Phương pháp tính tích phân các hàm số lượng giác và vô tỉ

Netschool.edu.vn Phương pháp tính tích phân CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ VÔ TỶ TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC Thuộc nguyên hàm :   a/  sin  ax+b  dx   cos  ax+b   a   sin  ax+b  dx   ln c os ax+b      cos  ax+b   b/  c /  cos  ax+b  dx  sin  ax+b   a   cos  ax+b   d/  dx  ln sin  ax+b     sin  ax+b   Đối với : I   f ( x)dx  a/ Nếu f(x)= R  sin m x; cos n x  ta ý : - Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt lẻ sin ) - Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt lẻ cos ) - Nếu m,n lẻ : đặt cosx=t sinx =t ( gọi tắt lẻ sin lẻ cos ) - Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt chẵn sinx , cosx ) b/ Phải thuộc công thức lượng giác công thức biến đổi lượng giác , đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi Nói chung để tính tích phân chứa hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thục - Có kỹ khéo léo nhận dạng cách biến đỏi đưa dạng biết nguyên hàm II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính tích phân sau :  a (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I   sin 2x  sin x  cos x dx  sin 2x cos x dx  cos x b ĐH, CĐ Khối B – 2005 I   KQ: ln  Giải    2cos x  1 s inx dx sin x  sin x dx   a I    3cos x  3cos x 0 1  t2 1 c osx= ;s inxdx=- tdt  3 Đặt : t   3cos x    x   t  2; x    t   2  t 1   1  2t  1    34   Khi : I    tdt  dt   t  t      t 9 3    27    sin x cos x 2sin x cos x cos x dx   dx   s inxdx  cos x  cos x cosx+1 0 b I   2 1 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Netschool.edu.vn TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   dt=-sinxdx, x=0  t=2;x=  t   Đặt : t   cosx    f ( x)dx   t  1 dt   t    dt    t t   1  1 Do : I   f ( x)dx  2  t    dt   t  2t  ln t t 2 2 Ví dụ Tính tích phân sau 2   2ln    sin 2x a ĐH- CĐ Khối A – 2006 I   cos2 x  4sin x dx KQ:  cos 3x dx sin x  b CĐ Bến Tre – 2005 I KQ:  3ln Giải  sin 2x a I   dx Đặt : t  cos2 x  4sin x  t  cos2 x  4sin x cos x  4sin x  tdt   2sin x cos x  8sin x cos x dx  3sin xdx  sin xdx  tdt    Do :   x   t  1; x    t   2  Vậy : I   f ( x)dx  2 tdt 2 2  dt  t    31 t 31 3  cos 3x dx sin x  b I   Ta có : cos3x=4cos3 x  3cos x   4cos2 x  3 cosx=  4-4sin x  3 cosx= 1-4sin x  cosx 1  4sin x  cosxdx cos3x dx   1+sinx  s inx   dt=cosxdx,x=0  t=1;x=  t   Đặt : t   s inx   1   t  12     dt    4t   dt    f ( x)dx  t t   Cho nên : f ( x)dx   3  Vậy : I   f ( x)dx     4t   dt  8t  2t  3ln t    3ln t 1 Ví dụ Tính tích phân sau 2  a CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 I  sin xdx sin x  cos x.cos x Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC b CĐ Y Tế – 2006 I     sin x  cos x  sin 2x dx KQ: ln Giải   2   sin xdx s inx a I     dx   ln  cosx  ln x sin x  cos x 1  cosx  1+cosx sin x  cos x.cos 0 b I     sin xdx sin x  cos x  sin 2x  dx    4  sin x  cos x  s inx+cosx  sin x  cos x dx s inx+cosx  dx   1          Vì : s inx+cosx= sin  x   ;  x    x    sin  x    4 2 4 4   Do : sinx+cosx  sinx+cosx Mặt khác : d  sinx+cosx    cosx-sinx  dx   d  s inx+cosx  Cho nên : I      ln s inx+cosx   ln1  ln   ln  sinx+cosx  4 Ví dụ Tính tích phân sau  cos2x I a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 dx KQ: KQ: ln  sin x  cos x  3 32  cos2x dx  2sin 2x I b CĐ KTKT Đông Du – 2006 Giải  cos2x a I    sin x  cos x  3 Cho nên : f ( x)dx  dx Vì : cos x  cos2 x  sin x   cosx+sinx  cosx-sinx  cos2x  sinx-cosx+3 dx   cosx-sinx  cosx+sinx dx    sinx-cosx+3   dt=  cosx+sinx  dx; x   t  2, x   t  Đặt : t  s inx-cosx+3    f ( x)dx  t  dt     dt  t3 t3  