Bài tập vi tích phân bài tập chuỗi taylor

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN an co ng c om BTC ÔN THI HỌC KỲ KHÓA 2016 du o ng th Bài tập Chuỗi Taylor Xấp xỉ BĐT Taylor cu u  Vũ Lê Thế Anh Cập nhật: 15/02/2017 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Xấp xỉ 𝒇(𝒙) đa thức Taylor bậc n xung quanh a uớc lượng độ xác xấp xỉ x nằm đoạn cho trước: 1/ 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑎 = 4, 𝑛 = 2, 𝑥 ∈ [4,4.2] 2/ 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑛 = 3, 𝑥 ∈ [0,0.2] 3/ 𝑓(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑛 = 4, 𝑥 ∈ [−1,1] Câu 1: c om Có: 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑎 = 4, 𝑛 = 2, 𝑥 ∈ [4,4.2] Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 4: 𝑓(𝑥) ~ 𝑇2 (𝑥) = ∑ ng 𝑛=0 𝑓 (𝑛) (4) (𝑥 − 4)𝑛 𝑛! 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥 1/2 ⇒ 𝑓 (0) (4) = th ng −1 𝑓 (2) (𝑥) = − 𝑥 −3/2 ⇒ 𝑓 (2) (4) = 32 an 1 𝑓 (1) (𝑥) = 𝑥 −1/2 ⇒ 𝑓 (1) (4) = co Có: Vậy: du o 1 𝑇2 (𝑥) = + (𝑥 − 4) − (𝑥 − 4)2 64 cu Có: u Ước lượng độ xác phép xấp xỉ đánh giá độ lớn sai số |𝑅2 (𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑇2 (𝑥)| [4,4.2]: 3 = 𝑀, ∀𝑥 ∈ [4,4.2] |𝑓 (3) (𝑥)| = | 𝑥 −5/2 | ≤ 4−2 = 8 256 Theo Bất đẳng thức Taylor: |𝑅2 (𝑥)| ≤ 𝑀 1 |𝑥 − 4|3 ≤ |4.2 − 4|3 = 3! 256 3! 64000 Câu 2: Có: 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑛 = 3, 𝑥 ∈ [0,0.2] Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 𝑓(𝑥) ~ 𝑇3 (𝑥) = ∑ 𝑛=0 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑥 𝑛! Có: 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑓 (0) (0) = 𝑓 (1) (𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥 ⇒ 𝑓 (1) (0) = 2 𝑓 (2) (𝑥) = 2(𝑒 𝑥 + 2𝑥 𝑒 𝑥 ) = 2𝑒 𝑥 (1 + 2𝑥 ) ⇒ 𝑓 (2) (0) = 2 2 𝑓 (3) (𝑥) = 2[2𝑥𝑒 𝑥 (1 + 2𝑥 ) + 4𝑥𝑒 𝑥 ] = 4𝑥𝑒 𝑥 (3 + 2𝑥 ) ⇒ 𝑓 (3) (0) = c om Vậy: 𝑇3 (𝑥) = + 𝑥 Ước lượng độ xác phép xấp xỉ đánh giá độ lớn sai số |𝑅3 (𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑇3 (𝑥)| [0,0.2]: ng Có: 2 co |𝑓 (4) (𝑥)| = |4[𝑒 𝑥 (1 + 2𝑥 )(3 + 2𝑥 ) + 4𝑥 𝑒 𝑥 ]| = 4𝑒 𝑥 (4𝑥 + 12𝑥 + 3) 2 an Xét 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥 (4𝑥 + 12𝑥 + 3) th 𝑔′ (𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥 (4𝑥 + 12𝑥 + 3) + 𝑒 𝑥 (16𝑥 + 24𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥 (4𝑥 + 20𝑥 + 15) ≥ ∀𝑥 ∈ [0,0.2] Vậy 𝑔(𝑥) đồng biến ∀𝑥 ∈ [0,0.2] ⇒ max 𝑔(𝑥) = 𝑔(0.2) ⇒ |𝑓 (4) (𝑥)| = 4𝑔(𝑥) ≤ 4𝑔(0.2) = 𝑀 𝑀 𝑔(0.2) 𝑔(0.2) |𝑥| ≤ 0.2 = ≈ 9.676.10−4 4! 