Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm nguyên hàm | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lầnA. + -..[r]

CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định   K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x gọi nguyên hàm hàm số   f x   K

    '

F x  f x với x K Định lí:

1) Nếu F x nguyên hàm hàm số   f x   K với số C , hàm số G x  F x   nguyên hàm C f x   K

2) Nếu F x nguyên hàm hàm số   f x   K nguyên hàm  

f x K có dạng F x  , với C số.C

Do F x  C C,   họ tất nguyên hàm f x   K Ký hiệu    

f x dx F x C



2 Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1:  f x dx    f x   f x dx'   f x C

Tính chất 2: kf x dx k f x dx      với k số khác Tính chất 3: f x  g x dx   f x dx  g x dx 

3 Sự tồn nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x liên tục   K có nguyên hàm K 4 Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợpu u x   dx x C 

 du u C 

 

1

1

1

x dx  x C   

 

 1  1

1

u du  u C   

 



1

ln

dx x C

x  

 1du lnu C

u  



x x

e dx e C

 u u

e du e C



 0, 1 ln

x

x a

a dx C a a

a

   

  0, 1

ln

u

u a

a du C a a

a

   



sinxdx cosx C

 sinudu cosu C

cosxdxsinx C

 cosudusinu C

2

1

tan cos xdx x C



1

tan cos udu u C



2

1

cot sin xdx  x C



1

cot sin udu  u C



II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu  f u du F u    C u u x   hàm số có đạo hàm liên tục  

  '    

f u x u x dx F u x C

Hệ quả: Nếu u ax b a   0 ta có f ax b dx  1F ax b  C a

   



2 Phương pháp nguyên hàm phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số u u x   v v x   có đạo hàm liên tục K    '     '   

u x v x dx u x v x  u x v x dx

 

Hay

udv uv  vdu

 

A KỸ NĂNG CƠ BẢN

- Tìm nguyên hàm phương pháp biến đổi trực tiếp - Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số

- Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Nguyên hàm hàm số f x  x33x2 hàm số hàm số sau?

A.   2

4

x x

F x    x C B  

3

3

x

F x   x  x C

C   2

4

x x

F x    x C D F x  3x23x C

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 2. Hàm số F x  5x34x27x120C họ nguyên hàm hàm số sau đây?

A. f x  15x28x7 B f x  5x24x7

C  

4

x x x

f x    D f x  5x24x7

Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm hàm số F x  ta kết

Câu 3. Họ nguyên hàm hàm số: y x2 3x

x

  

A.   3

ln

 x   

F x x x C B   3

ln

 x   

F x x x C

C   3 ln

3

 x   

F x x x C D  

1

   

F x x C

x

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 4. Tìm nguyên hàm hàm số f x   x1 x2

A.   3

2

 x   

F x x x C B   2

2 3

 x   

F x x x C

C F x  2x 3 C D   2 2

3

 x   

F x x x C

Hướng dẫn giải: f x   x1 x2x23x2 Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 5. Nguyên hàm F x  hàm số  

2

5

f x

x x x

  

 hàm số nào?

A F x  ln 2x 2ln x C x

      B F x  ln 2x 2ln x C x

     

C F x  ln 2x 2ln x C x

     D F x  ln 2x 2ln x C x

     

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm. 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

A sin 1cos 2

xdx  x C

 . B sin 1cos

2

xdx x C

 .

C sin 2 xdxcos 2x C . D sin 2 xdx cos 2x C . Hướng dẫn giải sin sin (2 ) 1cos

2

xdx xd x   x C

 

Câu 7. Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos

f x   x 

 

A ( ) 1sin

3

f x dx  x C

 

  B ( ) sin

6

f x dx  x C

 

 

C ( ) 1sin

3

f x dx   x C

 

  D ( ) 1sin

6

f x dx  x C

 

 

Hướng dẫn giải: ( ) cos 3 1sin

3 6

f x dx  x   d x   x C

     

     .

Câu 8. Tìm nguyên hàm hàm số ( a

2 ) t n 

f x x

A. ( ) tan

2

x f x dx C

 B ( ) tan

2

x f x dx C



C ( ) 1tan

2

x f x dx C

 D ( ) tan

2

x f x dx  C



Hướng dẫn giải:

2

2

1 ( ) t

s an

o

2 c

x f x

x

  

nên

2

2

2 tan

2

cos cos

2

x d

dx x

C

x x

     

  

 

Câu 9. Tìm nguyên hàm hàm số

1 ( )

sin

3

f x

x 



  

 

 

A ( ) cot

3

f x dx  x C

 

  B ( ) 1cot

3

f x dx  x C

 

 

C ( ) cot

f x dx x C

 

  D ( ) 1cot

3

f x dx x C

 

 

Hướng dẫn giải:

2

3 cot

3

sin sin

3

d x dx

x C

x x

  

   

 

     

       

   

   

 





 

Câu 10.Tìm nguyên hàm hàm số

( ) sin cos

f x  x x

A. ( ) sin4

4

x

f x dx C

 B ( ) sin4

4

x

f x dx  C



C

2

sin ( )

2

x

f x dx C

 D

2

sin ( )

2

x

f x dx  C



Hướng dẫn giải sin cos 3 sin (sin )3 sin4

4

x

x x dx x d x  C

 

4.1.3 NGUN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LƠGARIT.

Câu 11.Tìm nguyên hàm hàm số f x( )exex.

Hướng dẫn giải: exexdx e xexC



Câu 12.Tìm nguyên hàm hàm số

( ) 3x x

f x  

A  

9 ln ln

x

f x dx   C

  

 B  

2 ln ln

x

f x dx   C

  



C   ln ln

x

f x dx   C

  

 D  

9 ln ln

x

f x dx   C

  



Hướng dẫn giải: 2 32 2 .

9 ln ln

x x

x  xdx   dx  C

    

   

 

Câu 13.Họ nguyên hàm hàm số f x( )ex(3ex) là

A F x( ) 3 ex x C. B F x( ) 3 exexlnexC.

C ( ) x x

F x e C

e

   D F x( ) 3 ex x C.

Hướng dẫn giải: F( )x  ex(3e dxx)  (3ex1)dx3ex x C

 

Câu 14.Hàm số F x  7extanx

nguyên hàm hàm số sau đây?

A.  

cos

x

x e

f x e

x



 

   

  B.  

1

cos

x

f x e

x

 

C.   x tan2

f x  e  x D.  

1

cos

x

f x e

x

 

   

 

Hướng dẫn giải: Ta có '( ) 12 (7 2 ) ( )

cos cos

x

x x e

g x e e f x

x x



    

Câu 15.Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) e4x2 .

A  

2

x

f x dx e  C

 B  f x dx e   2x1C C  

2

x

f x dx e  C

 D  

2

x

f x dx e  C



Hướng dẫn giải: 2 1

2

x x x

e  dx e dx e  C

  .

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 16.Nguyên hàm hàm số ( ) 



f x

x

A.  f x dx   2x 1 C B  f x dx  2 2x 1 C C  

2

x

f x dx  C

 D  f x dx   2 2x 1 C

Hướng dẫn giải: 1 2 1 2

2



   

 

 dx d x x C

x x

Câu 17.Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 



f x

x

A.  f x dx   2 3 x C B  f x dx    3 x C C  f x dx  2 3 x C D  f x dx   3 3 x C Hướng dẫn giải: 3 

3



     

 

 dx d x x C

x x

A   12 1

f x dx x x C

 B   22 1

3

f x dx x x C



C  

f x dx  x C

 D  

2

f x dx x C



Hướng dẫn giải: Đặt t  2x 1 dx tdt

 

3

2

2 2

3

t

x dx= t dt C x x C

        

Câu 19.Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 3 x

A   25 

9

f x dx   x  x C

 B   25 

3

f x dx   x  x



C   25 

f x dx  x  x

 D  

3

f x dx   x C



Hướng dẫn giải: Đặt 3

tdt

t   xdx 

 

2

5 5

9

xdx x x C

     

 .

Câu 20.Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) x2.

A   3 23 2

4

f x dx x x C

 B   3 2 2

4

f x dx  x x C



C   2 2

f x dx x x

 D   1 2 23

3

f x dx x  C



Hướng dẫn giải: Đặt t 3 x 2 dx3t dt2 Khi 2 3 2 2

4

x dx x x C

 Câu 21.Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 31 3 x.

