tóm tắt phương pháp tính tích phân nguyên hàm

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM Định nghĩa: Các tính chất: F(x) nguyên hàm hàm số f(x) D F’(x) = f(x), ∀ x ∈ D ∫ f ( x)dx )’ = f(x) 2) af ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx ∫ 3) ∫ [( f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x) dx 1) ( ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇒ ∫ f (u)du = F (u) + C 4) Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp: Nguyên hàm hàm số sơ cấp ∫ du = u + C ∫ dx = x + C x α +1 α ∫ x dx = α + + C ∫ x dx = ln x + C ( α ≠-1) (x ≠ 0) e x dx = e x + C ∫ ax x ∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x Nguyên hàm hàm số hợp tương ứng (dưới u = u(x)) dx = tan x + C ∫ sin x dx = − cot x + C u α +1 ∫ u du = α + + C ∫ u du = ln u + C α ( α ≠ -1) (u ≠ 0) e u du = e u + C ∫ au ∫ a du = ln a + C u (0 < a ≠ 1) ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos u ∫ sin u du = tan u + C du = − cot u + C Hệ quả: Nguyên hàm hàm số sơ cấp ( ax + b )α + ∫ ( ax + b ) dx = a α + + C (α ≠ -1) 1 dx = ln ax + b + C ∫ ax + b a α Nguyên hàm hàm số sơ cấp ∫ cos( ax + b )dx = sin( ax + b ) + C a sin( ax + b )dx = − cos( ax + b ) + C ∫ a K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC ∫e ∫a ax +b mx + n 1 dx = tan(ax + b) + C a (ax + b) 1 ∫ sin (ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C dx = e ax+b + C a ∫ cos a mx + n dx = +C m ln a ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN I Định nghĩa tích phân: b ∫ b f ( x)dx = F ( x ) a = F (b) − F (a ) a II Các tính chất: a (1) ∫ f ( x)dx = a b (2) a ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a b a (3) b b a ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b b a (4) b a a ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx c c a (5) b a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx b (6) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ a b a (7) f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; b] ⇒ b a ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x) b (8) m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I Phương pháp đổi biến số: Đổi biến dạng 1: b Dạng : Tính tích phân: I = ∫ f ( x) dx a K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 2- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC + Đặt x = u(t) ⇒ dx = u’(t)dt + Đổi cận: x = a ⇒ t = α x = b ⇒ t = β Khi đó: a β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [u (t )]u ' (t )dt Các dạng toán thường gặp : β  π π 2 Bài toán 1: I = ∫ a − x dx Đặt x = asint, t ∈  − ;   2 α β Bài toán 2: I = ∫ α β Bài toán 3: I = ∫ α β Bài toán 4: I = ∫ α  π π dx Đặt x = asint, t ∈  − ; ÷  2 a2 − x2 π π dx Đặt x – b = asint, t ∈  − ;   ÷  2 a − ( x − b) 2 dx Đặt x = atant, t ∈ a + x2  π π − ; ÷  2 β dx α a'x + b'x + c' với phương trình a’x2 + b’x + c’ = vô nghiệm β 1 dx Ta viết lại : I = ∫ a ' α a + ( x + b) I=∫ Bài toán 5:  π π x+b = atant, t ∈  − ; ÷  2 Đổi biến dạng 2: Đặt b Dạng : Tính tích phân: I = ∫ f (u ).u ' dx a + Đặt t = u(x) ⇒ dt = u’(x)dx + Đổi cận: x = a ⇒ t = α x = b ⇒ t = β β ⇒ I = ∫ f (t )dt α Phương pháp tích phân phần: b a) Công thức vi phân: ∫ udv = u.v b a b − ∫ vdu a a u, v hàm số ẩn x có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b) Phương pháp giải tốn