Tóm tắt lý thuyết vi tích phân 1b phần đạo hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN an co ng c om BTC ÔN THI HỌC KỲ KHÓA 2016 du o ng th TĨM TẮT LÝ THUYẾT VI TÍCH PHÂN 1B CHƯƠNG: ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN cu u  Lâm Cương Đạt Cập nhật: 02/02/2017 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ – Khóa 2016 Chương: ĐẠO HÀM Định nghĩa đạo hàm Xét hàm số f xác định lân cận điểm a (khoảng mở chứa a) Ta ký hiệu f '(a)  lim x a f (x)  f (a) ,(Nếu tồn hạn) x a Và f’(a) gọi đạo hàm f điểm a Ta nói f có đạo hàm a .c om Nếu giới hạn khơng tồn ta nói f khơng có đạo hàm a Cơng thức đạo hàm cần nhớ (u)  u (u  v)  u   v co ng (u.v)  uv  vu (u.v.w)  u .v.w+u.v.w  u.v.w  an v      v v ng du o u Đạo hàm hàm ngược th  u  u.v  u.v    v2 v cu Giả sử hàm f song ánh*, có hàm ngược g Nếu f có đạo hàm hữu hạn khác x hàm g có đạo hàm y=f(x) g '(f (x))  1 g '(y)  f '(x) y' *Hàm song ánh: Cho ánh xạ f : X  Y f song ánh y  Y phương trình f(x)=y có nghiệm X CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Quy tắc Lơ-pi-tal Cho hàm số f g thỏa 1) Khả vi khoảng ( a,b) 2) x  (a, b) : g '(x)  3) Xảy hai trường hợp: lim f (x)  lim g(x)  x a x a lim f (x)  lim g(x)   x a x a f '(x) hữu hạn hay vơ hạn g '(x)  Khi lim f (x) f '(x)  lim g(x) x a g '(x) co ng x a c om 4) Tồn lim x a đưa dạng 0 ng    g(x)    ' th f (x) du o f (x).g(x)  an Nếu giới hạn f(x)g(x) có dạng 0. ta viết Nếu giới hạn f (x)  có dạng vơ định ,  ta đưa dạng 0 cách sử dụng cu u a b  e bln a g(x) Chuỗi lũy thừa Chuỗi có dạng sau  c n 0 n (x  a) n  c0  c1 (x  a)  c (x  a)  Được gọi chuỗi lũy thừa theo (x - a), chuỗi lũy thừa xung quanh điểm a Các số c n gọi hệ số chuỗi lũy thừa Chú ý: Ta qui ước (x  a) =1, trường hợp x=a Nghĩa qui ước  , qui ước CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 phạm vi chuỗi lũy thừa Định lý Với chuỗi lũy thừa   n 0 n cn (x  a) , xảy ba khả sau: 1) Chuỗi hội tụ x=a 2) Chuỗi hội tụ x  3) Chuỗi có số dương R cho chuỗi hội tụ x  a  R phân kì x  a  R Bán kính hội tụ c om Số R trường hợp gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Theo qui ước R=0 trường hợp 1, R=  trường hợp n  c (x  a) Đặt n 0 n lim c n 1  L (hữu hạn vô hạn) cn th n  co  an Cho chuỗi lũy thừa ng Định lý Khi ng 1) Nếu L   bán kính hội tụ R = 2) Nếu L  bán kính hội tụ R   du o 3) Nếu L  số dương hữu hạn bán kính hội tụ R  L cu u Chú ý: Khi tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa, ngồi việc tìm bán kính hội tụ R, ta phải xét hai điểm biên x  a  R (nếu R > hữu hạn) Chuỗi Taylor, Mac-Laurin Nếu hàm số f khai triển thành tổng chuỗi lũy thừa   n c (x  a) với bán kính hội n 0 n tụ R>0, f có đạo hàm cấp khoảng (a - R, a + R) f (n ) (a) n, c n  (với qui ước 0! = 1, f  f ) n! Như khai triển thành chuỗi lũy thừa xung quanh điểm a hàm số (khơng có khai triển thứ hai) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ – Khóa 2016 Nếu f hàm số có đạo hàm cấp khoảng (a - R, a + R), chuỗi lũy thừa  f (n ) (a) (x  a) n gọi chuỗi Taylor f xung quanh điểm a, viết  n! n 0  f (n ) (a) (x  a) n , n! n 0 f ~ Và chuỗi Taylor hội tụ f(x) .c om Trường hợp a=0, chuỗi nói gọi chuỗi Maclaurin f Đa thức Taylor ng Giả sử f hàm số có đạo hàm đến cấp n điểm a Khi đó, đa thức Taylor bậc n xung quanh điểm a f định nghĩa f (k ) (a) (x  a) k k! n 0 f '(a) f ''(a) f (n ) (a)  f (a)  (x  a)  (x  a)   (x  a) n 1! 