Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm nguyên hàm
CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ' ( x ) = f ( x ) với x ∈ K Định lí: 1) Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C , hàm số G= ( x ) F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K 2) Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) K có dạng F ( x ) + C , với C số Do F ( x ) + C , C ∈ họ tất nguyên hàm f ( x ) K Ký hiệu Tính chất nguyên hàm ′ Tính chất 1: ∫ f ( x ) dx = f ( x ) ( ) ) dx ∫ f ' ( x= ) dx ∫ f ( x= F ( x) + C f ( x) + C Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k số khác Tính chất 3: ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số sơ cấp ∫ dx= x+C α = ∫ x dx dx ∫ x= ∫ e dx= x α+1 x + C ( α ≠ −1) α +1 Nguyên hàm hàm số hợp ( u = u ( x ) ) ∫ du= u +C α = ∫ u du du ∫ u= ∫ e du= ln x + C ex + C u α+1 u + C ( α ≠ −1) α +1 ln u + C eu + C ax + C ( a > 0, a ≠ 1) ln a − cos x + C ∫ sin xdx = au + C ( a > 0, a ≠ 1) ln a − cos u + C ∫ sin udu = xdx ∫ cos = = ∫ cos udu x ∫ a dx = ∫ cos ∫ sin sin x + C = dx tan x + C x u ∫ a du = ∫ cos sin u + C du tan u + C = u ∫ sin du = − cot u + C u x II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Định lí 1: Nếu ∫ f ( u= ) du F ( u ) + C u = u ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục dx = − cot x + C ' ( x ) dx ∫ f ( u ( x ) ) u= Hệ quả: Nếu u =ax + b ( a ≠ ) ta có ∫ f ( ax + b = ) dx F (u ( x )) + C F ( ax + b ) + C a Phương pháp nguyên hàm phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u ( x ) v = v ( x ) có đạo hàm liên tục K Trang 1/34 v ' ( x ) dx u ( x ) v ( x ) − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx ∫ u ( x )= Hay ∫ udv= uv − ∫ vdu A KỸ NĂNG CƠ BẢN - Tìm nguyên hàm phương pháp biến đổi trực tiếp - Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số - Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x + hàm số hàm số sau? x 3x x4 B F ( x ) = + + 2x + C + 3x + x + C x4 x2 C F ( x ) = D F ( x ) = x + x + C + + 2x + C Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Hàm số F ( x ) = x3 + x − x + 120 + C họ nguyên hàm hàm số sau đây? A F ( x ) = Câu A f ( x )= 15 x + x − B f ( x ) = x + x + x x3 x D f ( x ) = x + x − + − Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm hàm số F ( x ) ta kết C f ( x ) = x Câu Họ nguyên hàm hàm số: y = x − x + Câu x3 A F ( x ) = − x + ln x + C x3 C F ( x ) = + x + ln x + C Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1)( x + ) x3 2 + x + 2x + C 3 x3 2 C F ( x ) = x + + C D F ( x ) = − x + 2x + C 3 Hướng dẫn giải: f ( x ) = ( x + 1)( x + ) = x + x + Sử dụng bảng nguyên hàm A F ( x ) = Câu x3 + x + 2x + C x3 − x + ln x + C D F ( x ) = x − − + C x B F ( x ) = Nguyên hàm F ( x ) hàm số f (= x) B F ( x ) = 2 + + hàm số nào? − 2x x x A F ( x ) = − ln − x + ln x − + C x C F ( x )= ln − x + ln x − + C x Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x A ∫ sin xdx = − cos x + C 2 xdx cos x + C C ∫ sin = +C x D F ( x ) = − ln − x − ln x + + C x B F ( x ) = − ln − x + ln x + cos x + C − cos x + C D ∫ sin xdx = B ∫ sin = xdx 1 sin xd (2 x) = − cos x + C Hướng dẫn giải ∫ sin xdx = ∫ 2 Trang 2/34 π Tìm nguyên hàm hàm số= f ( x) cos x + 6 π π A ∫ f ( x= B ∫ f ( x).dx )dx sin x + + C = sin x + + C 6 6 π π D ∫ f ( x= C ∫ f ( x)dx = − sin x + + C )dx sin x + + C 6 6 π π π Hướng dẫn giải: ∫ f ( x= )dx cos x + d x + = sin x + + C ∫ 6 6 6 x Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = + tan x x B ∫ f ( x= A ∫ f = ( x)dx tan + C )dx tan + C 2 x x C ∫ f= D ∫ f ( x)dx = ( x)dx tan + C −2 tan + C 2 x d x dx tan x + C Hướng dẫn giải: f ( x) = + tan = nên ∫ = ∫ = x x cos x cos cos 2 2 Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = π 2 sin x + 3 π π A ∫ f ( x)dx = B ∫ f ( x)dx = − cot x + + C − cot x + + C 3 3 π π C ∫ f ( x)dx= cot x + + C D ∫ f ( x)= dx cot x + + C 3 3 π dx+ dx π 3 Hướng dẫn giải: ∫ = = − cot x + + C ∫ π π 3 sin x + sin x + 3 3 Câu 10 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x.cos x Câu sin x f ( x ) dx = − +C ∫ ∫ sin x C ∫ D ∫ f ( x)dx = − +C sin x Hướng dẫn giải ∫ sin x.cos= x.dx ∫ sin x.d (sin = x) +C 4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT ) e x − e− x Câu 11 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x= A sin x +C sin x f (= x)dx +C ∫ f ( x ) dx =e C ∫ f ( x ) dx =e A B f (= x)dx x + e− x + C x − e− x + C Hướng dẫn giải: ∫ (e x ∫ f ( x ) dx =−e D ∫ f ( x ) dx = −e B − e − x ) dx =e x + e − x + C x + e− x + C x − e− x + C Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x.3−2 x x 2 A ∫ f ( x ) dx = +C ln − ln x 9 B ∫ f ( x ) dx = +C ln − ln Trang 