Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm nguyên hàm

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.A. Chọn kết quả đúng:.[r]

(1)

CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định ( ) K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x ( )

được gọi nguyên hàm hàm số f x ( ) K F x'( )= f x( ) với x K∈

Định lí:

1) Nếu F x nguyên hàm hàm số ( ) f x ( ) K với số C , hàm số

( ) ( )

G x =F x C+ nguyên hàm f x ( ) K

2) Nếu F x nguyên hàm hàm số ( ) f x ( ) K nguyên hàm f x ( ) K có dạng F x C( )+ , với C số

Do F x C C( )+ , ∈  họ tất nguyên hàm f x ( ) K Ký hiệu ∫ f x dx F x C( ) = ( )+

2 Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1: (∫ f x dx( ) )′ = f x( ) ∫ f x dx f x C'( ) = ( )+ Tính chất 2: ∫kf x dx k f x dx( ) = ∫ ( ) với k số khác

Tính chất 3: ∫f x( )±g x dx( ) =∫ f x dx( ) ±∫g x dx( )

3 Sự tồn nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x liên tục ( ) K có nguyên hàm K

4 Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp (u u x= ( ))

dx x C= +

∫ ∫du u C= +

( )

1

1 1

1

x dxα = xα+ +C α ≠ −

α +

∫ 1 ( 1)

1

u duα = uα+ +C α ≠ −

α +

∫

1dx ln x C

x = +

∫ 1du lnu C

u = +

∫

x x

e dx e C= +

∫ ∫e du e Cu = u +

( 0, 1)

ln

x

x a

a dx C a a

a

= + > ≠

∫ ( 0, 1)

ln

u

u a

a du C a a

a

= + > ≠

∫

sinxdx= −cosx C+

∫ ∫sinudu= −cosu C+

cosxdx=sinx C+

∫ ∫cosudu=sinu C+

2

1 tan

cos xdx= x C+

∫ 12 tan

cos udu= u C+

∫

2

1 cot

sin xdx= − x C+

∫ 12 cot

sin udu= − u C+

∫

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu ∫ f u du F u C( ) = ( )+ u u x= ( ) hàm số có đạo hàm liên tục

( )

( ) '( ) ( ( ))

f u x u x dx F u x= +C ∫

Hệ quả: Nếu u ax b a= + ( ≠0) ta có f ax b dx( ) 1F ax b C( ) a

+ = + +

∫

2 Phương pháp nguyên hàm phần

(2)

( ) ( )' ( ) ( ) '( ) ( )

u x v x dx u x v x= − u x v x dx

∫ ∫

Hay

udv uv= − vdu

∫ ∫

A KỸ NĂNG CƠ BẢN

- Tìm nguyên hàm phương pháp biến đổi trực tiếp - Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số

- Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu Nguyên hàm hàm số f x( )=x3+3x+2 hàm số hàm số sau?

A. ( ) 2

4

x x

F x = + + x C+ B ( ) 3 2

3

x

F x = + x + x C+

C ( ) 2

4

x x

F x = + + x C+ D F x( )=3x2+3x C+ Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu Hàm số F x( )=5x3+4x2−7x+120+C họ nguyên hàm hàm số sau đây?

A. f x( )=15x2+8x−7 B f x( )=5x2+4x+7

C ( )

4

x x x

f x = + − D f x( )=5x2+4x−7 Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm hàm số F x( ) ta kết

Câu Họ nguyên hàm hàm số: y x2 3x x

= − +

A. ( ) 3 ln

3

= x − + +

F x x x C B ( ) 3 ln

3

= x − + +

F x x x C

C ( ) 3 ln

3

= x + + +

F x x x C D F x( )=2x− −3 12 +C

x

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Câu Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) (= x+1)(x+2)

A. ( ) 3 2

3

= x + + +

F x x x C B ( ) 2 2

3

= x + + +

F x x x C

C F x( )=2x+ +3 C D ( ) 2 2

3

= x − + +

F x x x C

Hướng dẫn giải: f x( ) (= x+1)(x+2)=x2+3x+2 Sử dụng bảng nguyên hàm Câu Nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2 32

5

f x

x x x

= + +

− hàm số nào?

A F x( ) ln 2x 2ln x C x

= − − + − + B F x( ) ln 2x 2ln x C x

= − − + + +

C F x( ) ln 2x 2ln x C x

= − + − + D F x( ) ln 2x 2ln x C

x

= − − − + +

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) sin 2= x

A sin 1cos

2

xdx= − x C+

∫ B sin 1cos

2

xdx= x C+

∫

C sin 2∫ xdx=cos 2x C+ D sin 2∫ xdx= −cos 2x C+ Hướng dẫn giải sin sin (2 ) 1cos

2

xdx= xd x = − x C+

(3)

Câu Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos

f x =  x+π 

 

A ( ) 1sin

3

f x dx=  x+ +C

 

∫ π B ( ) sin

6

f x dx=  x+ +C

 

∫ π

C ( ) 1sin

3

f x dx= −  x+ +C

 

∫ π D ( ) 1sin

6

f x dx=  x+ +C

 

∫ π

Hướng dẫn giải: ( ) cos 3 1sin

3 6

f x dx=  x+   d x+ =  x+ +C

     

∫ ∫ π π π

Câu Tìm nguyên hàm hàm số ( a

2 ) t n= +

f x x

A. ( ) tan

2

x

f x dx= +C

∫ B ( ) tan

2

x f x dx= +C

∫

C ( ) 1tan

2

x

f x dx= +C

∫ D ( ) tan

2

x f x dx= − +C

∫

Hướng dẫn giải:

2

1 ( ) t

s an

o

2 c

x

f x = + = x nên

2

2 tan

2

cos cos

2

x d

dx x C

x x

     

= = +

∫ ∫

Câu Tìm nguyên hàm hàm số

2

1 ( )

sin

3

f x

x π

=

 + 

 

 

A ( ) cot

3

f x dx= − x+ +C

 

∫ π B ( ) 1cot

3

f x dx= − x+ +C

 

∫ π

C ( ) cot

f x dx= x+ +C

 

∫ π D ( ) 1cot

3

f x dx= x+ +C

 

∫ π

2

3 cot

3

sin sin

3

d x

dx x C

x x

 + 

   

 

= = −  + +

 +   +   

   

   

∫ ∫

π

π π

Câu 10 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) sin cos= 3x x

A. ( ) sin4

4

x f x dx= +C

∫ B ( ) sin4

4

x f x dx= − +C

∫

C ( ) sin2

x f x dx= +C

∫ D ( ) sin2

2

x f x dx= − +C

∫

Hướng dẫn giải sin cos 3 sin (sin )3 sin4

4

x

x x dx= x d x = +C

∫ ∫

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT Câu 11 Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x =e ex− −x

A f x dx e e( ) = x+ −x+C

∫ B f x dx( ) = − +e ex −x+C

∫

C f x dx e e( ) = x− −x+C

∫ D f x dx( ) = − −e ex −x+C

∫

Hướng dẫn giải: (e e dx e ex− −x) = x+ −x+C

∫

Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 3= x −2x

A ( )

9 ln ln

x

f x dx=   +C

−  

∫ B ( )

2 ln ln

x

f x dx=   +C

−  

(4)

C ( ) ln ln

x

f x dx=   +C

−  

∫ D ( )

9 ln ln

x

f x dx=   +C

+  

∫

Hướng dẫn giải: 2 32 2 .

9 ln ln

x x

x − xdx=   dx=  +C

    −

   

∫ ∫

Câu 13 Họ nguyên hàm hàm số ( )f x =ex(3+e−x)

A F x( ) 3= ex+ +x C B ( ) 3F x = e ex+ xlne Cx+ C ( ) x

x

F x e C

e

= − + D ( ) 3F x = ex− +x C Hướng dẫn giải: F( )x = ex(3+e dx−x) = (3ex+1)dx=3ex+ +x C

∫ ∫

Câu 14 Hàm số F x( )=7ex−tanx nguyên hàm hàm số sau đây?

A. ( ) 2

cos

x

x e

f x e

x −

 

=  − 

  B. ( )

1

cos

x

f x e

x

= +

C. f x( )=7ex+tan2x−1 D. ( )

2

1

cos

x

f x e

x

 

=  − 

 

Hướng dẫn giải: Ta có '( ) 12 (7 2 ) ( )

cos cos

x

x x e

g x e e f x

x x

−

= − = − =

Câu 15 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= e4 2x−

A ( )

2 x

f x dx= e − +C

∫ B f x dx e( ) = 1x− +C

∫

C ( )

2

x f x dx= e − +C

∫ D ( )

2

x f x dx= e − +C

∫

Hướng dẫn giải: 2 1

2

x x x

e − dx= e dx− = e − +C

∫ ∫

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 16 Nguyên hàm hàm số ( )

2 =

−

f x

x

A. ∫ f x dx( ) = 1x− +C B ∫ f x dx( ) =2 1x− +C

C ( )

2

x

f x dx= − +C

∫ D ∫ f x dx( ) = −2 1x− +C

Hướng dẫn giải: 1 (2 1)

2

−

= = − +

− −

∫ dx ∫d x x C

x x

Câu 17 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) =

−

f x

x

A. ∫ f x dx( ) = −2 3− +x C B ∫ f x dx( ) = − 3− +x C

C ∫ f x dx( ) =2 3− +x C D ∫ f x dx( ) = −3 3− +x C

Hướng dẫn giải: (3 )

3

−

= − = − − +

− −

∫ dx ∫d x x C

x x

Câu 18 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= 1x+

A ( ) 2 1( )

3

f x dx= x+ x+ +C

∫ B ( ) 2 1( )

3

f x dx= x+ x+ +C

∫

C ( )

3

f x dx= − x+ +C

∫ D ( )

2

f x dx= x+ +C

∫

(5)

( )

3

2

2 2

3

t

x dx= t dt C x x C

⇒∫ + ∫ = + = + + +

Câu 19 Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x = 3− x

A ( ) 5 3( )