2! n! n th an co Tn (x)   Tức tổng riêng phần bậc n chuỗi Taylor Bất đẳng thức Taylor du o ng Lượng chênh lệch R n (x)  f (x)  Tn (x) gọi phần dư chuỗi Taylor f cu u Nếu có hàng số M > (chỉ phụ thuộc n) cho: x  (a  R,a  R), f x  (a  R,a  R), R n (x)  (n 1) x  M , M n 1 x a (n  1)! Nếu số M trường hợp không phụ thuộc vào n x  (a  R,a  R), lim R n (x)  n  Và chuổi Taylor f xung quanh điểm a hội tụ f khoảng (a-R, a+R) Chương: TÍCH PHÂN CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Tích phân suy rộng loại  f (x)dx tồn với t  a tồn giới hạn lim  f (x)dx số thực hữu hạn t t t  a ta nói tích phân suy rộng   a f (x)dx hội tụ, đồng thời ta ký hiệu   t f (x)dx  lim a f (x)dx t  a Nếu giới hạn khơng tồn ta nói tích phân suy rộng Nếu  b t a   a f (x)dx phân kỳ b f (x)dx tồn với t  b tồn giới hạn lim t f (x)dx số thực hữu hạn c om Nếu t  ta nói tích phân suy rộng  b  f (x)dx hội tụ, đồng thời ta ký hiệu b b t    f (x)dx a  f (x)dx phân kỳ  f (x)dx hội tụ ta nói th thời ký hiệu a  an Nếu hai tích phân suy rộng  b co Nếu giới hạn không tồn ta nói tích phân suy rộng ng  f (x)dx  lim t f (x)dx    f (x)dx hội tụ, đồng  a   f (x)dx du o Nếu cần tích phân ng  f (x)dx   f (x)dx  a f (x)dx a f (x)dx phân kỳ ta nói tích phân     f (x)dx phân u kỳ a  Nếu cu Tích phân suy rộng loại  f (x)dx tồn với t  [a, b) (f không xác định b có giới hạn vơ cực b) tồn t a giới hạn lim t  f (x)dx t b  a số hữu hạn ta nói tích phân suy rộng  b a f (x)dx hội tụ, đồng thời ta ký hiệu  b a t f (x)dx  lim a f (x)dx t b  Nếu giới hạn nói khơng tồn ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Nếu  b t f (x)dx tồn với t  (a, b] (f không xác định a có giới hạn vơ cực a) tồn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ – Khóa 2016 giới hạn lim  b t a  t f (x)dx số hữu hạn ta nói tích phân suy rộng  b a f (x)dx hội tụ, đồng thời ta ký hiệu  b b f (x)dx  lim t f (x)dx a t a  Nếu giới hạn nói khơng tồn ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Giả sử f xác định (a,b) Với c  (a, b) bất kỳ, hai tích phân suy rộng c f (x)dx hội tụ ta nói tích phân suy rộng  b a Nếu hai tích phân   b a c a f (x)dx f (x)dx hội tụ, đồng thời ký hiệu c c om  b  f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx c f (x)dx a  b c b f (x)dx phân kỳ ta nói tích phân  b a f (x)dx phân kỳ c  b f (x)dx hội tụ ta nói tích phân suy rộng c  b a f (x)dx hội tụ u du o ng th an f (x)dx a co  cu rộng ng Giả sử f xác định [a,c)  (c, b] (thường f có giới hạn vơ cực c) Nếu hai tích phân suy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... u Đạo hàm hàm ngược th  u  u.v  u.v    v2 v cu Giả sử hàm f song ánh*, có hàm ngược g Nếu f có đạo hàm hữu hạn khác x hàm g có đạo hàm y=f(x) g '(f (x))  1 g '(y)  f '(x) y' *Hàm. .. Chương: ĐẠO HÀM Định nghĩa đạo hàm Xét hàm số f xác định lân cận điểm a (khoảng mở chứa a) Ta ký hiệu f '(a)  lim x a f (x)  f (a) ,(Nếu tồn hạn) x a Và f’(a) gọi đạo hàm f điểm a Ta nói f có đạo. .. tích phân suy rộng ng  f (x)dx  lim t f (x)dx    f (x)dx hội tụ, đồng  a   f (x)dx du o Nếu cần tích phân ng  f (x)dx   f (x)dx  a f (x)dx a f (x)dx phân kỳ ta nói tích phân