phương pháp tích phân phần: K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 3- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC b Tính tích phân: I = ∫ [ f ( x) g ( x)]dx a + Đặt: u = f ( x) du = f ' ( x)dx ⇒  dv = g ( x)dx v = G ( x) + Khi đó: b b b I = ∫ f ( x).g ( x)dx =u.v a − ∫ vdu = f ( x).G ( x) a − ∫ G ( x) f ' ( x)dx b a a b a c) Một số dạng toán áp dụng thuật tốn tích phân phần: Xét P(x) đa thức biến x, ta có dạng tốn áp dụng cơng thức tích phân tứng phần sau ex I = ∫ p ( x).sin x dx a cos x b Dạng 1: PP: Đặt: u = P(x) dv = ex sin x cos x b I = ∫ ex Dạng 2: a PP: Đặt u = ex dv = dx cos x sin x sin x dx cos x dx thực hai lần tích phân phần b Dạng 3: I = ∫ P( x) ln xdx a PP: Đặt u = lnx dv = P(x) K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 4- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ I Tích phân hàm phân thức mẫu bậc nhất: β Dạng 1: A= ∫ ax + bdx α β β 1 d (ax + b) dx = ∫ ∫ ax + b a α ax + b = a ln ax + b α PP: β B=∫ Dạng 2: α β α f ( x) dx ax + b PP: Cách 1: Ta thực phép chia đa thức để viết tích phân dạng: β β f ( x) c B=∫ dx = ∫ ( g ( x) + ) dx ax + b α ax + b α Cách 2: Đổi biến cách đặt t = ax + b β Dạng 3: C= ∫ (ax + b) k dx α ( k ≠ 1) PP: β Cách 1: β β 1 d (ax + b) dx = ∫ = ∫ (ax + b) −k d (ax + b) k k ∫ a α (ax + b) aα α ( ax + b) 1 = a − k (ax + b)k −1 Cách 2: Đổi biến cách đặt: t = ax + b β α II Tích phân hàm phân thức mẫu tam thức bậc hai: TH1: Phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x = x1 x = x2 β Dạng 1: ∫ ( x + a)( x + b) dx α PP: Ta viết tích phân dạng: β β 1 ( x + b) − ( x + a ) 1   dx = dx = ∫ ( x + a)( x + b) ∫ ( x + a)( x + b) ∫  x + a − x + b ÷dx b−aα b−aα  α β β Dạng 2: mx + n ∫ ax + bx + c dx α K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 5- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC PP: Ta viết tích phân dạng: β β β mx + n mx + n A B dx = ∫ dx = ∫ ( + ∫ ax + bx + c α a( x − x1 )( x − x2 ) a α x − x1 x − x2 )dx α f(x) ∫ ax + bx + c dx Dạng 3: với f(x) đa thức bậc lớn PP: Ta viết tích phân dạng: β β β β f ( x) m'x + n' A B ∫ ax + bx + cdx = α (h( x) + a( x − x1 )( x − x2 ) )dx = α h( x)dx + a α ( x − x1 + x − x2 )dx ∫ ∫ ∫ α TH2: Phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm kép x = x0 Bằng cách viết lại: ax2 + bx + c = a(x - x0)2 Ta có: β β f ( x) f ( x) I=∫ dx = ∫ dx a α ( x − x0 ) α ax + bx + c Dùng phương pháp đổi biến đặt t = x – x0 TH3: Phương trình ax2 + bx + c = vô nghiệm β ∫ ax Dạng 1: α β I=∫ Bài toán 1: α dx + bx + c dx a + x2  π π Đặt x = atant, t ∈  − ; ÷  2 β I=∫ Bài tốn 2: α Ta viết lại : I = dx a'x + b'x + c' β 1 ∫ a + ( x + b)2 dx a'α  π π Đặt x+b = atant, t ∈  − ; ÷  2 β Dạng 2: mx + n ∫ ax + bx + c dx α PP: Ta viết tích phân dạng: β β β mx + n d (ax + bx + c) M dx = ∫ +∫ ∫ ax + bx + c α ax + bx + c α ax + bx + c dx α K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 6- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC f ( x) dx + bx + c với f(x) đa thức bậc lớn Dạng 3: ∫ ax β PP: Ta viết tích phân dạng: β f ( x) m'x + n' ∫ ax + bx + cdx = α (h( x) + ax + bx + c )dx ∫ α K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 7- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ I Các dạng tốn dùng phương pháp đổi biến: Dưới thức nhị thức bậc nhất: β Dạng : I = ∫ f ( x, n ax + b )dx α Biểu thức f ( x, n ax + b ) chứa lũy thừa x lũy thừa PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = n n ax + b ax + b Dưới thức biểu thức có bậc lớn một: β Dạng : I = ∫ f ( x k , n ax k + b ).x k −1 dx α Biểu thức f ( x k , n ax k + b ) chứa lũy thừa xk lũy thừa PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = n n ax k + b ax k + b Có nhiều dấu thức biểu thức: β Dạng : I = ∫ f ( m ax k + b , n ax k + b ).x k −1dx α Biểu thức f ( m ax k + b , n ax k + b ) chứa lũy thừa PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = mn m ax k + b lũy thừa n ax k + b ax k + b II Một số toán đặc biệt cần nhớ: β Bài toán 1: I = ∫ a − x dx α  π π PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t ∈  − ;   2 β I=∫ Bài toán 2: α a − x2 dx  π π PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t ∈  − ; ÷  2 β Bài tốn 3: I=∫ α a − ( x − b) dx  π π PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x – b = asint, t ∈  − ; ÷  2 β Bài tốn 4: I= ∫ α x +k PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt dx t = x + x2 + k K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 8- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC β Bài toán 5: I= ∫ α ax + bx + c dx , với a > PP: Ta viết tích phân dạng: β ∫ α dx ax + bx + c β ∫ aα = (x + m) + k dx PP: Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = x + m đưa toán β Bài toán 6: ∫ I= x + kdx α PP: Dùng phương pháp tích phân phần: x  dx u = x + k  du = ⇒ Đặt  x +k  dv = dx v = x   α α β x2 ⇒ I = ∫ x + k dx = x x + k − ∫ dx α x2 + k α α β = x x2 + k α β = x x2 + k α α α α α k − ∫ x + kdx + ∫ α −I +∫ ⇒ I = ( x x2 + k α β α k x2 + k α x2 + k α β I= dx dx k +∫ Bài toán 7: x2 + k ∫ dx ) ax + bx + cdx α β β α α 2 Ta viết lại: ∫ ax + bx + cdx = a ∫ ( x + m) + ndx Đặt t = x + m đưa tích phân tốn III Các dạng toán phải nhân thêm lượng liên hiệp: β dx Dạng I= ∫ p ( x) + a ± p ( x) + b α β Dạng I= ∫ α p( x) ± [ p ( x) ] +b dx K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 9- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I Phương pháp biến đổi thông thường: Các công thức nguyên hàm bản: sin( ax + b ) + C a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos( ax + b )dx = ∫ sin xdx = − cos x + C sin( ax + b )dx = − cos( ax + b ) + C ∫ a dx = tg ( ax + b ) + C ∫ cos ( ax + b ) a dx = − cot g ( ax + b ) + C ∫ sin ( ax + b ) a dx ∫ cos x = tgx + C dx ∫ sin x = − cot gx + C Các dạng thường gặp: β β Dạng 1: I= ∫ sin α n axdx J= ∫ cos α n axdx Phương pháp: + Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc: sin x = − cos x + cos x cos x = 2 + Nếu n lẻ thì: • Tích phân I ta biến đổi: sinnax = sin2kax.sinax = (1 – cos2ax)k.sinax dùng phương pháp đổi biến, đặt t = cosax • Tích phân J ta biến đổi: cosnax = cos2kax.cosax = (1 – sin2ax)k.cosax dùng phương pháp đổi biến, đặt t = sinax β Dạng 2: I = ∫ sin ax cos bxdx α β J = ∫ cos ax.cos bxdx α β K = ∫ sin ax.sin bxdx α Phương pháp: Dùng công thức sau biến đổi từ tích sang tổng: cos a cos b = [ cos(a − b) + cos(a + b)] [ cos(a − b) − cos(a + b)] sin a cos b = [ sin( a − b) + sin( a + b)] sin a sin b = sau áp dụng công thức nguyên hàm K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 10- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC Một số