9

f x dx= − − x − x C+

∫ B ( ) 5 3( )

3

f x dx= − − x − x

∫

C ( ) 5 3( )

9

f x dx= − x − x

∫ D ( )

3

f x dx= − − x C+

∫

Hướng dẫn giải: Đặt 3

tdt t= − x⇒dx= −

( )

2

5 5

9

xdx x x C

− = − − − +

∫

Câu 20 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= x−2

A ( ) 3( 2)3 2

4

f x dx= x− x− +C

∫ B ( ) 3( 2)3 2

4

f x dx= − x− x− +C

∫

C ( ) 2( 2)

3

f x dx= x− x−

∫ D ( ) 1( 2) 23

3

f x dx x − C

= − +

∫

Hướng dẫn giải: Đặt t= x− ⇒2 dx=3t dt2 Khi 2 3( 2)3 2

4

x− dx= x− x− +C

∫

Câu 21 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= 31 3− x

A ( ) 1 3( )3

4

f x dx= − − x − x C+

∫ B ( ) 3 3( )3

4

f x dx= − − x − x C+

∫

C ( ) 1 3( )3

4

f x dx= − x − x C+

∫ D ∫ f x dx( ) = − −(1 3x)−32 +C

Hướng dẫn giải: Đặt t= 31 3− x⇒dx= −t dt2 Khi 31 3 1(1 3 )31 3

4

xdx x x C

− = − − − +

∫

Câu 22 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= e3x

A. ( )

3

x e f x dx= +C

∫ B ( )

3

2 x

f x dx C

e

= +

∫

C ( ) 3

2

x

e

f x dx= +C

∫ D ( )

3 2

2

3

x

e

f x dx C

x

+

= +

+

∫

Hướng dẫn giải: 32. 2. 32

3 3

x x x

x x e

e dx= e d = e + =C +C

 

∫ ∫

Câu 23 Hàm số F x( ) (= x+1)2 x+ +1 2016 nguyên hàm hàm số sau đây?

A. ( ) 5( 1)

2

f x = x+ x+ B ( ) 5( 1)

2

f x = x+ x+ +C

C ( ) 2( 1)

f x = x+ x+ D f x( ) (= x+1) x+ +1 C

Hướng dẫn giải: '( ) 5( 1)

F x = x+ x+

Câu 24 Biết nguyên hàm hàm số ( ) 1

f x

x

= +

− hàm số F x thỏa mãn ( ) ( )

3

F − =

Khi F x hàm số sau đây? ( )

A. ( ) 3

3

F x = −x − x+ B ( ) 3

3

(6)

C ( )

3

F x = −x − x+ D ( )

3

F x = − − x

Hướng dẫn giải

( ) 1 (1 )

3

1 3

d x

F x dx x x x C

x x

−

 

=  +  = − + = − − +

− −

 

∫ ∫

( )1 ( ) 3

3

F − = ⇒ = ⇒C F x = −x − x+

Câu 25 Biết ( ) 1F x = −x nguyên hàm hàm số ( )

a f x

x

=

− Khi giá trị a

A. −3 B 3 C 6 D 1

6

Hướng dẫn giải: '( ) (6 )

F x x

x

− ′

= − =

− ⇒ = −a

4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 26 Tính ( )F x =∫xsinxdx

A. ( ) sinF x = x x− cosx C+ B ( )F x =xsinx−cosx C+

C ( ) sinF x = x x+ cosx C+ D ( )F x =xsinx+cosx C+

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập d F x f x( ( )) ( )

dx − , CALC ngẫu nhiên

số điểm x thuộc tập xác định, kết xấp xỉ chọn 0 Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng

u đạo hàm

u dvv nguyên hàm

x sin x

1 −cos x

0 −sin x

Vậy F x( ) sin= x x− cosx C+

Câu 27 Tính ∫xln2 xdx Chọn kết đúng:

A. 2(2ln2 2ln 1)

4x x− x+ +C B ( )

2

1 2ln 2ln 1

2x x− x+ +C

C 1 2(2ln2 2ln 1)

4x x+ x+ +C D 2( )

1 2ln 2ln 1

2x x+ x+ +C

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần Phương pháp trắc nghiệm

Cách 1: Sử dụng định nghĩa '( )F x = f x( )⇔F x'( )− f x( ) 0= Nhập máy tính d F x f x( ( )) ( )

dx − CALC x số giá trị ngẫu nhiên x tập xác định, 0

nếu kết xấp xỉ chọn

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:

u đạo hàm u dv nguyên hàm v

2

ln x x

2ln x

x

2

x

+

(7)

ln x (chuyển 2

x qua dv ) x (nhận 2x từ u )

1

x

2

x

1 (chuyển

xqua dv) 2x (nhận 1x từ u)

0

4

x

Do ln2 2ln2 2ln

2

x xdx= x x− x x+ x C+

∫ =1 2(2ln2 2ln 1)

4x x− x+ +C

Câu 28 Tính ( )F x =∫xsin cosx xdx Chọn kết đúng:

A. ( ) 1sin cos

8

x

F x = x− x C+ B ( ) 1cos sin

4

x

F x = x− x C+

C ( ) 1sin cos

4

x

F x = x+ x C+ D ( ) 1sin cos

4

x

F x =− x− x C+

Phương pháp tự luận: Biến đổi sin cos 1sin 2

x x= x sử dụng phương pháp nguyên hàm phần

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng

Câu 29 Tính ( )

x

F x =∫xe dx Chọn kết

A. ( ) 3( 3) x

F x = x− e +C B ( ) ( 3)

x F x = x+ e +C C ( ) 3

3

x x

F x = − e +C D ( ) 3

3

x x

F x = + e +C Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với , x u x dv e dx= =

dx − CALC x số giá trị ngẫu nhiên x tập xác định, 0

nếu kết xấp xỉ bằng0 chọn

Câu 30 Tính ( ) 2

cos

x

F x dx

x

=∫ Chọn kết

A.F x( )=xtanx+ln | cos |x C+ B ( )F x = −xcotx+ln | cos |x C+

C ( )F x = −xtanx+ln | cos |x C+ D ( )F x = −xcotx−ln | cos |x C+

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với 12

co ,

s

u x dv dx

x

= =

Cách 1: Sử dụng định nghĩa '( )F x = f x( )⇔F x'( )− f x( ) 0=

(8)

Nhập máy tính d F x f x( ( )) ( )

Câu 31 Tính F x( )=∫x2cosxdx Chọn kết

A. F x( ) (= x2−2)sinx+2 cosx x C+ B F x( ) sin= x2 x x− cosx+sinx C+ C F x( )=x2sinx−2 cosx x+2sinx C+ D F x( ) (2= x x+ 2)cosx x− sinx C+ Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần với

2; cos

u x dv= = xdx, sau u1=x dv; 1=sinxdx

Câu 32 Tính F x( )=∫xsin 2xdx Chọn kết

A. ( ) 1(2 cos sin )

F x = − x x− x C+ B ( ) 1(2 cos sin )

F x = x x− x C+

C ( ) 1(2 cos sin )

F x = − x x+ x C+ D ( ) 1(2 cos sin )

F x = x x+ x C+

Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u x dv= ; =sin 2xdx

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng sử dụng máy tính: Nhập

( ( )) ( )

d F x f x

dx − , CALC ngẫu nhiên số điểm x bất kỳ, kết xấp xỉ 0

chọn đáp án

Câu 33 Hàm số F x( )=xsinx+cosx+2017 nguyên hàm hàm số nào?

A. f x( )=xcosx B ( )f x =xsinx

C ( )f x = −xcosx D ( )f x = −xsinx

Phương pháp tự luận: Tính '( )F x có kết trùng với đáp án chọn

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa '( )F x = f x( )⇔F x'( )− f x( ) 0= Nhập máy tính d F x f x( ( )) ( )

Câu 34 Tính ln(2x 1)dx x

+ +

∫ Khẳng định sau sai?

A. ln( 1) ln

x x C

x x

− + + + +

+ B ln( 1) ln

x x C

x x

+ +

− + +

+

C x 1 ln( 1) ln | |( x ) x C x

+

− + + + + D ln( 1) lnx ln x

x x C

+ +

− − + + +

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với

1 ln( 1);

u x dv dx

x

= + + = − biến đổi đặt u ln(x 1);dv 12 dx x

= + == −

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra định nghĩa 4.1.6 ƠN TẬP

(9)

A. (0 1) ln

x

x a

a dx C a

a

= + < ≠

∫ B. ,

1

x

x dxα α C α R

α

+

= + ∀ ∈

+

∫

C.∫ f x g x dx( ) ( ) =∫ f x dx( ) g( )∫ x dx D. ( ) ( )

( ) g( )

f x dx f x dx

g x = x dx

∫

∫ ∫

Hướng dẫn giải: A B sai thiếu điều kiện α = −/ 1; C, D sai khơng có tính chất

Câu 36 Mệnh đề sau sai?

A ∫sinxdx=cosx C+ B 1dx ln x C x,

x = + ≠

∫

D ,(0 1)

ln

x

x a

a dx C a

a

= + < ≠

∫ C ∫e dx e Cx = x+

Hướng dẫn giải: sin∫ xdx= −cosx C+

Câu 37 Hàm số f x( ) x3 x2 3 x

= − + + có nguyên hàm

A ( ) 3 ln

4

x x

F x = − + x+ x C+ B ( ) 3 ln

3

x

F x =x − + x+ x C+

C

2

1

( )

F x x x C

x

= − − + D F x( )=x4−x3+3x+ln x C+ Hướng dẫn giải: ( ) ( 3 1) 3 ln

4

x x

F x x x dx x x C

x

=∫ − + + = − + + +

Câu 38 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) tan= x

A.F x( )=tanx x C− + B.F x( )= −tanx x C+ +

C.F x( )=tanx x C+ + D.F x( )= −tanx x C− +

Hướng dẫn giải: ( ) 12 tan cos

f x dx dx x x C

x

 

=  −  = − +

 

∫ ∫

Câu 39 Hàm số F x( ) 7sin= x−cosx+ nguyên hàm hàm số sau đây?