3750 du o Theo Bất đẳng thức Taylor: ng [0,0.2] cu Câu 3: u |𝑅3 (𝑥)| ≤ Có: 𝑓(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑛 = 4, 𝑥 ∈ [−1,1] Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0: 𝑓(𝑥) ~ 𝑇4 (𝑥) = ∑ 𝑛=0 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑥 𝑛! Có: 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (0) (0) = 𝑓 (1) (𝑥) = sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (1) (0) = 𝑓 (2) (𝑥) = 2cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (2) (0) = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 𝑓 (3) (𝑥) = −3 sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (3) (0) = 𝑓 (4) (𝑥) = −4 cos 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (4) (0) = −4 Vậy: 𝑇4 (𝑥) = 𝑥 − 𝑥 Ước lượng độ xác phép xấp xỉ đánh giá độ lớn sai số |𝑅4 (𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑇4 (𝑥)| [−1,1]: Có: |𝑓 (5) (𝑥)| = |5 sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥| 𝑔(−𝑥) = |5 sin(−𝑥) − 𝑥𝑐𝑜𝑠(−𝑥)| = |5 sin 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥| = 𝑔(𝑥) Vậy 𝑔(𝑥) hàm chẵn ⇒ đồ thị 𝑔(𝑥) đối xứng qua trục tung Oy .c om Xét 𝑔(𝑥) = |5 sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥| 𝐷 = [−1,1] có 𝐷 miền đối xứng ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⇒ −𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑔(𝑥) = sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 , 𝑔′ (𝑥) = cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 ≥ (𝑑𝑜 ∀𝑥 ∈ [0,1], cos 𝑥 > sin 𝑥) [0,1] co [−1,1] ng Vậy 𝑔(𝑥) đồng biến ∀𝑥 ∈ [0,1] ⇒ max 𝑔(𝑥) = max 𝑔(𝑥) = 𝑔(1) ⇒ |𝑓 (5) (𝑥)| = 𝑔(𝑥) ≤ 𝑔(1) = 𝑀 Theo Bất đẳng thức Taylor: an 𝑀 𝑔(1) sin + cos |𝑥| ≤ = ≈ 0.03956 5! 120 120 ng th |𝑅4 (𝑥)| ≤ cu Câu 1: u du o Ước lượng xác đến chữ số thập phân: 1/ cos 85° 2/ 𝑒 0.1 𝜋 17𝜋 𝜋 Xét 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 quanh 𝑎 = với 𝑥 ∈ [ 36 , ] 𝜋 𝑓 (𝑛) (𝑥) = cos (𝑥 + 𝑛 ) , ∀𝑛 ≥ 𝜋 17𝜋 𝜋 Có: |𝑓 (𝑛+1) (𝑥)| = |cos [𝑥 + (𝑛 + 1) ]| ≤ = 𝑀, ∀𝑥 ∈ [ 36 , ] Theo Bất đẳng thức Taylor: |𝑅𝑛 (𝑥)| ≤ 𝑀 𝜋 𝑛+1 17𝜋 𝜋 𝑛+1 𝜋 𝑛+1 17𝜋 𝜋 ≤ − | = ( ) , ∀𝑥 ∈ [ , ] |𝑥 − | | (𝑛 + 1)! (𝑛 + 1)! 36 (𝑛 + 1)! 36 2 36 Để đảm bảo thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta cần chọn n nhỏ thỏa: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 𝜋 𝑛+1 ( ) < 0.00001 ⇒ 𝑛 = (𝑛 + 1)! 