Bài tập ví dụ chương đạo hàm và vi tích phân

BÀI TẬP VÍ DỤ CŨNG CỐ KIẾN THỨC CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI TÍCH PHÂN *Các bạn theo dõi phân tóm tắt lý thuyết để nắm lý thuyết trọng tâm Dạng ôm sát đề thi Chương: Đạo hàm *Quy tắc Lopitan ln(1  x)  x Bài 1: Tính lim x 0 tan x lim x 1 x ln(1  x)  x [ ln(1  x)  x]'  lim  lim x  x 0 tan x (tan x) ' tan x cos x  x cos3 x ( x cos3 x) ' 3cos x.sin x  cos3 x  lim  lim  lim x 0 2(1  x)sin x x 0 (2(1  x)sin x) ' x 0 2sin x  2cos x.(1  x)  ln(tan x) Bài 2: Tính lim cot 2x x co ng c om x 0 ng th an 1 ln(tan x) [ln(tan x)]' lim  lim  lim tan x cos x 1 cot 2x (cot 2x) ' x x x 4 sin 2x  sin x  lim  1 x  2sin 2x.cos x du o  1 Bài 3: Tính lim    x 0 x arcsin x   u Ta tìm (arcsin x)’ cu   arcsin x hàm ngược sinx x  ( , ) nên theo lý thuyết ta tìm đạo hàm 2 sau Đặt y = sin x y  sin x  y '  cos x   sin x   y Hay arcsin x '  1 x2 1 arcsin(sin x) '  arcsin y '   y'  y2  arcsin x  x (arcsin x  x) ' 1 lim    lim  lim  x 0 x x 0 (x.arcsin x) ' arcsin x  x 0 x.arcsin x      ' 1 x2  x    lim  lim x 0 x 0  x  x  arcsin x  arcsin x  ' 2 1 x  1 x  1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2x 2  x  lim 0 x 0 2x  x  x 1 x2  1 x2 1 x2 *Chuỗi lũy thừa x 2n Bài 4: Tìm miền hội tụ bán kính hội tụ  n n 1 n.9  Đặt t  x   n.9 n 1 n 9n n (t  0) n với c n  1  9 L co Vậy bán kính hội tụ R  ng c n 1 9n n n lim  lim  lim  0 n  c n  9.9 n.(n  1) n  9(n  1) n c om Chuỗi trở thành ng th an Xét hội tụ hai đầu mút x  a   3  Tại x  a   3 chuỗi trở thành  chuỗi điều hòa nên phân kỳ n 1 n Vậy miền hội tụ (-3,3) (1) n   x   Bài 5: Tìm miền hội tụ bán kính hội tụ   n 1 2n    x  n du o  cu u 1 x  Đặt t    1 x  Chuỗi trở thành lim n  (1) n (1) n n c  với t     n 2n  n 1 2n   c n 1 2n  2n   lim (1)  lim 1 n  2(n  1)  n  2n  cn Vậy bán kính hội tụ R  1  1 L 1 x  Miền hội tụ chuỗi a   t  a   1  t   1    1 x  1 x  Xét hội tụ chuỗi đầu mút x = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chuỗi trở thành (1) n chuỗi Lebnizt hội tụ  n 1 2n   (1) n chuỗi đan dấu dãy  n 1 2n   dãy dương giảm 2n  Vậy miền hội tụ [0, ) an  41 2n n Bài 6: Tìm miền hội tụ bán kính hội tụ  n 1  x  3 n 1  Chuỗi chuỗi lũy thừa với c n  n  c n 1 42n  4n  lim 2n n 1  n  cn Vậy bán kính hội tụ R  1  L Ta xét hội tụ đầu mút x  a  R  3  c om lim 41 2n , a  3 4n 1  , chuỗi trở thành  (1) n không hội tụ với n lẻ, chuỗi hội tụ -1, với n n 1 chẵn, chuỗi hội tụ Điểm hội tụ khơng có định nên chuỗi không hội tụ  Tại x  3  , chuỗi trở thành 1 chuỗi phân kỳ n 1 1 Vậy miền hội tụ (3  , 3  ) 4 ng th an co ng Tại x  3  du o Chương: TÍCH PHÂN   x2 dx u Bài 7: Tính tích phân suy rộng