3/34 x x 2 C ∫ f ( x ) dx = +C ln − ln 2 D ∫ f ( x ) dx = +C ln + ln x x 2 2 +C dx ∫= Hướng dẫn giải: ∫ 2= dx 9 ln − ln Câu 13 Họ nguyên hàm hàm số f = ( x) e x (3 + e − x ) x −2 x A F ( x)= 3e x + x + C C F ( x) = 3e x − x + C e Hướng dẫn giải: F(= x) B F ( x) = 3e x + e x ln e x + C D F ( x)= 3e x − x + C ∫ e (3 + e x −x )= dx ∫ (3e x + 1)= dx 3e x + x + C Câu 14 Hàm số F (= x ) 7e x − tan x nguyên hàm hàm số sau đây? e− x x A f = − x e ( ) cos x B f (= x ) 7e x + cos x D f = ( x ) e x − cos x −x e Hướng dẫn giải: Ta có g '( x) = = e x (7 − f ( x) 7e x − )= cos x cos x C f ( x ) = 7e x + tan x − Câu 15 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = e x − x −1 e +C x−2 f (= x ) dx e +C A x ) dx ∫ f (= B dx ∫ f ( x )= e x −1 + C C ∫ D ( x ) dx ∫ f= x −1 e +C 2 x −1 e +C 4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 16 Nguyên hàm hàm số f ( x) = 2x −1 Hướng dẫn giải: A ∫ f ( x ) dx= ∫ x−2 e 4= dx dx ∫ e= x −1 2x −1 + C B dx ∫ f ( x )= 2x −1 + C 2x −1 D ∫ f ( x ) dx =−2 x − + C +C 1 d ( x − 1) = = 2x −1 + C Hướng dẫn giải: ∫ dx ∫ 2x −1 2x −1 Câu 17 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 3− x C ( x ) dx ∫ f= ∫ f ( x ) dx =−2 − x + C C ∫ f ( x ) dx= − x + C A ∫ f ( x ) dx =− − x + C D ∫ f ( x ) dx =−3 − x + C B d (3 − x ) dx =− ∫ =−2 − x + C 3− x 3− x Câu 18 Tìm nguyên hàm hàm số f = ( x) 2x +1 Hướng dẫn giải: ∫ A dx ( x + 1) ∫ f ( x)= C ∫ f ( x ) dx =− 2x +1 + C 2x +1 + C Hướng dẫn giải: Đặt = t ( x + 1) x + + C f ( x )= dx 2x +1 + C B dx ∫ f ( x )= D ∫ x + ⇒ dx = tdt Trang 4/34 t3 + C = ( x + 1) x + + C 3 Câu 19 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x= ) − 3x ⇒ ∫ x + 1dx=∫ t dt = A − ( − 3x ) ∫ f ( x ) dx = C ∫ f ( x ) dx =9 ( − 3x ) − 3x + C − 3x − ( − 3x ) ∫ f ( x ) dx = D − ∫ f ( x ) dx = 2tdt Hướng dẫn giải: Đặt t =5 − x ⇒ dx = − − ( − 3x ) − 3x + C ∫ − 3xdx = x) x − Câu 20 Tìm nguyên hàm hàm số f ( = ( x − 2) x − + C f ( x ) dx = ( x − ) x − A ∫ f ( x ) dx= B C ∫ D Hướng dẫn giải: Đặt t = C − (1 − x ) ∫ f ( x ) dx = ∫ 3 − 3x + C ∫ f ( x ) dx =− ( x − ) ∫ − 3x x−2 +C − x − ( ) +C 3 x − 2dx= ( x − 2) x − + C f ( x ) dx = ∫ − 3x − 3x + C (1 − 3x ) − 3x + C f ( x ) dx = x − ⇒ dx = 3t dt Khi Câu 21 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x= ) A B B − (1 − x ) ∫ f ( x ) dx = D f ( x ) dx = − (1 − x ) ∫ Hướng dẫn giải: Đặt t = − x ⇒ dx = −t dt Khi ∫ − 3 − 3x + C +C 1 − xdx = − (1 − x ) − x + C Câu 22 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = e3 x A C ∫ e3 x f (= x ) dx +C 3 e x ) dx ∫ f (= Hướng dẫn giải: Câu 23 Hàm số F ( x ) = 3x ∫ B D +C e3 x dx = ( x + 1) x ) dx ∫ f (= x ) dx ∫ f (= e3 x +C 3x+2 2e +C 3x + 2 32x x 32x e3 x e d = e + C = +C 3∫ x + + 2016 nguyên hàm hàm số sau đây? ( x + 1) x + 2 C f ( x ) = ( x + 1) x + A f ( x ) = Hướng dẫn giải: F ' ( x ) = ( x + 1) x + Câu 24 Biết nguyên hàm hàm số = f ( x) B f ( x= ) ( x + 1) x + + C D f ( x ) = ( x + 1) x +1 + C + hàm số F ( x ) thỏa mãn F ( −1) = − 3x Khi F ( x ) hàm số sau đây? A F ( x ) =x − − 3x + 3 B F ( x ) =x − − 3x − 3 Trang 5/34 2 D F ( x ) = − 3x + 4− − 3x 3 Hướng dẫn giải d (1 − x ) + 1dx =− ∫ + x =x − F ( x ) =∫ − 3x + C 3 − 3x − 3x 2 F ( −1) = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = x − − 3x + 3 a Câu 25 Biết F (= Khi giá trị a x) − x nguyên hàm hàm số f ( x) = 1− x A −3 B C D −3 ′ Hướng dẫn giải: F '( x) = − x = ⇒a= −3 1− x 4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 26 Tính F ( x) = ∫ x sin xdx C F ( x ) =x − ( ) A F ( x) = B F ( x) = x sin x − cos x + C sin x − x cos x + C D F ( x) = x sin x + cos x + C C F ( x) = sin x + x cos x + C Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: d Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập ( F ( x) ) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên dx số điểm x0 thuộc tập xác định, kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng u đạo hàm dv nguyên hàm u + v x sin x − cos x − sin x Vậy F ( x) = sin x − x cos x + C Câu 27 Tính ∫ x ln xdx Chọn kết đúng: B x 2 ln x − ln x + + C x ln x − ln x + + C 2 C x ln x + ln x + + C D x 2 ln x + ln x + + C Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần Phương pháp trắc nghiệm Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng: u đạo hàm u dv nguyên hàm v x ln x + ln x x2 x A ( ) ( ) ( ) ( ) Trang 6/34 ln x (chuyển qua dv ) x - x 1 (chuyển qua dv ) x + x (nhận từ u ) x x2 x (nhận từ u ) x x 1 1 Do ∫ x ln xdx = x ln x − x ln x + x + C = x 2 ln x − ln x + + C 2 Câu 28 Tính F ( x) = ∫ x sin x cos xdx Chọn kết đúng: ( x A F ( x) = sin x − cos x + C x C F ( x) = sin x + cos x + C Hướng dẫn giải: ) x cos x − sin x + C −1 x D F ( x) = sin x − cos x + C B F ( x) = Phương pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x = sin x sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng x Câu 29 Tính F ( x) = ∫ xe dx Chọn kết x A F ( x) =3( x − 3)e + C x x −3 e +C Hướng dẫn giải: C.