14 tich phan cac ham luong giac pros(2015)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 14 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN π sin x.cos x dx + cos x I= Câu ∫ π sin x.cos2 x (t − 1)2 dx Đặt t = + cos x ⇒ I = ∫ dt = ln − 1 cos x t + Ta có: I = ∫ π I = ∫ sin x tan xdx Câu π π Ta có: I = ∫ sin x sin x dx = cos x (1 − cos2 x )sin x dx Đặt t = cos x ∫ x cos − u2 du = ln − u ⇒ I = −∫ π I = ∫ sin2 x (2 − + cos2 x )dx Câu π π π Ta có: I = ∫ 2sin xdx − ∫ sin2 x + cos2 xdx = H + K π π 2 π π + Xét H = ∫ 2sin xdx = ∫ (1 − cos x )dx = π − π π 2 π = π π π π π π π 2 + Xét K = ∫ sin2 x cos2 x = − ∫ sin2 x cos xdx = − ∫ sin2 xd (sin x ) = ⇒I = π 2 3 − π I= Câu dx ∫ sin2 x.cos4 x π π I = ∫ π dx 2 sin x.cos x Đặt t = tan x ⇒ dt = dx cos2 x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG I= ∫ (1 + t )2 dt t2 = ∫ Facebook: LyHung95  1 t3  3−4 2 + + t dt = − + t +   =   1  t t  π Câu I=∫ sin x ( + sin x ) dx π Ta có: I = π sin x ∫ (2 + sin x )2 ⇒ I = 2∫ t−2 t2 sin x cos x dx = ∫ (2 + sin x ) dx Đặt t = + sin x 3 1   2 dt = ∫  −  dt =  ln t +  = ln − t t2  t 2  2 π Câu I= sin x ∫ cos x dx π I= π sin x sin x ∫ cos x dx = ∫ cos2 x − dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 0 Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = Ta I = − ∫ 1 2t − dt = π ⇒t= 2 ln 2t − 2t + = 2 ln 3−2 5−2 π Câu I = ∫ esin x sin x.cos3 x dx • Đặt t = sin x ⇒ I = 11 t e (1 − t )dt = e − ∫ 20 π Câu I = ∫ sin x ⋅ sin2 x + dx π • Đặt t = cos x I = (π + 2) 16 π Câu I= sin x ∫ sin6 x + cos6 x dx π I= ∫ sin x − sin 2 x 4 dx Đặt t = − sin 2 x ⇒ I = ∫  − t 1  t dt =  1 = π Câu 10 I = ∫ sin x ( sin x + cos x ) dx  π Ta có: sin x + cos x = cos  x −  ; 6  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95   π π π π  sin x = sin   x −  +  = sin  x −  + cos  x −  6 6 6 6     π π π sin  x −  dx 6 3 dx  ⇒I= = + ∫ ∫   16 π  16 π cos3  x −  cos2  x −  6 6   π Câu 11 I = ∫ − sin x − cos2 x cos2 x π π sin x ∫ − = − π I= π cos2 x dx + ∫ sin x cos2 x sin x ∫ − π sin x − cos2 x dx = ∫ − cos2 x π dx dx = π cos2 x sin x dx = ∫ − π π sin x cos2 x sin x dx + ∫ sin x −0 cos x sin x dx 7π − −1 12 π Câu 12 I = ∫ sin x + cos x dx  π sin  x +  1 16  dx  I=∫ dx = ∫ dx = ∫ 20  20  π π sin x + cos x sin  x +  − cos2  x +  3 3   π π π 1   π π 1 Đặt t = cos  x +  ⇒ dt = − sin  x +  dx ⇒ I = ∫ dt = ln 3 3 1− t   π Câu 13 I = ∫ − sin x + cos2 xdx π π Ta có I = ∫ sin x − cos x dx = I = ∫ sin x − π cos x dx + ∫ sin x − cos x dx = − π π Câu 14 I = sin xdx ∫ (sin x + cos x )3 π Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ⇒ 2I = cos tdt dx = cos xdx ∫ (sin t + cos t )3 ∫ (sin x + cos x )3 π π π = − cot( x + ) = ⇒ I = π sin ( x + ) ∫ (sin x + cos x )2 = ∫ π π 2 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π Câu 15 I = 7sin x − 5cos x ∫ (sin x + cos x )3 dx π Xét: I1 = ∫ π Đặt x = π sin xdx ( sin x + cos x ) ; I2 = cos xdx ( sin x + cos x ) ∫ − t Ta chứng minh I1 = I2 π dx ( sin x + cos x ) ∫ Tính I1 + I2 = ⇒ I1 = I = π 2 = dx cos2 ( x − ) ∫ π = π π tan( x − ) = ⇒ I = 7I1 – 5I = π Câu 16 I = 3sin x − cos x ∫ (sin x + cos x )3 dx π π Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = 2 π 3cos t − 2sin t ∫ (cos t + sin