A   11 3 31 3

4

f x dx   x  x C

 B   31 3  31 3

4

f x dx   x  x C



C   11 3 31 3

4

f x dx  x  x C

 D  f x dx    1 3x32 C

Hướng dẫn giải: Đặt t 31 3 xdx t dt2 Khi đó

 

31 3 1 3 31 3

4

xdx x x C

     



Câu 22.Tìm nguyên hàm hàm số    3x

f x e

A.  

3

x e

f x dx C

 B   33

2 x

f x dx C

e

 



C   3

x e

f x dx C

 D  

3 2

2

x e

f x dx C

x



 

 

Hướng dẫn giải:

3 3

3 2. 2. 2

3 3

x x x

x x e

e dx e d  e  C C

 

 

Câu 23.Hàm số F x   x12 x 1 2016 nguyên hàm hàm số sau đây?

A.   5 1

2

f x  x x B   5 1

2

f x  x x  C

C   2 1

Hướng dẫn giải: '  5 1

F x  x x

Câu 24.Biết nguyên hàm hàm số   1

1

f x

x

 

 hàm số F x  thỏa mãn  1

3

F   Khi F x  hàm số sau đây?

A.   3

3

F x  x  x B   3

3

F x  x  x

C   3

F x  x  x D  

3

F x    x

Hướng dẫn giải

  1 1 

3

1 3

d x

F x dx x x x C

x x



 

          

 

 

 

 1   3

3

F     C F x  x  x

Câu 25.Biết F x( ) 1 x nguyên hàm hàm số ( )

a f x

x



 Khi giá trị a bằng

A. 3 B 3 C 6 D 1

6 Hướng dẫn giải: '( ) 6 

1

F x x

x

 

  

   a 4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Câu 26.Tính F x( )xsinxdx

A. F x( ) sin x x cosx C B F x( )xsinxcosx C C F x( ) sin x x cosx C D F x( )xsinxcosx C Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập d F x( ) f x( )

dx  , CALC

ngẫu nhiên số điểm x0 thuộc tập xác định, kết xấp xỉ

chọn

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng u đạo hàm

của u của dv nguyên hàmv

x sin x

1 cos x

0 sin x

Vậy F x( ) sin x x cosx C

Câu 27.Tính xln2xdx Chọn kết đúng:

A.1 22ln2 2ln 1

4x x x  C B  

2

1

2ln 2ln 2x x x  C C 1 22ln2 2ln 1

4x x x  C D  

2

1

2ln 2ln 2x x x  C Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần 2 lần

-Phương pháp trắc nghiệm

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F x'( ) f x( )F x'( ) f x( ) 0 Nhập máy tính d F x( ) f x( )

dx  CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0

tập xác định, kết xấp xỉ bằng0 chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:

u đạo hàm u dv nguyên hàm v

2

ln x x

2ln x

x

2

2

x

ln x (chuyển

x qua

dv)

x (nhận 2

x từ u)

1

x

2

2

x

1 (chuyển

xqua dv)

x

(nhận

x từ u)

0

4

x

Do ln2 2ln2 2ln

2

x xdx x x x x x C

 =1 22ln2 2ln 1

4x x x  C

Câu 28.Tính ( )F x xsin cosx xdx Chọn kết đúng:

A. ( ) 1sin cos

8

x

F x  x x C B ( ) 1cos sin

4

x

F x  x x C

C ( ) 1sin cos

4

x

F x  x x C D ( ) 1sin cos

4

x

F x   x x C

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Biến đổi sin cos 1sin 2

x x x sử dụng phương pháp nguyên hàm phần

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F x'( ) f x( )F x'( ) f x( ) 0

Nhập máy tính d F x( ) f x( )

dx  CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0

tập xác định, kết xấp xỉ bằng0 chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng

Câu 29.Tính ( )

x

F x xe dx Chọn kết

A. ( ) 3( 3)

x

F x  x e C B ( ) ( 3)

x

F x  x e C

C ( ) 3

3

x x

F x   e C D ( ) 3

3

x x

F x   e C

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với

3

,

x u x dv e dx 

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F x'( ) f x( )F x'( ) f x( ) 0

+

-Nhập máy tính d F x( ) f x( )

dx  CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0

tập xác định, kết xấp xỉ bằng0 chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng

Câu 30.Tính ( ) 2 cos

x

F x dx

x

 Chọn kết

A.F x( )xtanxln | cos |x C B F x( ) xcotxln | cos |x C C F x( ) xtanxln | cos |x C D F x( ) xcotxln | cos |x C Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với

2

1 co ,

s

u x dv dx

x

 

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F x'( ) f x( )F x'( ) f x( ) 0 Nhập máy tính d F x( ) f x( )

dx  CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0

tập xác định, kết xấp xỉ bằng0 chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng

Câu 31.Tính F x( ) x2cosxdx

 Chọn kết

A. F x( ) ( x22) sinx2 cosx x C . B F x( ) sin x2 x x cosxsinx C

C F x( )x2sinx2 cosx x2sinx C . D F x( ) (2 x x 2) cosx x sinx C .

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần 2 lần với ux dv2; cosxdx, sau

1 ; sin

u x dv  xdx Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F x'( ) f x( )F x'( ) f x( ) 0

Nhập máy tính d F x( ) f x( )

dx  CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0

tập xác định, kết xấp xỉ bằng0 chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.

Câu 32.Tính F x( )xsin 2xdx Chọn kết

A. ( ) 1(2 cos sin )

F x   x x x  C B ( ) 1(2 cos sin )

F x  x x x  C

C. ( ) 1(2 cos sin )

F x   x x x  C D ( ) 1(2 cos sin )

F x  x x x  C

Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với

; sin

u x dv  xdx

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng sử dụng máy tính: Nhập d ( ( ))F x f x( )

dx  , CALC ngẫu nhiên số điểm x0 bất kỳ,

nếu kết xấp xỉ bằng0thì chọn đáp án

Câu 33.Hàm số F x( )xsinxcosx2017 nguyên hàm hàm số nào?

A. f x( )xcosx B f x( )xsinx

C f x( ) xcosx D f x( ) xsinx Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Tính F x'( ) có kết trùng với đáp án chọn

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa

'( ) ( ) '( ) ( )

Nhập máy tính d F x( ) f x( )

dx  CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0

tập xác định, kết xấp xỉ bằng0 chọn

Câu 34.Tính ln(2x 1)dx x

 

 Khẳng định sau sai?

A. ln( 1) ln

x x

C

x x

    

 B

1 ln( 1) ln

1

x x

C

x x

 

  

 C x 11 ln(x 1) ln | |x C

x



     D ln(x 1) ln ln x

x x C

 

    

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với

2

1 ln( 1);

u x dv dx

x

     biến đổi đặt u ln(x 1);dv 12 dx x

   

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra định nghĩa. 4.1.6 ÔN TẬP

Câu 35.Hãy chọn mệnh đề đúng

A. 0 1

ln

x

x a

a dx C a

a

   

 B.

1

,

x

x dx C R



 





   





C. f x g x dx( ) ( )  f x dx( ) g( ) x dx D. ( ) ( ) ( ) g( )

f x dx f x

dx

g x  x dx



 

Hướng dẫn giải: A B sai thiếu điều kiện    1; C, D sai khơng có tính chất

Câu 36.Mệnh đề sau sai?

A.sinxdxcosx C B. 1dx ln x C x,

x   



D. ,(0 1)

ln

x

x a

a dx C a

a

   

 C.

x x

e dx e C



Hướng dẫn giải: sinxdx cosx C

Câu 37.Hàm số f x( ) x3 x2 3

x

    có nguyên hàm

A.

4

( ) ln

4

x x

F x    x x C B.

3

( ) ln

3

x

F x x   x x C

C.

2

1 ( )

F x x x C

x

    D. F x( )x4x33xln x C Hướng dẫn giải:

4

3

( ) ( ) ln

4

x x

F x x x dx x x C

x

        

Câu 38.Họ nguyên hàm hàm số f x( ) tan 2x là

A.F x  tanx x C  B.F x   tanx x C  C.F x  tanx x C  D.F x   tanx x C 

Hướng dẫn giải:

1

( ) tan

cos

f x dx dx x x C

x

 

      

 

 

Câu 39.Hàm số F x( ) 7sin xcosx1 nguyên hàm hàm số sau đây?