A. f x( )=sinx+7cosx B. f x( )= −sinx+7cosx

C. f x( )=sinx−7cosx D. f x( )= −sinx−7cosx

Hướng dẫn giải: '( ) 7cosF x = x+sinx Câu 40 Kết tính 2 2

sin cosx xdx

∫

A.tanx−cotx C+ B cot 2x C+

C tan 2x x C− + D tan− x+cotx C+

Hướng dẫn giải: 2 2 12 12 tan cot

sin cosx xdx cos x sin x dx x x C

 

=  +  = − +

 

∫ ∫

Câu 41 Hàm số

2

1

( )

F x x

x x

= − + − có nguyên hàm

A. f x( ) x3 2 x x

x

= − − − B. f x( ) x3 x x

x

= − − −

C f x( ) x3 2 x x

= − + D. ( ) 1

2

f x x x x

x

= − − −

Hướng dẫn giải: Ta có

2

1 1

( )

F x dx x dx x x x C

x x

x

 

=  − + −  = − − − +

 

∫ ∫

Câu 42 Hàm số ( ) cos5 sin

x f x

x

(10)

A. 14

4sin x

− B 14

4sin x C

4

sin x D

4 sin x

−

Hướng dẫn giải: ( ) cos5 15 (sin ) 14

sin sin 4sin

x

f x dx dx d x C

x x x

= = = − +

∫ ∫ ∫

Câu 43 Kết tính∫2 4x − x dx2

A. 4( 2)3

6 x C

− − + B. 4( 2)

8 x C

− − +

C.1 4( 2)3

6 − x +C D. ( )

3

1 5 4

12 x C

− − +

Hướng dẫn giải: Đặt t= 5 4− x2 ⇒tdt= −4xdx

Ta có 2 4 2 (5 4 2)3

2 6

x − x dx= − t dt= − t C+ = − − x +C

∫ ∫

Câu 44 Kết quả∫esinxcosxdx

A.esinx+C B cos x esinx+C C ecos x+C D e−sin x+C Hướng dẫn giải: Ta có∫esinxcosxdx=∫e dsinx (sin )x e= sinx+C

Câu 45 Tính tan∫ xdx

A.−ln cos x C+ B ln cos x C+ C. 12

cos x+C D

1 cos x C

− +

Hướng dẫn giải: Ta có tan (cos ) ln cos cos

xdx d x x C

x

= − = − +

∫ ∫

Câu 46 Tính cot xdx∫

A.ln sin x C+ B −ln sin x C+ C. 12

sin x C

− +

D 12

sin x−C Hướng dẫn giải: Ta có cot (sin ) ln sin

sin

xdx d x x C

x

= = +

∫ ∫

Câu 47 Nguyên hàm hàm số

x y

x

=

−

A 1 ln 1

3x +2x + +x x− +C B

3

1 ln 1

3x +2x + +x x+ +C

C 1 ln 1

6x +2x + +x x− +C D

1 ln 1

3x +4x + +x x− +C

Hướng dẫn giải: Ta có 1

1

x x x

x− = + + +x− Sử dụng bảng nguyên hàm suy đáp án

Câu 48 Một nguyên hàm hàm số ( ) 2

x x

f x

x

− +

=

+

A. 6ln

2

x − x+ x+ B

3 6ln

2

x + x+ x+ C 6ln

2

x + x− x+ D ( )

3 6ln

2

x − x+ x+ Hướng dẫn giải: ( ) 2 3

1

x x

f x x

x x

− +

= = − +

+ + Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 49 Kết tính ( ) dx

x x +

∫

A. ln

3

x C

x+ + B ln3

x C

x

− +

(11)

C 2ln 3

x C

x

+ +

D 2ln

3

x C

x+ +

Hướng dẫn giải: ( ) 1

3 3

x x x x

 

=  − 

+  +  Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 50 Kết tính ( ) dx

x x −

∫

A. 1ln

3

x C

x

− +

B 1ln

3

x C

x

+ +

C ln

3

x C

x+ + D ln3

x C

x− +

Hướng dẫn giải: ( ) 1

3 3

x x x x

 

=  − 

+  −  Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 51 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2

f x

x x

=

+ −

A ( ) 1ln

3

x

F x C

x

−

= +

+ B. ( )

1ln

3

x

F x C

x

+

= +

−

C ( ) ln

x

F x C

x

−

= +

+ D F x( )=ln x2+ − +x C

Hướng dẫn giải: ( ) 2 1 1

2

f x

x x x x

 

= =  − 

+ −  − +  Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 52 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 1 x x

−

 

=  

 

A. F x( ) 2ln x x C x

= − − + + B F x( ) 2lnx x C

x

= − − + +

C F x( ) 2ln x x C x

= − + + D F x( ) 2ln x x C

x

= − − − +

Hướng dẫn giải: ( )

2 2

2

1 x 2x x 1 1

f x

x x x x

− − +

 

=  = = − +

  Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 53 Nguyên hàm hàm số f x( ) 2 2 x a

=

− với a ≠0

A. ln

2a x a Cx a

− +

+ B ln2a x a Cx a

+ +

−

C ln x a C

a x a

− +

+ D ln x a Ca x a

+ +

−

Hướng dẫn giải: 2 2 1

2

x a a x a x a

 

=  − 

−  − +  Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 54 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 2

x f x

x

=

− thoả mãn F( )2 =0 Khi phương trình F x( )=x có nghiệm

A x = −1 B x =1 C x = −1 D x =0

Hướng dẫn giải: Đặt t= 8−x2 ⇒ = −t2 8 x2 ⇒ −tdt xdx=

2

8

x dx tdt t C x C

t

x = − = − + = − − +

−

∫ ∫

(12)

Câu 55 Nếu F x( )là nguyên hàm hàm số ( ) 1

f x x

=

− F( )2 1= F( )3

A. ln 1+ B 3ln

2 C ln D 12

Hướng dẫn giải: ln

1dx x C

x− = − +

∫ , F( )2 1= nên C = 1 F x( )=ln x− +1 1, thay

x = ta có đáp án

Câu 56 Biết F x nguyên hàm hàm số( ) f x( ) ln2x 1 xln x

= + thoả mãn ( )1

3

F = Giá trị F e 2( )

A.

9 B 19 C 83 D 13

Hướng dẫn giải: Đặt t ln2 x 1 tdt lnxdx x

= + ⇒ =

( )3

2

2 ln ln

ln

3

x

x t

x dx t dt C C

x

+

+ = = + = +

∫ ∫ Vì ( )1

3

F = nên C =0 Vậy 2( )

9

F e =

Câu 57 Nguyên hàm F x hàm số ( ) ( ) 12 sin

f x x

x

= + thỏa mãn

4

F   = − 

  π

A. cot 2

16

x x

− + −π B cot 2

16

x x− +π

C −cot x x+ 2 D cot 2

16

x x− −π

2

1

2 cot

sin

x dx x x C

x

 +  = − +

 

 

∫

4

F   = − 

  π

nên

16

C = −π

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 58 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) cos sin= 2x x

A ( ) cos3

3

x f x dx= − +C

∫ B ( ) cos3

3

x f x dx= +C

∫

C ( ) sin2

x f x dx= − +C

∫ D ( ) sin2

2

x f x dx= +C

∫

Hướng dẫn giải: cos sin2 cos2 (cos ) cos3

3

x

x xdx= − xd x = − +C

∫ ∫

Câu 59 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) sin cos

x f x

x

=

−

A ∫ f x dx( ) = −ln sinx C+ B ∫ f x dx( ) =ln cos 1x− +C

C ∫ f x dx( ) =ln sin 2x C+ D ∫ f x dx( ) =ln sinx C+

( )

2

sin

sin 2sin cos cos ln sin

cos 1 2sin sin sin

d x

xdx x x dx xdx x C

x− = − x+ = − x = − x = − +

∫ ∫ ∫ ∫

Câu 60 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) sin cos = x x dx

A. ( ) 2cos3 cos

3

x

f x dx=− + x C+

∫ B ( ) 1cos3 1sin

6

f x dx= x+ x C+

∫

C ( ) cos3 cos

x

f x dx= + x C+

∫ D ( ) 1cos3 1sin

6

f x dx= x− x C+

(13)

( ) ( ) ( ) 2cos3

sin cos 2cos sin 2cos cos cos

3

x

x xdx= x− xdx= − x− d x = − + x C+

∫ ∫ ∫

Câu 61 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2sin cos3f x = x x

A. ( ) 1cos 1cos

2

f x dx= x− x C+

∫ B ( ) 1cos 1cos

2

f x dx= x+ x C+

∫

C ∫ f x dx( ) =2cos4 x+3cos2x C+ D ∫ f x dx( ) =3cos4x−3cos2x C+ Hướng dẫn giải: 2sin cos3 (sin sin ) 1cos 1cos

2

x xdx= x− x dx= x− x C+

∫ ∫

Câu 62 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) sin sin 3= 3x x

A. ( ) sin sin sin

8

x x x

f x dx=  − − x− +C

   

∫

B ( ) sin sin sin

8

x x x

f x dx=  − + x− +C

   

∫

C ( ) sin sin sin

8

x x x

f x dx=  − − x− +C

   

∫

D ( ) sin sin sin

8

x x x

f x dx=  + − x+ +C

   

∫

( ) ( )

3

2

3sin sin

sin sin sin

4

3 2sin sin 3 2sin 3 cos 2 cos 4 1 cos6

8 8

3 sin sin sin

8

x x

x xdx xdx

x xdx xdx x x dx x dx

x x x x C

− =

= − = − − −

   

=  − −  − +

   

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Câu 63 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) sin cos3= 3x x+cos sin 33x x