công thức giúp hạ bậc biểu thức lượng giác: sin x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = (sin x + cos x)(1 − sin x) sin x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x cos x) = (sin x − cos x)(1 + sin x) sin x + cos x = − sin 2 x II Phương pháp đổi biến: β ∫ f (s inx).cos xdx Bài toán 1: α PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx β ∫ f (cos x).sin xdx Bài toán 2: α PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = cosx β ∫ f (t anx) cos Bài toán 3: α x dx PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = tanx β ∫ f (cot x) sin Bài toán 4: α x dx PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = cotx β ∫ f (sin 2x,sinx + cos x)(s inx − cos x)dx Bài toán 5: α PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx + cosx sin2x = t2- β ∫ f (sin 2x,sinx-cos x)(s inx+ cos x)dx Bài toán 6: α PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx - cosx sin2x = 1- t2  Chú ý: Một số dạng tích phân hàm lượng giác f(sinx, cosx) phức tạp, khó biến đổi thành tích phân đặc biệt dùng phương pháp đổi biến đặt: t = tan x áp dụng công thức: sinx = 2t 1+ t2 cosx = III Phương pháp tích phân phần: b Bài toán 1: I = ∫ p ( x) a 1− t2 1+ t2 sin x dx cos x PP: Dùng pp tích phân phần: Đặt u = P(x) dv = s inx dx cos x K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 11- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC b I = ∫ ex Bài toán 4: a sin x dx cos x PP: Dùng pp tích phân phần: Đặt u = β I=∫ Bài toán 3: α s inx dv = exdx cos x ax + b dx s in x PP: Dùng pp tích phân phần: Đặt u = ax + b dv = β I=∫ Bài toán 4: α dx s in x ax + b dx cos x PP: Dùng pp tích phân phần: Đặt u = ax + b dv = dx cos x IV Một số dạng toán đặc biệt cần nhớ: β Bài toán 1: I= ∫ sin α n β m x cos xdx J= sin n x ∫ cos m x dx α Phương pháp: + Nếu mũ lẻ sinx đặt t = cosx Nếu mũ lẻ cosx đặt t = sin x + Nếu mũ lẻ sinx cosx nên đặt t = sinx β Bài toán 2: ∫ cos x dx α PP: Viết lại: β β β cos x cos x dx = ∫ dx = ∫ dx I= ∫ 2 α cos x α cos x α − sin x sau đổi biến t = sinx β Bài toán 3: ∫ cos x + s inx dx α PP: Viết lại: π π cos( x − ) β cos( x − ) dx = dx dx = ∫ I= ∫ π π π α cos ( x − α − sin ( x − cos( x − ) ) ) 4 π sau đổi biến t = sin ( x − ) β β ∫ cos x + s inx dx = α ∫ α β Bài toán 4: β 1 ∫ s inx dx α PP: Viết lại: β β β sin x sin x dx = ∫ dx = ∫ dx I= ∫ α sin x α sin x α − cos x sau đổi biến t = cosx K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 12- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC β ∫ cos x dx Bài toán 5: α PP: Viết lại: β β 1 dx = ∫ (1 + tan x) dx I= ∫ cos x α cos x α sau đổi biến t = tanx β ∫ sin Bài toán 5: α x dx PP: Viết lại: β β 1 I = ∫ dx = ∫ (1 + cot x ) dx sin x α sin x α sau đổi biến t = cotx β dx α sin x cos x I=∫ Bài toán 6: β β β 1 1 ∫ sin x.cos x dx = α (1 + cot x) cos2 x dx = α (1 + tan x ) cos x dx ∫ ∫ α PP: Viết lại: sau đổi biến t = tanx β a sin x + b cos x + c Bài toán 7: ∫ a 'sin x + b 'cos x + c ' dx α x PP: Đổi biến đặt : t = tan , sinx = 2t 1+ t2 cosx = 1− t2 1+ t2 TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LƠGARIT I Tích phân hàm số mũ: Các công thức nguyên hàm bản: e x dx = e x + C ∫ ax ∫ a dx = ln a + C x ax +b e +C a a mx + n mx + n ∫ a dx = m ln a + C e ax +b dx = ∫ Phương pháp đổi biến: β Bài toán 1: I1 = ∫ f (e x ).e x dx α PP: Đổi biến t = ex β Bài toán 2: I = ∫ f (eax , e ax + c ).e ax dx α K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 13- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC PP: Đổi biến t = e ax + c β I = ∫ f (eu ).