= F ( x) x B F ( x) = ( x + 3)e + C D.= F ( x) x + 3x e +C x Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với = u x= , dv e dx Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng x Câu 30 Tính F ( x) = ∫ dx Chọn kết cos x A F ( x) = B F ( x) = − x cot x + ln | cos x | +C x tan x + ln | cos x | +C C F ( x) = D F ( x) = − x cot x − ln | cos x | +C − x tan x + ln | cos x | +C Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với = u x= , dv dx cos x Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = Trang 7/34 d ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng Câu 31 Tính F ( x) = ∫ x cos xdx Chọn kết Nhập máy tính x) x sin x − x cos x + sin x + C ( x − 2) sin x + x cos x + C B F (= A F ( x) = (2 x + x ) cos x − x sin x + C C F ( x) = x sin x − x cos x + 2sin x + C D F ( x) = Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần với = u x= ; dv cos xdx , sau = u1 x= ; dv1 sin xdx Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng Câu 32 Tính F ( x) = ∫ x sin xdx Chọn kết 1 B F= A F ( x) = − (2 x cos x − sin x) + C ( x) (2 x cos x − sin x) + C 4 1 C F ( x) = D F= − (2 x cos x + sin x) + C ( x) (2 x cos x + sin x) + C 4 = u x= ; dv sin xdx Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng sử dụng máy tính: Nhập d ( F ( x)) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên số điểm x0 bất kỳ, kết xấp xỉ dx chọn đáp án Câu 33 Hàm số F ( x) = x sin x + cos x + 2017 nguyên hàm hàm số nào? A f ( x) = x cos x B f ( x) = x sin x C f ( x) = − x cos x D f ( x) = − x sin x Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Tính F '( x) có kết trùng với đáp án chọn Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn + ln( x + 1) Câu 34 Tính ∫ dx Khẳng định sau sai? x2 −1 + ln( x + 1) x + ln( x + 1) x + ln +C + ln +C A B − x x +1 x x +1 x +1 + ln( x + 1) C − D − − ln x + + ln x + C (1 + ln( x + 1) ) + ln | x | +C x x Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với 1 ln( x + 1); dv = = − dx u= + ln( x + 1); dv = − dx biến đổi đặt u = x x Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra định nghĩa 4.1.6 ÔN TẬP Câu 35 Hãy chọn mệnh đề Trang 8/34 A ∫ a x dx= ax + C ( < a ≠ 1) ln a xα +1 + C , ∀α ∈ R α +1 f ( x) ∫ f ( x)dx D ∫ dx = g ( x) ∫ g( x)dx B ∫ xα dx = C ∫ f ( x).g ( x)dx = ∫ f ( x)dx.∫ g( x)dx Hướng dẫn giải: A B sai thiếu điều kiện α =/ −1 ; C, D sai khơng có tính chất Câu 36 Mệnh đề sau sai? A ∫ sin = B ∫ dx = ln x + C , x ≠ xdx cos x + C x x a D ∫ a x dx= C ∫ e x dx= e x + C + C , (0 < a ≠ 1) ln a − cos x + C Hướng dẫn giải: ∫ sin xdx = Câu 37 Hàm số f ( x) = x3 − x + + có nguyên hàm x x x3 − + x + ln x + C C F ( x) = x − x − + C x A F ( x) = B F ( x) = x − x3 + x + ln x + C D F ( x) = x − x + x + ln x + C x x3 ( x − x + + ) dx = − + x + ln x + C ∫ x Câu 38 Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = tan x Hướng dẫn giải: F ( x) = A F ( x= ) tan x − x + C B F ( x ) =− tan x + x + C C F ( x= ) tan x + x + C D F ( x ) =− tan x − x + C − 1 dx = tan x − x + C x Câu 39 Hàm số F ( x) = sin x − cos x + nguyên hàm hàm số sau đây? Hướng dẫn giải: ∫ f ( x)dx= ∫ cos A f = ( x ) sin x + cos x B f ( x ) = − sin x + cos x C f = ( x ) sin x − cos x D f ( x ) = − sin x − cos x Hướng dẫn giải: = F '( x) cos x + sin x Câu 40 Kết tính ∫ dx sin x cos x A tan x − cot x + C B cot 2x + C C tan 2x − x + C D − tan x + cot x + C 1 Hướng dẫn giải: ∫ + dx = tan x − cot x + C dx = ∫ 2 sin x cos x cos x sin x 1 Câu 41 Hàm số F ( x) = x − + − có nguyên hàm x x A f ( x) = x − x − − x x C f ( x) = x3 − x + x B f ( x) = x − x − − x x 1 D f ( x) = x3 − x − −x x 1 Hướng dẫn giải: Ta có ∫ F ( x)dx = ∫ x − + − 1dx = x − x − − x + C x x x cos x Câu 42 Hàm số f ( x) = có nguyên hàm F ( x) sin x Trang 9/34 4sin x A − −4 C D 4 4sin x sin x sin x cos x 1 − +C f ( x)dx = ∫ sin xdx = ∫ sin x d (sin x) = 4sin x B Hướng dẫn giải: ∫ Câu 43 Kết tính ∫ x − x dx A − C 6 (5 − 4x ) (5 − 4x ) 3 − x2 ) + C ( D − − x2 ) + C ( 12 B − +C +C Hướng dẫn giải: Đặt t =5 − x ⇒ tdt = −4 xdx 1 Ta có ∫ x − x dx = − ∫ t dt = − t3 + C = − 6 sin x Câu 44 Kết ∫ e cos xdx (5 − 4x ) +C A esin x + C B cos x.esin x + C C ecos x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ esin x cos xdx = ∫ esin x d (sin = x) esin x + C Câu 45 Tính D e − sin x + C ∫ tan xdx A − ln cos x + C B ln cos x + C C +C cos x D −1 +C cos x −1 +C sin x D −C sin x Hướng dẫn giải: Ta có ∫ tan xdx = −∫ d (cos x) = − ln cos x + C cos x Câu 46 Tính ∫ cot xdx A ln sin x + C B − ln sin x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cot = xdx Câu 47 Nguyên hàm hàm số y = C (sin x) ∫ sin x d= ln sin x + C x3 x −1 1 B x + x + x + ln x + + C x + x + x + ln x − + C 3 1 1 C x3 + x + x + ln x − + C D x3 + x + x + ln x − + C x Hướng dẫn giải: Ta có Sử dụng bảng nguyên hàm suy đáp án = x2 + x + + x −1 x −1 x2 − x + Câu 48 Một nguyên hàm hàm số f ( x ) = x +1 x2 x2 A B − x + ln x + + x + ln x + 2 x2 x2 C D + x − ln x + − x + ln ( x + 1) 2 x2 − x + Hướng dẫn giải: f ( x ) = Sử dụng bảng nguyên hàm = x −3+ x +1 x +1 Câu 49 Kết tính ∫ dx x ( x + 3) A A x ln +C x+3 x B − ln +C x+3 Trang 10/34 Câu 85 Kết ∫ sin x cos xdx A sin x + C B sin x + C C − sin x + C D − sin x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin x cos xdx = − sin x + C ∫ sin xd (sin x) = Câu 86 Tính ∫ cos x sin xdx A − cos3 x + C B − cos3 x + C D cos3 x + C cos3 x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cos x sin xdx = − ∫ cos xd (cos x) = − cos3 x + C 3 Câu 87 Kết ∫ sin xdx A C co s3 x − cos x + C co s3 x − cos x + C co s3 x D − cos x + C B − C 3sin x.cos x + C Hướng dẫn giải: ∫ sin xdx = − ∫ (1 − cos x)d (cos x) =cos3 x − cos x + C ∫ (1 − cos x) sin xdx = 3 Câu 88 Kết ∫ cos xdx sin x A sin x − +C sin x B sin x + +C sin x D − sin x − +C C 3sin x.cos x + C 2 Hướng dẫn giải: ∫ cos3 xdx =− sin x − sin x + C ∫ (1 sin x) cos xdx =− ∫ (1 sin x)d (sin x) = Câu 89 Kết ∫ sin x cos xdx A sin x + C B − sin x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin x cos = xdx ∫ sin C sin x + C xd = (sin x) D − sin x + C sin x + C e tan x ∫ cos2 xdx A e tan x + C B tan x.e tan x + C C e − tan x + C e tan x Hướng dẫn giải: ∫ = dx ∫ e tan x d (tan= x) e tan x + C cos x Câu 91 Tính ∫ dx bằng: x cos x Câu 90 Tính A tan x + C Hướng dẫn giải: Câu 92 Tính B tan x + C ∫ C tan x + C 1 = dx ∫ = d ( x ) tan x + C x cos x cos x D −e tan x + C D tan x + C 3x ∫ x3 + 1dx A ln x3 + + C B x3 +C x4 + 4x C ln( x3 + 1) + C D x3 +C x4 + x Trang 19/34 Hướng dẫn giải: 3x = ∫ x3 + 1dx ∫x d ( x3 + = 1) ln x3 + + C +1 x − 12 x Câu 93 Tính ∫ dx x − 3x + A ln x − x + + C B ln x3 − x + + C C ln x3 − x + + C D ln( x3 − x + 6) + C x − 12 x Hướng dẫn giải: ∫ = ln x3 − x + + C dx= ∫ d ( x3 − x + 6) 2 x − 3x + x − 3x + 4x + 2x Câu 94 Tính ∫ dx x + x2 + A ln x + x + + C B ln x + x + + C C ln x + x + + C x3 + x Hướng dẫn giải: ∫ dx= x + x2 + x2 + Câu 95 Tính ∫ dx x + 3x − 1 A ln x3 + x − + C D −2 ln( x + x + 3) + C ∫x d ( x + x + 3)= ln x + x + + C + x +3 B ln x3 + x − + C D ln( x3 + x − 1) + C x +1 1 Hướng dẫn giải: ∫ = dx d ( x3 + x −= 1) ln x + x − + C ∫ x + 3x − x + 3x − x −5 Câu 96 Tính ∫ e dx C ln x3 + x − + C A x −5 e +C B e6 x −5 + C Hướng dẫn giải: ∫ e6 x −5= dx Câu 97 Tính ∫ e − x −5 dx C 6e6 x −5 + C x −5 x −5 5) e d (6 x −= e +C ∫ 6 B e − x −5 + C C e x +5 + C A −e − x −5 + C Hướng dẫn giải: ∫ e − x −5 dx =− ∫ e − x −5 d (− x − 5) =−e − x −5 + C Câu 98 Tính ∫ ( − 9x ) 12 D e6 x +5 − C D −e x +5 + C dx (5 − x)13 (5 − x)13 (5 − x)13 C D +C +C +C 117 13 (5 − x)13 12 12 Hướng dẫn giải: ∫ ( − x ) dx = − ∫ ( − x ) d (5 − x) = − +C 117 π Câu 99 Tính ∫ cos x + dx 4 π π A sin x + + C B sin x + + C 4 4 π π C −5sin x + + C D − sin x + + C 4 4 A − (5 − x)13 +C 117 B Trang 20/34 π π π π cos x + d x += sin x + + C Hướng dẫn giải: ∫ cos x + = dx ∫ 4 4 4 4 Câu 100 Tính ∫ dx π 2 cos x + 4 π B tan x + + C 4 π D tan x + + C 4 1 π π Hướng dẫn giải: ∫ tan x + + C dx= ∫ dx+ = π π 4 4 cos x + cos x + 4 4 Câu 101 Tính ∫ dx (cos x + sin x) π A tan x + + C 4 π C − tan x + + C 4 π A − cot x + + C 4 π C − cot x + + C 4 Hướng dẫn giải 1 ∫ (cos x + sin x)2 dx = 2∫ Câu 102 Tính ∫ 12 x + dx 3x + 1 π cot x + + C 4 π D − cot x + + C 4 B 1 π π dx =∫ dx+ = − cot x + + C π π 4 4 sin x + sin x + 4 4 x2 + 5x +C x3 + x C x + ln x + + C D x + ln(3 x + 1) + C 12 x + dx = ∫ + Hướng dẫn giải: ∫ dx = x + ln x + + C 3x + 3x + A x + ln x + + C Câu 103 Tính 2x2 + x ∫ x − dx x2 + x + ln x − + C 2 x C + x + ln(2 x − 1) + C 2 2x2 + x Hướng dẫn giải: ∫ dx= 2x −1 −x Câu 104 Tính ∫ dx ( x + 1) A B x2 + x + ln x − + C x2 D + x + ln(2 x − 1) + C x2 ∫ x + + x − dx= + x + 2 x − + C B 1 B − ln x + + C − ln x + + C x +1 x +1 1 C − D − + ln x + + C − ln( x + 1) + C x +1 x +1 −x Hướng dẫn giải: ∫ dx =∫ − − ln x + + C dx =− 2 ( x + 1) x +1 x +1 ( x + 1) A − Trang 21/34 Câu 105 Tính ∫ sin x(2 + cos x)dx A −2 cos x − cos x + C C cos x + cos x + C B cos x − cos x + C D cos x + cos x + C 1 Hướng dẫn giải: ∫ sin