A2 An Lấy điểm S nằrm mặt phẳng α Lần lượt nối S với đỉnh A1 , A2 , , An để n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 Hình gồm đa giác A1 , A2 , , An n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi hình chóp kí hiệu S A1 A2 An Ta gọi S đỉnh, đa giác A1 , A2 , , An mặt đáy, tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi mặt bên hình chóp, Các đoạn thẳng SA1 , SA2 , , SAn gọi cạnh bên, cạnh đa giác A1 A2 An cạnh đáy hình chóp -Cách gọi tên: Hình chóp + tên đa giác - Ví dụ: hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác… Lưu ý: Hình chóp có đáy đa giác đều, cạnh bên nhaulaf hình chóp đa giác b) tứ diện: Tứ diện ABCD hình thành lập từ bốn điểm khơng đồng phẳng A, B, C , D Các điểm A, B, C , D đỉnh tứ diện, tam giác BCD, ACD, ABD, ABC gọi mặt tứ diện đối diện với đỉnh A, B, C , D đoạn thẳng AB, BC , CD, DA, CA, BD gọi cạnh tứ diện Trong cặp cạnh AB CD , AC DB, AD BC thường gọi cặp cạnh đối tứ diện B CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIŨA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α ) ( β ) ta tiến hành tìm hai điểm thuộc hai mặt phẳng (α ) ( β ) Lưu ý: Một điểm chung hai mặt phẳng (α ) ( β ) thường tìm cách: Chọn mặt phẳng ( γ ) cho giao tuyến ∆1 , ∆ (α ) ( β ) với ( γ ) dựng Giao điểm I ∆1 , ∆ ( ( γ ) ) điểm chung cần tìm Ta thường chứng minh ba điểm thẳng hàng cách chứng minh ba điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng + Ta chứng minh bà đường thẳng đồng quy cách: Cách 1: Hai ba đường thẳng cắt nằm hai mặt phẳng nhận đường thứ ba làm giao tuyến Cách 2: Tìm đoạn thẳng AB đường thẳng Chứng minh hai đường thẳng cịn lại chia đoạn AB theo tỉ số đại số DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG ∆ VÀ MẶT PHẲNG (α ) Phương pháp: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com + Nếu phát đường thẳng d mặt phẳng (α ) cắt ∆ I I giao điểm ∆ với mặt phẳng (α ) + Nếu chưa phát đường thẳng d ta dựng d cách: Chọn mặt phẳng ( γ ) chứa ∆ cho giao tuyến ( γ ) (α ) dựng ngay, giao tuyến đường thẳng d cần tìm Hai định lí quan trọng thường dùng: Định lí Ceva: Cho tam giác ABC Các điểm M , N , P khác A, B, C theo thứ tự thuộc đường thẳng BC , CA, AB Khi đường thẳng AM , BN , CP đồng quy đôi song song MB NC PA = −1 MC NA PB Định lí Menelaus : Cho tam giác ABC Các điểm M , N , P khác A, B, C theo thứ tự thuộc đường thẳng BC , CA, AB Khi điểm M , N , P thẳng hàng MB NC PA =1 MC NA PB DẠNG 3: BÀI TOÁN DỰNG THIẾT DIỆN Cho trước khối đa diện T mặt phẳng (α ) Nếu (α ) có điểm chung với T (α ) cắt số mặt T theo đoạn thẳng Phần mặt phẳng (α ) giới hạn đoạn thường đa giác, gọi mặt cắt ( gọi thiết diện) T (α ) Chú ý: + Đỉnh thiết diện giao điểm (α ) với cạnh T Cạnh thiết diện đoạn giao tuyến (α ) với mặt T Do thực chất việc dựng thiết diện toán dựng giao điểm đường thẳng mặt phẳng dựng giao tuyến hai mặt phẳng + Do cạnh thiết diện đoạn giao tuyến mặt phẳng (α ) với mặt T Do số cạnh nhiều mà thiết diện có số mặt T - Đối với hình chóp tam giác ( tứ diện), thiết diện cắt mặt phẳng (α ) tam giác tứ giác ( đay ta quy ước không xét trường hợp suy biến thiết diện mặt cạnh hình chóp) -Đối với hình chóp tứ giác, thiết diện tam giác, tứ giác ngũ giác Các toán liên quan đến thiết diện gồm dạng: + Dựng thiết diện + Xác định hình dạng thiết diện + tính diện tích thiết diện + Tính tỉ số thể tích hai phần thiết diện phân chia khối thể tích cho ( trình bày Cơng phá tốn tập 3) Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M N trung điểm SA SC Gọi ( P) mặt phẳng qua điểm M , N , B a) Tìm giao tuyến ( P ) ( SAB ) ; ( P ) ( SBC ) b) Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng ( P ) giao điểm K đường thẳng SD với mặt phẳng ( P) c) Xác định giao tuyến mặt phẳng ( P) với mặt phẳng ( SAD) mặt phẳng ( SCD) Từn suy thiết diện hình chóp cắt ( BMN ) d) Xác định giao điểm E , F đường thẳng DA , DC với ( P) Chứng minh E , B, F thẳng hàng Lời giải:: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a) Ta có: M ∈ SA, SA ⊂ ( SAB ) ⇒ M ∈ ( SAB )(1) Lại có M ∈ ( BMN ) ( ) Từ (1) (2) M ∈ ( SAB ) ∩ ( BMN )( 3) S K suy Ta có : B ∈ ( SAB ) ∩ ( BMN )( ) Từ (3) (4) suy = BM ( SAB ) ∩ ( BMN ) Tương tự ta suy = BM ( SAB ) ∩ ( BMN ) M I N A E D O B b) Trong mặt phẳng ( SAC ) , gọi I giao C F điểm SO với MN Ta có : I ∈ MN , MN ⊂ ( BMN ) ⇒ I ∈ ( BMN ) ⇒ I giao điểm SO với ( BMN ) Trong mặt phẳng ( SBD ) , gọi K giao