t  1 1  314 Vậy : I   f ( x)dx     3  dt       t t   t t  32 2  dt  cos xdx  cos2xdx= dt  cos2x  dx Đặt : t   2sin x   b I     2sin 2x  x   t  1; x   t    Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  3 cos2x dt Vậy : I   dx    ln t  ln  2sin 2x 41 t 4 Ví dụ Tính tích phân sau :  4sin3 x dx  cos x I a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 b CĐ Bến Tre – 2006 I  KQ:  sin3x  sin3 3x 0  cos3x dx Giải      cos2 x 4sin3 x a I   dx   s inxdx=4  1  cosx  s inxdx=4 1  cosx    cos x  cosx 0 0    sin3x  sin3 3x dx  cos3x b I   Ta có : sin 3x  sin 3x  sin 3x 1  sin 3x   sin 3x.cos 3x  dt=-3sin3xdx  sin3xdx=- dt Đặt : t   cos3x    x   t  2; x    t    Vậy :   t  1  1 1 f ( x)dx    dt    t    dt   t  2t  ln t 32 t 31 t 3 2 1 2     ln  Ví dụ Tính tích phân sau a I =    sin x  sin x cot gx dx sin x  c I = b I =      x) dx  sin(  x) sin(   sin x dx d I =  cos x(sin x  cos x)dx 0 Giải a I =        s inx 1   sin x  sin x sin x   cot gx dx   cot xdx sin x s inx   3     1  sin x  cot xdx    cot x cot xdx     Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  b I =   x) dx   sin(  x) sin(    cosx-sinx  cosx+sinx dx    d  cosx+sinx     ln cosx+sinx    cosx+sinx   2     cos2x    cos4x   dx   1  2cos 2x   dx     0   sin x dx    c I =  2   1 3 3  3      cos2x+ cos4x  dx   x  sin 2x  sin 4x   32  8  16 08  d I =  cos x(sin x  cos x)dx Vì : sin x  cos4 x   sin 2 x Cho nên :      12 1   I   1  sin 2 x  cos2xdx=  cos2xdx-  sin 2 x cos xdx  sin x  sin x  20  0 0 2 Ví dụ Tính tích phân sau  a I =  sin  b I =  xdx   c I =  sin x cot gx  tg x  cot g x  2dx d */I =  (  dx cos x  sin x )dx Giải  a I =  sin     xdx    cos x sinxdx=-  1  2cos x  cos x  d  cosx  0  2     cosx+ cos3 x  cos5 x     15  b I =   sin x cot gx dx Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1  2tdt   dx  dx  2tdt   sin x sin x Đặt : t  cot x  t  cot x    x    t  3; x    t   2tdt Vậy : I      dt  2t 2 t 1    1    t anx-cotx 2 dx   t anx-cotx dx tg x  cot g x  2dx   c I =    Vì : tanx-cotx=  sinx cosx sin x  cos x cos2x    2  2cot x cosx sinx sinxcosx sin2x     t anx-cotx0;x   ;  4 3     4    6  Vậy : I     t anx-cotx  dx    t anx-cotx  dx     cos2x cos2x dx   dx  sin2x  sin2x   ln sin x  4  12  ln sin x  3  ln  d I =  ( Đặt : x  cos x  sin x )dx  (1)  t  dx  dt , x   t   ;x   t 0       Do : I    cos   t   sin  t    dt     2      0    sin t  cost dt     sin x  cosx dx  2 Lấy (1) +(2) vế với vế : 2I   I  Ví dụ Tính tích phân sau a   4  tan xdx (Y-HN-2000) b   cos2x 0  sinx+cosx+2  dx (NT-2000) cos x  dx (NNI-2001)  sin x c 4   sin x 0 cos6 x dx ( GTVT-2000) e d   2sin x 0  sin x dx (KB-03) sin x 0  cos2 x dx f Giải  sin x 1  cos x  1   2 1 a  tan xdx Ta có : f ( x)  tan x  4 cos x cos x cos x cos x  4 Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  Do : I       dx   f ( x)dx      dx   tan x    tan x  x    2   cos x  cos x   cos x  4     4          t anx+ tan x                  12   3  12  12    * Chú ý : Ta có cách phân tích khác : f ( x)  tan x  tan x  tan x   1  tan x 1  tan x   tan x  tan x 1  tan x    tan x  1     3      4 4 dx dx Vậy : I    tan x 1  tan x    tan x  1  1 dx   tan x   dx cos x  cos x     1   1  1 I   tan x  t anx+x    3            3  12 3   3  b cos2x   sinx+cosx+2  dx Ta có : f ( x)    sinx+cosx+9   cos x  sin x    cosx-sinx  cosx+sinx   cos2x  sinx+cosx+9  sinx+cosx+9 3  4  cosx+sinx   cosx-sinx dx Do : I   f ( x)dx         0   sinx+cosx+2     cosx+sinx=t-2.x=0  t=3;x=  t   2, Đặt : t  s inx+cosx+2   dt   cosx-sinx  dx  f ( x)dx  t  dt     dt t3 t3  t  Vậy :   2 1 1 1  1  22          1 I      dt            