Hướng dẫn giải: F x'( ) cos xsinx

Câu 40.Kết tính 2

1

sin xcos xdx



A.tanxcotx C B cot 2x C

C.tan 2x x C  D tanxcotx C

Hướng dẫn giải: 2 2

1 1

tan cot sin xcos xdx cos x sin x dx x x C

 

      

 

 

Câu 41.Hàm số 2

1

( )

F x x

x x

    có nguyên hàm là

A. f x( ) x3 2 x x

x

    B. f x( ) x3 x x

x

   

C f x( ) x3 2 x

x

   D. ( ) 1

2

f x x x x

x

   

Hướng dẫn giải: Ta có

2

1 1

( )

F x dx x dx x x x C

x x

x

 

          

 

 

Câu 42.Hàm số ( ) cos5 sin

x f x

x

 có nguyên hàm F x( )

A.

1 4sin x

 B

1

4sin x C

4

sin x D

4 sin x

 Hướng dẫn giải: ( ) cos5 15 (sin ) 14

sin sin 4sin

x

f x dx dx d x C

x x x

    

  

Câu 43.Kết tính 2x 5 4 x dx2



A. 5 4 23

6 x C

   B. 5 4 2

8 x C

  

C.1 5 4 23

6  x  C D.  

3

1

5

12 x C

  

Hướng dẫn giải: Đặt t 5 4 x2 tdt  4xdx

Ta có 2 5 4 2 5 4 23

2 6

x  x dx  t dt  t   C  x C

 

Câu 44.Kết esinxcosxdx



A.esin xC. B cos x esinxC. C ecos xC. D esin xC.

Hướng dẫn giải: Ta có esinxcosxdx esinxd(sin )x e sinxC

 

Câu 45.Tính tan xdx

A.ln cos x C B ln cos x C C.

1

cos x C D

1 cos x C

  Hướng dẫn giải: Ta có tan (cos ) ln cos

cos

xdx d x x C

x

    

 

Câu 46.Tính cot xdx

A.ln sin x C B ln sin x C C.

1 sin x C



 D

1

sin x C

Hướng dẫn giải: Ta có cot (sin ) ln sin sin

xdx d x x C

x

  

 

Câu 47.Nguyên hàm hàm số

x y

x



A 1

ln

3x 2x  x x C B

3

1

ln 3x 2x  x x  C C 1 ln 1

6x 2x  x x  C D

3

1

ln 3x 4x  x x  C Hướng dẫn giải: Ta có

1

1

x

x x

x     x Sử dụng bảng nguyên hàm suy đáp án

Câu 48.Một nguyên hàm hàm số   2

x x

f x

x

 





A. 6ln

2

x

x x

   B 6ln

2

x

x x

  

C 6ln

x

x x

   D 6ln 1

2

x

x x

  

Hướng dẫn giải:   2 3

1

x x

f x x

x x

 

   

  Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 49. Kết tính  x x 13 dx

A. 1ln

3

x C

x  B

1 ln

3

x C x

 



C 2ln 3

x

C x



 D 2ln

3

x C

x 

Hướng dẫn giải: x x 13 1 13xx13 Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 50.Kết tính x x 13dx

A. 1ln

3

x

C x



 B 1ln

3

x

C x



 C 1ln

3

x C

x  D

1 ln

3

x C

x 

Hướng dẫn giải:   1

3 3

x x x x

 

   

    Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 51.Họ nguyên hàm hàm số   2

f x

x x



 

A   1ln

3

x

F x C

x



 

 B.  

1

ln

3

x

F x C

x



 



C   ln

x

F x C

x



 

 D  

2

ln

F x  x   x C Hướng dẫn giải:  

1 1

2

f x

x x x x

 

    

      Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 52.Họ nguyên hàm hàm số  

2

1 x

f x

x



 

    

A. F x  2ln x x C

x

     B F x  2lnx x C

x

    

C F x  2ln x x C x

    D F x  2ln x x C

x

Hướng dẫn giải:  

2 2

2

1 2

1

x x x

f x

x x x x

  

 

     

  Sử dụng bảng nguyên

hàm

Câu 53.Nguyên hàm hàm số f x  2 2

x a



 với a0

A. ln

2

x a C

a x a

 

 B

1 ln

x a C

a x a

 



C 1ln x a C

a x a

 

 D

1

ln x a C

a x a

 



Hướng dẫn giải: 2

1 1

2

x a a x a x a

 

   

     Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 54.Biết F x  nguyên hàm hàm số   2

x f x

x



 thoả mãn F 2 0 Khi phương trình F x  x có nghiệm

A x 1 B x1 C x 1 D x0

Hướng dẫn giải: Đặt t  8x2   t2 8 x2 tdtxdx

2

8

x tdt

dx t C x C

t

x         



 

Vì F 2 0 nên C 2 Ta có phương trình  8x2     2 x x 1 3

Câu 55.Nếu F x  nguyên hàm hàm số ( ) 1

f x x



 F 2 1 F 3

A. ln 1 B ln3

2 C ln D

1 Hướng dẫn giải: ln

1dx x C

x   

 , F 2 1nên C 1.F x  ln x 1 1, thay x3 ta có đáp án

Câu 56.Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  ln2x 1.lnx

x

  thoả mãn

 1

F  Giá trị F e2 

A.

9 B

1

9 C

8

3 D

1 Hướng dẫn giải: Đặt ln

ln x

t x tdt dx

x

   

 3

2

2 ln ln

ln

3

x

x t

x dx t dt C C

x



     

  Vì F 1  nên 13 C0

Vậy 2 

9

F e 

Câu 57.Nguyên hàm F x  hàm số   12 sin

f x x

x

  thỏa mãn

4

F      



A. 2

cot

16

x x

   B 2

cot

16

x x 

C cot x x 2. D

2

cot

16

x x 

Hướng dẫn giải:

2

1

2 cot

sin

x dx x x C

x

     

 

 



4

F      



nên

16

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 58.Tìm nguyên hàm hàm số

( ) cos sin

f x  x x

A ( ) cos3

3

x

f x dx  C

 B ( ) cos3

3

x

f x dx C



C ( ) sin2

x

f x dx  C

 D ( ) sin2

2

x

f x dx C



Hướng dẫn giải: 2 cos3

cos sin cos (cos )

3

x

x xdx  xd x   C

 

Câu 59.Tìm nguyên hàm hàm số ( ) sin cos

x f x

x





A  f x dx( )  ln sinx C B  f x dx( ) ln cos 2x 1 C C  f x dx( ) ln sin 2x C D  f x dx( ) ln sinx C Hướng dẫn giải

 

2

sin

sin 2sin cos cos

ln sin

cos 1 2sin sin sin

d x

xdx x x x

dx dx x C

x   x   x   x   

   

Câu 60.Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) sin cos  x x dx

A. ( ) 2cos3 cos

3

x

f x dx   x C

 B ( ) 1cos3 1sin

6

f x dx x x C



C ( ) cos3 cos

x

f x dx  x C

 D ( ) 1cos3 1sin

6

f x dx x x C



Hướng dẫn giải

      2cos3

sin cos 2cos sin 2cos cos cos

3

x

x xdx x xdx  x d x    x C

  

Câu 61.Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 2sin cos3 x x

A. ( ) 1cos 1cos

2

f x dx x x C

 B ( ) 1cos 1cos

2

f x dx x x C



C  f x dx( ) 2 cos4x3cos2x C D  f x dx( ) 3cos4x3cos2x C Hướng dẫn giải: 2sin cos3 sin sin  1cos 1cos

2

x xdx x x dx x x C

 

Câu 62.Tìm nguyên hàm hàm số

( ) sin sin

f x  x x

A. ( ) sin sin sin

8

x x x

f x dx    x C

   



B ( ) sin sin sin

8

x x x

f x dx    x C

   



C ( ) sin sin sin

8

x x x

f x dx    x C

   



D ( ) sin sin sin

8

x x x

f x dx    x C

   



Hướng dẫn giải

   

3

2

3sin sin

sin sin sin

4

3

2sin sin 2sin cos cos cos

8 8

3 sin sin sin

8

x x

x xdx xdx

x xdx xdx x x dx x dx

x x x

x C

 

     

   

      

   

 

   

Câu 63.Tìm nguyên hàm hàm số 3

( ) sin cos cos sin

A. ( ) 3cos 16

f x dx  x C

 B ( ) cos

16

f x dx x C



C ( ) 3sin 16

f x dx x C

 D ( ) sin

16

f x dx x C



Hướng dẫn giải:

sin cos33x xcos sin 3x x dx

 3sin sin cos3 cos3 3cos sin

4

x x x x

x x dx

 

 

   

 



3

sin cos sin cos3 sin cos sin cos3

4 x x x x x x x x dx

 

     

 



 

3 3

sin cos3 sin cos sin cos

4 x x x x dx xdx 16 x C



      

Câu 64.Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) sin2

2

x

f x  biết

2

F     

 

A   sin

2 2

x x

F x    B.

  sin

2 2

x x

F x   

C   sin

2 2

x x

F x    D.

  sin

2 2

x x

F x   

Hướng dẫn giải

 ( ) sin2 1 cos  1sin

2 2

x x

F x  dx   x dx  x C

 1sin

2 4 2

F       C  C

 

    

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.