điểm BI với SD Ta có : K ∈ BI , BI ⊂ ( BMN ) ⇒ K ∈ ( BMN ) Suy K giao điểm SD với ( BMN )  K ∈ ( BMN ) c) Ta có :  ⇒ K ∈ ( BMN ) ∩ ( SAD )  K ∈ ( SAD ) Ta lại có : M ∈ ( BMN ) ∩ ( SDC ) Như tứ giác BMKN thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng ( BMN ) E} MK ∩ AD Ta có: MK ⊂ ( BMN ) nên E ∈ ( BMN ) d) Trong mặt phẳng ( SAD ) , gọi {= Vậy E giao điểm AD với ( BMN ) = Trong mặt phẳng ( SDC ) gọi { F } NK ∩ CD Ta có NK ⊂ ( BMN ) nên F ∈ ( BMN ) ,  E ∈ ( BMN )  B ∈ ( BMN ) ⇒ E ∈ ( BMN ) ∩ ( ABCD ) ,  ⇒ B ∈ ( BMN ) ∩ ( ABCD )   E ∈ ( ABCD )  B ∈ ( ABCD ) Suy ba điểm B, E , F nằm giao tuyến hai mặt phẳng ( BMN ) ( ABCD ) Do ba điểm B, E , F thẳng hàng Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD điểm M , N , P, Q thuộc cạnh AB, BC , CD, DA cho MN không song song với AC M , N , P, Q đồng phẳng : AM BN CP DQ BM CN CP DQ A B =1 =1 BM CN DP AQ AM BN DP AQ BM CN DP DQ AM BN DP AQ C D =1 = AM BN CP AQ BM CN CP DQ Đáp án A Lời giải: + Giả sử M , N , P, Q thuộc mặt phẳng (α ) Nếu MN cắt AC K K điểm chung mặt phẳng (α ) , ( ABC ) , ( ADC ) nên PQ qua K Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC , ADC ta : Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com AM BN CP DQ AK CP DQ AM BN CK = =1 ⇒ =1 ; CK DP AQ BM CN DP AQ BM CN AK Nhận xét : Trường hợp MN song song với AC ví dụ AM BN CP DQ + Liệu trường hợp ngược lại, có = M , N , P, Q có đồng phẳng hay BM CN DP AQ không ? Câu trả lời trường hợp ngược ví dụ Ta chứng minh : Trong mặt phẳng ( ACD ) , KO cắt AD Q′ điểm M , N , P, Q′ đồng phẳng AM BN CP AQ′ DQ′ DQ Theo ví dụ ta có: = ⇒ Q ≡ Q′ Ví dụ chứng minh =1 ⇒ AQ′ AQ BM CN DP DQ′ + Ví dụ mở rộng điểm M , N , P, Q đường thẳng AB, BC , CD, DA sau : AM BN CP DQ = ( khẳng định dôi cịn BM CN DP AQ gọi định lí Menelaus mở rộng khơng gian) Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD E điểm thuộc mặt bên ( SCD) E , F trung điểm M , N , P, Q′ đồng phẳng AB, AD Thiết diện hình chóp cắt ( EFG ) : A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Lục giác Đáp án C Lời giải: : Trong mặt phẳng ( ABCD ) , gọi I , H giao điểm FG với BC , CD Dễ thấy thiết diện hình lập phương bị cắt mặt phẳng (α ) ngũ giác MNGFE Vậy đáp án C b) Theo cách dựng ta có E trung điểm BB ' Do B ' F= BP= a = C 'Q a 3a MB PB 3 ⇒ PQ = , = = ⇒ CN = CD = a 2 NC PC 4 ( ABB ' A ') / /( DCC ' D ')  Do  KE = (α ) ∩ ( ABB ' A ') ⇒ KE / / NG  = (α ) ∩ ( DCC ' D ')  NG Tương tự ta có : MN / / FG Suy : PE = QF = EF= 2 S PME  PE  SQGF  QE  Do := = , =  =  S PQN  PQ  SQNP  PQ  Diện tích thiết diện : S MNGFE =S PNQ − ( S PEM + SQFG ) = S PNQ Do hai tam giác vuông NCP NCQ (c.g.c) nên NQ = NP Vậy tam giác NPQ cân N Gọi I trung điểm PQ Ta có : PN= PC + CN = 5a , NI= Diện tích NPQ : Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 PN − PI = 45a 18a 3a a − = 16 16 Website: tailieumontoan.com S NPQ = 2 9a 7a NI PQ = ⇒ S MNGFE = 16 16 Vậy đáp án B Câu 23 Đáp án D Trong mặt phẳng ( ABCD ) , dựng đường thẳng qua M , song song với BC cắt A ' B ', C ' D ' theo thứ tự E , F Trong mặt phẳng ( A ' B ' C ' D '), dựng đường thẳng qua N song song với B ' C ' cắt A ' B ', C ' D ' theo thứ tự K , I Ta có : BM C ' N BM C ' N = ⇒ = BD C ' A ' BD NA ' Áp dụng định lý Thales ta có : B 'K C ' N MB BE = = = ⇒ KE / / BB ' A 'K A 'N MD EA Từ sauy KE / /( BCC ' B ') (1) Theo cách dựng ta suy : EF / /( BCC ' B ') (2) ( EFIK ) / / ( BCC ' B ') ⇒ MN / / ( BCC ' B ')  MN / / ( EFIK ) Từ (1) (2) ⇒  Vậy MN song song với mặt phẳng cố định, mặt phẳng (BCC'B') Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N trung điểm SA BC P điểm nằm AP SQ = Gọi Q giao điểm SC với mặt phẳng ( MNP ) Tính cạnh AB cho AB SC 1 A B C D Lời giải: Đáp án A Trong mặt phẳng ( ABC ) , gọi = E NP ∩ AC Khi Q giao điểm SC với EM Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ AP BN CE CE = 1⇒ = Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác ABC ta có: PB NC EA EA AM SQ CE SQ SQ Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác SAC ta có: = 1⇒ =⇒ = MS QC EA QC SC Cho tứ diện ABCD Gọi A1 , B1 , C1 , D1 tương ứng trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD ABC Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 , DD1 đồng quy điểm G ta có: AG BG CG DG = = = = AA1 BB1 CC1 DD1 Lời giải: Lưu ý: Điểm G gọi trọng tâm tứ diện ABCD Gọi M trung điểm CD Theo tính chất trọng tâm ta có: MA1 MB1 = = ⇒ A1 B1 / / AB