CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI A.. Ứng dụng trong tích phân kép 1... CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & TÍCH PHÂN MẶT A.. Tích phân mặt loại 2: sinh viên tự soạn thêm nhé, chưa có thời gian đề cập E
Trang 1VI TÍCH PHÂN A2
CHƯƠNG 1: CỰC TRỊ HÀM SỐ
A Các bước giải bài toán đi tìm cực trị của hàm số
Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền D:
B1: Giải hệ
0
0 '
'
y
x
f
f
để đi tìm điểm dừng của hàm số
B2: Xét dấu của biểu thức =B2-AC tại từng điểm dừng trong
đó: A = fxx''; B = fxy''; C = fyy''
- Nếu <0, A >0 hàm số đạt cực tiểu
- Nếu <0, A <0 hàm số đạt cực đại
- Nếu >0 hàm số không có cực trị
- Nếu =0 chưa khẳng định liền được
B Các bước giải bài toán đi tìm GTLN, GTNN của hàm số
Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền D:
B1: Giải hệ
0
0 '
'
y
x
f
f
để đi tìm điểm dừng của hàm số nằm
trong miền D
B2: Tìm các điểm dừng của hàm số trên biên D
B3: Tính giá trị tại các điểm dừng vừa tìm được ở B1, B2 So
sánh và kết luận
C Các bước giải bài toán tìm cực trị có điều kiện
Cho hàm số f(x,y) trong đó x,y bị ràng buộc bởi g(x,y)=0
B1: Đặt F(x,y,)=f(x,y) +g(x,y)
Giải hệ
0 ) ,
(
0
0
'
'
y
x
g
F
F
y
x
để tìm các điểm dừng của hàm số
B2: Ứng với từng điểm dừng M Xét dấu của của biểu thức:
dF(M,)=Fxx''( M , ) dx2+Fxy'' ( M , ) dxdy+Fyy'' ( M , ) dy2
- Nếu dF(M,)<0 hàm số đạt cực đại
- Nếu dF(M,)>0 hàm số đạt cực tiểu
- Nếu dF(M,)=0 chưa thể khẳng định
D Bài tập mẫu
Bài 1: Tìm cực trị của hàm số sau:
f(x,y) = x4 +y4- 2(x-y) 2
Giải:
Giải hệ
0
0
'
'
y
x
f
f
0 ) ( 4 4
0 ) ( 4 4 3 3
y x y
y x x
2 2 0
y y y
y x
2
; 2
2
; 2 0
y x
y x
y x
Hàm số có 3 điểm dừng 0(0,0); M1( 2 , 2); M2( 2 , 2) Tính A = fxx''=12x2 – 4; B =fxy''=4; C = fyy'' =12y2 – 4
b Tại điểm 0(0,0) ta có =B2-AC =0 ta chưa thể khẳng định ngay được
Xét f(0,k)-f(0,0) =k4 – 2k2 = k2(k2-2) thay đổi dấu khi k thay đổi nên hàm số không đạt cực trị tại 0(0,0)
- Tại điểm M1( 2 , 2); M2( 2 , 2) đều có =-384<0 và A=20>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại M1, M1
fCT=f(M1)=f(M2)=-8
Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau:
f(x,y) = e(x2y2)(2x2+3y2) trong miền D={(x,y): x2+y21}
Giải:
Giải hệ
0
0 ' '
y
x
f
f
0 ) 3 2 3 (
0 ) 3 2 2 (
2 2 )
(
2 2 )
(
2 2
2 2
y x ye
y x xe
y x
y x
0 ) 3 2 3 (
0 ) 3 2 2 (
2 2
2 2
y x y
y x x
0
; 1
1
; 0 0
y x
y x
y x
Hàm số có 1 điểm dừng nằm trong miền D là 0(0,0)
f(0)=0
- Tính các giá trị của hàm số trên biên
D
