Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thuần thục - Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách [r]
(1)TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC Thuộc các nguyên hàm : sin ax+b dx cos ax+b a a/ cos ax+b dx sin ax+b a c/ b/ d/ sin ax+b cos ax+b dx ln cos ax+b cos ax+b sin ax+b dx ln sin ax+b Đối với : I f ( x)dx R sin m x; cos n x a/ Nếu f(x)= thì ta chú ý : - Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin ) - Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos ) - Nếu m,n lẻ thì : đặt cosx=t sinx =t ( gọi tắt lẻ sin lẻ cos ) - Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx ) b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi Nói chung để tính tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thục - Có kỹ khéo léo nhận dạng cách biến đỏi đưa dạng đã biết nguyên hàm II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính các tích phân sau : sin 2x sin x I dx cos x a (ĐH, CĐ Khối A – 2005) b ĐH, CĐ Khối B – 2005 Giải sin 2x cos x I dx cos x KQ: ln cos x 1 s inx dx sin x sin x I dx 3cos x 3cos x 0 a t2 c osx= ;s inxdx=- tdt 3 t 3cos x x 0 t 2; x t 1 Đặt : t2 1 2t 21 34 I dt t t tdt 2 t 93 27 Khi đó : b 2 sin x cos x 2sin x cos x cos x I dx dx 2 s inxdx cos x cos x cosx+1 0 1 (2) dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= t 1 t 1 cosx f ( x )dx t 1 dt t dt t t Đặt : 1 1 2 I 2 f ( x )dx 2 t dt 2 t 2t ln t 2ln t 2 1 2 Do đó : Ví dụ Tính các tích phân sau a ĐH- CĐ Khối A – 2006 I sin 2x cos x sin x 2 dx KQ: cos 3x I dx sin x b CĐ Bến Tre – 2005 KQ: 3ln Giải I sin 2x cos2 x sin x dx 2 2 Đặt : t cos x 4sin x t cos x 4sin x 2tdt 2sin x cos x 8sin x cos x dx 3sin xdx sin xdx tdt x 0 t 1; x t 2 Do đó : a Vậy : I f ( x)dx 2 tdt 2 2 dt t 31 t 31 3 b cos 3x I dx sin x Ta có : cos3x=4cos3 x 3cos x cos x 3 cosx= 4-4sin x cosx= 1-4sin x cosx 4sin x cos3x f ( x)dx dx cosxdx 1 1+sinx s inx Cho nên : dt=cosxdx,x=0 t=1;x= t 2 t 1 s inx t 1 dt 4t dt f ( x)dx t t Đặt : 2 3 I f ( x)dx 4t dt 8t 2t 3ln t 2 3ln t 1 Vậy : Ví dụ Tính các tích phân sau a CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 sin xdx I x sin x cos x.cos 2 (3) sin x cos x I dx sin 2x b CĐ Y Tế – 2006 KQ: ln Giải sin xdx s inx I dx ln cosx ln x sin x cos x cosx 1+cosx sin x cos x.cos 0 a b sin xdx 4 sin x cos x sin x cos x sin x cos x I dx dx dx s inx+cosx sin 2x s inx+cosx 1 s inx+cosx= sin x ; x x 3 sin x 4 2 4 4 Vì : s inx+cosx s inx+cosx Do đó : d s inx+cosx cosx-sinx dx Mặt khác : d s inx+cosx I ln s inx+cosx ln1 ln ln sinx+cosx 4 Cho nên : Ví dụ Tính các tích phân sau cos 2x I a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 sin x cos x 3 b CĐ KTKT Đông Du – 2006 cos 2x I dx 2sin 2x dx KQ: 32 ln KQ: Giải a cos 2x I sin x cos x 3 f ( x )dx Cho nên : dx Vì : cos2x sinx-cosx+3 cos x cos x sin x cosx+sinx cosx-sinx dx cosx-sinx sinx-cosx+3 cosx+sinx dx dt= cosx+sinx dx; x 0 t 2, x t 4 t s inx-cosx+3 f ( x )dx t dt dt t3 t3 t Đặt : 1 1 314 I f ( x) dx 3 dt t t t t 32 2 Vậy : (4) dt 4 cos xdx cos2xdx= dt t 1 2sin x cos 2x x 0 t 1; x t 3 I dx 2sin 2x b Đặt : 3 cos 2x dt I dx ln t ln 2sin 2x 41 t 4 Vậy : Ví dụ Tính các tích phân sau : 4sin3 x I dx cos x a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 KQ: sin 3x sin3 3x I dx cos3x b CĐ Bến Tre – 2006 Giải a cos2 x 4sin x I dx 4 s inxdx=4 cosx s inxdx=4 cosx 2 cos x cosx 0 0 sin 3x sin 3x I dx cos3x b Ta có : sin 3x sin 3 x sin 3x sin x sin x.cos x dt=-3sin3xdx sin3xdx=- dt