Bài tập ví dụ vi tích phân 1b chương tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN co ng c om BTC ÔN THI HỌC KỲ KHÓA 2016 ng th an BÀI TẬP VÍ DỤ VI TÍCH PHÂN 1B du o CHƯƠNG: TÍCH PHÂN cu u  Lâm Cương Đạt Cập nhật: 02/02/2017 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Bài tập tích phân suy rộng Bài 1: Tính tích phân suy rộng sau   x2 3 dx Đây tích phân suy rộng loại t    t  2  dx  lim   t   x2 3 x2 dx  lim 3 t  x2 2   2  lim    t  3   t2 t c om 2  2    lim  0 t  t2  t2  Vậy tích phân hội tụ   x.arctanx dx (1  x ) th Bài 2: Tính tích phân suy rộng sau an co 2   2 lim   2 t  3   t2 ng   du o ng Dễ thấy tích phân suy rộng loại cu t x.arctanx x.arctanx dx  lim dx t  0 (1  x ) (1  x ) u   Ta tìm (arctan x)’, đặt y  tan x  y'   tan x   y2   Theo cách tìm đạo hàm hàm ngược (arctan x hàm ngược tanx x  ( , ) ) 2 arctan(tan x) '  arctan(y) '  CuuDuongThanCong.com 1  y '  y2 https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016  x2 Hay arctan(x) '  Đặt u  arctan x  du  dx x  tan u  x2 Tích phân trở thành arctan t u.tan u arctan t arctan t lim arctan du  lim arctan u.sin  u  cos  u  du  lim arctan u.sin  2u  du t  t   tan u t  b a x.sin  2x  dx  b a b u.dv  u.v a  a v.du b b b 1  x.sin  x  dx   cos  2x  x  a   cos  2x   dx   a b b th  a b an Ta có co du  dx  ux   Đặt   dv  sin  2x  dx chon v   cos  2x   c om  ng Ta có cách tìm b arctan t lim arctan u.sin  2u  du t  u Vậy du o ng 1   cos  2x  x  sin  2x   sin  2x   2cos  2x   4 a a a arctan t cu 1   lim   sin(2u)  2x cos(2u)  t    arctan  lim sin(2arctan t)  2.arctan t.cos(2arctan t)  sin  2.0.cos 0 t  Do t    arctan t    sin(2arctan t)  2.arctan t.cos(2arctan t)  sin  2.0.cos 0   t  8 lim Vậy tích phân hội tụ CuuDuongThanCong.com  https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Bài 3: Tính tích phân suy rộng sau  14 2 dx x2 Ta thấy tích phân suy rộng loại 14 2 14 dx dx  lim t x  t 2 x2 14 3 4  lim  x    lim t 2    t t 2  14   t    323 c om   co xdx x2 x không xác định x=2 x2  b a du o ng  dt  dx Ta có đặt t  x    x  t  th Vậy tích phân suy rộng loại an Ta thấy hàm số f (x)  ng Bài 4: Xác định tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ b2 b2  t   b2  x.dx 2  a 2 dt  a 2 1   dt   t  2ln  t   a 2 x2 t t  cu u   x   2.ln  x     b a xdx xdx t xdx xdx xdx  0  2  lim 0  lim t x2 x2 x  t 2 x  t 2 x   lim  x   2ln (x  2)   lim  x   ln(x  2)  t t 2 t 2 t  lim  t  2ln t   2ln   lim   2ln  t  2ln t   t 2 t 2  lim t    t   t 2  t     Ta có *xem thêm đồ thị hàm số y = lnx  t   t      lim t 2 Vậy tích phân suy rộng phân kỳ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 ex Bài 5: Tính tích phân suy rộng sau  dx x Vậy  b a dx  dt  x x x 1 b e t b t dx  e dt  e   1a x2 ng Đặt t  c om ex Ta thấy tích phân vừa có cận từ  vừa có cận mà hàm số f (x)  không x xác định, kết hợp tích phân loại tích phân loại co a an Tích phân trở thành th 1 k    k ex  1x   ex   lim dx  lim  lim  e    x dx  tlim   k 0 t x  t   k 0    t      du o   1t  k  lim  lim  e  e   t  k 0    ng  cu u 1 Khi t      e t  e0  t 1 k Khi k  0     e  e   *xem thêm đồ thị y  ex k Vậy tích phân hội tụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Bài tập tích phân suy rộng Bài 1: Tính tích phân suy rộng sau   x2 3 dx Đây tích phân suy rộng loại t    t  2  dx  lim   t ... 1a x2 ng Đặt t  c om ex Ta thấy tích phân vừa có cận từ  vừa có cận mà hàm số f (x)  không x xác định, kết hợp tích phân loại tích phân loại co a an Tích phân trở thành th 1 k    k ex...  t2  t2  Vậy tích phân hội tụ   x.arctanx dx (1  x ) th Bài 2: Tính tích phân suy rộng sau an co 2   2 lim   2 t  3   t2 ng   du o ng Dễ thấy tích phân suy rộng loại