t t   t t  3   2 2   9 2    sin t  cost  sin t  cost dt   sin t  cost  cost  sin t dt  f ( x)        sin t  cost+9   sin t  cost+9       cos x  dx   sin x c cos6 x 1  sin x   3sin x  3sin x  sin x 1       sin x Ta có : f ( x)  4 4 sin x sin x sin x sin x sin x Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   Vậy : I   1  cot x     dx dx   cos2x    dx    dx 2    sin x  sin x     2 4  1 5 23      cot x  3cot x  x  x  sin x    12    d     sin x  cos x  1 dx  dx  dx   dx  dx  0 cos6 x 0 cos6 x 0  cos6 x cos4 x  0 cos4 x cos2 x 0 1  tan x  cos2 x 2  4    1  tan x    4 1 2 dx   tan x dx   tan x  tan x d tan x     1  tan x  d  t anx      2   cos x cos x 0   1   1    t anx+ tan x  tan x  t anx- tan x    tan x  tan x   5   3  15    2   d   cos2x  sin x sin x 2sin x e  dx  dx  dx     ln  cos2x  ln     cos2x  cos x  cos2x  cos2x 0 4 0      2sin x cos2 x d 1  sin x  1 f  dx   dx    ln  sin x  ln  sin x  sin x  sin x 2 0 Ví dụ Tính tích phân sau : 4   2 a  sin x cos xdx b sin x   2cos3x dx   sin x cos x dx  J   dx  K  c I   s inx+ c osx s inx+ c osx 0  cos2x dx s inx  cosx- Giải    a  sin x cos xdx   1  cos x  cos x.s inxdx    cos x  cos x  d  cosx  2 4 0  1    cos7 x  cos5 x   7  35   2   sin 3x 3sin 3x d 1  cos 3x  1 dx    dx       ln  cos 3x   ln b   2cos3x  cos 3x  cos x 6 0    sin x  cos x 1 16 dx   dx   dx c Ta có : I  J    201 20  s inx+ 3cosx sin  x   s inx+ cosx 3  2 2 Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   x   d  tan     1 1   Do :       x    x  x  x  sin  x   2sin    cos  x+  tan    2cos    tan    3  2 6  6 2 6 2 6 2 6   x    d  tan      1 x     Vậy : I    ln tan     ln  ln (1) 20 x  2 6 tan    2 6      sin x  3cosx sin x  3cosx sin x  3cos x dx   dx s inx+ 3cosx s inx+ 3cosx - Mặt khác : I  3J   2       Do : I  3J   s inx- 3cosx dx  cosx- s inx   (2) 0  3 1   I  ln  I  J  ln   16 4  Từ (1) (2) ta có hệ :   I  3J    J  ln     16 Để tính K ta đặt t  x     Vậy : K    cos2t 1 dt  I  J  ln  sint+ 3cost     cos  t+3   sin  t+3  2 2   Ví dụ 10 Tính tích phân sau dt      a  dx ( CĐ-99)  sin x b dx   s inx+cosx (ĐH-LN-2000)   10 10 4   sin x  cos x  sin x cos x  dx (SPII-2000) c   dt  dx  x  ; t  0.x   t  2 cos  2t+3    3 d dx (MĐC-2000)   s inxsin  x+   6   Giải    4 1 dx   dx  a  0  sin x 0  s inx+cosx     dx  tan  x     4   cos  x   4   b dx   s inx+cosx x 1 x 2dt   dt  dx  1  tan  dx;  dx  ; x   t  0, x   t  x 2 2 1 t 2 cos 2 1 1 2dt 2dt dt     2 Vậy : I   2   2t  t 1  t  t  2t   t  12  0 2  1 t2 1 t2 Đặt : t  tan Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  du; t   tan u  ; t   tan u  dt  2 cos u  Đặt : t   tan u   2dt 2  f (t )dt   du  2du 2  cos 2u  tan u t        u2   u Vậy : I   2du  2u   u2  u1    arxtan  arctan  u1 u1      sin c 10 x  cos10 x  sin x cos x  dx Ta có : sin10 x  cos10 x  sin x cos x  sin x  cos x    cos4 x  sin x  cos6 x  sin x    cos2 x  sin x  cos2 x  sin x  cos4 x  sin x  cos x sin x  1  cos4x  cos8x 15 1    cos 2 x 1  sin 2 x   cos 2 x  sin x     cos4x+ cos8x 16 32 32 32      15  1 15  15  Vậy : I     cos4x+ cos8x  dx   sin x  sin x  32 32 32 32.8 64  0 0  dx   s inxsin  x+   6           Ta có :  x    x   sin  x    x   sin  x   cosx-sinxco  x   = * 6 6  6 6         sin  x   cosx-sinxco  x   6 6  2 2  Do : f ( x)        s inxsin  x+  s inxsin  x+  s inxsin  x+   6  6  6        cos  x+  cos  x+   3 cosx    I  f ( x)dx   cosx     dx   ln s inx  ln sin  x+              sinx    6    sinx  sin  x   sin x    6 6      d    s inx 3 I  ln  ln  ln  ln 2    sin  x+   6 * Chú ý : Ta có cách khác 1   f(x)=     sin x s inxsin  x+  s inx  s inx+ cosx   6     3 Vậy : I    dx     cot x sin x  6 2d    cot x  cot x    cot x   2 ln    cot x   ln Ví dụ 11 Tính tích phân sau Trang 10 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218   TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC    dx  2costdt.x=0  t=- ; x   t      - Đặt : x   sin t   Vì : t   ;   cost>0 4 4 2costdt=dt  f ( x)dx  2 1  sin t      - Vậy : I   dt  t  4     4   mx  n Tích phân dạng : I   ax  bx  c  Phương pháp : mx  n  a  0 dx A.d  ax  bx  c  B 1 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c b.2 Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A,B b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1) b.1 : Phân tích f ( x)  b.4 Tính I = A   ax  bx  c   a   biết cách tính   Trong  ax  bx  c dx    B dx (2)  ax  bx  c  VÍ DỤ MINH HỌA x2 Ví dụ Tính tích phân sau I   dx (a>0) x2  x  1 Giải A  x  2 x2 B Ax  B  A - Ta có : f ( x)     1 x2  2x  x2  2x  x2  2x  x2  2x  - Đồng hệ số hai tử số ta có hệ : 1   2x  2 A  A     3  f ( x)   2 x  2x  x  2x  B  A   B  1 - Vậy : I   f ( x)dx    x  1 dx 1  3 dx 2 x  x  x  x  1 1 1 Theo kết , ta có kết : I  x2  2x   3ln    2  3ln  1     2x  Ví dụ Tính tích phân sau I   - Ta có : 2x   2x  x2    x  x2 A  2x  dx Giải  B   2 Ax   A  B   2x  x2  2x  x2  2x  x2 2 A   A  1 - Đồng hệ số hai tử số ta có :   2 A  B  3  B  1 Trang 19 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1  x  dx - Vậy : I  2   x  x2 0 1  x  x2 dx  2 Theo kết tính ví dụ ta có : I   Ví dụ Tính tích phân sau I    x   dx  1 2x  x  2  dx 0  2x  x2  2  x2  x  Giải - Học sinh tự giải theo hướng dẫn - Sau cách giải nhanh  x  4   x  2  +/ Ta có : f ( x)  x2  4x  x2  4x  x2  4x  1  x   dx  1  x   dx  1 +/ Vậy : I   dx  ln x  x   J (1)   2 x2  4x  x2  x  0  x  2   1  x    dt      +/ Tính J : Đặt t  x   Hay : dt  t dx  x  2 3 10  +/ Do : J  2 1  x    dx  t dx 2   x  2    x  2  Khi x=0, t=2+ ; x=1, t=3+ 10   10   10 dt  ln t  ln   Thay vào (1) ta tìm I t 2  2    10  I  10   2ln    2   Tích phân dạng : I     mx  n  ax  bx  c  a  0 dx Phương pháp : b.1 Phân tích : 1  (1) n  m  x   ax  bx  c m    n  y  x  t  t  m   dy   x  t dx   n  b.2 Đặt :  x    y m  1  1  x   t  ax  bx  c  a   t   b   t   c  y y  y    mx  n  ax  bx  c ' b.3 Thay tất vào (1) I có dạng : I    ' dy Ly  My  N Tích phân biết cách tính Ví dụ Tính tích phân sau   x  1 VÍ DỤ MINH HỌA dx  x2  x  Giải Trang 20 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1  x   ; dx    y y  - Đặt : x     y  x   y  1; x   y   - Khi : y2 1  1  1 y2 1  x  x    1    1          x  2x   y y y2 y  y  2 - Vậy : I    1 dy   y2 1 2 Ví dụ Tính tích phân sau 1 1  ln y  y   ln  2 y2   3x   dx  dy   x  1  x  3x  Giải - Trước hết ta phân tích :  x  1  3x       2 2  x  1 x  3x   x  1 x  3x   x  1 x  3x  x  3x   x  1 x  3x  * Học sinh tự tính hai tích phân 5 2  ln Đáp số : I  3ln 3 3    x   Tích phân dạng : I   R  x; y  dx   R  x; m  dx  x       ( Trong : R(x;y) hàm số hữu tỷ hai biến số x,y  ,  ,  ,  số biết ) Phương pháp : x  b.1 Đặt : t= m (1)  x  b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x    t  b.3 Tính vi phân hai vế : dx=  '  t  dt đổi cận   x  b.4 Cuối ta tính :  R  x; m  x    Ví dụ Tính tích phân sau  1 '   dx   R   t  ; t   '  t  dt '  VÍ DỤ MINH HỌA x dx x 1 Giải  x  t  1; dx  2tdt ; x   t  0, x   t   - Đặt : x   t   t 1 t3  t   f ( x ) dx  tdt  dt   t  t    dt  1 t t 1 t 1    x  11  - Vậy :  dx    t  t    dt   4ln t 1  x 1 1 0 Ví dụ Tính tích phân sau : a x 1 x  x  dx b  x3  x dx c x  xdx Trang 21 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC d  x5  x3 x2  dx e  1 2dx x5 4 f  x4 x5  GIẢI a x dx x 1 Đặt :  x  1  dx  2tdt t 1  