Ta có x2+y2=1 y2= x2 – 1 với x[-1,1]
thay vào hàm số ta có f(x,y)=g(x)=
e
x2
3
với x[-1,1]
nhận thấy
e
2
g(x)
e
3
với x[-1,1]
g(x)=
e
2x=0 y=1; g(x)=
e
3 x=1y=0
So sánh tất cả các giá trị ta có:
GTLN Maxf =
e
2
tại (0,1); (0,-1)
GTNN Minf =
e
3
tại (1,0); (-1,0)
Bài 3: Tìm cực trị của hàm số f(x,y) =x+y với điều kiện 1 1 1
y x
3
Trang 2Giải:
Đặt F(x,y,) = x+y +(1 1 1
y
Giải hệ
0
1
1
1
0
0
'
'
y
x
F
F
y
x
0 1 1 1
0 1
0 1
2 2
y x y
x
) 3 ( 0 1 1 1
) 2 (
) 1 ( 2 2
y x
y
x
Từ (1) và (2) x2 = y2
- Với y =x thay vào phương trình (3) ta có x=2 ứng với =4
- Với y =-x thay vào phương trình (3) ta có -1=0 vô lý
Vậy hàm số chỉ có duy nhất một điểm dừng là M(2,2) ừng với
=4
Xét dF(M,)
= Fxx''( M , ) dx2+Fxy''( M , ) dxdy+Fyy'' ( M , ) dy2(*)
Trong đó Fxx''( M , )=23
x
=
8
4 2
=1; Fxy''( M , )=0;
Fyy'' ( M , )=23
y
=
8
4 2
=1 Và dy=dx
Thay tất cả vào (*) ta có dF(M,)=2dx2 > 0
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại M(2,2); fCT = 4
Bài 4: Tìm cực trị của hàm số sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y)
với D ={(x,y): 0x
2
3
;0y
2
3
} Giải:
- Tìm các điểm dừng của hàm số trong miền D
Giải hệ
0
0
'
'
y
x
f
f
) 2 ( 0 ) sin(
cos
) 1 ( 0 ) sin(
cos
y x y
y x x
Lấy (1) trừ (2)cosx=cosy
2
2
k y x
k y x
; với kZ
- Với x=-y+k2 x+y = k2 thay vào hệ ta có:
0 ) 2 sin(
cos
0 ) 2
sin(
cos
k
y
k
x
0 cos
0 cos
y
x
k y
k x
2 2
2
3
;
2
2
3
;
2
y
x
Do x,yD
- Với x= y+k2 thay vào pt (2) ta có:
cosy – sin(y+k2 +y)=0cosy=sin(2y+ k2 )=sin2y
cosy=cos(
2
- 2y)
2 2 2
2 2 2
h y
y
h y y
h y
h y
2
3
2 6
2
3
; 6
5
; 2
; 6
2 2
3
; 2 3
2 6
5
; 6 5
2 2
; 2
2 6
; 6
k x
y
k x
y
k x
y
k x
y
2
3
; 2 3
6
5
; 6 5
2
; 2
6
; 6
x y
x y
x y
x y
Vậy hàm số có 6 điểm dừng:
M1(
6
,
6
); M2(
2
,
2
); M3(
6
5
,
6
5
); M4(
2
3
,
2
3
);
M5(
2
,
2
3
); M6(
2
3
,
2
) Tính A = fxx''=-sinx – cos(x+y); B = fxy''= -cos(x+y);
C = fyy'' =-siny – cos(x+y)
- Tại điểm M1, M3 thì: A 1; B
=-2
1
; C =-1
=-4
3
<0 Mà A =-1<0 nên hàm số đạt cực đại tại M1, M3
fCĐ = f(M1)=f(M3)=
2 3
- Tại điểm M2, M4 thì A =0; B =1; C=0
=1 >0 nên hàm số không đạt cực trị tại M2, M4
b Tại điểm M5 thì A = -2; B = -1; C = 0
=1 >0 nên hàm số không đạt cực trị tại M5
- Tại điểm M6 thì A = 0; B = -1; C = -2
=1 >0 nên hàm số không đạt cực trị tại M6 Vậy hàm số đạt cực đại tại M1(
6
,
6
); M3(
6
5 ,
6
5 )
và fCĐ =
2 3
4
Trang 3CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI
A Các dạng bài toán tích phân kép
D
dxdy y x
f ( , )
1 Nếu D={(x,y): axb; cyd} thì:
D
dxdy
y
x
f ( , ) =
d
c b
a
dy y x f
dx ( , )
2 Nếu D={(x,y): axb; y1(x)yy2(x)}
thì:
D
dxdy
y
x
f ( , ) =
) (
) (
2
1
) , (
x y
x y b
a
dy y x f dx
3 Dùng phương pháp đổi biến số để đưa miền D giới hạn bởi x,y
D’ giới hạn bởi u, v
Với x=x(u,v); y=y(u,v) và J =
' '
' '
v u
v u
y y
x x
hoặc
' '
' ' 1
y x
y x
v v
u
u khi đó
D
dxdy
y
x
f ( , ) =
'
|
| )) , ( ), , ( (
D
dudv J v u y v u x f
4 Dùng phương pháp chuyển về tọa độ cực đưa miền D giới hạn
bởi x,y D’ giới hạn bởi r,
Với x=rcos ; y=rsin và J=r0
D
dxdy
y
x
f ( , ) =
'
|
| ) sin , cos (
D
dr d J r
r
B Ứng dụng trong tích phân kép
1 Tính diện tích hình phẳng:
D
dxdy S
2 Tính diện tích mặt cong:
D
y
z
S 1 ( ' )2 ( ' )2
3 Tính thể tích của vật thể:
D
dxdy y x z
C Các bước giải bài toán tích phân 3 lớp
V
dxdydz z
y x
f ( , , )
1 Nếu V là thể trụ mở rông giới hạn bởi
2 mặt cong 1, 2 xung quanh mặt
trụ có đường sinh song song với trục 0z
thì:
V
dxdydz z
y x
f ( , , ) =
dxdy dz z y x
f ( , , ) ) (
) (
2
1
2 Nếu V là hình hộp giới hạn bởi các mặt: x=a; x=b; y=c; y=d; z=e; z=f thì
V
dxdydz z
y x
f ( , , ) =
f
e d
c b
a
dz z y x f dy
3 Dùng phương pháp đổi biến số sang hệ tọa độ trụ đưa miền V giới hạn bởi x,y,z V’ giới hạn bởi r, , z
Với x=rcos ; y=rsin; z=z và J=r0
V
dxdydz z
y x
f ( , , ) =
'
|
| ) , sin , cos (
V
dz drd J z r r
4 Dùng phương pháp đổi biến số sang hệ tọa độ cầu đưa miền V giới hạn bởi x,y,z V’ giới hạn bởi r, ,
Với x=rcos sin; y=rsin sin; z=rcos và |J|=r2sin
V
dxdydz z y x
f( , , )
=
'
|
| ) cos , sin sin , sin cos (
V
d drd J r
r r
D Một số mặt cần lưu ý
1 Trong mặt phẳng
2 Trong không gian
E Bài tập mẫu
Bài 1: Tính tích phân sau:
5
Trang 4
D
y
x
dxdy
e
I , D={(x,y): x0; y0; x+y1}
Giải:
Đặt
2
1
|
| 2
2
J v u y
v u x
y
x
v
y
x
u
DD’={(u,v): u+v0; -u+v0; v1}
D
y
x
y
x
dxdy
e
'
D v u
dudv e
=
v
v
v
u
du
e
dv
1
0
4
e
e
Bài 2: Tính tích phân sau:
D
dxdy y x
với D là nửa hình tròn ( x 1 )2 y2 1
Giải:
Chuyển sang hệ tọa độ cực Đặt J r
r y
r x
|
| sin
cos
DD’ giới hạn bởi 0r2cos; 0
2
D
dxdy y x
'
2 4
D
drd
cos
2
0
2 2
0
3
2 2
( 3
8
Bài 3 : Tính tích phân sau:
D
dxdy
xy
với D là miền giới hạn bởi các đường tròn 2 ( 1 )2 1
y
0 4
2
2
x
Giải:
Chuyển sang hệ tọa độ cực Đặt
r J r
y
r
x
|
| sin
cos
DD’ giới hạn bởi 2sin r4sin ; 0
D
dxdy
xy
'
2 ) sin ( cos
D
rdrd r
sin 4
sin 2 4 0
2
cos
Bài 4 : Tính tích phân sau:
D
y xy x
dxdy e
I ( 2 2) với D={(x,y): x2 xy y2 1} Giải:
Ta có: 2 2 1
2
3 ( ) 2
x
Đặt:
2 3
2
y v
y x u
3 2
3