t 1 cos3x x 0 t 2; x t 1 Đặt : 2 t 1 1 1 f ( x)dx dt t dt t 2t ln t 32 t 1 t 3 Vậy : Ví dụ Tính các tích phân sau a I =3 1 2 ln x) dx sin( x) b I = si cos x (¿ n4 x +cos x ) dx sin x sin x cot gx dx sin x sin x dx sin( π c I = d I = ¿ Giải s inx sin x sin x sin x cot gx dx cot xdx sin x s inx a I = 3 (5) 3 cot xdx sin x 3 cot x cot xdx x) cosx-sinx dx dx sin( x) cosx+sinx b I = sin( d cosx+sinx ln cosx+sinx 0 cosx+sinx 2 2 cos2x cos4x dx 2cos 2x dx 0 0 sin x dx c I = 1 3 3 3 cos2x+ cos4x dx x sin 2x sin 4x 32 8 16 08 si cos x (¿ n4 x +cos x ) dx π d I = Vì : sin x cos x 1 sin x ¿ Cho nên : 1 I sin x cos2xdx= cos2xdx- sin x cos xdx sin x sin x 0 20 0 0 Ví dụ Tính các tích phân sau sin xdx a I = b I sin x cot gx dx 2 tg x cot g x 2dx c I =6 3 ( cos x sin x )dx =6 d */I = Giải a I = 0 2 sin xdx cos x sinxdx=- 1 2cos x cos x d cosx (6) cosx+ cos x cos x 15 b I =6 sin x cot gx dx 1 2tdt dx dx 2tdt sin x sin x t cot x t cot x x t 3; x t 1 Đặt : 2tdt I 2 dt 2t 2 t 1 Vậy : =6 2 tg x cot g x 2dx t anx-cotx dx t anx-cotx dx c I sinx cosx sin x cos x cos2x tanx-cotx= cot x cosx sinx s inxcosx sin2x Vì : t anx-cotx<0;x ; 3 4 x ; x ; cot x ; 6 3 3 3 t anx-cotx>0;x ; 3 Cho nên : I t anx-cotx dx t anx-cotx dx Vậy : ln sin x 4 ln sin x cos2x cos2x dx dx sin2x sin2x ln 3 ( cos x sin x )dx d I = (1) x t dx dt , x 0 t ; x t 0 2 Đặt : I cos t 2 3 sin t dt sin t Do đó : Lấy (1) +(2) vế với vế : I 0 I 0 Ví dụ Tính các tích phân sau cost dt sin x cosx dx 2 (7) tan xdx a (Y-HN-2000) b cos2x dx sinx+cosx+2 d sin x dx c os x (NT-2000) ( GTVT-2000) e c cos x dx sin x (NNI-2001) sin x dx c os x f 2sin x dx sin x (KB-03) Giải a tan xdx 2 sin x cos x 1 f ( x) tan x 2 1 cos x cos x cos x cos x Ta có : dx I f ( x )dx 2 1 dx tan x tan x x 2 cos x cos x cos x 4 4 Do đó : 4 t anx+ tan x 12 3 12 12 * Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác : f ( x) tan x tan x tan x 1 1 tan x tan x tan x tan x tan x tan x 1 1 dx I tan x tan x tan x 1 1 dx tan x cos x Vậy : 1 I tan x t anx+x 3 b dx dx cos x 4 1 1 3 3 3 3 12 cos2x sinx+cosx+2 dx f ( x) Ta có : sinx+cosx+9 cos x sin x cosx-sinx cosx+sinx cos2x sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 cosx+sinx I f ( x)dx cosx-sinx dx 1 0 sinx+cosx+2 Do đó : cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= t 2, t s inx+cosx+2 dt cosx-sinx dx f ( x )dx t dt dt t3 t3 t Đặt : Vậy : 2 1 1 1 1 2 2 1 I dt t t t t 3 2 2 9 2 (8) sin t cost sin t cost+9 sin t cost dt sin t cost sin t cost+9 cost sin t dt f ( x) c cos x dx sin x cos6 x sin x 3sin x 3sin x sin x 1 f ( x) sin x 4 sin x sin x sin x sin x sin x Ta có : I cot x Vậy : 4 dx dx cos2x 3 3dx dx sin x sin x 1 cot x 3cot x 3x x sin x d sin x cos x cos x dx cos x 6 0 tan x 5 23 12 1 dx dx dx cos x cos x cos x cos x 0 dx cos2 x tan x cos x dx tan 2 dx tan x cos x 2 x tan x d tan x tan x d t anx 1 t anx+ tan x tan x t anx- tan x tan x tan x 5 3 15 d cos2x sin x sin x 2sin x dx dx dx ln cos2x ln cos2x cos x cos2x cos2x 0 4 0 e 4 2sin x cos2 x d sin x 1 dx dx ln sin x ln sin x sin x sin x 2 0 f Ví dụ Tính các tích phân sau : a sin x cos xdx b c 2 sin x 1 2cos3x dx sin x cos x cos2x I dx J dx K dx s inx+ c osx s inx+ c osx cosx3 s inx 0 Giải a sin 0 x cos xdx cos x cos x.s inxdx cos x cos x d cosx (9) 1 cos x cos x 7 35 sin x 3sin x d cos x 1 dx dx ln cos x ln 2cos3x cos x cos x 6 0 b sin x cos x 1 1 I J dx dx dx 201 20 s inx+ 3cosx sin x s inx+ cosx 3 2 c Ta có : x d tan 1 1 x x x