MB MA A1 B1 = AB Trong mặt phẳng ( AMB ) , gọi G giao điểm BB1 , AA1 AG A B AG Theo định lý Thales ta có: =1 =⇒ = (1) GA AB AA1 Câu AG '  CC1 AA1 , = G ' =∩ AA1  Tương tự ta có:  ( 2) AG " G '' = DD '∩ AA1 , =  AA1 Từ (1) ( ) suy G, G’, G” trùng nhau, tức AA1 , BB1 , CC1 , DD1 đồng quy điểm G ta có : AG BG CG DG = = = = AA1 BB1 CC1 DD1 Bài tập tương tự: Cho tứ diện ABCD Gọi I , J , E , F , K , H tương ứng trung điểm AB, CD, AC , BD, AD, BC Chứng minh IJ , EF , KH đòng quy điểm điểm đồng quy trọng tâm G tứ diện ABCD C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A Dùng nét đứt biểu diễn cho đường bị che khuất B Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng C Hình biểu diễn phải giữ nguyên qua hệ thuộc điểm đường thẳng D Hình biểu diễn hai đường cắt hai đường song song Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu Trong hình vẽ sau hình hình biểu diễn hình tứ diện? (Chọn câu nhất) (I ) ( II ) ( III ) ( IV ) B ( I ) , ( II ) , ( III ) , ( IV ) D ( I ) A ( I ) , ( II ) Câu C ( I ) , ( II ) , ( III ) Hình sau vẽ quy tắc? A Câu Câu B C D Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB gấp đôi đáy nhỏ CD , E trung điểm đoạn AB Hình vẽ sau vẽ quy tắc? A B C D Một hình khơng gian có hình chiếu đứng (nhìn từ trước vào (có thể nhìn từ sau) để từ hình 3D chuyển sang hình 2D) hình chiếu (nhìn từ xuống) nhìn từ lên)), hình chiếu cạnh (từ trái sang (có thể nhìn từ phải sang)) thể sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG A LÝ THUYẾT Định nghĩa Trong phần vị trí tương đối hai đường thẳng không gian, ta biết hai đường thẳng phân biệt chéo song song cắt Nếu hai đường thẳng phân biệt đồng phẳng khơng cắt ta nói hai đường thẳng song song với Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt a, b không gian gọi song song với nhau, kí hiệu a / / b chúng đồng phẳng không cắt Tính chất A Định lí 1: Trong khơng gian cho đường thẳng d điểm A nằm d Lúc tồn đường thẳng a A song song với đường thẳng d Chú ý: Định lí cho ta thêm cách xác định đường thẳng khơng gian: đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước khơng chứa điểm Kết hợp với định lí cho ta cách để xác định giao tuyến hai mặt phẳng Định lí ( Về giao tuyến ba mặt phẳng): β β γ c γ c b b A a α a α Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng ( có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Đến ta bổ sung phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng: Bước 1: Chỉ hai mặt phẳng (α ) , ( β ) chứa hai đường thẳng song song a, b Bước 2: Tìm điểm chung M hai mặt phẳng Bước 3: Khi (α ) ∩ ( β ) = Mx / / a / / b Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với a / / b Như vậy, cho hai đường thẳng phân biệt thỏa mãn  ⇒ a / /b b / / c Góc hai đường thẳng khơng gian a) Định nghĩa Góc hai đường thẳng a b không góc hai đường thẳng a ' b ' qua điểm song song với a b b Phương pháp tính góc hai đường thẳng không gian Bước 1: Dựng góc - Tìm hình vẽ xem góc hai đường thẳng có sẵn khơng? - Nếu khơng có sẵn ta tiến hành: + Chọn điểm O khơng gian + Qua O dựng đường thẳng a′  a, b′  b Góc nhọn hay góc vng tọc a′, b′ góc a b Lưu ý: + Ta thường lấy điểm O thuộc hai đường thẳng a b Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com + Chọn O cho góc a′, b′ góc tam giác mà độ dài cạnh biết tính dễ dàng Bước 2: Tính góc Dùng hệ thức lượng tam giác, tỉ số lượng giác hay định lí cosin, sin Trường hợp góc hai đường thẳng a b 900 ta nói a ⊥ b B DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG DẠNG CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẢNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp chung: Để chứng minh hai đường thẳng song song không gian ta sử dụng sách sau: + Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, sau áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng tính chất đường trung bình, định lí Thales đảo, tính chất song song hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ 3… + Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu: Chứng minh hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba + Cách 3: Áp dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trọng tâm tam giác ABC , ABD Đường thẳng IJ song song với đường thẳng: A CM M trung điểm BD B AC C DB D CD Lời giải: Đáp án D Cách 1: ( Đưa mặt phẳng vận dụng kiến thức hình học phẳng)  I ∈ CE Gọi E trung điểm AB Ta có  nên suy IJ CD đồng