A. ( ) 3cos 16

f x dx=− x C+

∫ B ( ) cos

16

f x dx= x C+

∫

C ( ) 3sin 16

f x dx=− x C+

∫ D ( ) sin

16

f x dx= x C+

∫

(sin cos33x x+cos sin 3x x dx)

∫ 3sin sin cos3 cos3 3cos sin

4

x− x x x+ x x dx

 

=  + 

 

∫

3sin cos3 sin cos3 3sin cos sin cos3

4 x x x x x x x x dx

 

=  − + + 

 

∫

( )

3 sin cos3 sin cos sin 4 3cos 4

4 x x x x dx xdx 16 x C

−

= ∫ + = ∫ = +

Câu 64 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) sin2

2

x f x = biết

2

F   = 

 

π π

A ( ) sin

2 2

x x

F x = − + B ( ) sin

2 2

x x

F x = + +

C ( ) sin

2 2

x x

F x = + + D ( ) sin

2 2

x x

F x = + +

• ( ) sin2 (1 cos ) 1sin

2 2

x x

(14)

• 1sin

2 4 2

F  = ⇔ −  + =C ⇔ =C

 

π π π π π

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

Câu 65 Hàm số ( ) ln 2

sin

x

x e

f x e

x

−

 

=  + 

  có họ nguyên hàm

A F x( )=exln cot− x C+ B F x( )=exln cot+ x C+ C ( ) ln 12

cos

x

F x e C

x

= + + D ( ) ln 12

cos

x

F x e C

x

= − +

Hướng dẫn giải: ( ) ln 12 ln cot sin

x x

f x dx e dx e x C

x

 

=  +  = − +

 

∫ ∫

Câu 66 Hàm số ( ) 3f x = −x x x có nguyên hàm

A

ln ln

x x C

− + B ln 3(1 ln 2)x + x +C C 3

ln ln

x x x C

+ + D 3

ln ln 3.ln

x x

C

+ +

Hướng dẫn giải: ( ) (3 ) ln ln

x x x x

f x dx= + dx= + +C

∫ ∫

Câu 67 Một nguyên hàm ( )F x hàm số f x( ) (= e−x+ex)2 thỏa mãn điều kiện (0) 1F =

A ( ) 2 2 1

2

x x

F x = − e− + e + x+ B F x( )= −2e−2x+2e2x+2 1x+ C ( ) 2 2

2 x x

F x = − e− + e + x D ( ) 2 2 1

2 x x

F x = − e− + e + x− Hướng dẫn giải: Ta có ( ) 2 2 , (0) 1 1

2

x x

F x = − e− + e + x C F+ = ⇔ =C Câu 68 Tìm nguyên hàm hàm số ( )

1

x f x

x

− =

+

A F x( )=2x−3ln x+ +1 C B F x( )=2x+3ln x+ +1 C

C F x( )=2x−ln x+ +1 C D F x( )=2 lnx+ x+ +1 C

Hướng dẫn giải: 1 3ln

1

x dx dx x x C

x x

− =  −  = − + +

 

+  + 

∫ ∫

Câu 69 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2

x x

f x

x

+ +

=

+

A ( ) 1(2 1)2 5ln

8

F x = x+ + x+ +C B ( ) 5ln 1( )2

8

F x = x+ + x+ +C

C ( ) ( )2

2 ln

F x = x+ + x+ +C D ( ) ( )2

2 ln

F x = x+ − x+ +C

( ) ( )

2

2 2 1 5ln 1

2 2

x x dx x dx x x C

x x

 

+ + = + + = + + + +

 

+  + 

∫ ∫

x x

f x x

− =

+

A ( ) ln( 1)

2

x

F x = − x + +C B ( ) ln( 1)

2

x

F x = + x + +C

C F x( )=x2 −ln(x2+ + 1) C D F x( )=x2+ln(x2+ + 1) C

Hướng dẫn giải: ( ) ( )

2

3 2

2

2 2

1

2 ln 1

1 2

d x

x xdx x x dx x x x C

x x x

+

− =  −  = − = − + +

 

+  +  +

(15)

Câu 71 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ln

f x

x x x

=

+

A F x( )=ln lnx+ +1 C B F x( )=ln lnx− +1 C

C F x( )=ln x+ +1 C D F x( )=lnx+ +1 C

Hướng dẫn giải: ( ) ((ln 1)) ln ln

ln ln

d x

dx x C

x x x

+

= = + +

+ +

∫ ∫

Câu 72 Tìm nguyên hàm hàm số ( )

x x e f x

e

=

+

A F x( )=ex−ln(ex+ +1) C. B F x( )=ex+ln(ex+ + 1) C C F x( )=ln(ex+ +1) C D F x( )=e2x− +e Cx

Hướng dẫn giải: ( 1) ln( 1)

1 1

x

x x

x x x x

x x x

d e

e dx e e dx e e e C

e e e

+

 

=  −  = − = − + +

+  +  +

∫ ∫ ∫

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 73 Tìm nguyên hàm hàm số ( )

1

f x x

=

+

A ∫ f x dx( ) =2 x−2ln 1( + x)+C B ∫ f x dx( ) =2 x+2ln 1( + x)+C

C ∫ f x dx( ) =ln 1( + x)+C D ∫ f x dx( ) = +2 2ln 1( + x)+C

Đặt t= +1 x⇒ = −x (t 1)2⇒dx=2(t−1)dt

Khi ( ) ( )

2

1 2 1 2 ln

1

t dt

dx dt t t C

t t

x

−  

= =  −  = − +

+  

∫ ∫ ∫

( ) ( )

2 x ln x C x 2ln x C

= + − + + = − + + (Với C= +2 C1 1+ x>0) Câu 74 Tìm nguyên hàm hàm số ( )

1

x f x

x

+ =

+

A ( ) 2( 4)

3

f x dx= x+ x+ +C

∫ B ∫ f x dx( ) =(x+4) x+ +1 C

C ( )

( )

2 1

x

f x dx C

x x

= +

+ +

∫ D ( ) 1

1

f x dx x C

x

= + + +

+

∫

Hướng dẫn giải: 1 ( 1) 2( 4)

3

1

x dx x d x x x C

x x

+ =  + +  + = + + +

 

+  + 

∫ ∫

x f x

x

− =

−

A ( ) 2 1( )

3

f x dx= − x+ − +x C

∫ B ( ) 2 1( )

3

f x dx= x+ − +x C

∫

C ( ) 2 1( )

3

f x dx= − x− − +x C

∫ D ( ) 1

1

f x dx x C

x

= − − + +

−

∫

( )

( )32 ( )12 ( )

2 2 1 1

1

2 1 2 1 2 1

3

x dx x d x

x x

x x C x x C

− = − − − +  −

 

−  − 

= − − − + = − + − +

∫ ∫

3

x f x

x

=

(16)

A ( ) 22

3

f x dx= x + +C

∫ B ( ) 22

3

f x dx= − x + +C

∫

C ( ) 22

6

f x dx= x + +C

∫ D ( ) 22

3

f x dx= x + +C

∫

2

3

1 1 2

6

3

d x

x dx x C

x x

+

= = + +

+ +

∫ ∫

x f x

x

=

−

A ( ) 1( 8 4)

3

f x dx= − x + −x +C

∫ B ( ) 1( 8 4)

3

f x dx= x + −x +C

∫

C ( )

3

f x dx= − −x +C

∫ D ( ) 2( 8 4)

3

f x dx= − x + −x +C

∫

Hướng dẫn giải: Đặt t= 4−x2 ⇒x2 = − ⇒4 t2 xdx= −tdt Khi

( 2)( ) ( )

3

2

4

3

t tdt

x dx t dt t t C

t x

− −

= = − = − +

−

∫ ∫ ∫

( )3 ( )

2

2 2

4 1

4

3

x

x C x x C

−

= − − + = − + − +

4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 78 Tính F x( )= (2 1)x− e dx e1−x = 1−x(Ax B C+ )+

∫ Giá trị biểu thức A B+ bằng:

A −3 B C D

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng u đạo hàm

u dv nguyên hàm v

2 1x − e1 x−

2 −e1 x−

0 e1 x−

Do F x( )= −(2 1)x− e1−x−2e1−x+ =C e1−x( 1)− − +x C

Vậy A B+ = −3

Câu 79 Tính F x( )=∫excosxdx e A= x( cosx B+ sin )x C+ Giá trị biểu thức A B+

A. B 1− C D 2−

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng

u đạo hàm

u dv nguyên hàm v x

e cos x

x

e sin x

x

e −cos x

Do F x( )=exsinx e+ xcosx F x C− ( )+ hay F x( )= 21(exsinx e+ xcosx C)+

Vậy A B+ =

Câu 80 Tính F x( )=∫2 (3x x−2)6dx A x= (3 −2)8+Bx x(3 −2)7+C Giá trị biểu thức 12A+11B

A 1 B −1 C 12

11 D 12−11

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng

+

(17)

u đạo hàm

u dv nguyên hàm v

2x (3x −2)6

2 (3 2)7

21 x −

0 (3 2)8

504 x − Do ( ) (3 2)7 (3 2)8

21 252

F x = x x− − x− +C Vậy 12A+11B=

Câu 81 Tính F x( )=∫x x dx ax x2 −1 = 2( 1)− x− +1 bx x( 1)− x− +1 c x( 1)− x− +1 C Giá trị

biểu thức a b c+ + bằng:

A 2

7 B

2 −

C 142

105 D

142 10 −

Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận:

Đặt u x dv= 2, = x dx−1 ta

2 16

( ) ( 1) ( 1) ( 1)

3 15 105

F x =∫x x dx− = x x− x− − x x− x− + x− x− +C

Vậy 82

105

a b c+ + = −

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u đạo hàm u dv nguyên hàm v

2

x

2

( 1)x −

2x

-3

2 ( 1) x −

+

5

4 ( 1) 15 x −

0

2

8 ( 1) 105 x −

2

2 16

( ) ( 1) ( 1) ( 1)