v y
v u x
3
2
|
J
DD’={(u,v):u2 v2 1}
D
y xy x
dxdy e
'
) ( 2 2
3
2
D
v u
dudv e
Chuyển sang hệ tọa độ cực Đặt J r
r v
r u
|
| sin
cos
D’D’’: 0r1; 0 2
'
) ( 2 2
3
2
D
v u
dudv e
1
0 2
0
2
3
2
rdr e
3
2
e
Bài 5: Tính diện tích phần mặt z x2 y2 nằm trong hình trụ x2 y2 2 x
Giải:
2 2 '
y x
x
z x
2 2 '
y x
y
z y
1 ( z'x)2 ( z'y)2 2
Hình chiếu của D xuống mp 0xy là D’: x2 y2 2 x
'
2 ' 2 '
) ( ) ( 1
D
y
x z dxdy z
S
=
'
2
D
dxdy= 2 S ( D ' ) 2 (đvdt)
Bài 6: Tính diện tích phần mặt phẳng z=2x nằm phía trong parabolid
2 2
y x
z
Giải:
2 '
x
z ; z'y 0; 1 ( ')2 ( ')2 5
z x z y
Hình chiếu của D xuống mp 0xy là D’: ( x 1 )2 y2 1
'
2 ' 2 ') ( ) (
1
D
y
x z dxdy z
6
Trang 5'
5
D
dxdy= 5 S ( D ' ) (đvdt)
Bài 7: Tính tích phân sau:
V
dxdydz y
x
z
I 2 2 với V là
miền giới hạn bởi x2 y2 2 x;
0
y ; z=0; z=a
Giải:
Hình chiếu của V xuống mp 0xy là D:
x
y
x2 2 2 ; y 0
Chuyển sang hệ tọa độ trụ Đặt
r J z
z
r
y
r
x
|
| sin
cos
VV’: 0r2cos; 0
2
, 0za
V
dxdydz y
x
z
' 2
V
dz drd
a
zdz dr
r
d
0
cos
2
0
2
2
0
9
a
Bài 8: Tính tích phân sau:
V
dxdydz x
z
y
I cos( ) trong đó V là miền giới hạn bởi
y=0; y= x; z=0; x+z=
2
Giải:
V
dxdydz x
z
y
=
x
o
x
o
dz x z ydy
dx
2
2
0
) cos(
= dx y x z x 2x
0 0
2
2
0
| ) sin(
.
|
2
.
=
2
0( 1 sin ) 2
dx
x
8
( 2
J
với
2
0 sin
xdx x
) 1 8
(
2
I
Bài 9: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x2 y2 z2 2 z
2
2
2
z
y
Giải:
Ta có hệ:
2 2 2
2
z y x
z z y x
2 z2 2 z 0 z 0 ; z 1 Hình chiếu của V xuống mp 0xy là miền D: x2 y2 1
Chuyển sang hệ tọa độ trụ Đặt
r J z
z
r y
r x
|
| sin
cos
VV’: 0 2; 0r1; rz1+ 1 r 2
V
dxdydz
'
V
drdz
1 2
1 1
0 2
0
r
r
dz rdr d
=
1
0
2 2
0
) 1
1
r d
2
1
=(đvtt)
Cách khác: chuyển sang hệ tọa độ cầu Đặt x=rcos sin; y=rsin sin; z=rcos và |J|=r2sin
VV’: 0
4
; 0 2; 0r2cos
V
dxdydz
'
2 sin
V
dr d d
cos 2
0 2 2
0 4
0
4
0
3 sin cos 3
16
0 4
| cos 4
1 3
=
Bài 10: Tính thể tích của vật thể năm trong mặt cầu 2 2 2 6
x
và nằm trên parabol z x2 y2
Giải:
Ta có hệ
2 2
2 2
y x z
z y x
Hình chiếu của V lên mp 0xy là miền D: x2 y2 2
Chuyển sang hệ tọa độ trụ Đặt x=rcos ; y=rsin; z=z |J|=r
VV’: 0 2; 0r 2; r2 z 2
6 r
2
2
6 2
0 2
0
r
r V
dz rdr d dxdydz V
3
2
7
Trang 6CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & TÍCH PHÂN MẶT
A Tích phân đường loại 1
L
ds y x
f ( , )
- Nếu L: x=x(t); y=y(t); t
L
ds
y
x
f ( , ) = f x t y t x t y t dt
2 2
)) ( ' ( )) ( ' ( )) ( ), ( (
- Nếu L: y=y(x); axb
L
ds
y
x
f ( , ) = f x y x y x dx
b
a
( , ( )) 1 ( ' ( ))2