1 t  x 1  x  t 1   I  2tdt  2  t   dt t 1  t  x   t  0, x   t  0 1 1 Vậy : I   t  ln t  1 2 0  b  x3  x dx  x  x xdx  xdx  tdt Đặt : t   x  x  t     I    t  1 t dt  x   t  1, x   t  2  58 1 Vậy : I    t  t  dt   t  t    15 5   c x  xdx 2  dx  2tdt Đặt : t   x  x   t    I   1  t  t  2tdt   x   t  0, x   t  2 0  112 1 Vậy : I    t  t  dt 2  t  t    2 15 3 2    d  x5  x3 x2  Đặt : dx   x  x   xdx x2  2 t  1 t  1 t.2tdt  x  t  1; xdx  tdt  t  x 1   I   2  t  1 tdt t  x   t  1, x   t  1  59 1 Vậy : I   t  t   1 5  e  1 3  x  t  5, dx  2tdt 2.2tdt   Đặt : t  x    I    1  dt  t4 t4   x  1  t  2, x   t  2 Vậy : I   t  4ln t      ln  ln    4ln   f 2dx x5 4  2 d  x  1 dx    x 1  5 x5  x5  x4   33  Ví dụ Tính tích phân sau : Trang 22 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 dx TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  x  x dx a  b  x x3dx 0 x c d  1 f  x dx x xdx 2 x  2 x x e  xdx 1 x  3dx GIẢI a x   x dx   x  x xdx Đặt :  x   t ; xdx  tdt t   x2    I   1  t  t  tdt    t  t  2t  1 dt  x   t  1, x   t  1 1 Vậy : I   t  t  t    105 7  b   x x dx  x  x xdx 2  x  t  1; xdx  tdt  I    t  1 t.tdt    t  t  dt Đặt : t   x    x   t  1, x   t  1  58 1 Vậy : I   t  t    15 5   c x  x dx     dx  2costdt;  x  cost 2  I  4sin t cos t cos tdt  4sin 2tdt Đặt : x  2sin t      0  x=0  t=0.x=2  t=   d      Vậy : I   1  cos4t  dt   t  sin 4t     2 xdx   2 x  2 x - Vậy : I   1 1  x   x dx      x     x   dx 1   3 2  22  2  x  x         3 e x  xdx 1   1  x  t  1; dx  2tdt  I    t  1 t.2tdt  2  t  t  dt Đặt : t   x    x  1  t  0, x   t  0 1 1 1 1 Vậy : I   t  t        0 15 5 5 3 Trang 23 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC x f x  3dx   x x  3.xdx 0  x  t  3; xdx  tdt Đặt : t  x    I  x   t  3, x   t   56  12 1 Vậy : I   t  t    15 5   Ví dụ Tính tích phân sau : x 3 a  dx 1 x   x  x x  x  1  t  1 t.tdt  b  t  t  dt 10 dx x 1  x2  c d dx x x  1dx x e  x dx GIẢI x 3 dx x 1  x  3 a 3 1  dx  2tdt Đặt : t  x   x  t     x  1  t  0; x   t   Vậy : 2 t  t   t   t2    1 2 I  2tdt  2 dt  2  t    dt   t  3t  3ln t   t  3t  t  1 t   t2 2  0  0  Do : I  6ln  10 10 10 dx dx dx b    x  x 1 x 1  x 1 1 x 1 1     x  t  1; dx  2tdt.x   t  2; x  10  t    dx 2tdt  - Đặt : t  x    f ( x)dx    2   dt 2   t   t  12  t  1  x        10  1  3   - Vậy : I   f ( x)dx     dt   ln t     2ln    t  t    t      c x2  x  x  1  x  x  1 dx  x  1 dx   x  x  1 dx  x  1  3   x x  1dx (1) 3   x  t  1, dx  3t dt.x   t  1; x   t  - Đặt : t  x    3   f ( x)dx  x x  1dx   t  1 t.3t dt   3t  3t  dt 3   33   - Vậy : I   f ( x)dx    3t  3t  dt   t  t   14 28 7 1 d x 3 x  1dx  x x  1xdx 1 Trang 24 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  xdx  tdt.x   t  1, x   t   - Đặt : t  x   x  t    2   f ( x)dx  x x  1xdx   t  1 tdt   t  2t  t  dt 1 2 1 - Vậy : I   x x  1xdx    t  2t  t  dt   t  t  t   2 1 6 1 0 2  x  x dx   x  x xdx e 1 2   x   t ; xdx  tdt.x   t  1, x   t  - Đặt : t   x   2 2   f ( x)dx  x  x xdx  1  t  t  tdt     t  t  dt 1 1 1 - Vậy : I   x  x xdx     t  t  dt    t  t  dt   t  t    15 3 Ví dụ Tính tích phân sau 1  3  1  x2 1 dx ( ĐHXD-96) x 1 2  dx  x 1 dx (GTVT-98 ) 3x  ( BK-95) x x2 1  x2  x x2  Giải dx ( HVBCVT-97 ) 2 x   x  1 x  1 x2 1  dx Ta có : f ( x)  x 1 x 1 x 1      x  1 x 1   x 1  x x  x  x 1  2 1 Vậy : I   f ( x)dx   x x  x  x  dx   x x  x x  x  x   5  15 0 2 x dx x 1  x xdx x2 1 1  2  x  t  1, xdx  tdt.x   t  , x   t   - Đặt : t  x    xdx tdt dt  f ( x)dx     x x   t  1 t t  1 dx dt       acr tan t    -Vậy : I   12 x x 1 t 1 3 3   t3 1 x  , dx  t dt , x   t  1; x   t   x 1 3  dx Đặt : t  3x    3 3x   f ( x)dx  