x sin x 2sin cos x+ tan 2cos tan 3 6 2 6 2 6 2 6 2 6 Do : x d tan 1 x I ln tan ln ln 20 x 2 6 tan 2 6 Vậy : (1) sin x sin x 3cos x I J dx s inx+ 3cosx - Mặt khác : Do đó : 2 3cosx sin x 3cosx s inx+ 3cosx I 3J s inx- 3cosx dx cosx- s inx 1 0 dx (2) 3 I ln 16 3 J ln 16 Từ (1) và (2) ta có hệ : t x dt dx x 3 ; t 0.x 5 t 2 Để tính K ta đặt I J ln I J 1 cos 2t+3 cos2t K dt dt I J ln cos t+3 sint+ 3cost sin t+3 2 2 Vậy : Ví dụ 10 Tính các tích phân sau a 1 sin x dx c sin ( CĐ-99) b 10 x cos10 x sin x cos x dx (ĐH-LN-2000) dx s inxsin x+ 6 (MĐC-2000) d (SPII-2000) Giải dx 2 s inx+cosx 31 (10) 1 dx dx dx tan x 1 sin x 4 0 s inx+cosx cos x 4 a b dx 2 s inx+cosx t tan Đặt : x 1 x dt dt dx tan dx; dx ; x 0 t 0, x t 1 x 2 2 1 t 2 cos 2 1 2dt 2dt I dt 2 2 2t 1 t 1 t t 2t t 1 0 2 1 t2 1 t2 Vậy : du; t 0 tan u ; t 1 tan u dt 2 cos u t tan u 2 f (t )dt 2dt du 2du 2 cos 2u tan u t Đặt : u2 Vậy : c I 2du 2u sin u1 10 u2 u2 u1 arxtan arctan u1 x cos10 x sin x cos x dx sin10 x cos10 x sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x Ta có : cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 1 cos4x cos8x 15 1 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin x cos4x+ cos8x 16 32 32 32 15 1 15 15 I cos4x+ cos8x dx sin x sin x 32 32 32 32.8 64 0 0 Vậy : dx s inxsin x+ 6 d x x sin x 6 6 Ta có : x sin x cosx-sinxco x = * 6 6 sin x cosx-sinxco x 6 6 f ( x) 2 2 s inxsin x+ s inxsin x+ s inxsin x+ 6 6 6 Do đó : (11) cos x+ cos x+ 3 cosx cosx 6 6 I f ( x)dx 2 dx 2 ln s inx ln sin x+ sinx 6 sinx sin x sin x 6 6 6 s inx 3 I 2 ln ln ln 2 ln 2 sin x+ 6 * Chú ý : Ta còn có cách khác 1 sin x s inxsin x+ s inx s inx+ cosx 6 2 f(x)= I 2d dx cot x sin x Vậy : Ví dụ 11 Tính các tích phân sau cot x cot x a c (HVBCVT-99) sin x x b dx (ĐHNT-01) cot x d cos x cos cos x sin 3 ln cot x 2 ln s inxcos3 x dx c os x 2 xdx ( HVNHTPHCM-98) dx cos x (ĐHTM-95) Giải a s inxcos x cos x dx (sin x)dx 2 c os x c os x 0 1 dt 2sin x cos xdx sin xdx t 1 cos x cos x t 1; x 0 t 2; x t 1 Đặt : 2 ln 1 t 1 1 I dt 1 dt ln t t 22 t 1t 2 Vậy : b cos x cos 2 xdx cos2x cos4x f ( x) cos x cos 2 x cos2x+cos4x+cos4x.cos2x 2 Ta có : 1 1 cos2x+cos4x+ cos6x+cos2x cos2x+ cos4x+ cos6x 4 1 1 1 1 I cos2x+ cos4x+ cos6x dx x sin x sin x sin x 8 16 16 48 4 0 Vậy : (12) c sin x cos x sin 6 x dx d sin x cos x 6sin x cos x 6cos5 x sin x dx 6sin x cos x sin x cos x Vì : d sin x cos x 3sin x sin x cos x sin x cos x dx 3sin x cos xdx 6 sin xdx sin xdx d sin x cos x 6 sin x d sin x cos x 6 dx ln sin x c os x ln 6 6 c os x sin x 3 sin x c os x 0 Vậy : 4 dx dx tan x d t anx t anx+ tan x cos x cos x cos x d Ví dụ 12 Tính các tích phân sau a c sin 11 xdx ( HVQHQT-96) b sin x cos4 xdx (NNI-96) cos x cos xdx (NNI-98 ) d cos2x dx (ĐHTL-97 ) Giải sin 11 xdx a Ta có : sin11 x sin10 x.s inx= 1-cos x s inx= 1-5cos x 10 cos x 10 cos x 5cos5 x cos6 x s inx I 1-5cos x 10 cos3 x 10 cos x 5cos5 x cos x s inxdx Cho nên : 5 1 118 cos x cos x cos5 x cos x cos x cosx 21 7 sin x cos4 xdx b Hạ bậc : cos2x cos2x sin x cos x cos2x cos x cos x 2 cos x cos 2 x cos2x-2cos 2 x cos3 x 1 1+cos4x 1+cos4x cos2x-cos 2 x cos x cos2x cos2x 8 2 1 cos6x+cos2x cos2x-cos4x+cos4x.cos2x cos2x-cos4x+ 16 16 3cos x cos6x-cos4x 32 (13) 1 I 3cos x cos6x-cos4x dx x sin x sin x sin x 32 64 32.6 32.4 32 0 Vậy 2 cos2x dx cos xdx cosx dx cosxdx cosxdx 0 0 d s inx s inx 1 2 III MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG Trong phương pháp đổi biến số dạng b * Sử dụng công thức : Chứng minh : b f ( x)dx f (b x)dx 0 x 0 t b x b t 0 Đặt : b-x=t , suy x=b-t và dx=-dt , b b b f ( x)dx f (b t )( dt ) f (b t )dt f (b x)dx b Do đó : thuộc vào biến số Ví dụ : Tính các tích phân sau a/ 0 4sin xdx s inx+cosx b/ c/ 5cos x 4sin x s inx+cosx dx log t anx dx d/ e/ Vì tích phân không phụ sin x dx sin x cos6 x n m x x dx f/ sin x cos x dx sin x cos3 x Giải a/ I 4sin xdx s inx+cosx .