sau   cu Đây tích phân suy rộng loại 1 t dx  lim 3 t  x2 2   2  lim    t  3   t2 t    t  2  dx  lim   t   x2 3 x2 2  2    lim  0 t  t2  t2  2   2 lim   2 t  3   t2 Vậy tích phân hội tụ Bài 8: Tính tích phân suy rộng sau   x.arctanx dx (1  x ) Dễ thấy tích phân suy rộng loại CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt   t x.arctanx x.arctanx dx  lim 0 dx 2 t  (1  x ) (1  x ) Ta tìm (arctan x)’, đặt y  tan x  y '   tan x   y c om   Theo cách tìm đạo hàm hàm ngược (arctan x hàm ngược tanx x  ( , ) ) 2 1 arctan(tan x) '  arctan(y) '   y '  y2 Hay arctan(x) '  1 x2 dx Đặt u  arctan x  du  x  tan u 1 x2 arctan t u.tan u 1  Tích phân trở thành lim arctan du  lim   sin(2x)  2x cos(2x)   t  t   tan u 8  arctan arctan t sin(2arctan t)  2.arctan t.cos(2arctan t)  sin  2.0.cos 0 t   Do t    arctan t   lim  sin(2arctan t)  2.arctan t.cos(2arctan t)  sin  2.0.cos 0  t  8  Vậy tích phân hội tụ 14 dx Bài 9: Tính tích phân suy rộng sau 2 x2 du o ng th an co ng  lim Ta thấy tích phân suy rộng loại 14 dx dx  lim t x  t 2 x2 u 14 2 cu  14 3 4  lim  x    lim t 2  t 2   t  14   t    323 Bài 10: Xác định tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ  xdx x2 x không xác định x=2 x2 Vậy tích phân suy rộng loại xdx xdx xdx t xdx xdx  lim 0 x   0 x   2 x   lim   t 2 x  t 2 t x  Ta thấy hàm số f (x)   lim  x  2ln (x  2)   lim  x  ln(x  2)  t t 2 t 2 t  lim  t  2ln t   2ln   lim   2ln  t  2ln t   t 2 CuuDuongThanCong.com t 2 https://fb.com/tailieudientucntt  lim t    t    t   0   t   Ta có  *xem thêm đồ thị hàm số y = lnx t    t    lim t 2 Vậy tích phân suy rộng phân kỳ Bài 11: Tính tích phân suy rộng sau   x e dx x2 ex Ta thấy tích phân vừa có cận từ  vừa có cận mà hàm số f (x)  khơng xác x định, kết hợp tích phân loại tích phân loại cu u du o ng th an co ng c om Tích phân trở thành 1 k    ex k ex  1x     lim dx  lim  lim  e    x dx  tlim   k 0 t x  t   k 0    t       1t  k  lim  lim  e  e   t  k 0     1 Khi t      e t  e0  t 1 k Khi k  0     e  e   *xem thêm đồ thị y  e x k Vậy tích phân hội tụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... đồ thị hàm số y = lnx t    t    lim t 2 Vậy tích phân suy rộng phân kỳ Bài 11: Tính tích phân suy rộng sau   x e dx x2 ex Ta thấy tích phân vừa có cận từ  vừa có cận mà hàm số... thành 1 chuỗi phân kỳ n 1 1 Vậy miền hội tụ (3  , 3  ) 4 ng th an co ng Tại x  3  du o Chương: TÍCH PHÂN   x2 dx u Bài 7: Tính tích phân suy rộng sau   cu Đây tích phân suy rộng... t.cos(2arctan t)  sin  2.0.cos 0  t  8  Vậy tích phân hội tụ 14 dx Bài 9: Tính tích phân suy rộng sau 2 x2 du o ng th an co ng  lim Ta thấy tích phân suy rộng loại 14 dx dx  lim t x  t