x  dx  t  t dt   t  2t  dt  3t 3x  x 1 11  46 dx    t  2t  dt   t  t   - Vậy : I   3 3 3x   15 Trang 25 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   2  x2  x x2   dx  2 x2  xdx 1 x2  x  t   xdx  tdt.x  2  t  5, x    t   - Đặt : t  x    x2  t   1 1   xdx  tdt  1   dt  1     f ( x)dx    dt x t 1  t 1    t 1 t 1    - Vậy :    1 1   t 1   1   t   t   dt   t  ln t      ln f ( x)dx  2     1 1   1 1 Ví dụ Tính tích phân sau 1  x3 x 3  x 1 dx ( HVNHTPHCM-2000) I   2/2 x  2x  xdx (ĐHTL-2000)  I x x x3 x2  dx   1 x x2 2 (ĐHTM-97) dx dx (HVTCKT-97) Giải  x 1  x x2   x2 1 x x9 dx   x 1 x  1xdx   x 4dx 0   x  t  1, xdx  tdt ; x   t  1; x   t  Vậy : Đặt t  x      f ( x)dx   t  1 t.tdt   t  t  dt 2  x x  1xdx  Suy : 1 3 4 1 t  t  dt   t  t   15 ; 1 - Do : I    15 15 I   x 1 x dx =  x  xdx  x2 1  x dx  x 1    x  t  1, xdx  3t dt  xdx  t dt.x   t  1; x   t   - Đặt : t   x    t  1 3  f ( x ) dx  t dt  t t  dt  t  t 12  4t  6t  4t  dt    2t 2 3 2 - Vậy : I    t13  4t10  6t  4t  dt   t14  t11  t  t   ( Học sinh tự tìm kết 21  14 11 1 ) 3  3 0 x  2x  xdx =  x  xdx   1  x  xdx    x  1 xdx I      2 2 1 2 3 x  x x dx   x x  x dx   x x  x x    x x  x x   5 3  5 1 Trang 26 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2/2    dx  costdt.x=0  t=0;x= t   x dx Đặt : x  sin t    f ( x)dx  sin t costdt=  1-cos2t  dt  x2    cost     14 1   - Vậy : I   1  cos2t  dt   t  sin 2t   20 2  Ví dụ Tính tích phân sau : 1  11  x  a 2 x 1/ dx 1 x (HVQS-98)  x  a dx (2x  1) x  ,a  (AN-96) dx  dx x x 9 (HVQS-99) (AN-99) Giải 1  dx 11  x  1 x * Chú ý : a Một học sinh giải cách , em tham khảo Nhân liên hợp ta :  x   x2    x2  1  x2     1    1 x - f(x)=  2x 2 x  2x  x x2  1 1 11  1  x2 - Vậy : I   f ( x)dx     1 dx   xdx   ln x  x   J 1 1 2 x  1 x 1 1   x  t  1.xdx  tdt ; x  1  t  2; x   t   * Tính J : Đặt t   x     t t2 f ( x ) dx  tdt  dt  1   dt  2 t 1 t 1   t  1 t  1   * Học sinh thử tính thử xem có không ? Nếu không giải thích xem ? ( Theo điều kiện tồn tích phân ) b Một học sinh giải theo cách khác :    dx  cos 2t dt , x  1  t   ; x   t   - Đặt : x  tan t   dt dt   f ( x)dx  cos t  sin t  cost+1 cost  tan t   cost  - Sau áp dụng cách giải tích phân chứa hàm số lượng giác , không , hàm số không khả tích với t=0 * Đây cách giải : t 1    t  , - Đặt: t  x   x  t  x   x  t  2tx  x   x  x  2t 2 t  1  - Suy : dx     dt  2t  - Đổi cận : x=-1, t=  ;x=1 t=  -Do : Trang 27 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 I  21 1     dt  2t   1 t 2 1 dt  t 1  2 1 1 1  t  t  1 dt  ln  t  1   2 1 1 1  t 1  1 Hay : I  ln   ln    2  t   2t  1/   (2x  1) x    ln   ln 2 1  1 1   2   dt t t t    1   2 1   2   dx 2 1 1 1 * Chú ý : 1  dt; x   t  0; x  t  cos t dt dt cost du - Suy : f ( x)dx    dt  2 cos t  2sin t  cos 2t  1+sin t  u  tan t  1 cost   cost cos 2t   -Cách Đặt x  t ant  dx= du - Vậy : I    arctanu  arctan 1 u 0 * Học sinh tự tìm hiểu : Tại lại không đặt t   x để giải a a 2  x x  a dx ,a    x x  a xdx 0 * Học sinh thử làm theo cách có không ? du  dx  u  x   I x - Đặt :  3 v 1  x  dv  x  x    a - Do : I  * Cách khác : 1  a   J  1 Tính tích phân J : 1 x a J   a 1a  0   x2   x2  dx  dx a   dx  cos 2t dt.x   t  0; x  a  t  - Đặt : x  a.tan t    f ( x)dx  a tan t a a dt  a sin tdt  cost cos 2t cos5t   du  costdt.t=0  u=0;t=  t   - Nếu lại đặt u  sin t   sin t u2  f (t )dt  a costdt=a du 2   sin t  u      - Ta lại có : f(u)= 1- 1-u  1-u  3     1      1  u 1  u    1  u 1  u   * Với :   1 1  1 1 1   g (u )               3  u  u  u  u  u  u  u  u             u  u         Trang 28 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 1 3 