Phương pháp tính tích phân các hàm lượng giác

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁCBài toán: Tính tích phân của hàm : fx = Rsinx, cosx.. Bằng phép biến đổi lượng giác hoặc sử dụng phép đặt 2     , ta có thể đưa tích phân

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

Bài toán: Tính tích phân của hàm : f(x) = R(sinx, cosx)

1 Bằng phép biến đổi lượng giác hoặc sử dụng phép đặt

2



   , ta có thể đưa tích phân đã cho về tích phân của

hàm hữu tỉ đối với biến t, tuy nhiên trong nhiều trường hợp phép đặt trên dẫn đến một tích phân

phức tạp hơn để giải quyết vấn đề cần phải đổi biến như thế nào, chúng ta chú ý đến biểu thức dưới dấu tích phân, ta có thể chia ra các trường hợp sau

1/ Nếu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx)tức là R(sinx, cosx)là hàm số lẻ đối với sinx, ta đặt

t= cosx

Ví dụ 1: Tính 2 5 2

0

sin os



Nhận xét R(sin ;cos ) sin osx x  5x c 2x là lẻ đối với sinx, ta đặt t = cosx và thực hiện đổi cận ta có tích phân

0

Đến đây ta được tích phân có bản đối với t

2/ NếuR(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) tức là R(sinx, cosx) là hàm số lẻ đối với cosx, ta đặt

t= sinx.

Ví dụ 2:

3 4 2 6

os sin

x





Nhận xét

3 2

os (sin ,cos )

sin

x

 là lẻ đối với cosx, nên ta đặt t= sinx và thực hiện đổi cận, ta có

2

1

Đến đây ta có tích phân đơn giản đối với biến t

3/ Nếu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) tức là R(sinx, cosx) là chẵn đối với sinx và cosx, ta đặt t = tanx hoặc t = cotx.

Chú ý: Khi đặt t=tanx thì 2

1 1

t





Ví dụ 3:

4

6

2 sin os





Nhận xét (sin ,cos ) 2 1 4

 là chẵn đối với sinx và cosx, nên ta đặt t = tanx và thực hiện phép đổi cận ta có

 22

2

1

1

t t









R(sin x, cosx) = sin x.cos x, trong đó m và n là các số tự nhiên chẵn, ta có thể biến đổi theo công thức hạ bậc: 2 1 os2 2 1 os2

x  x  , nếu một trong hai số m hoặc n là

số lẻ, ta trở lại trường hợp 1 hoặc trường hợp 2

Ví dụ4:

2

2

5/ Nếu









sinax.cosbx R(sinx, cosx) = sinax.sinbx.

cosax.cosbx.

ta dùng công thức biến tích thành tổng để đưa về

các tích phân đơn giản

6) Một số dạng đặc biệt

Bài 1 Chứng minh rằng:





Ta phân tích:

Ví dụ: Tính 2.sin 3.cos









Ta có

2.sin 3.cos (sin 2cos ) ( os 2sin )

8

5

A

B









Bài 2 Chứng minh rằng:

2



Ta phân tích a.sinx b cosx A a  '.sinx b '.cosxB a c x b ' os  '.sinx, tìm ra các hệ số



Ví dụ Tính 2









4

A

B











Tích phân 1

3 sinxcosx dx

 là dạng tích phân mà chúng ta đã biết cách tính

Chú ý Hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được tích phân dạng 3

dx













 (Đọc giả tự giải bài tập này)

Bài 3 Tính P x( ).sinxdx, P x( ).cosxdx

Nếu gạp dạng này chúng ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt

,

Trờn đõy là phương phỏp tớnh tớch phõn của cỏc hàm số lượng giỏc Đứng trước một bài toỏn chỳng ta cú thể cú nhiều cỏch giải khỏc nhau Đõy là cỏch giải mà chỳng ta sẽ chắc chắn cú kết quả Chỳc cỏc em 12 cú kết quả tốt trong cỏc kỳ thi sắp tới

Mọi ý kiến đúng gúp và thắc mắc xin gửi theo địa chỉ

phamtienhai_nbk@yahoo.com.vn hoặc tienhai05@Gmail.com

Chú ý : * Có thể tính một cách trực tiếp bằng các phép biến đổi cơ bản.

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1/



p

2

2

6

p p

4

0

5

1

*1/ (2sinx - cosx)dx * 2/ (sinx + )dx * 3/ cosx(1 + 2tgx)dx

cos x

sin x

*10/ sin xcosxdx * 11

*

sinx

3

p

p 2

6

/ cotgdx * 12/ e cosxdx 1

sin

x

2

*16/ sin2xcos3xdx * 17/ (1 + sinx) cosxdx * 18/ 1 + 4sinxcosxdx

p p

p 4

2

6 p

2 3

2 0

1 2/ sinx(1 + 2cosx)dx * 23/ cotgx(1 + )dx * 24/ cos2xcos4xdx

sin x

*25/ * 26/ (3cosx - )dx * 27/ (1 + tg x)dx