3 15 105

F x =∫x x dx− = x x− x− − x x− x− + x− x− +C

Vậy

7

a b c+ + =

Câu 82 Tính F x( )=∫ln(x+ 1+x dx2) Chọn kết đúng:

A. F x( )=xln(x+ 1+x2)− 1+x2 +C B

2

1 ( )

1

F x C

x

= +

+

C F x( )=xln(x+ 1+x2)+ 1+x2 +C D F x( ) ln= (x+ 1+x2)−x 1+x2 +C Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với

( 2)

ln ;

u= x+ +x dv dx=

( 2)

ln x+ 1+x 1

+ +

(18)

2

1 1+x

(Chuyển

2

1

1 x+ qua dv)

x

1

2

1

x x

+

(Nhận

2

1

1+x từ u)

0 1 x+

Câu 83 Hàm số ( )f x có đạo hàm 3

'( ) x

f x =x e đồ thị hàm số ( )f x qua gốc tọa độ O Chọn kết

quả đúng:

A. 2 2

( )

2 2

x x

f x = x e − e + B 2 2

( )

2 2

x x

f x = x e + e −

C 2 2

( )

2 2

x x

f x = x e − e − D 2 2

( )

2 2

x x

f x = x e + e +

Phương pháp tự luận: Đặt 2

, x

u x dv xe= = chọn

2 ,

2

x

du= xdx v= e ta

2

1

( )

2

x x

f x = x e − e +C Đồ thị qua (0;0)O nên

C = Phương pháp trắc nghiệm:

2

x x2

xe

2x(chuyển 2x qua dv)

2

x e

1 x2

xe (nhận 2x từ u)

0

2e x

2

1

( )

2

x x

f x = x e − e +C Đồ thị qua O(0;0) nên

C = Câu 84 Tính F x( )=∫ x2−1dx bằng:

A. ( ) 1 1ln 1

2

F x = x x − − x+ x − +C B ( ) 1 1ln 1

2

F x = x x − + x+ x − +C

C ( ) 1 1ln 1

2

F x = x x − − x− x − +C D ( ) 1 1ln 1

2

F x = x x − + x− x − +C

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F x'( )= f x( )⇔F x'( )− f x( ) 0=

Nhập máy tính d F x f x( ( )) ( )

dx − CALC x số giá trị ngẫu nhiên tập xác định,

Cách 2: Đặt u= x2−1,dv dx= ta đượcF x( )=x x2− −1 F x J x( )− ( )

với

1

( )

1

dx J x

x

=

−

∫ , cách đặt u x= + x2−1 ta J x( ) ln= x+ x2− +1 C

Vậy ( ) 1 1ln 1

2

F x = x x − − x+ x − +C

4.1.6 ÔN TẬP

+

-

(19)

Câu 85 Kết ∫sin cos2x xdx

A.1 sin3

3 x C+ B

3

sin x C+ C sin3

3 x C

− + D −sin x C3 + Hướng dẫn giải: Ta có sin cos2 sin2 (sin ) 1sin3

3

x xdx= xd x = − x C+

∫ ∫

Câu 86 Tính ∫cos sin2 x xdx

A. cos3

3 x C

− + B −cos x C3 + C 1 cos3

3 x C+ D

3

cos x C+

Hướng dẫn giải: Ta có cos sin2 cos2 (cos ) 1cos3

3

x xdx= − xd x = − x C+

∫ ∫

Câu 87 Kết ∫sin3xdx

A.cos3 cos

3

x− x C+ B. cos3

cos

x x C

− − +

C.3sin cos2 x x C+ D.cos3 cos

6

x− x C+

Hướng dẫn giải: sin3 (1 cos )sin2 (1 cos ) (cos )2 1cos3 cos

3

xdx= − x xdx= − − x d x = x− x C+

∫ ∫ ∫

Câu 88 Kết ∫cos xdx3

A.sin sin3

3

x

x− +C B.sin sin3

3

x x+ +C

C.3sin cos2 x x C+ D. sin sin3

3

x

x C

− − +

Hướng dẫn giải: cos3 (1 sin )cos2 (1 sin ) (sin ) sin2 1sin3

3

xdx= − x xdx= − x d x = x− x C+

∫ ∫ ∫

Câu 89 Kết ∫sin cos4x xdx

A.1 sin5

5 x C+ B −1 sin5 5x C+ C sin x C5 + D −sin x C5 +

Hướng dẫn giải: Ta có sin cos4 sin4 (sin ) 1sin5

5

x xdx= xd x = x C+

∫ ∫

Câu 90 Tính tan2 cos

x e dx

x

∫

A.etan x+C B tan x etanx+C C e−tan x+C D.−etan x +C

Hướng dẫn giải: tan tan tan

2 (tan )

cos

x

x x

e dx e d x e C

x = = +

∫ ∫

Câu 91 Tính 12

cos dx

x x

∫ bằng:

A.2 tan x C+ B tan x C+ C tan2 x C+ D tan

2 x C+

Hướng dẫn giải: 12 21 ( ) tan

cos dx cos d x x C

x x = x = +

∫ ∫

Câu 92 Tính 33

1

x dx x +

∫

A.ln x3+ +1 C B.

4

x C

x + x+ C.ln(x3+ +1) C D

x C

(20)

Hướng dẫn giải: 3

3

3 ( 1) ln 1

1

x dx d x x C

x + = x + + = + +

∫ ∫

Câu 93 Tính 63 122

3

x x dx

x x

−

− +

∫

A.2ln x3−3x2+ + 6 C B.ln x3−3x2+ + 6 C C.1 ln 3 6

2 x − x + +C D.

3

2ln(x −3x + +6) C

3

6 12 2 ( 3 6) 2ln 3 6

3 6

x x dx d x x x x C

x x x x

− = − + = − + +

− + − +

∫ ∫

Câu 94 Tính 44 22

x x dx

x x

+

+ +

∫

A ln x4+x2+ +3 C B.2ln x4+x2+ +3 C

C.1 ln 3

2 x +x + +C D.−2ln(x4+x2+ +3) C

4

4 ( 3) ln 3

3

x x dx d x x x x C

x x x x

+

= + + = + + +

+ + + +

∫ ∫

Câu 95 Tính 3

x dx

x x

+

+ −

∫

A.1 ln 3 1

3 x + x− +C B.

3

ln x +3 1x− +C

C.ln x3+3 1x− + C D.1 ln( 1)3

3 x + x− +C

3

1 1 ( 3 1) 1ln 3 1

3 3

x dx d x x x x C

x x x x

+

= + − = + − +

+ − + −

∫ ∫

Câu 96 Tính e6 5x− dx

∫

A 1

6e x C

− + B e6 5x− +C C 6e6 5x− +C D e6 5x+ −C Hướng dẫn giải: 6 (6 5)

6

x x x

e − dx= e − d x− = e − +C

∫ ∫

Câu 97 Tính e− −x 5dx

∫

A −e− −x 5+C B e− −x 5+C C ex+5+C D −ex+5+C

Hướng dẫn giải: ∫e− −x 5dx= −∫e− −x 5d x(− − = −5) e− −x 5+C Câu 98 Tính ∫(5 9x dx− )12

A (5 )13

117

x C

−

− + B (5 )13

117

x C

− +

C (5 )13

13

x C

− +

D (5 )13

9

x C

− +

Hướng dẫn giải: ( )12 ( )12 (5 )13

5 9 (5 )

9 117

x

x dx x d x − C

− = − − − = − +

∫ ∫

Câu 99 Tính cos

x π dx

 + 

 

 

∫

A 1 sin

5 x C

π  + +

 

  B sin 5x C

π

 + +

 

 

C 5sin 5

4

x π C

 

−  + +

  D sin 55 x C

π

 

−  + +

(21)

Hướng dẫn giải: cos cos 5 1sin

4 4

x π dx x π d x π x π C

 +  =  +   + =  + +

       

       

∫ ∫

Câu 100 Tính

2

1 cos

4

dx x π

 + 

 

 

∫

A tan

4

x π C

 + +

 

  B tan x C

π  + +

 

 

C tan

4

x π C

 

−  + +

  D tan4 x C

π  + +

 

 

2

1 tan

4

cos cos

4

dx d x x C

x x

π π

π = π  + =  + +

 +   +     

   

   

∫ ∫

Câu 101 Tính 2

(cosx+sin )x dx

∫

A cot

2 x C

π

 

−  + +

  B cot2 x C

π  + +

 

 

C cot

4

x π C

 

−  + +

  D cot4 x C

π

 

−  + +

 

2

1 1 1 1 cot

(cos sin ) sin sin 4

4

dx dx d x x C

x x x x

π π

π π    

= =  + = −  + +

+  +   +     

   

   

∫ ∫ ∫

Câu 102 Tính 12

x dx x

+ +

∫

A 4 1ln 3

x+ x+ +C B 6x23 5x C

x x

+ +

+

C 4x+ln 1x+ +C D 4 1ln(3 1)

3

x+ x+ +C

Hướng dẫn giải: 12 4 1ln

3 3

x dx dx x x C

x x

+ =  +  = + + +

 

+  + 

∫ ∫

Câu 103 Tính 2

x xdx x

+ −

∫

A ln

2

x + +x x− +C B

ln 2

x + +x x− +C C ln(2 1)

2

x + +x x− +C D

2ln(2 1)

x + +x x− +C

Hướng dẫn giải: 2 1 2

2 2

x xdx x dx x x x C

x x

+ =  + +  = + + − +

 

−  − 

∫ ∫

Câu 104 Tính 2

(x x dx1) −

+

∫

A ln

1 x C

x

− − + +

+ B

1 ln 1

1 x C

x+ − + +

C ln

1 x C

x

− + + +

+ D

1 ln( 1)

1 x C

x

− − + +

+

Hướng dẫn giải: 2 2 1 ln

(x x dx1) (x 1) x dx x x C

 

−

=  −  = − − + +

+  + +  +

(22)