Câu 65.Hàm số ( ) ln sin2

x

x e

f x e

x



 

   

  có họ nguyên hàm

A   xln cot

F x e  x C B   xln cot

F x e  x C

C  

1 ln

cos

x

F x e C

x

   D  

1 ln

cos

x

F x e C

x

  

Hướng dẫn giải:

1

( ) ln ln cot

sin

x x

f x dx e dx e x C

x

 

      

 

 

Câu 66.Hàm số f x( ) 3 x2 3x x có nguyên hàm bằng

A.

ln ln

x x

C

  B.3 ln 3(1 ln 2)x  x C.

C 3 ln ln

x x x

C

  D.

ln ln 3.ln

x x

C

 

Hướng dẫn giải: ( ) 3  ln ln

x x

x x

f x dx  dx  C

 

Câu 67.Một nguyên hàm F x( ) hàm số

( ) ( x x)

f x  e e thỏa mãn điều kiện F(0) 1

là

A. 2

( )

2

x x

F x   e  e  x B.F x( ) 2e2x2e2x2x1.

C. ( ) 2 2

2

x x

F x   e  e  x. D. ( ) 2 2 1

2

x x

Hướng dẫn giải: Ta có 2

( ) , (0) 1

2

x x

F x   e  e  x C F    C

Câu 68.Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 1

x f x

x

 



A F x  2x3ln x 1 C B F x  2x3ln x 1 C

C F x  2xln x 1 C D F x  2x+ln x 1 C Hướng dẫn giải: 2 3ln

1

x

dx dx x x C

x x

        

 

   

 

Câu 69.Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2

x x

f x

x

 





A   12 12 5ln

8

F x  x  x C B   12 12 5ln

F x  x  x  C

C F x   2x12ln 2x 1 C D F x   2x12ln 2x 1 C Hướng dẫn giải:

   

2

2

2 5

2 ln

2 2

x x x

dx dx x x C

x x

 

  

        

   

 

Câu 70.Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 32

x x

f x x

 



A   ln 1

2

x

F x   x  C B   ln 1

2

x

F x   x   C

C F x  x2lnx2 1 C

D F x  x2lnx2  1 C

Hướng dẫn giải:    

2

3 2

2

2 2

1

ln

1 2

d x

x x x x x

dx x dx x C

x x x



          

 

    

  

Câu 71.Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ln

f x

x x x





A F x  ln lnx 1 C B F x  ln lnx 1 C C F x  ln x 1 C D F x  lnx 1 C Hướng dẫn giải:   ln 1 ln ln

ln ln

d x

dx x C

x x x



   

 

 

Câu 72.Tìm nguyên hàm hàm số ( )

x x e f x

e





A   x ln x 1

F x e  e  C B   x ln x 1

F x e  e  C C   ln x 1

F x  e  C D F x  e2x ex C

Hướng dẫn giải:    

2 1

ln

1 1

x

x x

x x x x

x x x

d e

e e

dx e dx e e e C

e e e



 

         

    

  

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 73.Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 1

f x x





A  f x dx  2 x2ln 1  xC B  f x dx  2 x2ln 1  xC C  f x dx  ln 1  xC D  f x dx   2 2ln 1  xC Hướng dẫn giải

Khi    

2

1

2 ln

1

t dt

dx dt t t C

t t

x

  

       

  

  

   

2 x ln x C x 2ln x C

         (Với C 2 C1 1 x 0)

Câu 74.Tìm nguyên hàm hàm số ( )

x f x

x

 



A   2 4

3

f x dx x x C

 B  f x dx  x4 x 1 C C    

2 1

x

f x dx C

x x

 

 

 D   1

1

f x dx x C

x

   





Hướng dẫn giải: 1  1 2 4

1

x

dx x d x x x C

x x

          

 

   

 

Câu 75.Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 1

x f x

x

 



A   22 1

3

f x dx  x  x C

 B   22 1

3

f x dx x  x C



C   22 1

f x dx  x  x C

 D   1

1

f x dx x C

x

    





Hướng dẫn giải

 

 32  12  

2 1

2 1

1

2

1 2 1

3

x

dx x d x

x x

x x C x x C

       

 

   

         

 

Câu 76.Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2

3

x f x

x





A   3 2

3

f x dx x  C

 B   3 2

3

f x dx  x  C



C  

3

6

f x dx x  C

 D   2

3

3

f x dx x  C



Hướng dẫn giải:  

2

2

2

3

1

3

6

3

d x

x

dx x C

x x



   

 

 

Câu 77.Tìm nguyên hàm hàm số

3

( )

x f x

x





A   1 8 4

3

f x dx  x  x C

 B   1 8 4

3

f x dx x  x C



C   4

3

f x dx  x C

 D   2 8 4

3

f x dx  x  x C



Hướng dẫn giải: Đặt t  4x2 x2   4 t2 xdx tdt Khi đó

 2   

3

2

4

4

3

t tdt

x t

dx t dt t C

t x

 

     



  

 3  

2

2 2

4 1

4

3

x

x C x x C



        

4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Câu 78.Tính F x   (2x1)e dx e1x  1x(Ax B )C

A 3 B 3 C 0 D 5 Hướng dẫn giải:

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng. u đạo hàm

của u dv nguyên hàmcủa v

2x1 e1 x

2 e1 x

0 e1 x

Do F x( ) (2x1)e1x2e1x C e1x( 2  x 1) C.

Vậy A B  3

Câu 79.Tính F x( )excosxdx e A x( cosx B sin )x C Giá trị biểu thức

A B

A.1 B 1 C 2 D 2

Hướng dẫn giải:

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng u đạo hàm

của u dv nguyên hàmcủa v

x

e cos x

x

e sin x

x

e cos x

Do ( ) sin cos ( )

x x

F x e x e x F x C hay ( ) 1 sin cos 

x x

F x  e x e x  C

Vậy A B 1

Câu 80.Tính F x( ) 2 (3x x2)6dxA x(3 2)8Bx x(3 2)7C

 Giá trị biểu thức

12A11B

A 1 B 1 C 12

11 D

12 11  Hướng dẫn giải:

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng u đạo hàm

của u dv nguyên hàmcủa v

2x (3x2)6

2 (3 2)7

21 x

0 (3 2)8

504 x Do ( ) (3 2)7 (3 2)8

21 252

F x  x x  x  Vậy C 12A11B1

Câu 81.Tính F x( )x2 x1dx ax x 2( 1) x 1 bx x( 1)2 x 1 c x( 1)3 x 1 C Giá trị biểu thức a b c  bằng:

A 2

7 B

2 

C 142

105 D

142 10  Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Đặt u x dv 2,  x1dx ta

2

2 16

( ) ( 1) ( 1) ( 1)

3 15 105

F x x x dx x x x  x x x  x x C

Vậy 82

105

a b c   

+

-+ -+

-Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng u đạo hàm

của u dv nguyên hàmcủa v

2

x

2

(x1) 2x

-3

2 ( 1) x

2

+

5

4 ( 1) 15 x

0

2

8

( 1) 105 x

2

2 16

( ) ( 1) ( 1) ( 1)

3 15 105

F x x x dx x x x  x x x  x x C

Vậy

7

a b c  

Câu 82.Tính F x  lnx 1x dx2 Chọn kết đúng:

A.  2

( ) ln 1

F x x x x  x C B ( ) 2

1

F x C

x

 



C F x( )xlnx 1x2 1x2 C

D F x( ) ln x 1x2x 1x2 C

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với

 2

ln ;

u x x dv dx

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u đạo hàm u dv nguyên hàm củav

 2

ln x 1x

2

1

1 x

(Chuyển

1

1 x qua dv)

x

1

2

1

x x



(Nhận

1

1 x từ u)