x(2 + cos x)dx = − cos x − cos x + C ∫ (2sin x + sin x)dx = x Câu 106 Tính ∫ x.2 dx bằng: x ( x − 1) x.2 x 2x A B − +C +C ln ln 2 ln C x ( x + 1) + C D x ( x − 1) + C Hướng dẫn giải du = dx u = x x.2 x x.2 x 2x 2x x Ta có x x dx = Đặt ⇒ − = − +C dx ∫ x ln ∫ ln ln ln 2 dv = dx v = ln Câu 107 Tính ∫ ln xdx bằng: A x ln x − x + C x2 ln x + C D x ln x − + C x B x ln x − ln x − x + C x Hướng dẫn giải u = ln x du = dx Đặt ⇒ = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C x Ta có ∫ ln xdx dv = dx v = x C Câu 108 Tính ∫ x ln( x − 1)dx bằng: x2 − x+C x2 C ( x + 1) ln( x − 1) − − x + C Hướng dẫn giải dx = u ln( x − 1) du = Đặt ⇒ x −1 dv = xdx = v x − A ( x − 1) ln( x − 1) − x2 − x+C x2 D ( x − 1) ln( x − 1) − + x + C B x ln( x − 1) − Ta có ∫ x ln( x − 1)dx = ( x − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1)dx = ( x − 1) ln( x − 1) − Câu 109 Tính ∫ sin x + dx bằng: cos x A − cos x + tan x + C C cos x − tan x + C x2 − x+C B cos x + tan x + C D − cos x − +C cos x − cos x + tan x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin x + dx = cos x Câu 110 Hàm số= F ( x) ln sin x − cos x nguyên hàm hàm số A f ( x) = sin x + cos x sin x − cos x B f ( x) = sin x − cos x sin x + cos x Trang 22/34 C f ( x) = sin x + cos x D f ( x) = sin x − cos x (sin x − cos x) ' cos x + sin x = sin x − cos x sin x − cos x Câu 111 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = x − x + thỏa mãn điều kiện F (−2) = là: Hướng dẫn giải:= Ta có F '( x) 37 x − x +x− 3 C F ( x) = x − x + x Hướng dẫn giải x − x + x+C 3 37 D F ( x= ) x − x +x+ 3 B F ( x= ) A F ( x= ) Ta có F ( x= ) Vậy F ( x= ) ∫ (3x − x + 1)= 37 x − x + x + C F (−2) =⇔ C= − 3 37 x − x +x− 3 VẬN DỤNG CAO 4.1.1 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC − x3 + x + Câu 112 Kết tính ∫ dx − x2 x2 x2 A − ln − x + C B + ln − x + C 2 x3 x3 C D − ln − x + C + ln x − + C 3 Hướng dẫn giải − x3 + x + x − x − ( x + ) ( x − x − 1) Sử dụng bảng nguyên hàm = = = x− 2 4− x x −4 x−2 ( x + )( x − ) Câu 113 Họ nguyên hàm = f ( x ) x ( x3 + 1) A F ( x= ) x + 1) + C ( 18 C F ( x ) = ( x3 + 1) + C B F ( x= ) 18 ( x3 + 1) + C D F ( x )= x + 1) + C ( Hướng dẫn giải: Đặt t = x3 + ⇒ dt = x dx Khi 6 3 ∫ x ( x + 1) dx= ∫ t dt= 18 t + C= 18 ( x + 1) + C x + x + x3 + Câu 114 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = hàm số nào? x3 1 1 A F ( x= B F ( x= ) ln x − + x − + C ) ln x + + x − + C x 2x x 2x 3 x 3x x 3x C F ( x ) = − D F ( x ) = + + ln x + C + ln x + C 3 x + x + x3 + 1 1 Hướng dẫn giải: f ( x ) = = + + + Sử dụng bảng nguyên hàm x x x x Câu 115 Giá trị m để hàm số F ( x ) = mx + ( 3m + ) x − x + nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + 10 x − là: A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn giải: ∫ ( x + 10 x − ) dx = x + x − x + C , nên m = Trang 23/34 Câu 116 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin ( x ) thoả mãn F ( ) = Khi F ( x ) là: 1 1 A F ( x )= ( x + 1) − sin x + sin x B F ( x ) =− x sin x + sin x 8 64 8 64 1 3 C F ( x ) =− D F ( x ) = x sin x + sin x + x − sin x + sin x + 8 64 8 Hướng dẫn giải 1 + cos8 x − cos x sin ( x ) = − cos x + cos x ) = ( = 1 − cos x + 4 cos x cos8 x = − + 8 sin x sin x cos x cos8 x + +C x− Nên ∫ sin ( x )dx = ∫ − + dx = 8 64 Vì F ( ) = nên suy đáp án x) (6 x + 1) có nguyên hàm F ( x) = ax3 + bx + cx + d thoả mãn điều Câu 117 Biết hàm số f (= 20 Tính tổng a + b + c + d kiện F (−1) = B 44 C 36 D 54 A 46 Hướng dẫn giải 2 a 12;= b 6;= c ∫ ( x + 1) dx= ∫ ( 36 x + 12 x + 1) dx= 12 x + x + x + C nên= Thay F (−1) = 20 d = 27 , cộng lại chọn đáp án Câu 118 Hàm số f = ( x ) x x + có nguyên hàm F ( x ) Nếu F ( ) = F ( 3) 886 105 116 C D 15 105 886 x + ⇒ 2tdt= dx 5 2 ∫ x x + 1dx= ∫ ( 2t − 2t ) dt = t − t + C = x + − x + + C 34 Vì F ( ) = nên C = Thay x = ta đáp án 15 Câu 119 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) = x cos x thỏa mãn F ( ) = Khi phát biểu 146 15 Hướng dẫn giải: Đặt t= A B ( ) ( ) sau đúng? A F ( x ) hàm số chẵn B F ( x ) hàm số lẻ C Hàm số F ( x ) tuần hồn với chu kì 2π D Hàm số F ( x ) không hàm số chẵn không hàm số lẻ Hướng dẫn giải ∫ x cos xdx = x sin x + cos x + C F ( ) = nên C = Do F ( x ) hàm số chẵn sin x thỏa mãn F ( ) = sin x + ln + sin x B ln + sin x C D ln cos x Câu 120 Một nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x) = A ln + sin x Hướng dẫn giải: Đặt= t sin x + ⇒= dt 2sin x cos xdx sin x dt ∫ sin x + dx= ∫ t = ln t + C= ln sin x + + C Trang 24/34 F ( ) = nên C = − ln Chọn đáp án Câu 121 Cho f (= x) 4m π π π + sin x Tìm m để nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) thỏa mãn F ( ) = F = 