phẳng  J ∈ DE EI EJ Do I , J trọng tâm tam giác ABC , ABD nên ta có: = = Suy EC ED IJ  CD Cách 2: ( Sử dụng tính chất bắc cầu) Gọi M , N trung điểm BD BC Suy MN  CD (1) AI AJ Do I , J trọng tâm tam giác ABC , ABD nên ta có: = = Suy AN AM IJ  MN (2) Từ (1) (2) suy IJ  CD Cách 3: (Sử dụng định lí giao tuyến mặt phẳng) Có lẽ ví dụ cách dài, song chúng tơi trình bày đây, để bạn hiểu vận dụng cách hợp lí ví dụ khác Dễ thấy, bốn điểm D , C , I , J đồng phẳng IJ ( DCIJ ) ∩ ( AMN ) =  CD ( DCIJ ) ∩ ( BCD ) = Ta có:  ⇒ IJ  CD  MN MN ( AMN ) ∩ ( BCD ) =  MN  CD  Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Gọi Bx , Cy , Dz đường thẳng song song với qua B , C , D nằm phía mặt phẳng ( ABCD ) , đồng thời không nằm mặt phẳng ( ABCD ) Một mặt phẳng qua A cắt Bx , Cy , Dz B′ , C ′ , D′ với BB′ = , DD′ = Khi CC ′ bằng: A B C D Lời giải: Đáp án D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Gọi O tâm hình bình hành ABCD I trung điểm B′D′ Do Bx , Dz song song với nên BDD′B′ hình thang OI đường trung bình hình BB′ + DD′ thang Suy IO = = Mặt khác OI song song với CC ′ (vì song song với DD′ ) nên có bốn điểm C , C ′ , O , I đồng phẳng Giao tuyến hai mặt phẳng ( AB′D′ ) với ( ACC ′ ) AC ′ Lại có I thuộc ( AB′D′ ) , I thuộc ( ACC ′ ) Do A , I , C ′ thẳng hàng Từ dễ dàng suy ra, I Ví dụ trung điểm đoạn AC ′ Do vậy, CC =′ 2= OI Nhận xét: Ta có tốn tổng qt cho tốn sau: Cho hình bình hành ABCD Gọi At , Bx , Cy , Dz đường thẳng song song với qua A , B , C , D đồng thời không nằm mặt phẳng ( ABCD ) Một mặt phẳng cắt At , Bx , Cy , Dz A′ , B′ , C ′ , D′ Khi A′B′C ′D′ hình bình hành AA′ + CC ′ = BB′ + DD′ Do biết đối tượng AA′ , BB′ , CC ′ , DD′ ta dễ dàng tính đối tượng cịn lại Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi At , Bx , Cy , Dz đường thẳng song song với qua A , B , C , D nằm phía mặt phẳng ( ABCD ) , đồng thời không nằm mặt phẳng ( ABCD ) Một mặt phẳng (α ) di động cắt At , Bx , Cy , Dz lần a ( O có độ dài cho trước) Mặt lượt A′ , B′ , C ′ , D′ cho AA′ + CC ′ + BB′ + DD′ = phẳng (α ) qua điểm cố định I Mệnh đề sau đúng? a a B I nằm đường thẳng O song song với At OI = 3a C I nằm đường thẳng O song song với At OI = D I nằm đường thẳng O song song với At OI = a Lời giải: Đáp án B A I nằm đường thẳng O song song với At OI = a Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC Ở phía ( ABC ) , người ta kẻ đường Theo ví dụ 2, ta có : AA '+ CC ' = 2OI = BB '+ AA '+ CC '+ BB '+ DD ' = a nên OI = Ví dụ thẳng song song Ax, By, Cz lấy Ax, By, Cz điểm A ', B ', C ' a) M M ' trung điểm AB, A ' B ' Chứng minh MM ' song song với CC ' b) G G ' trọng tâm tam giác ABC A ' B ' C ' Chứng minh GG ' song song với CC ' Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm M , N thứ tự thuộc MB NS đoạn BC SD cho = = Gọi I giao điểm MD AB MC ND a) Chứng minh MN / / SI b) Qua M kẻ MN / / CD ( P điểm BD ) Chứng minh MP / / SB Lời giải: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com IM MB S a) Ta có BI / / CD ⇒ = = MD MC E SN IM   Trong tam giác SDI có = =   ⇒ MN / / SI ND MD   F N D A BP MB b) Ta có MP / / AB ⇒ = = PD MC BP SN Trong tam giác SBD có = = ⇒ NP / / SB B PD ND C M DẠNG TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG (cách 2) THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC • Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (cách 2) Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng a b song song, ta tìm: + Một điểm chung hai mặt phẳng + Giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng qua điểm chung song song với a b ( trùng với hai đường thẳng đó) Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA = SB = a, SC = SD = a Gọi E , F trung điểm SA SB M điểm tùy ý cạnh BC ( không trùng với B, C ) a) Xác định giao tuyến mặt phẳng ( SAB ) ( SCD ) ; ( SAD ) ( SBC ) b) Xác định giao tuyến mặt phẳng ( MEF ) ( ABCD ) Từ suy giao điểm N AD ( MEF ) Chứng minh MNEF hình thang cân Lời giải: S E F N A B M D C  S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) Ta có  ⇒ ( SAB ) ∩ ( SCD ) = Sx / / AB / / CD  AB / / CD, AB ⊂ ( SAB ) , CD ⊂ ( SCD )  S ∈ ( SAB ) ∩ ( SBC ) Tương tự  ⇒ ( SAD ) ∩ ( SBC ) = Sy / / AD / / BC  AD / / BC , AD ⊂ ( SAD ) , BC ⊂ ( SBC ) b) Do E , F trung điểm SA, SB nên EF đường trung bình tam giác SAB Do EF / / AB, EF / = AB (1)  EF / / AB, EF ⊂ ( MEF ) , AB ⊂ ( ABCD ) Ta có  ⇒ ( MEF ) ∩ ( ABCD ) = Mt / / AB / / CD (2)  M ∈ ( MEF ) ∩ ( ABCD ) Gọi N giao điểm Mt với AD Ta có:  N ∈ Mt , Mt ⊂ ( MEF ) , AB ⊂ ( ABCD ) ⇒ { N } = AD ∩ ( MEF )   M ∈ AD Từ (1) (2) suy EF / / MN = , EF AB < MN Suy MNEF hình thang a) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ  = SBC  ⇒ ∆EAN = ∆FBM ( c.g c ) ⇒ FM = EN Dễ thấy ∆SAD = ∆SBC (c.c.c) ⇒ SAD MNEF hình thang cân Thiết diện qua đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Được xác dịnh cách phối hợp hai cách xác định giao tuyến biết: Cách 1: Tìm hai điểm chung hai mặt phẳng Cách 2: Tìm điểm chung phương ( song song với đường thẳng cho trước) giao tuyến Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB AC , Gọi E điểm cạnh CD với ED = 3EC Thiết diện tạo mặt phẳng ( MNE ) tứ diện ABCD là: A Tam giác MNE B Tứ giác MNEF với F điểm cạnh BD C Hình bình hành MNEF với F điểm cạnh BD mà EF / / BC D Hình thang MNEF với F điểm cạnh BD EF / / BC Lời giải: Trong mặt phẳng ( BCD ) , Gọi F giao điểm đường thẳng qua E , song song BC với BD = = ( MNE ) ∩ ( ABC ) MN ; ( MNE ) ∩ ( BCD ) EF Ta có  = = ) MF ; ( MNE ) ∩ ( ACD ) NE ( MNE ) ∩ ( ABD Vậy tứ giác MNEF thiết diện hình chóp cắt ( MNE ) MN ( MNE ) ∩ ( ABC ) =  EF ( MNE ) ∩ ( BCD ) = Lại có  ⇒ EF / / MN BC ( MCD ) ∩ ( ABC ) =  BC / / MN  Suy tứ giác MNEF hình thang ( EF > MN ) Ví dụ Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA Thiết diện mặt phẳng ( MCD ) với hình chóp S ABCD hình gì? A Tam giác B Hình bình hành C Hình thang D Hình thoi Lời giải: Đáp án C Gọi N trung điểm SB Do MN / / AB , AB / / CD ⇒ MN / / CD Như suy N thuộc mặt phẳng ( MCD ) MD ( MCD ) ∩ ( SAD ) =  MN ( MCD ) ∩ ( SAB ) = Ta có:  NC ( MCD ) ∩ ( SBC ) =  MCD ∩ ABCD = ) ( ) CD ( Vậy tứ giác MNCD thiết diện hình chóp bị cắt mặt phẳng ( MCD ) Kết hợp với MN / / CD , suy MNCD hình thang DẠNG 3: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG = CD = a , AC = BD = b , AD = BC = c Xét khẳng định sau: Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB b2 − c2 a Cosin góc hai đường thẳng AB CD a2 a2 − c2 b Cosin góc hai đường thẳng AC BD b2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com c b −a c2 Cosin góc hai đường thẳng AD BC Trong khẳng định có khẳng định đúng? B C D A Lời giải: Đáp án C Gọi E , F , G trung điểm AC , BC , AD Ta có: EF / / AB , EG / / CD , suy góc hai đường thẳng AB CD A AB + AC BC a + b c Ta có: AF 2= − = − 4 Do ∆ABC = ∆DBC ( c.c.c ) nên AF = DF Suy ∆AFD cân F a +b −c Xét tam giác EFG 2 2 + EG − FG c −b  EF = cos FEG = EF EG a2 FG ⊥ AD ⇒ FG= ( FA2 − AG = ) ( 2 Vậy G )    Vì 0o ≤ EF = cos FEG = , EG ≤ 90o ⇒ cos EF , EG E có: D B b2 − c2 F C a2 b2 − c2 Vậy cosin góc hai đường thẳng AB CD a2 a2 − c2 Tương tự ta suy cosin góc AC BD b2 Nhận xét: Từ ví dụ này, ta cịn suy ba giá trị a cos ( AB, CD ) ; b cos ( AC , BD ) ; c cos ( AD, BC ) tổng hai giá trị lại Cũng từ ví dụ ta cịn suy với tứ diện ABCD góc cặp cạnh đối diện 90o C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Cho hai đường thẳng a b chéo Mệnh đề sau đúng? A Tồn hai đường thẳng c , d song song với nhau, đường cắt a b B Không thể tồn hai đường thẳng c , d phân biệt đường cắt a b C Không thể tồn đường thẳng cắt a b D Cả ba câu sai Câu Câu Câu Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến A Đôi cắt B Đồng quy C Hoặc đồng quy đôi song song D Đôi song song Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) sẽ: A Song song với hai đường thẳng B Song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng C Trùng với hai đường thẳng D Cắt hai đường thẳng Cho hai đường thẳng a b chéo Xét hai đường thẳng p , q mà đường thẳng cắt a b , p cắt a M , q cắt a N ( M không trùng với N ) Khi hai đường thẳng p q : Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu A Cắt B Trùng C Song song với D Hoặc chéo cắt Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng đó: A Song song B Trùng C Chéo D Hoặc song song trùng Giả sử ( P ) , ( Q ) , ( R ) ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt a , b , c Trong Câu đó:= a ( P ) ∩ ( R ) ,= b ( Q ) ∩ ( R ) ,= c ( P ) ∩ (Q ) Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A a b cắt song song với B Ba giao tuyến a , b , c đồng quy đôi cắt C Nếu a b song song với a c khơng thể cắt nhau, vậy, b c cắt D Ba giao tuyến a , b , c đồng quy đơi song song Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Khi giao tuyến hai mặt phẳng ( SBC ) Câu ( SAD ) đường thẳng d : Câu Câu A Đi qua S B Đi qua điểm S song song với AB D Đi qua điểm S song song với AC C Đi qua điểm S song song với AD Giả sử có ba đường thẳng a , b , c b / / a c/ /a Hãy chọn câu đúng: A Nếu mặt phẳng ( a, b ) không trùng với mặt phẳng ( a, c ) b c chéo B Nếu mặt phẳng ( a, b ) trùng với mặt phẳng ( a, c ) ba đường thẳng a , b , c song song với đôi C Dù cho hai mặt phẳng ( a, b ) ( a, c ) có trùng hay khơng, ta có b/ / c D Cả ba câu sai Cho hai đường thẳng a , b Hai đường thẳng nằm trường hợp: (1) Hai đường thẳng phân biệt không gian (2) Hai đường thẳng phân biệt mặt phẳng (3) a giao tuyến ( P ) ( R ) , b giao tuyến ( Q ) ( R ) , ( P ) , ( Q ) , ( R) ba mặt phẳng khác đôi Tương ứng với trường hợp trên, số khả xảy a b là: A 3, 2, B 3, 2, C 2, 3, D 3, 2, Câu 10 Xét hình bên dưới: c a b Các cạnh hình hộp nằm đường thẳng a , b , c hình vẽ: (1) Đường thẳng a đường thẳng b nằm mặt phẳng (2) Có mặt phẳng qua hai đường thẳng a c (3) Có mặt phẳng qua hai đường thẳng b c Trong ba câu trên: A Chỉ có (1) (2) B Chỉ có (1) (3) C Chỉ có (2) (3) D Cả ba câu Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn CD Gọi M trung điểm SA , N giao điểm cạnh SB mặt phẳng ( MCD ) Mệnh đề sau đúng? A MN SD cắt C MN SC cắt Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 B MN CD chéo D MN CD song song với Website: tailieumontoan.com Câu 12 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, AD, CD, BC Mệnh đề sau sai? A MP, NQ chéo B MN ∥PQ MN = PQ C MNPQ hình bình hành D MN ∥BD MN = BD Câu 13 Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh SA, SB, SC , SD Đường thẳng sau không song song với đường thẳng MN ? A AB B CD C PQ D SC Câu 14 Cho hình chóp A.BCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh AC , BD, AB, CD, AD, BC Các điểm sau không đồng phẳng? B M , R, S , N C P, Q, R, S D M , P, Q, N A M , P, R, Q Câu 15 Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình thang với đáy AD BC ( AD =a > BC =b ) Gọi I , J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng ( ADJ ) cắt SB, SC M , N Mặt phẳng ( BCI ) cắt SA, SD P, Q Gọi E giao điểm AM PB , F giao điểm CQ DN Trong mệnh đề đây, có mệnh đề sai? 1) MN PQ song song với 2) MN EF song song với 3) EF = (a + b) 4) EF = (a + b) A B C D Câu 16 Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AC , BC K điểm đoạn BD cho KB = KD , F giao điểm AD ( IJK ) Giao tuyến hai mặt phẳng ( SAD ) ( IJK ) song song với đường thẳng? A AJ B BI C IJ D CI Câu 17 Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm BC , BD Giao tuyến hai mặt phẳng ( AIJ ) ( ACD ) là: A Đường thẳng d qua A d ∥BC B Đường thẳng d qua A d ∥BD C Đường thẳng d qua A d ∥CD D Đường thẳng AB Câu 18 Cho hình chóp S ABC , M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt mặt phẳng ( SBC ) , ( SAC ) , ( SAB ) A′, B′, C ′ MA′ MB′ MC ′ a) có giá trị khơng đổi M di động tam giác + + SA SB SC ABC ? 1 A B C D 3 MA′ MB′ MC ′ b) nhận giá trị lớn Khi vị trí M tam giác ABC là: SA SB SC A Trực tâm ∆ABC B Trọng tâm ∆ABC C Tâm ngoại tiếp ∆ABC D Tâm nội tiếp ∆ABC Câu 19 Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình bình hành tâm O Mặt phẳng (α ) di động qua AB cắt SC , SD M , N a) Tứ giác ABMN hình gì? Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A Hình bình hành B Hình thang C Hình thoi D Tứ giác lồi có cặp cạnh đối cắt b) Giao điểm hai đường thẳng AM BN chạy đường thẳng cố định: A SO B Đường thẳng qua S C Đường thẳng qua S , song song với AB D Đường thẳng qua S , song song với AD c) Giao điểm hai đường thẳng AN BM chạy đường thẳng cố định: A SO B Đường thẳng qua S C Đường thẳng qua S , song song với AB D Đường thẳng qua S , song song với AD AB BC d) Tính ? − MN SK 1 B C D A 3 Câu 20 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD M điểm nằm bên tam giác BCD Đường thẳng qua M song song với GA cắt mặt phẳng ( ABC ) , ( ACD ) , ( ADB ) P, Q, R MP + MQ + MR không đổi bằng: GA A B C D b) Xác định vị trí M để MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất? A M trực tâm tam giác BCD B M tâm ngoại tiếp tam giác BCD C M trọng tâm tam giác BCD D M tâm ngoại tiếp tam giác BCD Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Mặt bên ( SAB ) tam a) Khi M di động tam giác BCD , đại lượng = 90° Gọi Dx đường thẳng qua D song song với SC giác SAD a) Giao điểm I đường thẳng Dx với mặt phẳng ( SAB ) chạy đường thẳng: A Qua S song song