0 1 x

Câu 83.Hàm số f x( ) có đạo hàm 3

'( ) x

f x x e đồ thị hàm số f x( ) qua gốc tọa độ O Chọn kết đúng:

A. ( ) 2

2 2

x x

f x  x e  e  B ( ) 2

2 2

x x

f x  x e  e 

C. ( ) 2

2 2

x x

f x  x e  e  D ( ) 2

2 2

x x

f x  x e  e 

Hướng dẫn giải:

+

+

-Phương pháp tự luận: Đặt 2

, x

u x dv xe  chọn , 2

x

du xdx v e ta

2

2

1

( )

2

x x

f x  x e  e  Đồ thị qua C O(0;0) nên

C

Phương pháp trắc nghiệm:

u đạo hàm của

u dv nguyên hàmcủa v

2

x x2

xe 2x(chuyển 2x qua

dv)

2

x e

1 x2

xe (nhận 2x từ u)

0

2

x e

2

2

1

( )

2

x x

f x  x e  e  Đồ thị qua C O(0;0) nên

C

Câu 84.Tính F x( ) x21dx

 bằng:

A.   1 1ln 1

2

F x  x x   x x   C B   1 1ln 1

2

F x  x x   x x   C

C   1 1ln 1

2

F x  x x   x x   C D   1 1ln 1

2

F x  x x   x x   C

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa F x'( ) f x( )F x'( ) f x( ) 0

Nhập máy tính d F x( ) f x( )

dx  CALC x số giá trị ngẫu nhiên

tập xác định, kết xấp xỉ bằng0 chọn

Cách 2: Đặt u x21,dv dx ta đượcF x( )x x2 1 F x( )J x( )

với ( ) 1

dx J x

x





 , cách đặt u x  x21 ta J x( ) ln x x2 1 C

Vậy ( ) 1 1ln 1

2

F x  x x   x x   C

4.1.6 ÔN TẬP

Câu 85.Kết sin cos2x xdx



A.1

sin

3 x C B

3

sin x C C

sin

3 x C

  D sin x C3  .

Hướng dẫn giải: Ta có sin cos2 sin2 (sin ) 1sin3

3

x xdx xd x   x C

 

Câu 86.Tính cos2xsinxdx



A. 1cos3

3 x C

  B cos x C3  . C 1cos3

3 x C D

3

cos x C Hướng dẫn giải: Ta có cos2 sin cos2 (cos ) 1cos3

3

x xdx  xd x   x C

 

Câu 87.Kết sin xdx3



A.

3

cos

cos

x

x C

  B.

3

co s

cos

x

x C

  

+

-C.3sin cos2x x C . D.

cos

cos

x

x C

 

Hướng dẫn giải:

3 2

sin (1 cos )sin (1 cos ) (cos ) cos cos

xdx  x xdx   x d x  x x C

  

Câu 88.Kết cos xdx3



A.

3

sin sin

3

x

x  C B.

3

sin sin

3

x

x  C

C.3sin cos2x x C . D.

3

sin sin

3

x

x C

  

Hướng dẫn giải:

3 2

cos (1 sin ) cos (1 sin ) (sin ) sin sin

xdx  x xdx  x d x  x x C

  

Câu 89.Kết sin cos4x xdx



A.1sin5

5 x C B

5

1 sin

5 x C

  C

sin x C D

sin x C

 

Hướng dẫn giải: Ta có sin cos4 sin4 (sin ) 1sin5

5

x xdx xd x  x C

 

Câu 90.Tính tan2 cos

x e

dx x



A.etan x C. B tan x etanxC. C etan xC. D.etan x C.

Hướng dẫn giải:

tan

tan tan

2 (tan )

cos

x

x x

e

dx e d x e C

x   

 

Câu 91.Tính 12 cos dx

x x

 bằng:

A.2 tan x C B tan x C C

tan x C D.1tan

2 x C

Hướng dẫn giải: 2

1

2 ( ) tan

cos dx cos d x x C

x x  x  

 

Câu 92.Tính 33

x dx

x 



A.ln x3 1 C B.

3

4

x C

x  x C.

3

ln(x  1) C D

3

x C

x x

Hướng dẫn giải: 3

3

3

( 1) ln

1

x

dx d x x C

x   x     

 

Câu 93.Tính

2

3

6 12

3

x x

dx

x x



 



A.2 ln x33x2 6 C

B.ln x33x2 6 C

C.1ln 3 6

2 x  x   C D.

3

2 ln(x 3x  6) C Hướng dẫn giải:

2

3

3

6 12

2 ( 6) 2ln

3 6

x x

dx d x x x x C

x x x x

       

   

 

Câu 94.Tính 44 22

x x

dx

x x

  



C.1

ln

2 x x   C D.

4

2ln(x x 3) C

   

Hướng dẫn giải: 4

4

4

( 3) ln

3

x x

dx d x x x x C

x x x x

       

   

 

Câu 95.Tính 3

x

dx

x x

  



A.1ln 3 1

3 x  x  C B.

3

ln x 3x 1 C C.ln x33x 1 C

D.1ln( 3 1)

3 x  x  C

Hướng dẫn giải: 3

3

1 1

( 1) ln

3 3

x

dx d x x x x C

x x x x

       

   

 

Câu 96.Tính e6x5dx



A.1

6

x

e   C B.e6x5C. C 6e6x5C. D. e6x5C.

Hướng dẫn giải: 6 (6 5)

6

x x x

e  dx e  d x  e  C

 

Câu 97.Tính e x 5dx



A e x 5C. B e x 5C. C ex5C. D ex5C.

Hướng dẫn giải: x x ( 5) x

e  dx  e  d x   e  C

 

Câu 98.Tính 5 9x 12dx

A

13

(5 ) 117

x C



  B

13

(5 ) 117

x C



 C

13

(5 ) 13

x C



 D

13

(5 )

x C



 Hướng dẫn giải: 5 12 5 12 (5 ) (5 )13

9 117

x

x dx x d x  C

       

 

Câu 99.Tính cos

x  dx

  

 

 



A.1sin

5 x C

   

 

  B sin 5x C

   

 

 

C 5sin 5

x  C

 

   

  D.

1 sin

5 x C



 

   

 

Hướng dẫn giải: cos cos 5 1sin

4 4

x  dx x  d x  x  C

            

       

       

 

Câu 100. Tính

1 cos

4

dx

x 

  

 

 

 bằng

A.tan

4

x  C

  

 

  B tan x C

   

 

 

C tan

x  C

 

   

  D.

1 tan

4 x C

   

 

 

Hướng dẫn giải: 2

1

tan

4

cos cos

4

dx d x x C

x x

 

        

         

   

   

Câu 101. Tính

1

(cosxsin )x dx



A. 1cot

2 x C



 

   

  B.

1 cot

2 x C

   

 

 

C cot

x  C

 

   

  D.

1 cot

4 x C



 

   

 

Hướng dẫn giải

2

2

1 1 1

cot

(cos sin ) sin sin 4

4

dx dx d x x C

x x x x

 

     

        

          

   

   

  

Câu 102. Tính 12

x dx x

 



A.4 1ln

3

x x  C B.

2

6x 5x C

x x

 



C.4xln 3x 1 C D. 1ln(3 1)

x x C

Hướng dẫn giải: 12 4 1ln

3 3

x

dx dx x x C

x x

        

 

   

 

Câu 103. Tính

2

2

x x

dx x

 



A. 1ln

2

x

x x C

    B. ln

2

x

x x C

   

C 1ln(2 1)

2

x

x x C

    D. 2ln(2 1)

2

x

x x C

   

Hướng dẫn giải:

2

2 1

1

2 2

x x x

dx x dx x x C

x x

          

 

   

 

Câu 104. Tính ( 1)2

x dx x

 



A. ln

1 x C

x

   

 B.

1

ln

1 x C

x   

C. ln

1 x C

x

   

 D.

1

ln( 1)

1 x C

x

   



Hướng dẫn giải: 2

1 1

ln

( 1) ( 1) 1

x

dx dx x C

x x x x

 



        

     

 

Câu 105. Tính sin (2 cos )x  x dx

A. 2cos 1cos

x x C

   B.2cos 1cos

4

x x C

C.2cos 1cos

x x C D. 2cos 1cos

2

x x C

Hướng dẫn giải: sin (2 cos ) (2sin 1sin ) 2cos 1cos

2

x  x dx x x dx  x x C

 

Câu 106. Tính x.2xdx

 bằng:

A. 22

ln ln

x x

x

C

  B.  1

ln

x x

C



 C.2 (x 1)

x C D. (x 1)

Hướng dẫn giải

Đặt

2

ln

x x

du dx u x

dv dx v

  

 

 

 

  Ta có

.2 2

2

ln ln ln ln

x x x x

x x x

x dx  dx  C

 

Câu 107. Tính ln xdx bằng:

A.xlnx x C  B.