(1) Đặt : dt dx, x 0 t ; x t 0 4sin t t x x t cos t 2 2 f ( x )dx dt dt f (t )dt cost+sint sin t cos t Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên : I f (t )dt 4cosx sinx+cosx dx 2 (14) Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : s inx+cosx I dx I 2 dx s inx+cosx s inx+cosx I 2 dx tan x 2 4 cos x 4 b/ 5cos x 4sin x I dx s inx+cosx Tương tự ví dụ a/ ta có kết sau : 5cos x 4sin x 5sin t cos t 5sin x 4cosx I dx dt dx 3 cost+sint s inx+cosx s inx+cosx 2 2 I s inx+cosx Vậy : 1 dx dx tan x 1 I 4 cos x 4 log t anx dx c/ Hay: Đặt : dx dt , x 0 t ; x t 0 4 x x t f ( x)dx log t anx dx log tan 4 tan t f (t ) log dt log 2 log t dt log tan t tan t Vậy : I f (t )dt dt log tdt I t I 0 t d/ sin x I dx sin x cos6 x (1) sin t cos6 x 2 d t dx I 6 cos x sin x 6 sin t cos t 2 2 (2) 2 cos x sin x I dx dx x I cos x sin x 0 Cộng (1) và (2) ta có : m e/ x x 0 Do đó : n dx Đặt : t=1-x suy x=1-t Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx m 1 I t t ( dt ) t (1 t ) dt x n (1 x) m dx n n m t dt (15) MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4sin x 1 cosx dx s inxcos3 x dx cos x 5 dx (ĐHKT-97 ) s inx+2cosx ( CĐSPHN-2000) x sin x dx cos x dx ( HVNHTPHCM-2000 ) x sin x 2 cos x dx ( AN-97 ) s inx ln 1+cosx dx ( CĐSPKT-2000 ) 3sin x cosx dx x s inx cos x x x (XD-98 ) cosx+2sinx 4 cos x 3sin x dx (ĐHYDTPHCM-2000 ) 10 sin x cos x dx sin x cos3 x * Dạng : asinx+bcosx+c I dx a 's inx+b'cosx+c' Cách giải : B a ' cosx-b'sinx asinx+bcosx+c C dx A a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' Ta phân tích : - Sau đó : Quy đồng mẫu số - Đồng hai tử số , để tìm A,B,C - Tính I : B a ' cosx-b'sinx C I A a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' dx dx Ax+Bln a 's inx+b'cosx+c' C a 's inx+b'cosx+c' VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Tính các tích phân sau : a s inx-cosx+1 s inx+2cosx+3 dx ( Bộ đề ) b c cosx+2sinx 4 cos x 3sin x dx s inx+7cosx+6 dx 4sin x 3cos x ( XD-98 ) cos x 3sin x 4 sin x 3cos x dx d I = Giải s inx-cosx+1 B cosx-2sinx s inx-cosx+1 C A s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 a Ta có : Quy đồng mẫu số và đồng hệ số hai tử số : s inx+2cosx+3 dx f ( x) 1 (16) A A B 1 A B s inx+ 2A+B cosx+3A+C f ( x) 2 A B B s inx+2cosx+3 3 A C 1 C Thay vào (1) d s inx+2cosx+3 1 I dx dx ln s inx+2cosx+3 J 5 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 10 5 0 4 I ln J 10 5 - Tính tích phân J : dx ; x 0 t 0, x t 1 dt x cos x 2dt t tan J 2 dt dt t 1 f ( x) dx 2t 1 t2 t t 2t 2 3 1 t2 1 t2 Đặt : (3) du t 0 tan u u1 ; t 1 tan u u2 dt 2 cos u t tan u 2du du f (t )dt 2 cos u cos 2u Tính (3) : Đặt : u2 2 4 tan u1 j= du u2 u1 I I ln u2 u1 2 10 5 u tan u Vậy : b cosx+2sinx 4 cos x 3sin x dx; f ( x) B 3cos x 4sin x cosx+2sinx C A 1 cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 3sin x A ; B 5 ;C=0 Giống phàn a Ta có : 3cos x 4sin x 2 I dx x ln 4cos x 3sin x ln 5 cos x 3sin x 5 10 0 Vậy : Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện BÀI TẬP 5 3cosx 4sin x dx x cos x 3sin cos x sin x dx sin x s inx cot x dx sin x sin x sin x dx sin x (17) s inx-cosx dx sin x 2 dx a cos x b sin x a, b 0 tan 10 tan x cos2x dx 13 15 ( KA-08) cos x 1 cos xdx 12 (KA-09 ) sin x 4 dx sin x s inx+cosx 14 x sin x x 1 cosx dx x sin x cosx x sin x dx cos x (KB-2011) x sin x dx sin x cos x 16 (KB-08) (KA-2011 ) sin x cos x 4sin x dx (KA-06) CĐST-05) 18 sin 2004 x dx sin 2004 x cos 2004 x .