Câu 105 Tính sin (2 cos )∫ x + x dx

A 2cos 1cos

x x C

− − + B 2cos 1cos

4

x− x C+

C 2cos 1cos

x+ x C+ D 2cos 1cos

2

x+ x C+

Hướng dẫn giải: sin (2 cos ) (2sin 1sin ) 2cos 1cos

2

x + x dx= x+ x dx= − x− x C+

∫ ∫

Câu 106 Tính 2∫x dxx bằng:

A 22

ln ln

x x

x − +C B 2 ( 1)

ln

x x

C

−

+

C ( 1)x x+ +C D ( 1)x x− +C Hướng dẫn giải

Đặt 2

2

ln

x x

du dx u x

dv dx v

=  =

 ⇒

 

= =

  Ta có

.2 2

2

ln ln ln ln

x x x x

x x x

x dx= − dx= − +C

∫ ∫

Câu 107 Tính ln xdx∫ bằng:

A x x x Cln − + B ln ln

2

x

x x− x C+

C ln x x C

x − + D

1 ln

x x C

x

− +

Đặt udv dxlnx du 1xdx v x



= =

 ⇒

 = 

  = Ta có∫lnxdx x x= ln −∫dx x x x C= ln − +

Câu 108 Tính ln( 1)∫ x x− dx bằng:

A ( 1)ln( 1)

2

x

x − x− − − +x C B 2ln( 1)

2

x

x x− − − +x C

C ( 1)ln( 1)

2

x

x + x− − − +x C D ( 1)ln( 1)

2

x

x − x− − + +x C

Đặt

2

1 ln( 1)

1

2 1

du dx

u x

x

dv xdx v x

 =

= −

 ⇒ −

 = 

  = −

Ta có 2 ln( 1) ( 1)ln( 1) ( 1) ( 1)ln( 1)

2

x

x x− dx= x − x− − x+ dx x= − x− − − +x C

∫ ∫

Câu 109 Tính sin 12 cos

x dx

x

 + 

 

 

∫ bằng:

A −cosx+tanx C+ B cosx+tanx C+

C cosx−tanx C+ D cos

cos

x C

x

− − +

Hướng dẫn giải: Ta có sin 12 cos tan cos

x dx x x C

x

 +  = − + +

 

 

∫

Câu 110 Hàm số F x( ) ln sin= x−cosx nguyên hàm hàm số

A ( ) sin cos

sin cos

x x

f x

x x

+ =

− B

sin cos

( )

sin cos

x x

f x

x x

− =

(23)

C ( ) sin cos

f x

x x

=

+ D

1 ( )

sin cos

f x

x x

=

−

Hướng dẫn giải: Ta có '( ) (sin cos )' cos sin

sin cos sin cos

x x x x

F x

x x x x

− +

= =

− −

Câu 111 Một nguyên hàm F x hàm số ( ) f x( ) 3= x3−2x2+1 thỏa mãn điều kiện F − = là: ( 2) 3

A ( ) 37

4 3

F x = x − x + −x B ( )

4

F x = x − x + +x C

C ( )

4

F x = x − x +x D ( ) 37

4 3

F x = x − x + +x

Ta có ( ) (3 2 1)

4

F x =∫ x − x + = x − x + +x Cvà ( 2) 37

F − = ⇔ = −C

Vậy ( ) 37

4 3

F x = x − x + −x

VẬN DỤNG CAO

4.1.1 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 112 Kết tính 2

4

x x dx

x

− + +

−

∫

A. ln

2

x − − +x C B

ln 2

x + − +x C C ln

3

x − − +x C D

ln

3

x + x− +C Hướng dẫn giải

( )( )

2

3

2

5

4 2

x x x

x x x x x

+ − −

− + + = − − = = −

− − + − − Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 113 Họ nguyên hàm f x( )=x x2( 3+1)5

A ( ) ( 1)6

18

F x = x + +C B F x( )=18(x3+1)6+C C F x( )=(x3+1)6+C D ( ) 1( 1)6

9

F x = x + +C

Hướng dẫn giải: Đặt t x= 3+ ⇒1 dt=3x dx2 Khi

( )5 ( )6

2 1 1

3 18 18

x x + dx= t dt= t + =C x + +C

∫ ∫

Câu 114 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) x2 x x3 x

+ + +

= hàm số nào?

A ( ) ln 12

2

F x x x C

x x

= − + − + B ( ) ln 12

2

F x x x C

x x

= + + − +

C ( ) 3 ln

3

x x

F x = − + x C+ D ( ) 3 ln

3

x x

F x = + + x C+

Hướng dẫn giải: f x( ) x2 x x3 1 12 13

x x x x

+ + +

= = + + + Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 115 Giá trị m để hàm số F x( )=mx3+(3m+2)x2−4x+3 nguyên hàm hàm số

( ) 3 10 4

f x = x + x− là:

A. m =1 B m =0 C m =2 D m =3

(24)

Câu 116 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=sin 24( )x thoả mãn ( )0

8

F = Khi F x( ) là:

A. ( ) 3( 1) 1sin sin8

8 64

F x = x+ − x+ x B ( ) 1sin sin8

8 64

F x = x− x+ x

C ( ) 1sin sin

8 64

F x = x− x+ x+ D ( ) sin sin

8

F x = −x x+ x+

( ) ( )

4 cos 1 cos8

sin 2cos cos 2cos

2 4

3 cos cos8

8

x x

x x x x

x x

− +

   

=  = − + =  − + 

   

= − +

Nên sin 24( ) cos cos8 sin sin8

8 8 64

x x x x

x dx=  − + dx= x− + +C

 

∫ ∫

Vì ( )0

F = nên suy đáp án

Câu 117 Biết hàm số f x( ) (6 1)= x+ 2có nguyên hàm F x( )=ax bx cx d3+ 2+ + thoả mãn điều

kiện ( 1) 20.F − = Tính tổng a b c d+ + +

A 46 B 44 C 36 D 54

( )2 ( 2 ) 3 2

6x+1 dx= 36x +12x+1 dx=12x +6x + +x C

∫ ∫ nên a=12;b=6;c=1

Thay F − =( 1) 20.d =27, cộng lại chọn đáp án

Câu 118 Hàm số f x( )=x x+1 có nguyên hàm F x Nếu ( ) F( )0 =2thì F( )3

A. 146

15 B 11615 C 886105 D 105886

Hướng dẫn giải: Đặt t= x+ ⇒1 2tdt dx=

( 4 2) 5 3 2( ) (5 )3

1 2 1

5

x x dx+ = t − t dt= t − t C+ = x+ − x+ +C

∫ ∫

Vì F( )0 =2 nên 34 15

C = Thay x =3 ta đáp án

Câu 119 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=xcosx thỏa mãn F( )0 1= Khi phát biểu sau đúng?

A F x hàm số chẵn ( ) B F x hàm số lẻ ( )

C Hàm số F x( ) tuần hoàn với chu kì 2π

D Hàm số F x không hàm số chẵn không hàm số lẻ ( ) Hướng dẫn giải

cos sin cos

x xdx x= x+ x C+

∫

( )0

F = nên C =0 Do F x hàm số chẵn ( ) Câu 120 Một nguyên hàm F x hàm số ( ) ( ) sin 22

sin

x f x

x

=

+ thỏa mãn F( )0 =0

A ln sin2

3

x

+ B ln sin x+ C

2

ln sin

x

+

D ln cos x 2 Hướng dẫn giải: Đặt t=sin2x+ ⇒3 dt=2sin cosx xdx

2

sin ln ln sin 3

sin

x dx dt t C x C

x+ = t = + = + +

(25)

vìF( )0 =0 nên C = −ln Chọn đáp án

Câu 121 Cho f x( )=4m+sin2x

π Tìm m để nguyên hàm F x hàm số ( ) f x thỏa mãn ( ) F( )0 1=

và

4

F   = 

 

π π

A

4

− B 3

4 C 4−3 D 43

Hướng dẫn giải: sin2 sin

2

m x dx mx x x C

 +  = + − +

 

 

∫ π π F( )0 1= nên C = 1

4

F   = 

 

π π

nên tính

m = −

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 122 Tìm nguyên hàm hàm số ( )

sin cos

f x

x x

=

A. ( ) ln sin 1ln sin2

2

f x dx= x − − x C+

∫ B ( ) ln sin 1ln sin2

2

f x dx= x + − x C+

∫

C ( ) 1ln sin 1ln sin2

2

f x dx= x − − x C+

∫ D ( ) ln sin 1ln sin2

2

f x dx= − x − − x C+

∫

( )

2

sin cos

sin cos sin cos sin sin

d x

dx xdx

x x = x x = x − x

∫ ∫ ∫ = 12 sind(sinxx)+ d(sinsinxx)−2 sin1 d(sinxx)

− +

∫ ∫ ∫

2

1ln sin ln sin 1ln sin ln sin 1ln sin

2 x x x C x x C

−

= − + − + + = − − +

Câu 123 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2sin3 cos

x f x

x

=

+

A. ∫ f x dx( ) =cos2x−2cosx C+ B ( ) 1cos2 2cos

2

f x dx= x− x C+

∫

C ∫ f x dx( ) =cos2x+cosx C+ D ( ) 1cos2 2cos

2

f x dx= x+ x C+

∫

( )

3 2

2sin 2sin .sin 2cos cos

1 cos cos cos

x dx x xdx x d x

x x x

−

= =

+ + +

∫ ∫ ∫

( ) ( )

2 cosx d cosx cos x 2cosx C

=∫ − = − +

Câu 124 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos53 sin

x f x

x

=

A. ( ) cot4

4

x f x dx=− +C

∫ B ( ) cot4

4

x

f x dx= +C

∫

C ( ) cot2

x

f x dx= +C

∫ D ( ) tan4

4

x

f x dx= +C

∫

Hướng dẫn giải 3 ( )