2

ln ln

2

x

x x x C

C. 1ln x x C

x   D.

1 ln

x x C

x

  Hướng dẫn giải

Đặt

1 ln

u x du dx

x

dv dx v x



 

 

  

   Ta có ln xdx x lnxdx x lnx x C 

Câu 108. Tính 2 ln(x x1)dx bằng:

A.

2

( 1) ln( 1)

x

x  x    x C B.

2 2ln( 1)

2

x

x x    x C

C.( 1) ln( 1)

2

x

x  x    x C D. ( 1) ln( 1)

2

x

x  x    x C

Hướng dẫn giải

Đặt

2

1 ln( 1)

1

1

du dx

u x

x

dv xdx

v x

 

 

  

  

   

 Ta có

2

2

2 ln( 1) ( 1) ln( 1) ( 1) ( 1) ln( 1)

x

x x dx x  x  x dx x  x   x C

 

Câu 109. Tính

1 sin

cos

x dx

x

  

 

 

 bằng:

A.cosxtanx C B.cosxtanx C

C.cosxtanx C D. cos

cos

x C

x

  

Hướng dẫn giải: Ta có

1

sin cos tan

cos

x dx x x C

x

      

 

 



Câu 110. Hàm số F x( ) ln sin xcosx nguyên hàm hàm số

A. ( ) sin cos

sin cos

x x

f x

x x

 

 B.

sin cos ( )

sin cos

x x

f x

x x

 



C. ( ) sin cos

f x

x x



 D.

1 ( )

sin cos

f x

x x





Hướng dẫn giải: Ta có '( ) (sin cos ) ' cos sin sin cos sin cos

x x x x

F x

x x x x

 

 

 

Câu 111. Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 3 x32x21 thỏa mãn điều kiện

( 2)

F   là:

A. ( ) 37

4 3

F x  x  x  x B. ( )

4

F x  x  x   x C

C. ( )

4

F x  x  x  x D. ( ) 37

4 3

F x  x  x  x

Ta có 3

( ) (3 1)

4

F x  x  x   x  x  x Cvà ( 2) 37

F     C

Vậy ( ) 37

4 3

F x  x  x  x

VẬN DỤNG CAO

4.1.1 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC.

Câu 112. Kết tính 52

x x

dx x

  





A. ln

2

x

x C

   B ln

2

x

x C

   C ln

3

x

x C

   D ln

3

x

x C

  

Hướng dẫn giải

  

   

2

3

2

2

5

4 2

x x x

x x x x

x

x x x x x

  

    

   

     Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 113. Họ nguyên hàm   2 5

1

f x x x 

A    16

18

F x  x  C B F x  18x316  C

C F x  x316 C D   1 6

1

F x  x   C

Hướng dẫn giải: Đặt t x3 1 dt3x dx2 Khi đó

 5  6

2 1 1

3 18 18

x x  dx t dt  t  C x  C

 

Câu 114. Họ nguyên hàm hàm số f x  x2 x x3 x

  

 hàm số nào?

A   ln 12

2

F x x x C

x x

     B   ln 12

2

F x x x C

x x

    

C   3 ln

3

x x

F x    x C D   3 ln

3

x x

F x    x C

Hướng dẫn giải: f x  x2 x x3 1 12 13

x x x x

  

     Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 115. Giá trị m để hàm số    

3

F x mx  m x  x nguyên hàm hàm số f x  3x210x4 là:

A. m1 B m0 C m2 D m3

Hướng dẫn giải: 3x210x4dx x 35x24x C

 , nên m1

Câu 116. Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x  sin 24 x

thoả mãn  0

F  Khi F x  là:

A.   3 1 1sin sin

8 64

F x  x  x x B   1sin sin

8 64

F x  x x x

C   1sin sin

8 64

F x  x x x D   sin sin

8

F x  x x x

   

4 cos 1 cos8

sin 2cos cos 2cos

2 4

3 cos cos8

8

x x

x x x x

x x

 

   

         

   

  

Nên sin 24  cos cos8 sin sin

8 8 64

x x x x

x dx    dx x  C

 

 

Vì  0

F  nên suy đáp án

Câu 117. Biết hàm số f x( ) (6 x1)2có nguyên hàm F x( )ax3bx2cx d thoả

mãn điều kiện F( 1) 20.  Tính tổng a b c d  

A 46 B 44 C 36 D 54

Hướng dẫn giải

 2  2  3 2

6x1 dx 36x 12x1 dx12x 6x  x C

  nên a12;b6;c1

Thay F( 1) 20.  d 27, cộng lại chọn đáp án

Câu 118. Hàm số f x  x x1 có nguyên hàm F x  Nếu F 0 2thì F 3

A. 146

15 B

116

15 C.

886

105 D

105 886. Hướng dẫn giải: Đặt t  x 1 2tdt dx

 4 2 5 3 2  5 3

1 2 1

5

x x dx t  t dt t  t  C x  x C

 

Vì F 0 2 nên 34 15

C  Thay x3 ta đáp án

Câu 119. Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x( )xcosx thỏa mãn F 0 1 Khi phát biểu sau đúng?

A F x  hàm số chẵn B F x  hàm số lẻ

C Hàm số F x  tuần hồn với chu kì 2

D Hàm số F x  không hàm số chẵn không hàm số lẻ Hướng dẫn giải

cos sin cos

x xdx x x x C



 0

F  nên C0 Do F x  hàm số chẵn

Câu 120. Một nguyên hàm F x  hàm số

sin ( )

sin

x f x

x



 thỏa mãn F 0 0 A

2

sin ln

3

x

 B ln sin x C

2

ln sin

x



D ln cos x2 Hướng dẫn giải: Đặt t sin2x 3 dt2sin cosx xdx

2

sin

ln ln sin

sin

x dt

dx t C x C

x  t     

 

vìF 0 0 nên C ln Chọn đáp án

Câu 121. Cho  

sin

m

f x   x

 Tìm m để nguyên hàm F x  hàm số f x  thỏa mãn F 0 1

4

F     

 

A

4

 B 3

4 C

4

 D 4

Hướng dẫn giải: sin2 sin

2

m m x x

x dx x C

      

 

 

   F 0 1 nên C1

4

F     

 

nên tính

m 

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 122. Tìm nguyên hàm hàm số ( ) sin cos

f x

x x



A. ( ) ln sin 1ln sin2

2

f x dx x   x C

 B ( ) ln sin 1ln sin2

2

f x dx x   x C



C 1

( ) ln sin ln sin

2

f x dx x   x C

 D

( ) ln sin ln sin

f x dx  x   x C



Hướng dẫn giải

 

 

2

sin cos

sin cos sin cos sin sin

d x

dx xdx

x x  x x  x  x

   sin  sin  sin 

2 sin sin sin

d x d x d x

x x x

  

 

  

2

1 1

ln sin ln sin ln sin ln sin ln sin

2 x x x C x x C



         

Câu 123. Tìm nguyên hàm hàm số

3

2sin ( )

1 cos

x f x

x





A.  f x dx( ) cos2x2 cosx C B ( ) 1cos2 2cos

2

f x dx x x C



C f x dx( ) cos2xcosx C

 D ( ) 1cos2 2cos

2

f x dx x x C



Hướng dẫn giải

 

3 2

2sin 2sin 2cos

.sin cos

1 cos cos cos

x x x

dx xdx d x

x x x



 

  

  

   

2 cosx d cosx cos x cosx C

    

Câu 124. Tìm nguyên hàm hàm số

3

cos ( )

sin

x f x

x



A. ( ) cot4

4

x

f x dx C

 B ( ) cot4

4

x

f x dx C



C

2

cot ( )

2

x

f x dx C

 D

4

tan ( )

4

x

f x dx C



Hướng dẫn giải 3  

5

cos cot

cot cot cot

sin sin

xdx dx x

x x d x C

x x



    

  