1   1 1 3 1 1                    1  u 3 1  u 3   u  u    1  u 3 1  u 3  1  u 2 1  u 2  u  u     1 1  3 1 1            (1)  1  u 3 1  u 3  16  1  u 2 1  u 2  u  u    1 1 1  - h(u )       (2)    2  1  u  1  u   u  u   1  u 1  u   Vậy : I  2  2 2 0  g (u)du   h(u)du (3)   1  1  3 1 1  g (u )du             du   1  u 3 1  u 3  16  1  u 2 1  u 2  u  u     1  1  3 1  u   11 85 2       ln    2ln       2ln 2     1  u  1  u   16   u  u  u  2 64 64   2  h(u )du  2   1 1  1 1 1 u  2      ln 1   du     ln  1  u 2 1  u 2  u  u  1 u 1 u 1 u    Thay kết tìm vào (3) Vậy : I  4  dx  x x 9 x xdx x2  149 64  x  t  9.xdx  tdt ; x   t  4; x   t   - Đặt : t  x    tdt dt 1 1   f ( x)dx  t  t   t  3 t  3   t   t   dt    1 1  t 3  1 - Vậy : I       ln  ln   ln  dt  ln 6 t 3 t 3 t 3 6 7 Ví dụ Tính tích phân sau 1  0x 3 2/2 x3  x 1 dx (HVNGTPHCM-2000) x  1dx (YHN-2001) x3  0x - Với :  1 x dx (HVTCKT-97) (1  x )3 dx (YHP-2000)  x2 x2  dx =  1 0 x3  x x2   x  1  x  dx  Giải x  x   x dx (1) 2  x x  1dx   x x  1xdx Trang 29 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2   x  t  1.xdx  tdt.x   t  1; x   Đặt : t  x    2   g ( x)dx  x x  1xdx   t  1 t.tdt   t  t  dt x - Cho nên : 2 x  1xdx  -  x dx  2/2   t 1  26 1 (2)  t  dt   t  t    15 5  1 51   x  (3) Thay (2) (3) vào (1) ta có : I  15 15 5   dx  costdt.x=0  t=0;x=  t=  x  dx Đặt : x  sin t    f ( x)dx  sin t costdt= 1-cos2t dt  x2  cost 2    cos2t 1 1 1  2  - Do : I   dt   t  sin 2t       2  2 2 3.I=  x  1dx = x x  2 2   x2 x 1 dx    x  1dx  2  x2 1 dx Vậy : I 5 2I   x 1 2 dx  I   ln x  x    ln   1  I   ln 2   dx  costdt.x=0  t=0;x=1  t= 2  (1  x ) dx Đặt : x  sin t    f ( x)dx  cos 6tcostdt=cos 4tdt  1  cos2t  dt  Vậy :    2  cos4t  12 1 3 I   1  cos 2t  dt    cos 2t  cos4t  dt   3t  2sin 2t  sin 4t     0 80 8   16 Ví dụ Tính tích phân sau a x 2  0 a  x dx (a  0) (SPIHN-2000)2 dx (QG-97) x 1  x dx dx (CĐSPHN-2000)  (CĐSPKT-2000) x4 x2 x(1  x )  1 Giải a x a  x dx (a  0)   dx  a.costdt.x=0  t=0;x=a  t= - Đặt : x  a.sin t   2  f ( x)dx  a sin t.a.cost.a.costdt=a sin t cos tdt    a - Vậy : I   a sin 2tdt   a4   a4  0 1  cos4t  dt   t  sin 4t   16 Trang 30 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218   1 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  0  x   x  dx  x   x dx  dx   0  x   x  x  1  x  x  1  x3  10  32  2 1 0 x   x  2  dx  dx    x   x   dx 1 x   x  1  x     x     1 Vậy : I    x  4   x  2  01  13 8  2  3 1   23  3  x   t  12 dx   t  1 dt ; x   t  2; x   t   dx  Đặt : t   x    t  1 dt  1 f ( x)dx   dt     dt x(1  x )   t 1 t   t  1 t t  t  1  t 1 1  1  - Vậy : I  2    dt  2ln   ln  ln   2ln t 1 t  t 2  2 Ví dụ 10 Tính tích phân sau 1  (x  x)dx x2  (ĐHHĐ-99)    x x  1dx  / 2  dx (ĐHĐN-97)  x 1 x2  dx (ĐHCT) x 1 (x  1)sin xdx  x  2x 3  x 1 dx ( ĐHTSNT-2000) Giải 1  (x  x)dx x2  1  x2  x      dx    x     dx  x2  x2   x2   0 0  x2   10    x  1dx  arctanx    J    1 - Tính J ( Sử dụng phương pháp tích phân phần ) 1 1 x2   2 x  dx  x x   dx   x 1  dx   I  arctanx   0   0 x2  x2   0 - Do : I   2   I     x  t  2.dx  2tdt.x   t  3; x   t  dx  Đặt : t   x   2tdt    x 1  f ( x)dx  t   1  t   dt        - Do : I   1   dt   t  ln t    2  ln    ln     ln  1 t 1     2 x x  1dx  3  x2  dx x 1 Trang 31 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 8  1 8 1 u 1 du    udu  u  u  du  24   udu          0  u   30  20 0  u   8 1 1 du   du 1 26 52   24   I     1 u  1  I   I     2 6 1 u 3  u   a  x  x dx  b   x  1   x  1  dx x2  dx   x 1 x 1 1  x   t ; dx  2tdt x   t 1; x   t   - Đặt : t  x    t  2t  2tdt   2t  4t   dt  f ( x)dx  t  2 2 - Vậy : I    2t  4t   dt   t  2t  