4 A − 4 C − D 3 4m x sin x 4m Hướng dẫn giải: ∫ x+ − + sin x dx = + C F ( ) = nên C = π π π π F = nên tính m = − 4 B 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 122 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x.cos x 1 A ∫ f ( x)dx= ln sin x − ln − sin x + C B ∫ f ( x)dx= ln sin x + ln − sin x + C 2 1 D ∫ f ( x)dx = C ∫ f ( x)= − ln sin x − ln − sin x + C dx ln sin x − ln − sin x + C 2 Hướng dẫn giải d ( sin x ) d ( sin x ) d ( sin x ) dx d ( sin x ) cos xdx = = +∫ − ∫ ∫ sin x.cos x ∫= ∫ ∫ sin x.cos x sin x + sin x sin x (1 − sin x ) − sin x −1 1 ln − sin x + ln sin x − ln + sin x + C = ln sin x − ln − sin x + C 2 2sin x Câu 123 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = + cos x A ∫ f ( x)dx = cos x − cos x + C B ∫ f ( x)dx = cos x − cos x + C C ∫ f ( x)dx = cos x + cos x + C D ∫ f ( x)dx = cos x + cos x + C Hướng dẫn giải 2sin x 2sin x cos x − = sin xdx ∫ d ( cos x ) ∫ + cos x dx ∫= + cos x + cos x = ∫ ( cos x − 1) d ( cos x ) = cos x − cos x + C = Câu 124 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = cos3 x sin x cot x − cot x A ∫ f= B ∫ f ( = x).dx +C ( x).dx +C 4 cot x tan x C ∫ f ( = D ∫ f (= x).dx +C x).dx +C cos3 xdx dx − cot x 3 Hướng dẫn giải ∫ = cot x = − cot x d cot x = +C ( ) ∫ ∫ sin x sin x = Câu 125 Tìm nguyên hàm hàm số: f ( x) cos x ( sin x + cos x ) 1 A ∫ f ( x).dx =2 sin x − 12 sin C sin x − sin ∫ f ( x).dx = 3 2x + C 2x + C 1 1 B ∫ f ( x).dx =2 sin x + 12 sin D ∫ f ( x).dx =2 sin x − sin 2x + C 2x + C Trang 25/34 Hướng dẫn giải 4 x ) dx ∫ cos x ( sin x + cos= ∫ cos x ( sin x + cos x ) − 2sin x.cos x dx = ∫ cos x 1 − sin x dx = ∫ cos xdx − ∫ sin x.cos xdx 1 =∫ cos xdx − ∫ sin 2 x.d ( sin x ) = sin x − sin x + C 12 2sin x Câu 126 Tìm nguyên hàm hàm số = f ( x) ( tan x + e ) cos x A − cos x + e ∫ f ( x)dx = C − cos x + e ∫ f ( x)dx = 2sin x 2sin x +C +C Hướng dẫn giải B ∫ f ( x)dx =cos x + e D − cos x − e ∫ f ( x)dx = 2sin x +C 2sin x +C d ( sin x ) = − cos x + e 2sin x + C Câu 127 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x + cos x + 1 x 3π x 3π A ∫ f ( x)dx = cot + B ∫ f ( x= )dx cot + − +C +C 2 2 2 1 x 3π x 3π cot + cot − − − C ∫ f ( x)dx = D ∫ f ( x)dx = +C +C 2 2 2 Hướng dẫn giải dx dx dx = ∫ sin x + cos x + ∫= ∫ π sin x + π + sin x + + 4 4 dx dx 1 x 3π =∫ =∫ = − cot + +C 2 x π 2sin x + 3π 2 x π sin + + cos + 2 ∫ ( tan x + e 2sin x ) cos xdx = ∫ sin xdx + ∫ e 2sin x 4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT Câu 128 Hàm số= F ( x) ln sin x − cos x nguyên hàm hàm số sin x − cos x sin x + cos x D f ( x) = sin x − cos x (sin x − cos x) ' cos x + sin x Hướng dẫn giải: F '( x) = = sin x − cos x sin x − cos x Câu 129 Kết tính ∫ x ln( x − 1)dx bằng: sin x + cos x sin x − cos x C f ( x) = sin x + cos x A f ( x) = x2 − x+C x2 C ( x + 1) ln( x − 1) − − x + C Hướng dẫn giải dx = u ln( x − 1) du = ⇒ Đặt x −1 dv = xdx = v x − A ( x − 1) ln( x − 1) − B f ( x) = x2 − x+C x2 D ( x − 1) ln( x − 1) − + x + C B x ln( x − 1) − Ta có ∫ x ln( x − 1)dx = ( x − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1)dx = ( x − 1) ln( x − 1) − x2 − x+C Trang 26/34 e tan x ∫ cos2 xdx bằng: B tan x.e tan x + C C e − tan x + C A e tan x + C e tan x Hướng dẫn giải: ∫ = dx ∫ e tan x d (tan= x) e tan x + C cos x Câu 130 Kết tính D −e tan x + C Câu 131 Tính ∫ ecos x sin xdx bằng: 2 A −ecos x + C B e − sin x + C C e −2sin x + C 2 Hướng dẫn giải: ∫ ecos x sin xdx = − ∫ ecos x d (cos x) = − ecos x + C D −esin x + C Câu 132 Tính ∫ esin x sin xdx bằng: 2 A esin x + C B esin x + C C ecos x + C 2 Hướng dẫn giải: ∫ esin x sin xdx = ∫ esin x d (sin 2= x) esin x + C D e 2sin x + C B ecos x + C C −e − cos x + C A −ecos x + C Hướng dẫn giải: ∫ ecos x sin xdx = − ∫ ecos x d (cos x) = −ecos x + C D e − sin x + C Câu 133 Kết ∫ ecos x sin xdx bằng: 4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 134 Biết hàm số F ( x) = − x − x + 2017 nguyên hàm hàm số f ( x) = tổng a b A B −2 C 3x − Hướng dẫn giải: F '( x) =− x − x + 2017 ' = 1− 2x ⇒ a + b = + ( −1) = ( ) Câu 135 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x − 8) x + + C ( C F ( x= ) (8 − x ) x + + C x3 − x x2 + Hướng dẫn giải: ∫ x2 + dx = ∫ D x + x2 + + x2 + C D F ( x = ) ( x − 8) + x + C B F ( = x) A F ( = x) x3 − x ax + b Khi 1− 2x (x − ) xdx x2 + x + ⇒ x = t − ⇒ xdx = tdt Khi t − 3) ( tdt ) ( x3 − x t3 = ∫ ( t − 3) dt = − 3t + C dx = ∫ t x2 + Đặt t = ∫ = ( x2 + ) − x + += C Câu 136 Tính F ( x ) = ∫ sin x 2 x − 8) x + + C ( 4sin x + cos x + dx Hãy chọn đáp án A F ( x ) =6 − cos x + C B F ( x ) =6 − sin x + C C F ( x ) =6 + cos x + C D F ( x ) = − − sin x + C Hướng