Câu 125. Tìm nguyên hàm hàm số: f x( ) cos sin x 4xcos4x

A. ( ). 1sin 2 sin 23

2 12

f x dx x x C

 B ( ). 1sin 2 sin 23

2 12

f x dx x x C



C ( ). sin 2 1sin 23

4

f x dx x x C

 D ( ). 1sin 2 1sin 23

2

f x dx x x C



Hướng dẫn giải

 4 

cos sinx xcos x dx

  cos 2xsin2xcos2x2sin cos2x x dx

 



 

2

2

1

cos sin cos sin cos

2

1 1

cos sin sin sin sin

4 12

x x dx xdx x xdx

xdx x d x x x C

 

     

 

    

  

Câu 126. Tìm nguyên hàm hàm số f x( )tanx e 2sinxcosx

A. 2sin

( ) cos

x

f x dx  x e C

 B 2sin

( ) cos

x

f x dx x e C



C f x dx( )  cosx e 2sinxC

 D ( ) cos 2sin

2

x

f x dx  x e C



Hướng dẫn giải

 2sin  2sin   2sin

tan cos sin sin cos

2

x x x

x e xdx xdx e d x   x e C

  

Câu 127. Tìm nguyên hàm hàm số ( )

sin cos

f x

x x



 

A. ( ) cot

2

x

f x dx    C

 

  B ( ) cot

2

x

f x dx   C

 

 

C ( ) cot

x

f x dx    C

 

  D ( ) cot

2

x

f x dx    C

 

 

Hướng dẫn giải

1

sin cos 2 sin 2 sin 1

4

dx dx dx

x x  x   x 

   

   

    

2

2

1 1

cot

3

2 2sin

sin cos 2 8

2 8

dx dx x

C x

x x

 

      

   

         

   

      

 

     

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.

Câu 128. Hàm số F x( ) ln sin xcosx nguyên hàm hàm số

A. ( ) sin cos

sin cos

x x

f x

x x

 

 B

sin cos ( )

sin cos

x x

f x

x x

 



C ( ) sin cos

f x

x x



 D

1 ( )

sin cos

f x

x x





Hướng dẫn giải: '( ) (sin cos ) ' cos sin sin cos sin cos

x x x x

F x

x x x x

 

 

 

Câu 129. Kết tính 2 ln(x x1)dx bằng:

A.

2

( 1) ln( 1)

x

x  x    x C B.

2 2ln( 1)

2

x

x x    x C

C.( 1) ln( 1)

2

x

x  x    x C D. ( 1) ln( 1)

2

x

x  x    x C

Hướng dẫn giải

Đặt

2

1 ln( 1)

1

1

du dx

u x

x

dv xdx

v x

 

 

  

  

   

 Ta có

2

2

2 ln( 1) ( 1) ln( 1) ( 1) ( 1) ln( 1)

x

x x dx x  x  x dx x  x   x C

 

Câu 130. Kết tính tan2 cos

x e

dx x

 bằng:

A.etan x C. B tan x etanxC. C etan xC. D.etan x C.

Hướng dẫn giải:

tan

tan tan

2 (tan )

cos

x

x x

e

dx e d x e C

x   

Câu 131. Tính cos2

e xsin

xdx

 bằng:

A. cos x2

e C

  B esin xC. C e2sin xC. D esin xC.

Hướng dẫn giải: ecos2xsin 2xdx  ecos2xd(cos )2x  ecos2xC

 

Câu 132. Tính esin2xsin 2xdx

 bằng:

A. sin x2

e C B esin xC. C cos x2

e C D e2sin xC.

Hướng dẫn giải: esin2xsin 2xdx esin2xd(sin ) e2 x  sin2xC

 

Câu 133. Kết ecosxsinxdx

 bằng:

A.ecos xC. B ecos xC. C ecos xC. D esin xC.

Hướng dẫn giải: cosxsin cosx (cos ) cosx

e xdx  e d x  e C

 

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 134. Biết hàm số F x( ) x 2 x2017 nguyên hàm hàm số ( )

1

ax b f x

x

 

 Khi tổng a b

A. B 2 C 0 D 1

Hướng dẫn giải: '( )  2017 ' 1

x

F x x x

x



    

  

3

a b

     

Câu 135. Tìm nguyên hàm hàm số

3

2 ( )

1

x x

f x x

 



A   1 8 1

3

F x  x  x  C B   1 8 1

3

F x  x x  x  C

C   18 2 1

3

F x  x x   C D   2 8 1

3

F x  x  x  C

Hướng dẫn giải:  

2

2

2

1

x xdx

x x

dx

x x



 

 

 

Đặt t  x2 1 x2   t2 1 xdx tdt Khi đó

    

3

2

3

3

3

t tdt

x x t

dx t dt t C

t x



      



  

 3  

2

2 2

1 1

3

3

x

x C x x C



       

Câu 136. Tính   2 sin 2

4sin cos

x

F x dx

x x



 

 Hãy chọn đáp án

A F x   cos 2 x C B F x   sin 2 x C C F x   cos 2 x C D F x    sin 2 x C Hướng dẫn giải

 

2

6 cos

sin sin

6 cos cos 2 cos

4sin 2cos

d x

x x

dx dx= x C

x x

x x



   

 

 

  

Câu 137. Biết hàm số F x( )mxn 2x1 nguyên hàm hàm số

( )

2

x f x

x

 

A.

9

 B 2 C

3

 D 0

Hướng dẫn giải

Cách 1: Tính 1 2x

3

2x

x

dx x C

      

 

  

 Suy 1;

3

m  n m n 

Cách 2: Tính ' 

2

mx m n F x

x

  

 Suy

1

3 .

1

3

m m

m n n m

n

     

    

   

  



Câu 138. Biết hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) ln2 ln

x f x

x x



 có đồ thị qua điểm e;2016 Khi hàm số F 1

A. 2014 B 2016

C 2 2014 D 2 2016

Hướng dẫn giải: Đặt t  ln2x3 tính F x   ln2x 3 C.

     

2016 2014 ln 2014 2014

F e   C F x  x  F  

4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Câu 139. Tính x e dx e ax3 x  x( 3bx2cx d )C

 Giá trị a b c d  

A 2 B 10 C 2 D 9 Hướng dẫn giải:

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết quả: x e dx x e3 x  x3x e2 x6xex6ex C e xx( 33x26x 6) C



Vậy a b c d    2

Câu 140. Tính F x( ) xln(x23)dx A x ( 23) ln(x2 3) Bx2C

 Giá trị biểu thức A B

bằng

A B 1 C 1 D 2 Hướng dẫn giải

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng u đạo hàm u dv nguyên hàm

của v

2

ln(x 3) x

2

2

x

x 

2 3

2

x 

1 (Chuyển 22

3

x

x  qua

dv)

x (Nhận 22

3

x

x  từ u)

0

2

x

Do ( ) ln( 3) 1( 3)ln( 3)

2

F x x x  dx x  x   x C

Vậy A B 0

Câu 141. Tính x2cos 2xdx ax 2sin 2x bx cos 2x c sinx C Giá trị a b 4c

A B 3

4 C

3 

D 1

2

+

-Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần 2 lần

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết quả: 2cos 2 2sin 2 cos 2 1sin 2

2

x xdx x x x x x C



Vậy a b 4c0

Câu 142. Tính x3ln 2xdx x A 4( ln 2x B )C Giá trị 5A4B bằng:

A. B

4 

C 1

4 D 1

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với

3

ln ,

u x dv x dx

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết quả: 3ln 2 4ln 2 4 1ln 2

4 16 16

x xdx x x x  C x  x C

 



Vậy 5A4B1

Câu 143. Tính ( ) ln1

x

F x x dx

x

 



 Chọn kết đúng:

A. ( ) ln1

2

1

x x

F x x C

x



  



 B 1

( ) ln

2

1

x x

F x x C

x



  

  C ( ) 1ln

2

x x

F x x C

x

 

  

 D

2 1 1

( ) ln

2

x x

F x x C

x

 

  

 Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần và nguyên hàm hàm số hữu tỉ

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết quả: ln1 1ln

1

x x x

x dx x C

x x

     

 



Câu 144. Cho hàm số F x( ) x(1x dx)3

 Biết F(0) 1 , F(1)bằng:

A. 21

20 B

19

20 C

21 

D 19

20 

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp đổi biến số với u 1 x Sử dụng phương pháp phần với u x dv ;  (1 x dx)3 .