( CĐSPHN-05) sin x sin x dx cos3x sin x sin x dx s inxsin x+ CĐSPHN-06) 20 21 19 cos4x.cos2x.sin2xdx 17 xdx 4 11 ln s inx dx cos x 3x cos xdx s inxcosx 15sin ( CĐHY-06) dx ( CĐKT-06) Bài ( Tiết 3) TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ I KIẾN THỨC Cần nhớ số công thức tìm nguyên hàm sau : f '( x ) 2 f ( x) dx f ( x) C - x b dx ln x x b C u '( x) u du ln u ( x ) u ( x) b C ( x) b - Mở rộng : Rèn luyện tốt kỹ phân tích hàm số dấu tích phân , là kiến thức thức II MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP I dx a 0 ax bx c Tích phân dạng : (18) a Lý thuyết : b x u b 2a f(x)=ax bx c a x du dx 2a 4a K 2a Từ : Khi đó ta có : - Nếu 0, a f ( x) a u k f ( x) a u k (1) a b 0 f ( x) a x b 2a f ( x ) a x 2a a u - Nếu : (2) - Nếu : f ( x) a x x1 x x2 f ( x) a x x1 x x2 +/ Với a>0 : (3) f ( x ) a x1 x x2 x f ( x ) a x1 x x2 x +/ Với a<0 : (4) Căn vào phân tích trên , ta có số cách giải sau : b Cách giải * Trường hợp : Khi đó đặt : 0, a f ( x) a u k f ( x) a u k t2 c x ; dx tdt b a b a bx c t ax ax bx c t a x x t t0 , x t t1 t2 c t a x t a b2 a a b 0 f ( x) a x b 2a f ( x ) a x 2a a u * Trường hợp : b b ln x : x 0 2a 2a a 1 I dx dx b b a b b x a x ln x : x 0 2a 2a 2a 2a a Khi đó : * Trường hợp : 0, a x x1 t ax bx c a x x1 x x2 x x2 t - Đặt : * Trường hợp : 0, a x1 x t ax bx c a x1 x x2 x x2 x t - Đặt : VÍ DỤ MINH HỌA dx I x x ( a>0 ) 1 Ví dụ Tính tích phân sau : Giải -Ta có : ' 0, a 1 (19) - Đặt : x x t x t x x x t x x x x t dt dx dt dx dx 2 t1 x 2x x 2x x 2x - Khi : x=-1,t= ,x=1,t=3 dt I ln t ln ln I 21 21 x x 1 t 1 Do đó: Vậy I dx x x Ví dụ Tính tích phân sau ( a<0 ) Giải 1 f ( x) (*) 2 2x x x 1 1 x 1 x Ta có : * Nếu theo phương pháp chung thì : dx - Đặt : 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x t 1 x t 1 x 2 1 x 1 x t 1 t2 - Nói chung cách giải này dài Học sinh thử giải xem ( theo cách đã hướng dãn ) * Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến số dạng dx 2costdt.x=0 t=- ; x 2 t x sin t 2costdt=dt f ( x) dx t ; cost>0 sin t 4 - Đặt : Vì : I dt t 4 4 - Vậy : Tích phân dạng : Phương pháp : I f ( x) mx n ax bx c mx n dx A.d a 0 ax bx c B 1 2 ax bx c ax bx c ax bx c b.1 : Phân tích b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A,B b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1) A ax bx c B dx ax bx c b.4 Tính I = (2) dx a 0 ax bx c Trong đó đã biết cách tính trên VÍ DỤ MINH HỌA (20) Ví dụ Tính tích phân sau x2 2x 1 x2 f ( x) x2 I A 2x 2 (a>0) Giải B 1 x 1 dx 2 Ax B A x 2x x 2x x 2x x2 2x - Ta có : - Đồng hệ số hai tử số ta có hệ : 1 2x 2 A A 3 f ( x) x 2x x 2x B A 2 B 3 I f ( x )dx dx 1 dx 2 x x x x 1 1 1 - Vậy : Theo kết trên , ta có kết : I x2 2x 3ln 2 2 3ln 1 Ví dụ Tính tích phân sau 3 I 2x 1 2x x2 dx Giải 2x B x x2 x x2 A 2 A B - Đồng hệ số hai tử số ta có : - Ta có : 2x x2 A 2x - Vậy : I 2 x dx 2x x2 1 2x x 2x x2 A B dx I Ax A B 2x x2 2x x dx 2 Theo kết đã tính ví dụ trên ta có : x dx I x2 x Ví dụ Tính tích phân sau Giải - Học sinh tự giải theo hướng dẫn - Sau đây là cách giải nhanh x 4 x 2 f ( x) x2 4x x2 x x2 x +/ Ta có : 1 x dx 1 