dẫn giải Trang 27/34 ∫ sin x 4sin x + cos x + dx = ∫ d ( − cos x ) sin x =6 − cos x + C dx=∫ − cos x − cos x Câu 137 Biết hàm số F ( x) = ( mx + n ) x − nguyên hàm hàm số f ( x) = 1− x Khi 2x −1 tích m n 2 A − B −2 C − D Hướng dẫn giải 1− x 2 2 dx = − x + 2x − + C Suy m = Cách 1: Tính ∫ − ;n = ⇒ m.n = − 3 3 2x − m= − m = − 3mx − m + n Cách 2: Tính F ' ( x ) = Suy ⇒ ⇒ m.n = − 2x −1 n − m = n= ln x Câu 138 Biết hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = có đồ thị qua điểm x ln x + ( e; 2016 ) Khi hàm số F (1) A B + 2016 D + 2016 + 2014 C + 2014 Hướng dẫn giải: = Đặt t ln x + tính F (= x) F ( e= C 2014 ⇒ F ( x= ) 2016 ⇒ = ) ln x + + C ln x + + 2014 ⇒ F (1= ) + 2014 4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN dx e x (ax3 + bx + cx + d ) + C Giá trị a + b + c + d Câu 139 Tính ∫ x3e x = B 10 C D −9 A −2 Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết quả: ∫ x3e x dx= x 3e x − x e x + xe x − 6e x + C= e x ( x − x + x − 6) + C Vậy a + b + c + d =−2 Câu 140 Tính F ( x= ) ∫ x ln( x + 3)dx= A( x + 3) ln( x + 3) + Bx + C Giá trị biểu thức A + B A B C −1 D Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng u đạo hàm u dv nguyên hàm v x ln( x + 3) + 2x x +3 2x (Chuyển qua dv ) x +3 - x2 + x 2x (Nhận từ u ) x +3 x2 1 Do F ( x= ) ∫ x ln( x + 3)dx = ( x + 3) ln( x + 3) − x + C 2 Vậy A + B = = ax sin x + bx cos x + c sin x + C Giá trị a + b + 4c Câu 141 Tính ∫ x cos xdx Trang 28/34 A B C −1 C −3 D D −1 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 1 Kết quả: ∫ x cos xdx= x sin x + x cos x − sin x + C 2 Vậy a + b + 4c = Câu 142 Tính ∫ x ln= xdx x ( A ln x + B ) + C Giá trị A + B bằng: A B Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần= với u ln= x, dv x3 dx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 4 1 1 xdx x ln x − x= + C x ln x − + C Kết quả: ∫ x3 ln= 16 16 4 Vậy A + B = 1+ x Câu 143 Tính F ( x) = ∫ x ln dx Chọn kết đúng: 1− x x2 −1 + x x2 + 1 + x B F ( x) ln + x+C = ln + x+C 1− x 1− x x2 + 1 + x x2 −1 + x C F ( x) D F ( x) = ln − x+C = ln − x+C 1− x 1− x Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần nguyên hàm hàm số hữu tỉ Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 1+ x x2 −1 + x Kết quả: ∫ x = ln dx ln + x+C 1− x 1− x ( x) ∫ x(1 − x)3 dx Biết F (0) = , F (1) bằng: Câu 144 Cho hàm số F= A F ( x) = −21 −19 21 19 B C D 20 20 20 20 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp đổi biến số với u = − x Sử dụng phương pháp phần với u= x; dv= (1 − x)3 dx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng với u= x; dv= (1 − x)3 dx A − x(1 − x) (1 − x)5 Kết F ( x) =∫ x(1 − x)3 dx = − +C 20 21 21 Do F (1) = F (0) = suy C = 20 20 Câu 145 Tính ∫ (2 x + 1) sin xdx= a x cos x + b cos x + c sin x + C Giá trị biểu thức a + b + c A −1 B C D −5 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết F ( x) = −2 x cos x − cos x + 2sin x + C nên a + b + c =−1 ∫ (2 x + 1) sin xdx = F ( x) Câu 146 Cho hàm số= ∫ x ln( x + 1)dx có F (1) = Khi giá trị F (0) Trang 29/34 −1 −1 B C D 4 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u =ln( x + 1), dv =xdx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết quả= F ( x) ∫ x ln( x + 1)dx = ( x − 1) ln( x + 1) − ( x − x) + C −1 −1 Từ F (1) = suy C = Vậy F (0) = 4 −5 Câu 147 Hàm số F= ( x) ∫ ( x + 1) ln xdx thỏa mãn F (1) = A x3 x x3 x B ( x3 + x) ln x − − − ( x + x) ln x − − 18 18 x x 10 x3 x C ( x3 + x) ln x − − + D ( x3 + x) ln x − − + 18 18 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp phần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng x3 x Kết F ( x= ) ∫ ( x + 1) ln xdx= ( x + x) ln x − − + C 18 −5 x3 x Với F (1) = suy C = nên F ( x)= ( x + x) ln x − − 18 x xe Câu 148 Hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) = có đồ thị qua điểm A(0;1) Chọn kết ( x + 1) A ex x +1 ex C f= ( x) −1 x +1 ex +1 x +1 ex D f= ( x) +2 x +1 A f ( x) = B f= ( x) dx ( x + 1) dv nguyên hàm v ( x + 1) x , dv = Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp phần = với u xe u đạo hàm u xe x + x ( x + 1)e (Chuyển ( x + 1)e x qua dv ) −1 x +1 −e x (nhận ( x + 1)e x từ u ) Kết f= ( x) −e x ex xe x ex Với suy Vậy = dx C f (0) f ( x ) = = + C = ∫ ( x + 1)2 x +1 x +1 ) ( Câu 149 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = ln x + x + thỏa mãn F (0) = Chọn kết ( x ln ( x + ) x + 1) − ( x) x ln x + x + − x + + A F= C F= ( x) x2 + + ( x ln ( x + ) x + 1) − ( x) x ln x + x + − x + − B F= D F (= x) x2 + Hướng dẫn giải: Trang 30/34 ( ) Đặt u = ln x + x + , dv = dx ta ( ) ( x) x ln x + x + − x + + C Vì F (0) = nên C = F= ( ) Vậy F= ( x) x ln x + x + − x + + Câu 150 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = x thỏa mãn F (π ) = 2017 Khi F ( x ) cos x hàm số đây? B F ( x) = A F ( x) = x tan x + ln | cos x | +2017 x tan x − ln | cos x | +2018 C F ( x) = D F ( x) = x tan x + ln | cos x | +2016 x tan x − ln | cos x | +2017 Hướng dẫn giải: Đặt du dx = , v tan x = u x= , dv dx ta được= cos x x Kết F ( x) = ∫ cos2 x dx =x tan x − ∫ tan xdx =x tan x + ln | cos x | +C x tan x + ln | cos x | +2017 Vì F (π ) = 2017 nên C = 2017 Vậy F ( x) = Câu 151 Tính F ( x) = Ax + Bx cos x + C sin x + D Giá trị biểu thức A + B + C ∫ x(1 + sin x)dx = 1 A B − C D − 4 4 Hướng dẫn giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng với u= x, dv= (1 + sin x)dx ta 1 1 F ( x) =x − x cos x + sin x + D Vậy A + B + C = 2 + x sin x Câu 152 Tính F ( x) = ∫ dx Chọn kết cos x x sin x − x sin x − A F ( x) = tan x + B F ( x) = tan x − + ln +C + ln +C cos x sin x + cos x sin x + x sin x − x sin x − C F ( x) = tan x + D F ( x) = tan x − − ln +C − ln +C cos x sin x + cos x sin x + Hướng dẫn giải dx x sin x Cách 1: Biến đổi F ( x) = tan x I ( x) ∫ cos2 x + ∫ cos2 x dx =+ sin x x dx Tính I ( x) cách đặt = u x= ; dv dx ta = I ( x) −∫ cos x cos x cos x cos xdx sin x − dx d (sin x) Tính J ( x) = −∫ = = = ln +C ∫ ∫ cos x sin x − (sin x − 1)(sin x + 1) sin x + x sin x − + ln +C Kết F ( x ) = tan x + cos x sin x + d Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra ( F ( x)) − f ( x) = số điểm dx ngẫu nhiên x0 4.1.6 ÔN TẬP π thỏa mãn điều kiện F = cos x 4 B F ( x)= cos x + tan x + − Câu 153 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f= ( x) sin x + A F ( x) = − cos x + tan x + − Trang 31/34 C F ( x) = D F ( x) = − cos x + tan x − cos x + tan x + − Hướng dẫn giải − cos x + tan x + C ⇒ F ( x) = − cos x + tan x + C Ta có ∫ sin x + dx = cos x π ⇔ C = − Vậy F ( x) = F = − cos x + tan x + − 4 Câu 154 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f (= x) 2sin x + x + thỏa mãn đồ thị hai hàm số F ( x) f ( x) cắt điểm nằm trục tung 2 2 A F ( x) = B F = − cos x + x x + x + ( x) cos x + x x + x + 5 5 2 C F= D F ( x) = + x +1 ( x) 10 cos x + − cos x + x x + x 5 x Hướng dẫn giải 2 Ta có F ( x) = − cos x + x x + x + C F (0)= f (0) ⇔ C= 5 2 Vậy F ( x) = − cos x + x x + x + 5 x Câu 155 Hàm số F ( x)= (ax + bx + c)e nguyên hàm hàm số f ( x) = x e x a + b + c bằng: A B C D −2 Hướng dẫn giải = a 1= a 2 Ta có F '( x) =f ( x) ⇔ ax + (2a + b) x + b + c =x ⇔ 2a + b =0 ⇔ b =−2 b + c = c = Vậy a + b + c = Câu 156 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x)= a + b cos x thỏa mãn F (0) = π π F = 12 7π π A F ( x) = sin x + − x+ 2 7π π C F ( x) = sin x + − x− Hướng dẫn giải π π π , F = , 2 7π B F ( x) = − x+ sin x 7π π D F ( x) = − x+ sin x − π a= − F (0) = 7π b π π Ta có F ( x) = ⇔ b = ax + sin x + C F = 2 π π π F = C = 12 7π π Vậy F ( x) = − x+ sin x + Câu 157 Cho hàm số F ( x) = ax + bx + cx + nguyên hàm hàm số f ( x) thỏa mãn f (1) = 2, = f (2) 3,= f (3) Hàm số F ( x) 1 A F ( x= B F ( x) =− x + x + ) x + x + 2 Trang 32/34 C F ( x) =− x − x + Hướng dẫn giải D F ( x= ) x − x +1 a = = 2b + c f (1) 3a + = Ta có f ( x) = F '( x) = 3ax + 2bx + c f (2) = ⇔ 12a + 4b + c = ⇔ b = f (3) 27 a += = 6b + c c = 1 Vậy F ( x= ) x + x + π Câu 158 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = tan x.sin x thỏa mãn điều kiện F = 4 1 π π A F ( x) = x − sin x + − B F ( x) = x + cos x + − 2 2 π D x + sin x − C.= F ( x) cos3 x + 2 Hướng dẫn giải 1 Ta có ∫ tan x.sin xdx = x − sin x + C ⇒ F ( x) = x − sin x + C ∫ (1 − cos x)dx = 2 π π F =0 ⇔ C = − 4 1 π Vậy F ( x) = x − sin x + − 2 Câu 159 Cho hàm số f ( x) = tan x có nguyên hàm F ( x) Đồ thị hàm số y = F ( x) cắt trục tung điểm A(0; 2) Khi F ( x) A F ( x= B F= ) tan x − x + ( x) tan x + ) cot x − x + C.= D F ( x= F ( x) tan x + Hướng dẫn giải F ( x= ) ∫ f ( x)dx = ∫ tan xdx = tan x − x + C Vì đồ thị hàm số y = F ( x) qua điểm A(0; 2) nên C = ) tan x − x + Vậy F ( x= π Câu 160 Cho hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = tan x Giá trị F − F (0) 4 A − π B π C + π π π Hướng dẫn giải: F ( x ) = tan x − x + C ⇒ F − F (0) =1 − 4 D 3− π Trang 33/34 ... nguyên hàm phương pháp biến đổi trực tiếp - Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số - Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x + hàm. .. f ( x ) = x Câu Họ nguyên hàm hàm số: y = x − x + Câu x3 A F ( x ) = − x + ln x + C x3 C F ( x ) = + x + ln x + C Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x... F ( x )= ln − x + ln x − + C x Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x A ∫ sin xdx = − cos x + C 2 xdx cos x