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng với

3

; (1 )

u x dv  x dx

Kết ( ) (1 )3 (1 )4 (1 )5

4 20

x x x

F x x x dx     C

(0)

F  suy 21 20

C Do (1) 21 20

F 

Câu 145. Tính (2 x1)sinxdx a x cosx b cosx c sinx C Giá trị biểu thức a b c 

bằng

A.1 B 1 C 5 D 5

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần. Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.

Câu 146. Cho hàm số F x( )xln(x1)dx có F(1) 0 Khi giá trị F(0)

A.

4 

B 1

4 C

1 

D 1

2 Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với

ln( 1),

u x dv xdx

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết F x( )xln(x1)dx 1( 1) ln( 1) 1( 2 )

2 x x x x C

     

Từ F(1) 0 suy

C  Vậy (0)

F 

Câu 147. Hàm số F x( )(x21) ln xdx thỏa mãn (1)

F 

A.1( 3 ) ln

6 18

x x

x  x x  B 1( 3 ) ln 1

6 18

x x

x  x x   C 1( 3 ) ln 10

6 18

x x

x  x x   D 1( 3 ) ln 1

6 18

x x

x  x x   Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp phần. Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết ( ) ( 1) ln 1( 3 ) ln

6 18

x x

F x  x  xdx x  x x  C

Với (1)

F  suy C0 nên ( ) 1( 3 ) ln

6 18

x x

F x  x  x x 

Câu 148. Hàm số f x( ) có đạo hàm '( ) 2 ( 1)

x xe f x

x



 có đồ thị qua điểm A(0;1) Chọn kết

A. ( )

1

x e f x

x



 B ( ) 1

x e f x

x

 

 C ( )

1

x e f x

x

 

 D ( )

x e f x

x

 



Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp phần với

1 ,

( 1)

x

u xe dv dx

x

 

 u đạo hàm u dv nguyên hàm

của v

x

xe

1 (x1)

(x1)ex

(Chuyển (x1)ex qua dv)

1

x

 

x

e



(nhận (x1)ex từ u)

0 ex

Kết ( ) 2

( 1)

x x

xe e

f x dx C

x x

  

 

 Với f(0) 1 suy C0 Vậy ( )

1

x e f x

x

 

Câu 149. Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) ln x x2 thỏa mãn 1 F(0) 1 Chọn kết

+

-A.F x( )xlnx x2 1 x2  B F x( )xlnx x2 1 x2  C F x( )xlnx x2 1 x2  1 D F x( )xlnx x2 1 x2 Hướng dẫn giải:

Đặt ulnx x21 , dv dx ta

 

( ) ln 1

F x x x x   x   Vì C F(0) 1 nên C2

Vậy F x( )xlnx x2 1 x2 

Câu 150. Một nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2 cos

x f x

x

 thỏa mãn F( ) 2017  Khi  

F x hàm số đây?

A. F x( )xtanxln | cos | 2017x  B F x( )xtanxln | cos | 2018x  C F x( )xtanxln | cos | 2016x  D F x( )xtanxln | cos | 2017x  Hướng dẫn giải: Đặt , 12

cos

u x dv dx

x

  ta du dx v , tanx Kết ( ) 2 tan tan tan ln | cos |

cos

x

F x dx x x xdx x x x C

x

     

Vì F( ) 2017  nên C 2017 Vậy F x( )xtanxln | cos | 2017x 

Câu 151. Tính F x( ) x(1 sin ) x dx Ax 2Bxcos 2x C sin 2x D

 Giá trị biểu thức

A B C 

A.1

4 B

1

 C 5

4 D

3  Hướng dẫn giải:

Cách 1: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng với u x dv ,  (1 sin )x dx ta

2

1 1

( ) cos sin

2

F x  x  x x x D Vậy

4

A B C  

Câu 152. Tính ( ) sin2 cos

x x

F x dx

x



 Chọn kết

A. ( ) tan 1ln sin cos sin

x x

F x x C

x x



   

 B

1 sin

( ) tan ln

cos sin

x x

F x x C

x x



   



C. ( ) tan 1ln sin cos sin

x x

F x x C

x x



   

 D

1 sin

( ) tan ln

cos sin

x x

F x x C

x x



   



Hướng dẫn giải

Cách 1: Biến đổi ( ) 2 sin2 tan ( )

cos cos

dx x x

F x dx x I x

x x

   

Tính I x( ) cách đặt ; sin2 cos

x

u x dv dx

x

  ta ( )

cos cos

x dx

I x

x x

 

Tính ( ) cos2 (sin ) ln sin

cos sin (sin 1)(sin 1) sin

dx xdx d x x

J x C

x x x x x



     

   

  

Kết   tan 1ln sin cos sin

x x

F x x C

x x



   



Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra d ( ( ))F x f x( )

dx  

4.1.6 ÔN TẬP

Câu 153. Một nguyên hàmF x( ) hàm số

1 ( ) sin

cos

f x x

x

  thỏa mãn điều kiện

4

F     

 là

A F x( ) cosxtanx 1 B F x( ) cos xtanx 1 C F x( ) cosxtanx 1 D F x( ) cosxtanx Hướng dẫn giải

Ta có

1

sin x cos tan ( ) cos tan

cos

x d x x C F x x x C

x

           

 

 



2

4

F     C 

  VậyF x( ) cosxtanx 1

Câu 154. Một nguyên hàm F x( )của hàm số ( ) 2sin 5

f x  x x thỏa mãn đồ thị hai hàm số F x( ) f x( ) cắt điểm nằm trục tung

A ( ) 2cos5

5

F x   x x x x B ( ) 2cos5

5

F x  x x x x

C ( ) 10cos5

F x x x

x

    D ( ) 2cos5

5

F x   x x x x

Hướng dẫn giải

Ta có ( ) 2cos5

5

F x   x x x x C F(0) f(0) C

Vậy ( ) 2cos5

5

F x   x x x x

Câu 155. Hàm số

( ) ( ) x

F x  ax bx c e nguyên hàm hàm số

( ) x

f x x e a b c  bằng:

A B 2 C 3 D 2 Hướng dẫn giải

Ta có 2

1

'( ) ( ) (2 ) 2

0

a a

F x f x ax a b x b c x a b b

b c c

 

 

 

            

    

 

Vậya b c  1

Câu 156. Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) a bcos 2x thỏa mãn (0)

F  ,

2

F    

  , F 12

 

    

 

A ( ) sin

3

F x   x  x  B ( ) sin

3

F x   x  x

C ( ) sin

3

F x   x  x  D ( ) sin

3

F x   x  x 

Ta có ( ) sin 2

b

F x ax x C

2 (0)

2

7

2

2 12

F a

F b

C F



  



 

 

  

 

 

          

 

    



   

  

Vậy ( ) sin

3

F x   x  x

Câu 157. Cho hàm số F x( )ax3bx2cx1 nguyên hàm hàm số f x( ) thỏa

mãn f(1) 2, f(2) 3, (3) 4 f  Hàm sốF x( )là

A. ( ) 1

2

F x  x   x B. ( ) 1

2

F x   x   x

C.

( )

2

F x   x   x D.

( )

2

F x  x   x

Hướng dẫn giải

Ta có f x( )F x'( ) 3 ax22bx c

0

(1) 2

1

(2) 12

2

(3) 27 1

a

f a b c

f a b c b

f a b c c

 

   

  

       

  

      

   

Vậy ( ) 1

2

F x  x   x

Câu 158. Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) tan sin 2 x x thỏa mãn điều kiện

4

F   

 

A ( ) 1sin

2

F x  x x   B ( ) 1cos

2

F x  x x  

C

( ) cos

3

F x  x D 1sin

2

x x 

Hướng dẫn giải

Ta có tan sin (1 cos ) 1sin ( ) 1sin

2

x xdx  x dx x  x C F x  x x C

 

và

4

F       C 

 

Vậy ( ) 1sin

2

F x  x x  

Câu 159. Cho hàm số f x( ) tan x có nguyên hàm F x( ) Đồ thị hàm số y F x ( ) cắt

trục tung điểmA(0;2) Khi F x( )

A.F x( ) tan x x 2 B.F x( ) tan x2 C. ( ) 1tan3 2

3

F x  x D. F x( ) cot x x 2

Hướng dẫn giải

2

( ) ( ) tan tan

F x  f x dx xdx x x C 

Câu 160. Cho hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số

( ) tan

f x  x Giá trị (0)

4

F    F

 

A.1

4 

 B.

4 

C.1

4 

 D.

4   Hướng dẫn giải:   tan (0)

4

F x  x x C  F  F  

 

 