B Tích phân đường loại 2
L
dy y x Q dx y x
P ( , ) ( , )
- Nếu L: x=x(t); y=y(t); t
L
dy y x Q
dx
y
x
P ( , ) ( , )
L
dt t y t y t x Q t x t
y
t
x
P ( ( ), ( )) ' ( ) ( ( ), ( )) ' ( )]
[
- Nếu L: y=y(x); axb
L
dy y x Q
dx
y
x
P ( , ) ( , )
L
dx x y x y x Q x
y
x
P ( , ( )) ( , ( )) ' ( )]
[
- Công thức Green đối với đường cong kín
dxdy y
P x
Q dy
y x Q
dx
y
x
- Tích phân không phụ thuộc vào đường nối 2 điểm mà chỉ phụ
thuộc vào 2 điểm đó
Nếu
y
P
x
Q
khi đó:
L
dy y x Q dx
y
x
P ( , ) ( , )
)
;
(
)
;
(
) , ( )
,
(
b
b
a
a
y
x
y
x
dy y x Q dx
y
x
)
; (
)
; (
)) , ( (
b b
a a
y x
y x
y x
d
Trong đó:
x
x
y
y
dy y x Q dx y x P y
x
) , ( )
, ( ) ,
Hoặc
x
x
y
y
dy y x Q dx y x P y
x
) , ( )
, ( ) ,
D Ứng dụng của tích phân đường loại 2
Tính diện tích:
L
ydx xdy D
S
2
1 ) (
C Tích phân mặt loại 1
S
dS z y x
f ( , , )
- Nếu mặt congS có phương trình z=z(x,y)
S
dS z y x
D
y
z y
x z y x
) ( ) ( 1 )) , ( , , (
D là hình chiếu của S xuống mặt phẳng 0xy
D Tích phân mặt loại 2: sinh viên tự soạn thêm nhé, chưa có
thời gian đề cập
E Một số bài tập mẫu
Bài 1: Tính tích phân đường:
L
xyds
I trong đó L là elip 1
4 2 2
y
x
nằm trong góc phần tư thứ nhất
Giải:
2 , 0 [
; cos '
sin 2 ' sin
cos
t t y
t x
t y
t x
L
xyds I
2
0
2
2 cos sin
4 sin cos 2
dt t t
t t
2
0
2 1 sin 3 cos sin 2
dt t t
t
2
0
2 2
1 2
) 1 sin 3 ( ) 1 sin 3 ( 3 1
t d
t
0 2 3 2
| ) 1 sin 3 ( 9
9 14
Bài 2: Tính
L
ds
x2
dọc theo đường cong là giao của 2 mặt phẳng x-y+z =0 và x+y+2z =0 từ gốc 0 đến điểm (3,1,-2)
Giải:
d: x-3y =0 là giao tuyến của 2mp khi đó
L: y=
3
1
x; 0x3
L
ds
x2 = x y x dx
3
0
2 2
)) ( ' ( 1
=
3
0
2 3
10
dx
x = 3 |30 9
10
x =3 10
8
Trang 7Bài 3: Tính
L
ds y
với L là nửa đường tròn y ax x2
Giải
Ta có: y ax x2 ) 1
2
( ) 2
2
a
y a
a x
Đặt
t
a
y
t a
x
sin
2
) cos 1
(
2
t
a y
t a x
cos 2 '
sin 2
'
; với 0t
L
ds
y
(
= a t a t x t y t dt
0
2 2
) ( ' ) ( ' ( ] sin 2 )
cos
1
(
2
[
0
2
) sin cos
1
(
a
2
| ) cos sin (
a
4
2
a
= ( 2 ) 4
2
a
Bài 4: Tính
dy y x dx
y
x
L
) 3 4 ( )
(
L là đường gấp khúc 0AB với 0(0,0);
A(1,1); B(2,0)
Giải:
Qdy
Pdx
L
= Pdx Qdy
OA
+ Pdx Qdy
AB
Trong đó OA: y=x; OB: y=2-x
Qdy
Pdx
OA
=
1
0
2 2
)]
3 4 ( ) (
2
=
1
0
2
)
3
8
2
3 3
8
2
3 3
8
6 25
Qdy
Pdx
AB
=
2
1
2 2
)]
3 ) 2 ( 4 ( ) ) 2 ( ( 2
2
1
2
) 8 19
8
2
19 3
8
6
11
L
) 3 4 ( ) (
6
25 6
11
3 7
L
) ( ) 2
Với L:
) cos 1 (
) sin (
t a
y
t t a x
từ điểm O(0,0) đến A(2a,0) Giải:
Ta tính x’ = a(1-cost); y’ =asint Nhận thấy f(t)=t –sint đồng biến nên Với 0x2a 0t-sint2 f(0)f(t)f(2)