với AB B Qua S song song với AD C SO D SD b) Diện tích thiết diện hình chóp S ABCD cắt ( AIC ) là: a2 a2 a2 a2 B C D 16 Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Mặt bên ( SAB ) tam A = SD = a Gọi H , K trung điểm SA, SB M điểm cạnh giác đều, SC AD Mặt phẳng ( HKM ) cắt BC N a) HKNM hình gì? A Tứ giác lồi có cặp cạnh đối cắt B Hình thoi C Hình thang cân D Hình bình hành b) Đặt AM= x ( ≤ x ≤ a ) Tìm x theo a để diện tích tứ giác HKNM đạt giá trị nhỏ nhất? a a D Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang có cạnh đáy AB CD Gọi I , J trung điểm cạnh AD, BC G trọng tâm tam giác SAB Thiết diện A B a C hình chóp S ABCD cắt ( IJG ) tứ giác Tìm điều kiện AB, CD để thiết diện hình bình hành? A AB = 3CD B AB = 2CD C CD = AB D CD = AB Câu 24 Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm cạnh BC , BD E điểm cạnh AD ( E khác A, D ) Tìm điều kiện tứ diện ABCD điểm E cho thiết diện hình chóp cắt ( IJE ) hình thoi? Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Câu 25 Câu 26 Câu 27 Câu 28 Câu 29 Câu 30 Website: tailieumontoan.com     A AB = CD, EA = − ED B AD = BC , EA = − ED     D AD = BC , EA = −2 ED C AB = CD, EA = −2 ED Số đo góc hai đường thẳng 0° hai đường thẳng đó: A Song song B Chéo C Trùng D Song song trùng Bạn Tùng Chi xác định góc hai đường thẳng a, b không gian sau: Bước 1: Lấy điểm O Qua O dựng đường thẳng m song song với a Trên đường thẳng m lấy điểm A khác O Bước 2: Dựng đường thẳng n song song với song song với b Trên đường thẳng m lấy điểm B khác O Bước 3: Góc hai đường thẳng a b góc  AOB Hỏi bạn Tùng Chi có làm khơng, sai sai bước nào? A Bước B Bước C Bước D Bạn làm Cho ba đường thẳng a, b, c cho a∥b, b ⊥ c Khi góc hai đường thẳng a c bằng: B 60° C 45° D 30° A 90° Cho hình chóp A.BCD có tam giác ABC , ABD cạnh a , E trung điểm CD Tính số đo góc hai đường thẳng AD BC biết  AEB= 90° A 90° B 60° C 45° D 30° = 90° Gọi Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA= a,  ASB= SAD E , F trung điểm đoạn AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SE DF B C D A 5 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với= AB a= , AD 3= a, SA a Các tam giác SAB, SAC , SAD vng A Tính cosin góc hai đường thẳng SC BD B C D 130 130 Câu 31 Cho tứ diện ABCD có= AB 5,= AC 7,= BD 57,= CD Tính số đo góc hai đường thẳng BC AD ? A 30° B 45° C 60° D 90°    Câu 32 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a, BAC = BAD =° 60 , CAD =° 90 Gọi E trung điểm đoạn BC Tính cosin góc hai đường thẳng AB ED 5 A B C D 5 10 A HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án D  Đáp án A sai Giả sử c cắt a, b A, B , d cắt a, b C , D Suy A, B, C , D đồng phẳng, hay a, b đồng phẳng, vơ lí  Đáp án B, C sai, dễ dàng thấy ví dụ tứ diện ABCD có AB CD đếu cắt hai đường thẳng chéo AD BC Câu Câu Câu Đáp án C Đáp án B Đáp án D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu Câu Câu Câu Đáp án D Đáp án B Đáp án C Đáp án D  Đáp án A sai ( a, b ) ( a, c ) không trùng a, b, c đơi phân biệt theo tính chất bắc cầu suy b∥c  Đáp án B, C sai, ta lấy ví dụ b ≡ c Câu Đáp án B  Trường hợp (1) xảy hai đường thẳng a, b chéo nhau, song song, cắt  Trường hợp ( ) song song, cắt  Trường hợp ( 3) song song, cắt trùng Như vậy, tương ứng với mối trường hợp, số khả xảy a, b 3, 2,3 Câu 10 Đáp án C Nhìn vào hình vẽ, ta thấy a, b chéo nhau, nên khơng có mặt phẳng chứa a, b Do (1) sai Vậy đáp án A, B, C sai Đường thẳng a, c cắt nhau, xác định mặt phẳng chứa hai đường Đáp án ( ) Đường thẳng b, c cắt nhau, xác định mặt phẳng chứa hai đường Đáp án ( 3) Câu 11 Đáp án D  AB∥CD  Ta có:  AB ⊂ ( SAB ) , CD ⊂ ( MCD ) ⇒ MN ∥CD  MN ( SAB ) ∩ ( MCD ) = Câu 12 Đáp án A S M N C D A B Do M , N trung điểm AB, AD nên MN ∥BD, MN = BD BD Suy MN ∥PQ , M , N , P, Q đồng phẳng Do MP, NQ khơng thể chéo Câu 13 Đáp án D Do MN đường trung bình tam giác SAB nên MN ∥AB Tương tự, PQ đường trung bình tam giác SCD nên PQ∥CD ABCD hình bình hành nên AB∥CD Do đó: PQ∥MN MN ∥CD MN khơng song song với SC giả sử ngược lại SC CD trùng (vơ lí) Do P, Q trung điểm CD, CB nên PQ∥BD, PQ = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 14 Đáp án A Do M , N , P, Q, R, S trung điểm AC , BD, AB, CD, AD, BC nên MR∥CD∥SN , PS∥AC∥RQ , MP∥BC∥NQ Do M , R, S , N đồng phẳng; P, Q, R, S đồng phẳng; M , P, Q, N đồng phẳng M , P, R, Q không đồng phẳng giả sử ngược lại P thuộc mặt phẳng ( ACD ) , suy