5

cos cot cot cot cot

sin sin

xdx x dx x d x x C

x x

−

= = − = +

∫ ∫ ∫

Câu 125 Tìm nguyên hàm hàm số: f x( ) cos sin= x( 4x+cos4x)

A. ( ). 1sin 2 sin 23

2 12

f x dx= x− x C+

∫ B ( ). 1sin 2 sin 23

2 12

f x dx= x+ x C+

∫

C ( ). sin 2 1sin 23

4

f x dx= x− x C+

∫ D ( ). 1sin 2 1sin 23

2

f x dx= x− x C+

(26)

( 4 )

cos sinx x+cos x dx

∫ = cos 2x(sin2x+cos2x)−2sin cos2x x dx

 

∫

( )

2

1

cos sin cos sin cos

2

1 1

cos sin sin sin sin

4 12

x x dx xdx x xdx

xdx x d x x x C

 

=  −  = −

 

= − = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Câu 126 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=(tanx e+ 2sinx)cosx

A. ( ) cos 2sin

2 x

f x dx= − x+ e +C

∫ B ( ) cos 2sin

2 x

f x dx= x+ e +C

∫

C ∫ f x dx( ) = −cosx e+ 2sinx+C D ( ) cos 2sin

2

x f x dx= − x− e +C

∫

(tan 2sin )cos sin 2sin (sin ) cos 2sin

2

x x x

x e+ xdx= xdx+ e d x = − x+ e +C

∫ ∫ ∫

Câu 127 Tìm nguyên hàm hàm số ( )

sin cos

f x

x x

=

+ +

A. ( ) cot

2

x

f x dx= −  + +C

 

∫ π B ( ) cot

2

x

f x dx=  + +C

 

∫ π

C ( ) cot

2

x

f x dx= −  + +C

 

∫ π D ( ) cot

2

x

f x dx= −  − +C

 

∫ π

1

sin cos 2 sin 2 sin 1

4

dx dx dx

x+ x+ = x+ + = x+ +

   

   

∫ ∫ π ∫ π

2

1 1 cot

3

2 2sin

sin cos 2 8

2 8

dx dx x C

x

x x

 

= = = −  + +

   

  + +  +   + 

   

      

 

∫ π π ∫ π π

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT

Câu 128 Hàm số ( ) ln sinF x = x−cosx nguyên hàm hàm số

A. ( ) sin cos

sin cos

x x

f x

x x

+ =

− B

sin cos ( )

sin cos

x x

f x

x x

− =

+

C ( )

sin cos

f x

x x

=

+ D

1 ( )

sin cos

f x

x x

=

−

Hướng dẫn giải: '( ) (sin cos )' cos sin

sin cos sin cos

x x x x

F x

x x x x

− +

= =

− −

Câu 129 Kết tính ∫2 ln( 1)x x− dx bằng:

A. ( 1)ln( 1)

2

x

x − x− − − +x C B 2ln( 1)

2

x

x x− − − +x C

C ( 1)ln( 1)

2

x

x + x− − − +x C D ( 1)ln( 1)

2

x

x − x− − + +x C

Đặt

2

1 ln( 1)

1

2 1

du dx

u x

x

dv xdx v x

 =

= −

 ⇒ −

 = 

  = −



Ta có 2 ln( 1) ( 1)ln( 1) ( 1) ( 1)ln( 1)

2

x

x x− dx= x − x− − x+ dx x= − x− − − +x C

(27)

Câu 130 Kết tính tan2 cos

x e dx

x

∫ bằng:

A.etan x+C B tan x etanx+C C e−tan x+C D.−etan x +C

Hướng dẫn giải: tan tan tan

2 (tan )

cos

x

x x

e dx e d x e C

x = = +

∫ ∫

Câu 131 Tính cos2

e xsin 2xdx

∫ bằng:

A. cos x2

e C

− + B e−sin 2x+C C e−2sin x+C D −esin 2x+C

Hướng dẫn giải: cos2 cos2 2 cos2

e xsin 2xdx= − e xd(cos )x = −e x+C

∫ ∫

Câu 132 Tính sin2

e xsin 2xdx

∫ bằng:

A. sin x2

e +C B esin 2x+C C cos x2

e +C D e2sin x+C

Hướng dẫn giải: sin2 sin2 2 sin2

e xsin 2xdx= e xd(sin ) ex = x+C

∫ ∫

Câu 133 Kết ∫ecosxsinxdx bằng:

A.−ecos x+C B ecos x+C C −e−cos x+C D e−sin x+C Hướng dẫn giải: ecosxsinxdx= − e dcosx (cos )x = −ecosx+C

∫ ∫

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC

Câu 134 Biết hàm số ( )F x = −x 2− x+2017 nguyên hàm hàm số ( )

1

ax b f x

x

+ =

− Khi tổng a b

A. B 2− C D 1

Hướng dẫn giải: '( ) ( 2017 ') 1

x

F x x x

x

−

= − − + =

−

( )

3

a b

⇒ + = + − =

x x

f x x

− =

+

A ( ) 1( 8) 1

3

F x = x − x + +C B ( ) 1 8 1

3

F x = x +x + +x +C

C ( ) 8( 2) 1

3

F x = −x x + +C D ( ) 2( 8 1)

3

F x = x − +x +C

2

1

x xdx

x x

− −

=

+ +

∫ ∫

Đặt t= x2+ ⇒1 x2 = − ⇒t2 1 xdx tdt= Khi

( )( ) ( )

3

2

3

2 3 3

3

t tdt

x xdx t dt t t C

t x

−

− = = − = − +

+

∫ ∫ ∫

( )3 ( )

2

2 2

1 1

3

x

x C x x C

+

= − + + = − + +

Câu 136 Tính ( )

2

sin

4sin 2cos

x

F x dx

x x

=

+ +

∫ Hãy chọn đáp án

A F x( )= cos 2− x C+ B F x( )= sin 2− x C+

C F x( )= cos 2+ x C+ D F x( )= − sin 2− x C+

(28)

( )

2

6 cos

sin sin 6 cos 2

6 cos 2 cos

4sin 2cos

d x

x dx x dx= x C

x x

−

= = − +

− −

+ +

∫ ∫ ∫

Câu 137 Biết hàm số F x( )=(mx+n) 1x− nguyên hàm hàm số ( )

x f x

x

− =

− Khi tích m n

A.

9

− B 2− C 2

3

− D

Cách 1: Tính 1 2x

3

2x 1x dx x C

− = − +  − +

 

−  

∫ Suy 1;

3

m= − n= ⇒m n= −

Cách 2: Tính '( )

2

mx m n F x

x

− + =

− Suy

1

3 .

1

3

m m

m n

n m n

 = −  = −

 ⇒ ⇒ = −

 − = 

  =



Câu 138 Biết hàm số ( )F x nguyên hàm hàm số

2

ln ( )

ln

x f x

x x

=

+ có đồ thị qua điểm

(e;2016) Khi hàm số F( )1

A. 2014+ B 2016+

C 2014+ D 2016+

Hướng dẫn giải: Đặt t= ln2 x+3 tính F x( )= ln2 x+ +3 C

( ) 2016 2014 ( ) ln2 3 2014 ( )1 3 2014

F e = ⇒ =C ⇒F x = x+ + ⇒F = +

4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Câu 139 Tính ∫x e dx e ax bx cx d C3 x = x( 3+ 2+ + )+ Giá trị a b c d+ + +

A 2− B 10 C 2 D 9−

Kết quả: ∫x e dx x e3 x = x−3x e2 x+6xex−6e C e xx+ = x( 3−3x2+6x− +6) C

Vậy a b c d+ + + = −2

Câu 140 Tính F x( )=∫x xln( 2+3)dx A x= ( 2+3)ln(x2+ +3) Bx C2+ Giá trị biểu thức A B+

A B 1 C −1 D 2

u đạo hàm u dv nguyên hàm v

2

ln(x + 3) x

2

x x +

2 3

2

x +

1 (Chuyển 22

3

x

x + qua dv)

x

(Nhận 22

3

x

x + từ u )

0

2

x

Do ( ) ln( 3) 1( 3)ln( 3)

2

F x =∫x x + dx= x + x + − x C+ Vậy A B+ =0

Câu 141 Tính ∫x2cos 2xdx ax= 2sin 2x bx+ cos 2x c+ sinx C+ Giá trị a b+ +4c

+

(29)

A B 3

4 C 34

−

D 1

2

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

Kết quả: 2cos 2 2sin 2 cos 2 1sin 2

2

x xdx= x x+ x x− x C+

∫

Vậy a b+ +4c=0

Câu 142 Tính ∫x3ln 2xdx x A= 4( ln 2x B C+ )+ Giá trị 5A+4B bằng:

A. B 1

4 −

C 1

4 D 1−

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u=ln ,x dv x dx= Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

Kết quả: 3ln 2 4ln 2 4 1ln 2

4 16 16

x xdx= x x− x C x+ =  x− +C

 

∫

Vậy 5A+4B=1

Câu 143 Tính ( ) ln1

x

F x x dx

x

+ =

−

∫ Chọn kết đúng:

A. ( ) ln1

2

1

x x

F x x C

x

+

= + +

−

− B 1

( ) ln

2

1

x x

F x x C

x

+

= + +

− +

C ( ) 1ln

2

x x

F x x C

x

+ +

= − +

− D

2 1 1

( ) ln

2

x x

F x x C

x

− +

= − +

−

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần nguyên hàm hàm

số hữu tỉ

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết quả: ln1 1ln

1

x x x

x dx x C

x x

+ − +

= + +

− −

∫

Câu 144 Cho hàm số F x( )=∫x(1 )−x dx3 Biết F(0) 1= , F(1)bằng:

A. 21

20 B 1920 C

21 −

D 19

20 −

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp đổi biến số với u= −1 x Sử dụng phương pháp phần với u x dv= ; = −(1 )x dx3

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng với u x dv= ; = −(1 )x dx3 Kết ( ) (1 )3 (1 )4 (1 )5

4 20

x x x

F x =∫x −x dx= − − − − +C

(0)