0t2
dy y a dx y a
L
) ( ) 2
2
0
2
] sin cos ) cos 1 )(
cos 1
a
2
0
2
) 2 sin 2 cos 1 (
a
2
| ) 2 cos 2
1 2 sin 2
1 (
a
2
1 2
1 2 ( 2
2
a
=a 2
L
dy x xydx 2
2 với L là biên miền D giới hạn bởi y x2; y x
lấy theo chiều dương Tính diện tích miền D Giải:
- Aùp dụng công thức Green đối với đường cong kín
L
dy x xydx 2
y
P x
Q
D
) (
=
x
x
dy x x dx
2
) 2 2 ( 1
0
1
0
2 ) (
3
1
b Ta có công thức:
L
ydx xdy D
S
2
1 )
D
dxdy y
P x
Q
) (
2 1
=
D
dxdy
)) 1 ( 1 ( 2
1
x
x
dy dx
2
1
0
1
0
2 )
6
1
(dvdt)
) 1 , 3 (
) 1 , 1 (
2 ) (
) 2 (
y x
ydy dx y x
Giải:
Nhận thấy
3
) 2 (
2
x
y y
P x
Q Chọn điểm (1,0) cố định:
dy y x
y dx
x y x
2 ) (
1 ) , (
y x
x y
) 1 , 3 (
) 1 , 1 (
2 ) (
) 2 (
y x
ydy dx y x
=
) 1 , 3 (
) 1 , 1 (
)) , ( ( x y
d = 3 , 1 )
) 1 , 1 (
| ) , (x y
4
1 2
ln
9
Trang 8CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
A Phương trình vi phân cấp 1
1 Phương trình với biến số phân ly
M(x)dx+N(y)dy=0
Cách giải: tích phân 2 về
2 Phương trình thuần nhất: f ( x , y )
dx
dy
Hàm f(x,y) được gọi là thuần nhất nếu:
) , ( )
,
Cách giải:
Đặt
x
y
u y=u.x
dx
du x u dx
dy
thay vào phương trình
ta có: f (u )
dx
du
x
dx
du
x ( ) : Phương trình với biến số phân ly
3 Phương trình tuyến tính cấp một: y’ +P(x)y=Q(x)
B1: Giải pt thuần nhất y’ +P(x)y =0
Phương trình có nghiệm tổng quát là: P x dx
Ce
y =0 cũng là nghiệm của pttt thuần nhất ứng với C=0
B2: Giải phương trình tuyến tính cấp một: y’ +P(x)y=Q(x)
Ta có nghiệm tổng quát:
y ( Q ( x ) e ( ) dx C )
B Phương trình vi phân cấp 2
Trong chương trình này chỉ trình bày phương pháp giải phương
trình vi phân cấp 2 với hệ số không đổi
y’’+py’+q=f(x) (1)
B1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất y’’+py’+q=0 (2)
- Giải phương trình đa thức đặc trưng: k2 pk q 0 (3)
TH: pt (3) có 2 nghiệm k1, k2
Pt (2) có nghiệm tổng quát: y C e 1x C ek2x
2
TH: pt (3) có nghiệm kép k
Pt (2) có nghiệm tổng quát: y C1ekx C2xekx
TH: pt (3) có 2 nghiệm phức a bi
Pt (2) có nghiệm tổng quát:
bx e
C bx e
C
y 1 axcos 2 axsin
B2: Giải tìm nghiệm riêng Y của phương trình tuyến tính không
thuần nhất: y’’+py’+q=f(x)
- Xét trường hợp f ( x ) e xPn( x )
TH: là không là nghiệm của pt (3)
Y e xQn(x )
TH: là nghiệm đơn của pt (3)
TH: là nghiệm bội của pt (3) Y x2e xQn( x )
Tìm Y’ và Y’’ Sau đó thay ngược vào pt(1), đồng nhất hệ số để tìm Qn(x )
- Xét trường hợp:
) sin ) ( cos
) ( ( )
TH: ikhông là nghiệm phức của pt (3) Y e x( Ul( x ) cos x Vl( x ) sin x )
TH: ilà nghiệm phức của pt (3) Y xe x( Ul( x ) cos x Vl( x ) sin x )
Với l max{ m n , }
Tìm Y’ và Y’’ Sau đó thay ngược vào pt(1), đồng nhất hệ số để tìm Ul(x ), Ul(x )
Suy ra nghiệm của phương trình tổng quát (1): y y Y
C Bài tập mẫu
Bài 1: Giải phương trình: xy ' y2 1 0 (1) Giải:
(1) y2 1
dx
dy
x xdy ( y2 1 ) dx
TH: x ( y2 1 ) 0 x=0; y 1là nghiệm của pt TH: x ( y2 1 ) 0 Chia 2 vế của pt(1) cho x ( y2 1 )
dx y
xdy ( 2 1 )
x
dx y
dy
1 2
Tích phân 2 vế ta có:
2 1
dx y
dy
1 ln
|
| ln
| 1
1
| ln 2
1
C x
y
y
2 ln
| 1
1
|
y
y
1
1
Cx y
y
2
1
1
Cx
Cx y
Vây pt có nghiệm tổng quát:
2 2
1
1
Cx
Cx y
; y 1
Bài 2: Giải phương trình: y2 x2y ' xy y ' (2) Giải:
(2) ( xy x2) y ' y2
TH: x =0y =0 là nghiệm phương trinh TH: y=x không là nghiệm phương trình TH:xy x2 0 Chia 2 vế cho xy x2 ta có:
2 2
' )
2
2
'
x xy
y y
: hàm thuần nhất
10
Trang 91
)
x
y
x
y
dx
dy
Đặt y ux
x
y
dx
du x u dx
dy
thay vào phương trình ta có:
1
2
u
u
dx
du
x
u x ( u ) 1 du udx
TH: u =0 y =0 là nghiệm pt
TH: u 0 Chia 2 vế cho ux ta có: dx
x
du u
Tích phân 2 vế ta có: dx C
x
du
1 )
1 1
u ln | u | ln | x | ln C
x
y
x
y
ln
|
| ln
|
|
x
y
ln
|
|
x
y
y | ln
|
x
y
|
y C x y
Ce e
y ln
Vậy pt có nghiệm tổng quát: x
y
Ce
y ; y =0 ứng với C=0
x
y ' 1 3
Giải:
Ta có: P(x)=
x
1
; Q(x)=3x
Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất
0
1
x
e P x dx e x dx
y
1 )
(
=elnx=
x
1
Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần
nhất có dạng:
) )
(
y
1
C dx e x x
dx
=1 ( 3 x eln dx C )
x
x
=1 ( 3 x2dx C )
x =1 ( x3 C )
Bài 4: Giải phương trình: y '' 4 y ' 8 y e2x sin 2 x (1)
Giải:
- Tìm nghiệm tổng quát của PTTT thuần nhất: y '' 4 y ' 8 y 0
Xét pt đa thức đặc trưng: k2 k 4 8 0
i k
i k
2 2
2 2 2 1
Nghiệm tổng quát của PTTT thuần nhất có dạng:
y C e x x C e x x
2 sin 2
2 2
- Tìm nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất:
e y y
y '' 4 ' 8
Xét f ( x ) e2x 2; P(x)=1
Do 2 không là nghiệm của pt đa thức đặc trưng, bậc P(x)=0 nên nghiệm riêng có dạng:
A e
1 4
Thay vào pt(2) ta có: 4 Ae2x e2x
4
1
A
4
1
- Tìm nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất:
x y
y
y '' 4 ' 8 sin 2 (3) Xét f ( x ) sin 2 x e0x( 0 cos 2 x 1 sin 2 x )
0; 2; P(x) =0 và Q(x) =1
Do 0 2 i không là nghiệm phức của pt đa thức đặc trưng, bậc của P(x) và Q(x) bằng 1 nên nghiệm riêng có dạng:
x B x A
Y2 cos 2 sin 2
Y2'' 4 A cos 2 x 4 B sin 2 x
Thay vào pt(3) ta có:
x x
B A x B
A 8 ) cos 2 ( 8 4 ) sin 2 sin 2 4
Đồng nhất hệ số ta có:
20 1 10 1 1
4 8
0 8 4
B
A
B A
B A
20
1 2 cos 10
1
Vậy nghiệm tổng quát của PTTT không thuần nhất là:
1
Y y
y =C1e2xcos 2 x C2e2xsin 2 x+ + e2x
4
1
20
1 2 cos 10
1
11
Trang 10MỘT SỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC CẦN THƠ
TỪ NĂM 2006 ĐẾN 2011
Đề thi năm 2006
Câu 1: Tính tích phân:
2
0 4
0 2
2
) 4 (
y
dxdy x I
Câu 2: Tính tích phân đường:
L
xyds
I với L là đường giao tuyến của các mặt z 2 x2 2 y2 và z x2 từ điểm
A(0,1,0) đến B(1,0,1)
Câu 3: Tìm cực trị của hàm số sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y)
với D ={(x,y): 0x
2
3
;0y
2
3
}
Câu 4: Viết nghiệm tổng quát của phương trình:
a '' 4 ' 4 2 2 ( 2 2 10 )
b ( x2 y2 x ) dx ydy 0
Đề thi năm 2007
Câu 1: Cho miền V giới nội bởi các mặt z=0; y=z; y=x2; y=1
a Biểu diễn miền V
b Tính thể tích miền V
c Tính
V
dxdydz y
(
Câu 2: Tính tích phân đường
L
dy xy y dx y x
I ( 2 2 2 2) (ln 4 ) với L là đường nối 2
điểm A(-1,1); B(4,e)
Câu 3: Tìm cực trị của hàm số f(x,y)=(x-2)lnxy
Câu 4: Tìm nghiệm tổng quát của pt:
) 5 ( 9
' 6 '' y y e2 x2
Đề thi năm 2008
Câu 1: Tính tích phân đường dọc theo C C1 C2
C
dy xy y dx y
x
I ( 4 2 4 2) (ln 8 ) trong đó:
} ,
2 1
:
)
,
} 2 8 , 4 2
:
)
,
{(
Câu 2: Cho miền D giới hạn bởi x 4 y2; x=0; -1x1
a Biểu diễn miền D
b, Tính diện tích miền D
c Tính
D
xydxdy
Câu 3: Tìm cực trị hàm số sau:
10 2
10 4 ) ,
y x f
Câu 4: Tìm nghiệm của pt sau:
) 5 4 ( '
4
''
Thỏa mãn điều kiện y(0)=5; y’(0)=10
Đề thi năm 2009
Câu 1: Tính tích phân đường với C là một chu tuyến bất kỳ:
C
ydy xdx y x
Câu 2: Cho miền D giới nội bởi: ( x2 y2)2 2 a2( x2 y2)
a Tính diện tích miền D
b Tính
D
xydxdy
Câu 3: Tìm cực trị của hàm số:
5 3 )
, ( x y x3 y3 xy
f
Câu 4: Tìm nghiệm của pt sau:
5 3 3
' 4 '' y y x2 x
y
Đề thi năm 2010
Câu 1: Tính tích phân đường dọc theo C là các cạnh của tam giác nối các đỉnh O(0,0); A(2,0); B(0,2)
C
xdy ydx y x
Câu 2: Cho miền D giới nội bởi:
} 4 :
) ,
D
a Biểu diễn hình học miền D
b Tính
D
dxdy y x
Câu 3: Tìm cực trị của hàm số:
5 3 )
,
y x f
Câu 4: Viết nghiệm tổng quát của pt:
x y x
xy ' ( 1 2 )
Đề thi năm 2011 (đợt 1)
Câu 1: Cho hàm f(x,y)=x+y-xy và tập
} 2
; 1 0
: ) ,
a Tìm GTLN, GTNN của hàm f trên miền D
b Tính
D
dxdy y x
f ( , )
Câu 2: Tính tích phân đường:
) 2 , 3 (
) 1 , 2 (
] ) 1
( ) 1
e
2 '
x xy
y y
b GPT vi phân sau: ( 22) ( 32) dy 0
y x dx x y
Đề thi năm 2011 (đợt 2)
Câu 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm f ( x , y ) x2ye(xy)trên miền D đóng và bị chặn bởi x0; y0 và x+y4
12
