Đạo hàm và vi phân 1.. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của z... bằng phương pháp đổi biến.. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 1.
Trang 1BÀI TẬP VI TÍCH PHÂN A2
1) Tìm miền xác định của các hàm số:
a) z = x2 + y2 b) z = 1−x2 −y2 c) z = x2 + y2 −1+ln(4−x2 − y2)
2) Cho hàm số:
x
y xy y x
f( , )= + Tìm f(y,x); f(- x, - y); (1, )
x
y f
3) Cho
xy
y x y x
f
2 ) ,
(
2
2 −
= Tính (1,1)
y x
f , f(- x, -y).
Đạo hàm và vi phân
1) Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a) z = (sinx)xy (sinx > 0) b) z ln(x= + x2 +y )2
2) Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: a) z 10= x 2 − y 2 b) xy(x2 y )2 2 y
x
+
3) Cho z = yln(x2 – y2) Chứng minh rằng: 1 z 1 z z2
x x y y y
Hàm khả vi và vi phân toàn phần
1) Tìm vi phân của hàm số sau: z = xy2
2) Tìm vi phân toàn phần của hàm số sau: z = yx + xy, với y > 0
3) Cho u 2 12 2
x y z
=
+ + Tính du.
Ứng dụng của vi phân
Tính gần đúng giá trị của biểu thức: A ln( 1,03= 3 + 0,98 1)− , A = (0,98)2 +(0,03)3
Đạo hàm và vi phân cấp cao:
1) Cho hàm z e= x y + 2 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của z
2) Cho hàm z x.e= −yx Chứng minh rằng:
2
3) Tính vi phân toàn phần cấp hai của các hàm số: a) z = ln(x – y) b) z = (x + y)ex + y
Cực trị của hàm nhiều biến:
1) Tìm cực trị của hàm a) z = x3 + 3xy2 – 30x – 18y b) z = x2 + y2 + xy – 3x – 6y 2) Tìm cực trị của hàm số: f(x,y) = 6 – 4x – 3y, với điều kiện x2 + y2 = 1
TÍCH PHÂN BỘI
1
Trang 21) Tính: a)
D
(x y)dxdy+
D
xydxdy
∫∫ trong đó D là miền 0 x 1
0 y 1
≤ ≤
≤ ≤
2) Tính
D
(x y)dxdy+
∫∫ , trong đó:
a) D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y = 2 – x2
b) D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = x2 và x + y = 2
3) Tính 2
D
I=∫∫x ydxdy với D giới hạn bởi
2
x y 2
= , y = 2x2, y = 4
4) Tính
D
xydxdy
∫∫ với D là miền phẳng giới hạn bởi các đường sau:
y = x, y = 3x, y = x2, y = 3x2 (bằng phương pháp đổi biến)
5) Tính
2 2
x y D
I=∫∫e + dxdy với D là miền tròn: x2 +y2 ≤R2
6) Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:
a) y2 – 2y = x, x – y = 0 b) đường Axtroit: x23 +y23 =a23
c) Giới hạn bởi: y x 1; y x 3; y 1x 7; y 1x 5
TÍCH PHÂN BA LỚP
1) Tính
V
(1 x y)dxdydz− −
a) với V là miền được xác định bởi: 0 x 1, 2 y 5, 2 z 4≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
b) với V là miền được xác định bởi: x + y + z = 1 x = 0, y = 0, z = 0
2) Tính 2 2
V
(x +y )dxdydz
a) với V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x2 + y2 = 2x, và các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = a b) với V là miền giới hạn bởi nữa trên hình vành cầu a2 ≤x2 +y2 + ≤z2 b2, z ≥ 0
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
1) Tính
AB
I= ∫ xyds, trong đó AB là đường cong xác định bởi x = a(1 – cost), y = asint,
0 t≤ ≤ π, a > 0
2) Tính 2
AB
I= ∫ x ds, trong đó AB là cung y = lnx và A(1,0); B(e,1)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI
AB
I= ∫ (xy 1)dx x ydy− + ,
2
Trang 3a) trong đó ¶AB được xác định bởi x = cost, y = 2sint, A(1,0); B(0,2).
b) trong đó ¶AB được xác định bởi 4x + y2 = 4, A(1,0); B(0,2)
2) Tính 2
L
I=∫x ydy, với L là cung Parabol x = y2, từ A(1,-1); B(1,1)
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
Giải phương trình: 1) x(1 + y2)dx – y(1 + x2)dy = 0
2) (x2 + 2xy)dx + xydy = 0 3) y’ – y = xy5
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II
Giải các phương trình: 1) y’’ – 2y’ + y = x + 1 2) y’’ – 2y’ - 3y = e-x
3) y’’ – 8y’ + 16y = e4x 4) y’’ + y = 4x.sinx
5) y’’ – 7y’ + 6y = (1 – x)ex 6) y’’ – y = e3x cosx
3