x dx 1 I dx ln x x 1 J 2 x2 4x x2 x 0 x 2 1 +/ Vậy : (1) x t t x x dt dx dx 2 x x +/ Tính J : Đặt dt dx t x 2 1 Hay : Khi x=0, t=2+ ; x=1, t=3+ 10 (21) 3 10 10 10 dt ln t ln t 2 2 +/ Do đó : Thay vào (1) ta tìm I 10 I 10 2ln 2 J Tích phân dạng : Phương pháp : I mx n ax bx c dx a 0 n m x ax bx c m b.1 Phân tích : (1) n y x t t m dy x t dx n x y m x t ax bx c a t b t c y y y b.2 Đặt : mx n ax bx c ' b.3 Thay tất vào (1) thì I có dạng : tính Ví dụ Tính tích phân sau x 1 I ' dy Ly My N Tích phân này chúng ta đã biết cách VÍ DỤ MINH HỌA dx x2 2x Giải 1 x 1 y ; dx y x 1 y x 2 y 1; x 3 y - Đặt : - Khi đó : 1 1 y2 x x y y y y2 2 I - Vậy : x2 2x 1 dy 1 ln y y ln 4 y y2 2 dy y2 y Ví dụ Tính tích phân sau 3x dx x 3x x 1 Giải - Trước hết ta phân tích : x 1 3x x 1 x 3x x 1 x 3x x 1 x x x 3x x 1 x x * Học sinh tự tính hai tích phân này 52 2 I 3ln ln 32 32 Đáp số : (22) x I R x; y dx R x; m x Tích phân dạng : dx ( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ hai biến số x,y và , , , là các số đã biết ) Phương pháp : x m b.1 Đặt : t= x (1) b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng ' t dt b.3 Tính vi phân hai vế : dx= và đổi cận ' x R x; m x dx ' R t ; t ' t dt b.4 Cuối cùng ta tính : VÍ DỤ MINH HỌA x dx x 1 Ví dụ Tính tích phân sau x t Giải x t 1; dx 2tdt; x 1 t 0, x 2 t 1 x t t2 t3 t f ( x ) dx tdt dt t t dt 1 t t 1 t 1 - Đặt : x 11 dx t t dt ln t 1 0 - Vậy : 1 x Ví dụ Tính các tích phân sau : x a dx x 1 x d x5 x3 x2 1 b x x dx c dx e 1 2dx x 5 x xdx f x4 x5 GIẢI a x x dx x Đặt : 1 dx 2tdt t2 t x x t I 2tdt 2 t x t 0, x t t 1 0 1 1 I 2 t ln t 1 2 0 Vậy : b x x dx x x xdx xdx tdt t x x t I t 1 t dt x 0 t 1, x t 2 Đặt : 1 dt t dx (23) 58 1 I t t dt t t 15 5 Vậy : c x xdx 2 dx 2tdt t x x 1 t I t t 2tdt x t 0, x t Đặt : 112 1 I 2 t t dt 2 t t 2 15 3 2 Vậy : d x5 x3 x x xdx dx x2 1 Đặt : 2 t 1 t 1 t.2tdt x t 1; xdx tdt t x 1 I 2 t 1 tdt t x 0 t 1, x t 2 1 59 1 I 2 t t 1 5 Vậy : 0 x2 1 e 2dx x 5 1 3 x t 5, dx 2tdt 2.2tdt t x 5 I 4 dt t 4 t 4 x t 2, x 4 t 3 2 Đặt : I 4 t ln t 4 ln ln 4 ln Vậy : 2 d x 1 dx x 1 5 x5 x5 f x4 33 Ví dụ Tính các tích phân sau : x x dx a b 1 x .x3dx c x x dx d xdx 2x 2 x e x xdx 1 f x x 3dx GIẢI a x x dx x x xdx Đặt : x 1 t ; xdx tdt 2 t 1 x I t t tdt t t 2t 1 dt x 0 t 1, x 1 t 0 (24) 1 1 I t t t 105 7 Vậy : b 1 x .x dx x x xdx 2 x t 1; xdx tdt t x2 I t 1 t.tdt t t dt x 0 t 1, x t 2 1 Đặt : 58 1 I t t 15 5 Vậy : c x x dx dx 2costdt ; x cost 2 x 2sin t I 4sin t.2 cos t.2 cos tdt 4sin 2tdt 0 x=0 t=0.x=2 t= Đặt : I cos4t dt t sin 4t Vậy : d 2 1 1 x dx x x dx 21 22 x 3 xdx 2 x 2 x 2 x 12 I x 23 - Vậy : e x xdx 1 1 x t 1; dx 2tdt t 1 x I t 1 t.2tdt 2 t t dt x t 0, x t 0 Đặt : 1 1 1 I 2 t t 2 0 15 5 3 Vậy : f 2 x x 3dx x x 3.xdx 0 2 x t 3; xdx tdt t x 3 I t 1 t.tdt t t dt x 0 t 3, x 1 t 2 3 Đặt : 56 12 1 I t t 15 5 Vậy : Ví dụ Tính các tích phân sau : 10 dx x b a dx x x x 1 x (25) c x2 x x 1 dx d x x 1dx e x x dx GIẢI a 3 1 x dx x 1 x dx 2tdt t x x t x t 0; x 3 t 2 Đặt : Vậy : 2 t t 2 t 2 t2 1 2 I 2tdt 2 dt 2 t dt 2 t 3t 3ln t t 3t t 1 t t 2 2 0 0 Do đó : I 6 ln 10 b 10 10 dx dx dx x x x x 1 x 1 x t 1; dx 2tdt.x 5 t 2; x 10 t 3 dx 2tdt t x 1 f ( x)dx dt 2 t t 1 t 1 x - Đặt : 10 1 3 I f ( x) dx 2 dt 2 ln t 2 ln t t t - Vậy : c x2 x x 1 x x 1 dx dx x 1 x x 1 dx x 1 x x 1dx (1) x t 1, dx 3t dt.x 0 t 1; x 1 t t x 1 3 f ( x )dx x x 1dx t 1 t.3t dt 3t 3t dt - Đặt : 33 I f ( x)dx 3t 3t dt t t 14 28 7 - Vậy : d x x 1dx x x 1xdx 1 xdx tdt.x 0 t 