(u ' eu )dx Bài toán tổng quát: α u PP: Đổi biến t = e Phương pháp tích phân phần : β Bài toán : PP: Đặt I= u = f ( x)  x dv = e dx ∫e α x f ( x)dx tính tích phân phần β Bài tốn : PP: Đặt I= u = sin x  x dv = e dx ∫e α x sin xdx tính tích phân phần hai lần để tìm I β Bài toán I= e x cos xdx ∫ α PP: Đặt u = cos x  x dv = e dx tính tích phân phần hai lần để tìm I II Tích phân hàm lơgarit: Phương pháp đổi biến: β I1 = ∫ f (ln x) dx x α Bài toán 1: PP: Đổi biến t = lnx β I1 = ∫ f (ln x, n a ln x + b ) dx x α Bài toán 2: PP: Đổi biến t = n a ln x + b β Bài toán 3: I1 = ∫ f (ln k x ) α ln k −1 x dx x PP: Đổi biến t = lnkx Phương pháp tích phân phần: β Bài toán 1: I1 = ∫ ln(ax + b) f ( x)dx α K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 14- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC PP: Đặt u = ln(ax + b)  dv = f ( x)dx tính tích phân phần β Bài tốn 2: Đặt u = ln k (ax + b)  dv = dx I2 = ∫ ln α k (ax + b)dx tính tích phân phần k lần K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 15- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG A TĨM TẮT PHƯƠNG PHÁP: BÀI TỐN 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = f(x), trục hoành hai đường thẳng: x = a, x = b b S = ∫ | f ( x ) | dx a Để tính tích phân này, ta thực hiện: + Tìm nghiệm x1, x2, phương trình f(x) = đoạn [a; b] + Lập bảng xét dấu Dựa dấu f(x) khoảng để tính diện tích S BÀI TỐN 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f(x),y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b b S = ∫ | f ( x ) − g ( x) | dx a THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY A TĨM TẮT PHƯƠNG PHÁP: BÀI TỐN 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C): y = f(x), trục Ox, x = a x = b xoay quanh trục Ox Xác định công thức: b y = f(x) b V = π ∫ y dx = π ∫ [ f ( x)]2 dx a a BÀI TỐN 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C): y = f(x) y = g(x) xoay quanh trục Ox + Tìm nghiệm x1 x2 phương trình f(x) = g(x) + Thể tích khối trụ trịn xoay xác định cơng thức: x2 V = π ∫ [ f ( x )] − [ g ( x )] dx 2 x1 BÀI TOÁN 3: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C): x = f(y), y = a, y = bvà trục Oy xoay quanh trục Oy Xác định công thức: b V = π ∫ [ f ( y )]2 dy a K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 16- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 17- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 18- ThS Nguyễn Văn Bảy ... (t )dt α Phương pháp tích phân phần: b a) Công thức vi phân: ∫ udv = u.v b a b − ∫ vdu a a u, v hàm số ẩn x có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b) Phương pháp giải tốn phương pháp tích phân phần:... 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 4- ThS Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ I Tích phân hàm phân thức mẫu bậc nhất: β Dạng 1: A= ∫ ax + bdx α β β 1 d... ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I Phương pháp đổi biến số: Đổi biến dạng 1: b Dạng : Tính tích phân: I = ∫ f ( x) dx a K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