36 𝜋 Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 𝑓(𝑥) với 𝑎 = : 𝜋 𝜋 𝑓(𝑥) ~ 𝑇3 (𝑥) = − (𝑥 − ) + (𝑥 − ) Vậy: 17𝜋 17𝜋 𝜋 𝜋3 𝑓( ) ~ 𝑇3 ( )=− − ≈ 0.08715 36 36 36 139968 𝜋4 40310784 ≈ 2.6 ∗ 10−6 .c om Với sai số |𝑅3 (𝑥)| ≤ Câu 2: ng Xét 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 quanh 𝑎 = với 𝑥 ∈ [0,0.1] co 𝑓 (𝑛) (𝑥) = 𝑒 𝑥 , ∀𝑛 ≥ Có: |𝑓 (𝑛+1) (𝑥)| = 𝑒 𝑥 ≤ 𝑒 0.1 < 𝑒 < = 𝑀, ∀𝑥 ∈ [0,0.1] an Theo Bất đẳng thức Taylor: th 𝑀 |𝑥|𝑛+1 ≤ 0.1𝑛+1 , ∀𝑥 ∈ [0,0.1] (𝑛 + 1)! (𝑛 + 1)! ng |𝑅𝑛 (𝑥)| ≤ Để đảm bảo thỏa điều kiện đề bài, ta cần tìm n nhỏ thỏa: du o 0.1𝑛+1 < 0.00001 ⇒ 𝑛 ≥ (𝑛 + 1)! u Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = là: cu Vậy: 1 𝑓(𝑥) ~ 𝑇4 (𝑥) = + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 24 𝑓(0.1) ~ 𝑇4 (0.1) = 1.10517 Với sai số |𝑅4 (𝑥)| ≤ 2.5 ∗ 10−7 Ước lượng miền giá trị x để xấp xỉ có độ xác tương ứng: 𝑥3 , |𝑠𝑎𝑖 𝑠ố| < 0.01 𝑥 𝑥4 − + 24 , |𝑠𝑎𝑖 𝑠ố| < 1/ sin 𝑥 ≈ 𝑥 − 2/ cos 𝑥 ≈ CuuDuongThanCong.com 0.005 https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Câu 1: Xét 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0: 𝑓(𝑥) ~ 𝑇4 (𝑥) = ∑ 𝑛=0 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑥 𝑛! Có: 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (0) (0) = c om 𝑓 (1) (𝑥) = cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (1) (0) = 𝑓 (2) (𝑥) = − sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (2) (0) = 𝑓 (3) (𝑥) = − cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (3) (0) = −1 ng 𝑓 (4) (𝑥) = sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (4) (0) = co Vậy: th Có: |𝑓 (5) (𝑥)| = |cos 𝑥| ≤ = 𝑀, ∀𝑥 ∈ ℝ an 𝑇4 (𝑥) = 𝑥 − 𝑥 ng Theo Bất đẳng thức Taylor: 𝑀 |𝑥|5 |𝑥| = 5! 120 du o |𝑅4 (𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑇4 (𝑥)| ≤ Câu 2: |𝑥|5 5 < 0.01 ⇒ − √1.2 < 𝑥 < √1.2 120 cu u Sai số đề sai số Lagrange 𝑅3 (𝑥) xấp xỉ Taylor Để thỏa yêu cầu: Xét 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0: 𝑓(𝑥) ~ 𝑇5 (𝑥) = ∑ 𝑛=0 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑥 𝑛! Có: 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (0) (0) = 𝑓 (1) (𝑥) = −sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (1) (0) = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 𝑓 (2) (𝑥) = − cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (2) (0) = −1 𝑓 (3) (𝑥) = sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (3) (0) = 𝑓 (4) (𝑥) = cos 𝑥 ⇒ 𝑓 (4) (0) = 𝑓 (5) (𝑥) = −sin 𝑥 ⇒ 𝑓 (5) (0) = Vậy: 1 𝑇5 (𝑥) = − 𝑥 + 𝑥 24 Theo Bất đẳng thức Taylor: |𝑅5 (𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑇5 (𝑥)| ≤ c om Có: |𝑓 (6) (𝑥)| = |− cos 𝑥| ≤ = 𝑀, ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀 𝑥6 |𝑥| = 6! 720 ng Sai số đề sai số Lagrange 𝑅3 (𝑥) xấp xỉ Taylor Để thỏa yêu cầu: cu u du o ng th an co 𝑥6 6 < 0.005 ⇒ − √3.6 < 𝑥 < √3.6 720 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... thức Taylor: th