F = suy 21

20

C = Do (1) 21 20

F =

Câu 145 Tính ∫(2 1)sinx+ xdx a x= cosx b+ cosx c+ sinx C+ Giá trị biểu thức a b c+ +

A. −1 B 1 C D 5−

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

Kết F x( )=∫(2 1)sinx+ xdx= −2 cosx x−cosx+2sinx C+ nên a b c+ + = −1

(30)

A. −

B 1

4 C 12

−

D 1

2

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần vớiu=ln(x+1),dv xdx=

Kết F x( )=∫x xln( +1)dx 1( 1)ln( 1) 1( 2 )

2 x x x x C

= − + − − +

Từ (1) 0F = suy

C=− Vậy (0)

F =−

Câu 147 Hàm số F x( )=∫(x2+1)ln xdx thỏa mãn (1)

9

F = −

A. ( )ln3

6 18

x x

x + x x− − B 1 ( )ln3 1

6 18

x x

x + x x− − −

C 1( 3 )ln 10

6 18

x x

x + x x− − + D 1 ( )ln3 1

6 18

x x

x + x x− − +

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp phần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

Kết ( ) ( 1)ln 1( 3 )ln

6 18

x x

F x =∫ x + xdx= x + x x− − +C

Với (1)

F =− suy C =0 nên ( ) 1( 3 )ln

6 18

x x

F x = x + x x− −

Câu 148 Hàm số f x có đạo hàm ( ) '( ) 2 ( 1)

x xe f x

x

=

+ có đồ thị qua điểm A(0;1) Chọn kết

A. ( )

1

x e f x

x

=

+ B ( ) 1

x e f x

x

= +

+

C ( )

1

x e f x

x

= −

+ D ( )

x e f x

x

= +

+

Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp phần với , 2 ( 1)

x

u xe dv dx

x

= =

+

x

xe

2

1 (x +1) (x+1)ex

(Chuyển (x+1)ex qua dv)

1

x

− +

1 −ex

(nhận (x+1)ex từ u )

0 −ex

Kết ( ) 2

( 1)

x x

xe e

f x dx C

x x

= = +

+ +

∫ Với f(0) 1= suy C =0 Vậy ( )

1

x e f x

x

= +

Câu 149 Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) ln= (x+ x2+1) thỏa mãn F(0) 1= Chọn kết

đúng

A. F x( )=xln(x+ x2+ −1) x2+ +1 2 B F x( )=xln(x+ x2+ −1) x2+ −1 2

C F x( )=xln(x+ x2+ −1) x2+ +1 1 D F x( )=xln(x+ x2+ −1) x2+1 Hướng dẫn giải:

+

(31)

Đặt u=ln(x+ x2+1 ,) dv dx= ta

( )

( ) ln 1

F x =x x+ x + − x + +C Vì (0) 1F = nên C = 2 Vậy F x( )=xln(x+ x2+ −1) x2+ +1 2

Câu 150 Một nguyên hàm F x hàm số ( ) ( ) 2 cos

x f x

x

= thỏa mãn F( ) 2017π = Khi F x( ) hàm số đây?

A. F x( )=xtanx+ln | cos | 2017x + B ( )F x =xtanx−ln | cos | 2018x +

C ( )F x =xtanx+ln | cos | 2016x + D ( )F x =xtanx−ln | cos | 2017x +

Hướng dẫn giải: Đặt , 12 cos

u x dv dx

x

= = ta du dx v= , =tanx

Kết ( ) 2 tan tan tan ln | cos |

cos

x

F x dx x x xdx x x x C

x

=∫ = −∫ = + +

Vì ( ) 2017F π = nên C =2017 Vậy ( )F x =xtanx+ln | cos | 2017x +

Câu 151 Tính F x( )=∫x(1 sin )+ x dx Ax= 2+Bxcos 2x C+ sin 2x D+ Giá trị biểu thức A B C+ +

bằng

A.

4 B 1−4 C 54 D 3−4

Cách 1: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng với u x dv= , = +(1 sin )x dx ta

2

1 1

( ) cos sin

2

F x = x − x x+ x D+ Vậy

4

A B C+ + =

Câu 152 Tính ( ) sin2 cos

x x

F x dx

x

+

=∫ Chọn kết

A. ( ) tan 1ln sin

cos sin

x x

F x x C

x x

−

= + + +

+ B

1 sin

( ) tan ln

cos sin

x x

F x x C

x x

−

= − + +

+

C ( ) tan 1ln sin

cos sin

x x

F x x C

x x

−

= + − +

+ D

1 sin

( ) tan ln

cos sin

x x

F x x C

x x

−

= − − +

+

Cách 1: Biến đổi ( ) 2 sin2 tan ( )

cos cos

dx x x

F x dx x I x

x x

=∫ +∫ = +

Tính I x( ) cách đặt ; sin2 cos

x

u x dv dx

x

= = ta ( )

cos cos

x dx

I x

x x

= −∫

Tính ( ) cos2 (sin ) ln sin

cos sin (sin 1)(sin 1) sin

dx xdx d x x

J x C

x x x x x

−

= − = = = +

− − + +

∫ ∫ ∫

Kết ( ) tan 1ln sin

cos sin

x x

F x x C

x x

−

= + + +

+

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra d F x f x( ( )) ( )

dx − = số điểm

ngẫu nhiên x 0 4.1.6 ÔN TẬP

Câu 153 Một nguyên hàmF x hàm số ( ) ( ) sin 12 cos

f x x

x

= + thỏa mãn điều kiện

4

F   = 

  π

(32)

C ( )F x = −cosx+tanx+ −1 D ( )F x = −cosx+tanx

Ta có sin 12 x cos tan ( ) cos tan

cos

x d x x C F x x x C

x

 +  = − + + ⇒ = − + +

 

 

∫

2 2 1

4

F  = π ⇔ =C −

  Vậy ( )F x = −cosx+tanx+ 1−

Câu 154 Một nguyên hàm ( )F x hàm số ( ) 2sin 5

f x = x+ x+ thỏa mãn đồ thị hai hàm số ( )

F x ( )f x cắt điểm nằm trục tung

A ( ) 2cos5

5

F x = − x+ x x+ x+ B ( ) 2cos5

5

F x = x+ x x+ x+

C ( ) 10cos5

5

F x x x

x

= + + + D ( ) 2cos5

5

F x = − x+ x x+ x

Ta có ( ) 2cos5

5

F x = − x+ x x+ x C+ F(0)= f(0)⇔ = C

Vậy ( ) 2cos5

5

F x = − x+ x x+ x+

Câu 155 Hàm sốF x( ) (= ax bx c e2+ + ) x nguyên hàm hàm số f x( )=x e2 x a b c+ + bằng:

A B C 3 D 2−

Ta có 2

1

'( ) ( ) (2 ) 2

0

a a

F x f x ax a b x b c x a b b

b c c

= =

 

 

= ⇔ + + + + = ⇔ + = ⇔ = −

 + =  =

 

Vậya b c+ + =1

Câu 156 Một nguyên hàm ( )F x hàm số ( )f x = +a bcos 2x thỏa mãn (0)

F =π ,

2

F  = π π

  ,

12

Fπ  = π

 

A ( ) sin

3

F x = − x+ π x+π B ( ) sin

3

F x = − x+ π x

C ( ) sin

3

F x = − x− π x+π D ( ) sin

3

F x = − x+ π x−π

Ta có ( ) sin 2

b

F x =ax+ x C+

2 (0)

2

7

2

12

F a

F b

C F

π

π π π

π

π π

 

= = −

 

   = ⇔ =

    

 

    =

=

   

  

Vậy ( ) sin

3

F x = − x+ π x+π

Câu 157 Cho hàm số F x( )=ax bx cx3+ 2+ +1 nguyên hàm hàm số f x thỏa mãn (1) 2,( ) f =

(2) 3, (3)

f = f = Hàm sốF x ( )

A ( ) 1

2

F x = x + +x B ( ) 1

2

(33)

C ( ) 1

2

F x = − x − +x D ( ) 1

2

F x = x − +x

Ta có f x( )=F x'( ) 3= ax2+2bx c+

0

(1) 2

1

(2) 12

2

(3) 27 1

a

f a b c

f a b c b

f a b c c

= 

= + + =

  

 = ⇔ + + = ⇔ =

  

 =  + + = 

   =

Vậy ( ) 1

2

F x = x + +x

Câu 158 Một nguyên hàm F x hàm số ( ) tan sin 2( ) f x = x x thỏa mãn điều kiện

F  = π

 

A ( ) 1sin

2

F x = −x x+ −π B ( ) 1cos

2

F x = +x x+ −π

C ( ) 2cos3

3

F x = x+ D sin2

2

x+ x−π

Ta có tan sin (1 cos ) 1sin ( ) 1sin

2

x xdx= − x dx x= − x C+ ⇒F x = −x x C+

∫ ∫

và

4

F  = ⇔ = − π C π

 

Vậy ( ) 1sin

2

F x = −x x+ −π

Câu 159 Cho hàm số f x( ) tan= x có nguyên hàm ( )F x Đồ thị hàm số y F x= ( ) cắt trục tung

điểm (0;2)A Khi ( )F x

A F x( ) tan= x x− +2 B ( ) tanF x = x+2

C ( ) 1tan3 2

3

F x = x+ D ( ) cotF x = x x− +2

2

( ) ( ) tan tan

F x =∫ f x dx=∫ xdx= x x C− +

Vì đồ thị hàm số y F x= ( ) qua điểm A(0;2) nên C = 2 Vậy F x( ) tan= x x− +2

Câu 160 Cho hàm số F x nguyên hàm hàm số( ) f x( ) tan= x Giá trị (0)

4

F  − π F

 

A.

4

π

− B

4

π

C 1

4

π

+ D 3

4

π

−

Hướng dẫn giải: ( ) tan (0)

4

F x = x x C− + ⇒F  −F = −  

π π