t )3 dt = π ⇒ 2I = I + I = 3sin x − cos x ∫ (sin x + cos x )3 π 3cos x − 2sin x ∫ (cos x + sin x )3 dx π dx + Câu 17 I = 2 π 3cos x − 2sin x ∫ (cos x + sin x )3 dx = ∫ (sin x + cos x )2 dx = ⇒ I= x sin x ∫ + cos2 x dx π Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫ π π sin t ⇒ 2I = π ∫ + cos π Câu 18 I = t (π − t )sin t + cos2 t π dt = π ∫ sin t + cos t dt − I π π  π2 =π  + ⇒ I = 4 4 + cos t dt = −π ∫ d (cos t ) cos4 x sin x ∫ cos3 x + sin3 x dx Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = − ∫ π π sin t cos t cos3 t + sin3 t dt = sin x cos x ∫ cos3 x + sin3 x dx π ⇒ 2I = π cos x sin x + sin x cos x sin3 x + cos3 x ∫ dx = 3 sin x cos x (sin x + cos x ) sin3 x + cos3 x ∫ π dx = 12 1 sin xdx = ⇒ I = ∫ 20 π Câu 19 I = Đặt x = π 2   ∫  cos2 (sin x ) − tan  (cos x ) dx  − t ⇒ dx = −dt Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π Facebook: LyHung95 π 2    1 ⇒ I=∫ − tan (sin t ) dt = ∫  − tan (sin x ) dx  cos2 (cos t )   cos (cos x )  0 0 π π 2   1 π + − tan (cos x ) − tan (sin x ) dx = ∫ dt = π ⇒ I = Do đó: 2I = ∫  2  cos (sin x ) cos (cos x )  0 π Câu 20 I = cos x − sin x − sin x ∫ dx π Đặt u = sin x + cos x ⇒ I = du ∫ 4−u Đặt u = 2sin t ⇒ I = ∫ π π cos tdt − 4sin t = ∫ dt = π π 12 π Câu 21 I = sin x ∫ cos x + sin x − cos2 x Ta có: cos2 x = − t dt = Đặt t = + sin x = I= π π 3 ∫ = dx sin x cos x + sin2 x 15 t+2 ln t−2 Câu 22 I = ∫π sin3 x + sin2 x 2π +) Tính I1 = ∫π 2π +) Tính I =∫π π dx + ∫π sin x Vậy: I = 2π x Ta có I = ∫π cos2 x + sin2 x x + ( x + sin x )sin x 2π sin x.cos x ∫ 1 15 +  ln − ln  15 −  = 2π dx = 15 ∫ dx = dt − t2 = sin x cos x + sin2 x dx 15  ∫ 1  −  dt t+2 t−2 3+2  (  = ln 15 + ) − ln ( + ) −  ( ) dx dx + sin x u = x π  du = dx dx ⇒  ⇒ I1 = dx Đặt  dv = v = − cot x sin x  sin x x 2π dx = ∫π3 + sin x 2π dx dx = ∫π3 =4 − π  x 2π + cos  − x  cos  −  2   2 +4−2 π Câu 23 I=∫ π I=∫ sin x 2 dx cos x + 4sin x udu 2sin x cos x 22 dx Đặt u = 3sin x + ⇒ I = ∫ = ∫ du = u 31 3sin2 x + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  π tan  x −   dx cos2 x π Câu 24 I = ∫ π I= ∫ Facebook: LyHung95 π  π tan  x −   dx = − tan x + dx Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = (tan x + 1)dx ∫ cos x cos2 x (tan x + 1) ⇒ I =− ∫ dt (t + 1) = 1− = t +1 π Câu 25 I = cot x dx π sin x.sin  x + π   4 ∫ π I = 2∫ π cot x sin x (1 + cot x ) dx Đặt + cot x = t ⇒ sin x dx = − dt ⇒ I= +1 t −1 dt = ( t − ln t ) t ∫ +1 +1 +1   = 2 − ln    π Câu 26 I = dx ∫ sin2 x.cos4 x π π Ta có: I = ∫ π dx 2 sin x.cos x Đặt t = tan x ⇒ dx = dt + t2 (1 + t )2 dt 1 t3 = ∫ ( + + t )dt = (− + 2t + ) ⇒ I= ∫ t t2 1 t π Câu 27 I = ∫π2 sin x − cos x + sin x = 3−4 dx π π  Ta có: + sin x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈  ;  ) 4 2 π ⇒ I = ∫π2 ⇒I =∫ sin x − cos x dx Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x )dx sin x + cos x 21 t dt = ln t = ln 2 Câu 28 I = ∫ − cos3 x sin x.cos5 xdx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Đặt t = − cos3 x ⇔ t = − cos3 x ⇒ 6t 5dt = 3cos2 x sin xdx ⇒ dx = 2t 5dt cos2 x sin x  t t13  12 ⇒ I = ∫ t (1 − t )dt =  −  =  13  91 6 π Câu 29 I = tan xdx cos x + cos2 x ∫ π Ta có: I = tan xdx ∫ 2 cos x tan x + Đặt t = + tan x ⇒ t = + tan x ⇒ tdt = ⇒ I= tdt ∫2 t = tan x dx cos x ∫ dt = 3− 2 π Câu 30 I = cos2 x ∫ (cos x − sin x + 3)3 dx t −3 dt = − 32 t Đặt t = cos x − sin x + ⇒ I = ∫ π Câu 31 I = ∫ sin x dx cos x tan x + π Ta có: I = ∫ sin x 4 sin x + cos x dx Đặt t = sin x + cos4 x ⇒ I = −2 2 ∫ dt = − BÀI TẬP LUYỆN TẬP π 1) ∫ sin x dx π 2) ∫ sin x dx 3) ∫ sin x dx 0 π π π 4) ∫ cos3 x dx 7) π 5) ∫ sin x dx 0 π π ∫ tan x dx 8) 6) π ∫ tan x dx π tan x dx 10) ∫ cos x 11) π π π 13) ∫ sin x.cos x dx ∫ ( cot 14) 9) ) x + dx + sin x dx cos x ∫ x dx π π π ∫ tan tan x ∫0 cos2 x dx π cot x dx 12) ∫ π sin x π 15) ∫ sin x cos3 x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π 16) dx ∫π sin x.cos3 x π 19) π sin x 20) π sin x 22) ∫ dx cos x + 23) sin x.cos x dx + cos x ∫ π 28) ∫ cos x ( sin x + cos x ) dx π 31) ∫ sin x.tan x dx π 37) 40) ∫ ( sin π π π − x 24) dx π sin x 27) ∫ sin x cos x (1 + cos x ) dx dx π π 30) dx x x π sin cos 2 ∫ sin x cos x − cos x 46) ∫ dx + cos x 33) 4sin x ∫0 + cos x dx π 36) ∫ ( sin ) x + cos3 x dx x − sin x ) dx 41) ∫ sin x (1 + sin x ) dx π 39) ∫ ( cos π 42) ) x.sin x dx dx ∫π sin x.cos x 44) ∫ sin π π 47) π dx x.cos3 x 45) dx ∫ ( tan x − cot x ) π dx + sin x + cos x dx sin x + cos x π π π 50) ∫ sin x (1 + sin x ) π − π π 49) ∫ cos x.cos x dx x π dx 4 π sin x 32) ∫ dx x cos ∫ ( cos dx ∫ cos π 38) sin x 29) ∫ dx sin x + π sin x ∫ + cos x dx π π ∫ ( + sin x ) π π π sin x ∫ + cos 21) sin x 35) ∫ dx + cos x x + cos x ) dx cos x ∫ + 2sin x dx ∫ cos x ∫ − sin x dx π 43) π π cos3 x 34) ∫ dx cos x + π 0 26) 18) ∫ sin x cos5 x dx 0 π 25) π 17) ∫ sin x cos x dx ∫ + 3cos x dx Facebook: LyHung95 ∫ − 2sin x 48) ∫ dx + sin x π 51) sin x ∫ cos x + sin x dx 52) ∫ cos x + sin x + sin x dx 53) ∫π sin x − cos x + sin x π 54) dx ∫ − cos x sin x.cos5 xdx π 55) ∫ − cos x sin x.cos5 x dx π 56) ∫ cos x π π tan x + cos x dx 57) ∫ cos x dx + cos x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π 58) ∫ sin x cos x − cos x dx 61) π 59) 0 π π ∫ cos x dx + cos x 62) − dx π  cos x.cos  x +  4  ∫ 71) 66) cos x dx ∫ ( sin x + cos x ) π 69) sin x − 5cos x dx π  sin x.cos  x +  4  72) dx π  sin x.sin  x +  6  ∫π sin x sin x dx 75) ∫ ∫ (e tan x dx cos x e ) eπ π sin x + cos x cos x dx ln(sin x) dx π cos x π 6 π ∫ cos(ln x)dx 80) 83) dx sin xdx (sin x + cos x 78) π ) 84) π dx ∫0 cos2 x + 4sin x 92) sin x − cos x + ∫0 sin x + cos x + dx π π sin x ∫0 cos8 x dx dx ∫0 sin x + 2sin x cos x − cos2 x 95) dx π cos x 87) ∫ dx sin x + cos x π ∫ ( sin 90) x + cos5 x ) dx π π cos x − 4sin x ∫ (cos x + sin x) π 89) ∫ 81) ∫ sin x.ln(cos x) dx sin xdx 86) ∫ sin x + cos x π sin x ∫0 + sin x dx ∫ π 1+ cos x sin x ∫0 sin x + cos6 x dx ∫ dx π 77) π ∫π π sin x cos3 xdx ∫ ( 3sin x + cos x ) 2x π (1 + sin x) 85) ∫ ln + cos x 94) π sin(ln x) dx x sin ∫e π 91) ( cos x − sin x ) π 74) ∫ e dx 82) ∫ sin x + cos x 88) ) dx 63) ∫ π tan x + e 73) ∫ cos x 79) sin x sin x − cos x + 68) ∫ dx π sin x + cos x + π 76) ( cos x + dx π sin x 67) ∫ dx sin x + cos x π ∫ sin x + sin x dx + 3cos x ∫ π cos x dx 65) ∫ + sin x π π + cos x π cos x − sinx 64) ∫ dx sinx + cos x 70) 60) π π cos x dx ∫ Facebook: LyHung95 sin x + cos x dx + 2sin x 93) ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!