4t   3 1 /  (x  1)sin xdx   x 1   x dx     1 s inxdx   x s inxdx   s inxdx   x d  cosx   cosx  J  0 0 a x  2x 3 2 2 2 1       2 - Tính J: J   x d  cosx   cosx.x   x.cosxdx  2. x.d  s inx    x.s inx   sin xdx  0   0 0       2  cosx      I           b I  x5  x3 x2  dx   x2  x2  2 x2    2 xdx  x  t  1; xdx  tdt ; x   t  1; x   t   - Đặt : t  x    t  1 t  1  tdt   t  1 dt  f ( x)dx  t  1  26 - Vậy : I    t  1 dt   t  t   5 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 x  xdx (ydtphcm-2000)   x dx (ĐHNGT-2000) x dx 2x 1  x x dx (KA-2003) x x 4 x dx (KA-2004)   x  1  x dx (DB-2003)  2 Trang 32 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  3ln x.ln x dx (KB-2004) x e  dx  2x   4x   x4 13  x 1  x  8x  2  x a  x dx 19* dx 16  3x   x2  x  a 21   22*  x   x2   dx dx x2  a2 dx x  18 20*  x3 dx (CĐSPHN-04) ln x 14  dx (DB-05) x ln x  1 dx x x2  a 17  12 dx (CĐSPKT-04) x5  2x3 e3 5x  15  ln x dx (DB-06) x  ln x e 11 (DB-2006) x2  x  1dx (DB-2005) 10 dx 10  (DB-06) x  x 1 x2 1  x2   dx  x6 dx x  23*+  x3  dx x4 24  dx 1 x  1 x Trang 33 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 [...]...    ( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và  ,  ,  ,  là các hằng số đã biết ) Phương pháp : x  b.1 Đặt : t= m (1)  x  b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x    t  b.3 Tính vi phân hai vế : dx=  '  t  dt và đổi cận   x  b.4 Cuối cùng ta tính :  R  x; m  x    2 Ví dụ 1 Tính tích phân sau  1 1 '   dx ... t   c  y y  y    mx  n  ax  bx  c 2 ' b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I    ' dy Ly  My  N 2 Tích phân này chúng ta đã biết cách tính 3 Ví dụ 1 Tính tích phân sau   x  1 2 VÍ DỤ MINH HỌA dx  x2  2 x  3 Giải Trang 20 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 1  x  1  ; dx   2  1 y y  - Đặt : x  1    y  x ... x2  x  (4) +/ Với a0 1 4 4 2costdt=dt  f ( x)dx  2 2 1  sin t      4 - Vậy : I   dt  t  4 4     4 4 2  4  mx  n 2 Tích. ..   4 4 2  4  mx  n 2 Tích phân dạng : I   ax 2  bx  c  Phương pháp : mx  n  a  0 dx A.d  ax 2  bx  c  B 1 ax 2  bx  c ax 2  bx  c ax 2  bx  c b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1) b.1 : Phân tích f ( x)  b.4 Tính I = 2 A   ax 2  bx  c  1  a  0  đã biết cách tính ở trên   Trong đó  ax 2... tính thử xem có được không ? Nếu không được thì giải thích xem tại sao ? ( Theo điều kiện tồn tại tích phân ) b Một học sinh giải theo cách khác : 1    dx  cos 2t dt , x  1  t   4 ; x  1  t  4  - Đặt : x  tan t   1 dt dt  2  f ( x)dx  1 cos t  sin t  cost+1 cost 1  tan t   cost  - Sau đó áp dụng cách giải tích phân chứa các hàm số lượng giác , nhưng cũng không được , do hàm. .. Trang 16 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   2 3 17 sin 2004 x 0 sin 2004 x  cos2004 x dx ( CĐSPHN-05) 2 x sin x 0 sin 2 x cos2 x dx CĐST-05) 18   sin 3x  sin 3 x 19  dx ( CĐHY-06) 1  c os3x 0 6 3 20 dx CĐSPHN-06)   s inxsin  x+  6 3     21  sin 2 x 1  sin 2 x  dx ( CĐKT-06) 2 3 0 Bài 5 ( Tiết 3) TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ I KIẾN ...   f (b  x)dx Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số Ví dụ : Tính tích phân sau Trang 12 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   a/ 4sin xdx... chung cách giải dài Học sinh thử giải xem ( theo cách hướng dãn ) * Ta sử dụng phương pháp đổi biến số dạng Trang 18 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218  TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG... Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1  x  dx - Vậy : I  2   x  x2 0 1  x  x2 dx  2 Theo kết tính ví dụ ta có : I   Ví dụ Tính tích phân sau I    x   dx