1, x t 2 t x x t 2 f ( x )dx x x 1xdx t 1 tdt t 2t t dt - Đặt : 1 2 1 I x x 1xdx t 2t t dt t t t 2 1 6 - Vậy : e 2 2 x x dx x x xdx 0 1 (26) x 1 t ; xdx tdt.x 0 t 1, x 1 t 0 t 1 x 2 2 f ( x)dx x x xdx t t tdt t t dt - Đặt : 1 1 1 2 I x x xdx t t dt t t dt t t 15 3 - Vậy : Ví dụ Tính các tích phân sau 2 x 1 dx x 1 ( ĐHXD-96) x2 x 1 dx 3 x (GTVT-98 ) dx x x x 1 x 1 2 ( BK-95) dx ( HVBCVT-97 ) Giải x 1 x x 1 x 1 x dx f ( x ) x 1 x x x x x x x x 1 Ta có : 1 2 1 I f ( x)dx x x x x dx x x x x x x 5 15 0 Vậy : 2 x dx xdx x x x2 1 2 x t 1, xdx tdt x t , x t 1 t x2 xdx tdt dt f ( x) dx x x t 1 t t - Đặt : dx dt I acr tan t 12 x x 1 t 1 3 -Vậy : t3 x , dx t dt , x 0 t 1; x t 2 t 3x 1 3 x 1 f ( x)dx x dx t t dt 1 t 2t dt dx 3 3t 3x 3 x Đặt : x 1 1 46 I 3 dx t 2t dt t t 3 3x 15 - Vậy : x2 1 x2 1 dx xdx 1 x x x 2 x t xdx tdt.x t 5, x t t x2 1 x2 1 t 1 1 xdx tdt dt f ( x )dx dt x t 1 t 1 t t - Đặt : (27) - Vậy : 1 1 t 1 f ( x) dx 3 dt t ln t t 1 t 1 2 5 ln 1 3 1 1 Ví dụ Tính các tích phân sau 1 x3 x 1 x dx I ( HVNHTPHCM-2000) 3 2/2 x 2x xdx 1 x x2 x2 (ĐHTL-2000) x9 dx (ĐHTM-97) dx (HVTCKT-97) Giải I 0x x x3 x 1 dx x 1 x x 1 x dx x x 1xdx x dx x t 1, xdx tdt; x 0 t 1; x 1 t t x 1 f ( x )dx t 1 t.tdt t t dt Vậy : Đặt x Suy : 2 1 x 1xdx t t dt t t 15 5 1 ; x dx 5 x 1 1 I 15 15 - Do đó : I 3 x9 x2 x xdx 1 x dx = x t 1, xdx 3t dt xdx t dt.x 0 t 1; x t 2 t x2 t 1 3 t dt t t 1 dt t t 12 4t 6t 4t dt f ( x )dx 2t 2 - Đặt : 3 2 I t 13 4t 10 6t 4t dt t 14 t11 t t 21 14 11 ( Học sinh tự tìm kết - Vậy : ) x 2x xdx =0 I x x x dx x x x xdx x xdx x 1 xdx 1 2 2 1 2 3 x dx x x x x x x x x 5 3 5 1 t dx costdt.x=0 t=0;x= 2/2 x sin t x2 f ( x) dx sin t costdt= 1-cos2t dt dx cost 1 x Đặt : 14 1 I cos2t dt t sin 2t 20 2 - Vậy : Ví dụ Tính các tích phân sau : (28) 1/ dx 11 x x (HVQS-98) a x 2 dx (2x 1) x (HVQS-99) x a dx ,a (AN-96) dx x x (AN-99) Giải dx 11 x x * Chú ý : a Một học sinh giải cách này , các em tham khảo Nhân liên hợp ta : x x2 x2 1 x2 1 1 x 2x 2 x 2x x x2 - f(x)= 1 1 1 1 x2 I f ( x )dx 1 dx xdx ln x x J 1 2 x 1 x 1 1 - Vậy : 1 x t 1.xdx tdt ; x t 2; x 0 t 1 t x2 t t2 dt f ( x )dx tdt dt t 1 t 1 t 1 t 1 * Tính J : Đặt * Học sinh thử tính thử xem có không ? Nếu không thì giải thích xem ? ( Theo điều kiện tồn tích phân ) b Một học sinh giải theo cách khác : dx cos 2t dt , x t ; x 1 t x tan t dt dt f ( x )dx cos t sin t cost+1 cost tan t cost - Đặt : - Sau đó áp dụng cách giải tích phân chứa các hàm số lượng giác , không , hàm số không khả tích với t=0 * Đây là cách giải đúng : t2 1 1 t x x t x x t 2tx x 1 x x t , t 2 t - Đặt: 1 dx dt 2t - Suy : - Đổi cận : x=-1, thì t= ;x=1 thì t= -Do đó : 1 1 dt 1 dt 1 1 2t I dt ln t 1 1 t 2 t 2 t t 1 21 1 t 1 I ln ln 2 t Hay : 1 2t 1 2 1 21 ln ln 1 1 t 2 2 1 1 dt t t 1 1 (29) 1/ dx 2 (2x 1) x * Chú ý : 1 dt; x 0 t 0; x t cos t -Cách Đặt dt dt cost du f ( x)dx dt 2 2 cos t 2sin t cos t 1+sin t 1 u2 tan t 1 cost cost cos 2t - Suy : 1 du I arctanu arctan 1 u 0 - Vậy : x t ant dx= * Học sinh tự tìm hiểu : Tại lại không đặt t x để giải a 2 x x a dx a ,a x x a xdx * Học sinh thử làm theo cách này có không ? du dx u x I x 3 v x dv x x - Đặt : a I - Do đó : * Cách khác : 1 a J x2 a 1 Tính tích phân J : a 1a 1 x2 3 J x dx dx a dx cos 2t dt.x 0 t 0; x a t x a.tan t f ( x)dx a tan t a a dt a sin tdt cost cos 2t cos5t - Đặt : du costdt.t=0 u=0;t= t u sin t sin t u2 f (t )dt a c ostdt=a du 2 sin t u - Nếu lại đặt 1- 1-u 1 f(u)= u u 1-u 1 u 1 u - Ta lại có : * Với : 3 1 1 1 1 1 g (u ) u u u u u u u u 1 u 1 u 1 1 3 1 1 1 3 1 1 u u u u u u u u u u 1 1 3 1 1 3 2 u u 16 u u u u (1) (30) 1 1 1 h(u ) 2 1 u 1 u 1 u u u u (2) 2 2 I g (u )du Vậy : 2 h(u )du (3) 2 1 1 3 1 1 g (u )du du u u 16 u u u u 11 1 3 1 1 u 11 85 2 2ln ln ln 2 u 64 64 u 16 u u u 2 2 1 1 1 1 1 u 2 ln 2 ln 1 du 2 1 u 1 u 1 u u u u 1 u 149 I 64 Thay kết tìm vào (3) Vậy : h(u )du 4 dx xdx x2 x x x x t 9.xdx tdt ; x t 4; x 4 t 5 t x2 tdt dt 1 1 f ( x) dx t t t 3 t t t dt - Đặt : 1 1 t 1 1 I ln ln ln dt ln t t 3 t 3 7 - Vậy : Ví dụ Tính các tích phân sau 2/2 x3 dx x x 1 (HVNGTPHCM-2000) 3 2 x 1dx 1 x x3 x x 1 dx - Với : =0 x 1 x 1 x dx x x x dx (1) x 1dx x x 1xdx x t 1.xdx tdt x 0 t 1; x 1 t x2 1 2 g ( x )dx x x 1xdx t 1 t.tdt t t dt 0 Đặt : x x x 2 .(HVTCKT-97) (YHP-2000) Giải dx (1 x )3 dx .(YHN-2001) x2 (31) 26 1 x x 1xdx t t dt t t 15 5 - Cho nên : (2) 1 1 2 x dx x I 5 15 15 -0 (3) Thay (2) và (3) vào (1) ta có : t= dx costdt.x=0 t=0;x= 2/2 x sin t x2 dx f ( x) dx sin t costdt= 1-cos2t dt cost 1 x Đặt : cos2t 1 1 1 I dt t sin 2t 2 2 2 - Do đó : 3.I= Vậy : 2 x 1dx x x = I 5 I x2 3 x2 x2 dx 5 x 1dx dx I 5 ln x x 5 ln x2 dx 1 I ln 2 dx c ostdt.x=0 t=0;x=1 t= x sin t 2 f ( x)dx cos6tcostdt=cos 4tdt cos2t dt (1 x ) dx 4 Đặt : Vậy : 2 cos4t 12 1 3 I cos 2t dt cos 2t cos4t dt 3t 2sin 2t sin 4t 0 80 8 16 Ví dụ Tính các tích phân sau a x 2 a x dx (a 0) (SPIHN-2000)2 0 dx x4 x2 a x (CĐSPHN-2000) dx x 1 x dx x(1 Giải (QG-97) x) (CĐSPKT-2000) a x dx (a 0) dx a.costdt.x=0 t=0;x=a t= x a.sin t f ( x)dx a sin t.a.cost.a.costdt=a sin t cos tdt - Đặt : 2 a a4 a4 I a sin 2tdt cos4t dt t sin 4t 8 16 - Vậy : 1 (32) 0 Vậy : 1 dx x 1 x dx x x dx x x x 1 x x 1 x3 2 dx x x dx 1 x x dx x x x 4 x 2 1 I x 4 x 2 01 13 2 3 1 9 23 3 x t 1 dx 2 t 1 dt ; x 1 t 2; x 4 t 3 t 1 x dx t 1 dt 1 dt 2 dt f ( x)dx x(1 x ) t t t t t t Đặt : t1 1 1 I 2 dt 2ln 2 ln ln 2ln t1 t t 2 2 - Vậy : Ví dụ 10 Tính các tích phân sau (x x)dx x (ĐHHĐ-99) x 1 x x 1dx x dx 0 / 2 (x 1)sin xdx dx x 1 .(ĐHĐN-97) .(ĐHCT) x 2x x 1 (x x)dx dx ( ĐHTSNT-2000) Giải 1 x2 x dx x 1 dx x x 1 x2 1 x2 1 x 1 0 0 1 x 1dx arctanx J 1 - Tính J ( Sử dụng phương pháp tích phân phần ) 1 1 x2 1 2 x dx x x dx x dx I arctanx x2 1 x2 1 0 0 - Do đó : 2I I x t 2.dx 2tdt.x 7 t 3; x 2 t 2 dx t 2 x 2tdt x 1 f ( x)dx t 2 t dt Đặt : 2 I 2 dt 2 t ln t 2 ln ln 2 ln 1 t 1 - Do đó : (33) x 3 x 1dx a x x dx 1 1 24 I 2 8 1 udu u 1 u 30 x2 1 x dx 8 1 u 1 du 24 udu 2 1 u du 1u 8 du du 1 26 52 8 u 8 I I 8 6 1 u 3 u x 1 x 1 dx x2 1 dx x x 0 b x t ; dx 2tdt.x 0 t 1; x 3 t 2 t x 1 t 2t 2tdt 2t 4t dt f ( x) dx t - Đặt : 2 2 I 2t 4t dt t 2t 4t 3 - Vậy : / (x 1)sin xdx x 2x x 1 dx x 1 s inxdx x s inxdx s inxdx x d cosx cosx J 1 1 0 0 a 2 2 J x d cosx cosx.x 2 x.cosxdx 2.x.d s inx 2 x.s inx sin xdx 0 0 0 - Tính J: 2 cosx I 3 x x 2 x 2x I dx xdx 2 x x 0 b 2 x t 1; xdx tdt; x 0 t 1; x t 2 t x2 1 t 1 t 1 tdt t dt f ( x) dx t - Đặt : 1 26 I t 1 dt t t 5 1 - Vậy : 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN x 1 xdx x (ydtphcm-2000) x dx (ĐHNGT-2000) (34) 3 x dx x 1 x x dx (DB-2003) 3ln x.ln x dx x (KB-2004) 10 ln x x ln x dx 11 (DB-06) x5 ln x x ln x dx 14 (DB-05) dx (CĐSPKT-04) 15 5x x2 8x 1 dx x (DB-06) x 2x dx 12 x (CĐSPHN-04) e3 x4 .(DB-2005) x e x2 10 4x (DB-2006) x dx x (KA-2004) 1 3 x 1dx dx 2x 13 x x (KA-2003) e dx dx 16 3x x2 6x a 17 x 2 a x dx 19* a 21 dx 1 x x x a dx x 20* x3 dx x4 22* x2 x2 1 x dx x 3 23*+ 18 dx dx x6 dx x dx 1 x 24 1 x (35)