B thuộc mặt phẳng ( ACD ) (vơ lí) Câu 15 Đáp án B Ta có I ∈ ( SAD ) , suy I ∈ ( SAD ) ∩ ( BCI ) PQ ( SAD ) ∩ ( BCI ) =  Do  AD ⊂ ( SAD ) , BC ⊂ ( BCI ) ⇒ PQ∥AD∥BC  AD∥BC  Ta có: J ∈ ( SBC ) , suy J ∈ ( SBC ) ∩ ( ADJ ) MN ( SBC ) ∩ ( ADJ ) =  Do  BC ⊂ ( SBC ) , AD ⊂ ( ADJ ) ⇒ MN ∥AD∥BC  AD∥BC  Từ suy MN PQ song song với =  EF ( ADNM ) ∩ ( BCQP )  =  AD ( ADNM ) ∩ ( ABCD ) ⇒ EF∥AD Ta có:  = BC ABCD ∩ BCQP ( ) ( )   AD∥BC  Suy EF∥MN Gọi K giao điểm CP với EF EF = EK + KF SP SM Do = = ⇒ PM ∥AB SA SB PE PE Theo định lý Thalet ta có: =⇒ = Do EK song song với BC nên theo định lý EB PB PE EK 2 Thalet ta có : = = ⇒ EK = b PB BC 5 QF QC PQ 3 2 Tương tự ta có: =⇒ =⇒ =⇒ FK =PQ = AD =a FC FC FK 5 Từ suy EF = (a + b) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 16 Đáp án C FK ( SAD ) ∩ ( IJK ) =  Ta có:  AD ⊂ ( SAD ) , IJ ⊂ ( IJK ) ⇒ FK ∥IJ  AD∥IJ  Dễ dàng chứng minh đường thẳng cịn lại khơng song song với FK Câu 17 Đáp án C Do I , J trung điểm BC , BD nên IJ đường trung bình tam giác BCD Suy IJ ∥CD  IJ ∥CD, IJ ⊂ ( AIJ ) , CD ⊂ ( ACD ) Ta có:  ⇒ ( AIJ ) ∩ ( ACD ) = At∥CD  A ∈ ( AIJ ) ∩ ( ACD ) Câu 18 Đáp án C, B a) Do MA′∥SA nên bốn điểm nằm mặt phẳng Giả sử E giao điểm mặt MA′ ME S phẳng với BC Khi A, M , E thẳng hàng ta có: = = MBC SA EA S ABC MA′ MB′ MC ′ MB′ S MAC MC ′ S MAB Vậy Tương tự ta= có: Vậy đáp án + + = , = SA SB SC SB S ABC SC S ABC b) Ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : MA′ MB′ MC ′ MA′ MB′ MC ′ MA′ MB′ MC ′ + + ≥ 33 ⇒ ≤ SA SB SC SA SB SC SA SB SC 27 MA′ MB′ MC ′ Dầu xảy khi: = = ⇒ S MAC = S MAB = S MBC SA SB SC Điều xảy M trọng tâm tam giác ABC Vậy đáp án B Câu 19 Đáp án B, A, D, A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com =  MN ( ABM ) ∩ ( SCD )  =  AB ( ABM ) ∩ ( ABCD ) ⇒ MN ∥AB Do ABMN hình thang Do MN < AB a) Ta có :  = CD ABCD ∩ SCD ( ) ( )  CD∥AB  nên ABMN hình bình hành, hinh thoi Vậy đáp án B  I ∈ ( SAC ) b) Gọi = ⇒ I ∈ SO= ( SAC ) ∩ ( SBD ) Vậy đáp án A I AM ∩ BN ⇒   I ∈ ( SBD )  I ∈ ( SAD ) c) Gọi K= AN ∩ BM ⇒  ⇒ I ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC )  I ∈ ( SBC ) Giao tuyến hai mặt phẳng ( SAD ) ( SBC ) đường thẳng qua S song song với AD Vậy đáp án D AB BM d) Do MN ∥AB nên = (1) MN MK CB MB Do SK ∥BC nên = ( 2) SK MK AB BC Từ (1) ( ) suy Vậy đáp án A − = MN SK Câu 20 Đáp án C, C a) Trong mặt phẳng ( BCD ) , gọi I = MG ∩ BC , J = MG ∩ CD, K = MG ∩ BD P (đây giao điểm Mx với ( ABC ) ) Qua M kẻ Mx∥GA Trong ( AIJ ) : Mx ∩ AI = Tương tự Mx ∩ AK= R, Mx ∩ AJ= Q IM S MIC S MIB S MIC + S MIB S MBC 3S MBC Ta có : = = = = = IG SGIC SGIB SGIC + SGIB SGBC S BCD IM MP MP 3S MBC Theo định lý Thalet ta có : Do : = = IG GA GA S BCD MQ 3S MCD MR 3S MBD MP + MQ + MR Chứng minh tương tự ta có : = , = ⇒ = GA S BCD GA S BCD GA Vậy đáp án C  MP + MQ + MR  b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : MP.MQ.MR ≤  GA3  =   Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Vậy giá trị lớn MP.MQ.MR GA Dấu xảy MP = MQ = MR Điều xảy M trọng tâm tam giác BCD Vậy đáp án C Câu 21 Đáp án A, A a) Do Dx∥SC nên hai đường thẳng nằm mặt phẳng ( SCD ) Lại có, hai mặt phẳng ( SAB ) ( SCD ) có D điểm chung, AB∥CD nên giao tuyến đường thẳng qua S song song với AB Vậy I thuộc giao tuyến Vậy đáp án A b) Gọi E giao điểm SD IC Suy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( AIC ) tam giác ACE Ta có SIDC hình thang nên SI = CD SI ∥CD Suy SI = AB SI ∥AB Điều = SB = a suy SIDC hình bình hành Khi AI a Mặt khác, AC = SD = a ⇒ AE = Xét tam giác IAC có : CI = ( AC + AI ) − AE = 4a ⇒ CI = 2a a2 + 2a − a AE + AC − CE = = Ta có : cos CAE = = ⇒ sin CAE AC AE 2a 4 a a2  1= Diện tích = thiết diện : S AC = AE.sin CAE a 2 Vậy đáp án A Câu 22 Đáp án C, A 2 a) Ta có :  KH ∥AB, KH ⊂ ( HKM ) , AB ⊂ ( ABCD ) ⇒ ( HKM ) ∩ ( ABCD ) = MN ∥AB∥HK (1)   M ∈ ( HKM ) ∩ ( ABCD ) =  Ta lại có: ∆SAD = ∆SBC ( c.c.c ) ⇒ SAD SBC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ... biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng ( có) song song với hai đường... mệnh đề sau, mệnh đề sai? A a b cắt song song với B Ba giao tuyến a , b , c đồng quy đôi cắt C Nếu a b song song với a c cắt nhau, vậy, b c cắt D Ba giao tuyến a , b , c đồng quy đôi song song... đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến A Đơi cắt B Đồng quy C Hoặc đồng quy đôi song song D Đôi song song Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng