VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Dạng 2.. Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sinx, cosx Ví dụ 1: [ĐVH].. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P2 Thầy
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Dạng 2 Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sinx, cosx
Ví dụ 1: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
I =∫ x dx
Hướng dẫn giải:
4
cos
3
x
I =∫ x dx=∫ x x dx= −∫ − x d x = − x+ +C
I =∫ x dx=∫ x x dx=∫ − x d x =∫ − x+ x d x =
5
c) Sử dụng liên tiếp công thức hạ bậc hai ta được:
3
x
Ví dụ 2: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
x dx I
=
2 2
sin cos
x
x
=∫
c) 3
sin 3 sin
=
+
I
dx I
x
=∫
Hướng dẫn giải:
I
b)
( )( )
+ − −
2
c)
sin 3 sin 2sin 2 cos 4sin cos 4 sin cos 4 1 cos cos
I
Đặt
( ) ( ( ) )
1
cos
−
( )( )
1 2
3 2
2
1
ln
= − +
∫
dt
C
Thay t = cosx vào ta được 3 1 1 1ln1 cos
−
x
07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
Trang 2d)
I
−
Đặt
sin
C
Thay t = sinx vào ta được 4 1 1 1 ln sin 1
x
Ví dụ 3: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) 5
sin cos
dx
I
x x
3 6
4sin
1 cos
x dx I
x
= +
x dx I
x
=
−
Hướng dẫn giải:
a)
sin cos sin cos sin 1 sin
I
−
Đặt
2
5
sin cos
dx
x x
b) Sử dụng phép biến đổi lượng giác ta có:
4sin 4sin sin
4 1 cos sin 4sin 2sin 2
−
4sin
1 cos
x dx
x
+
c) 7 sin3 (cos )3
I
I
Bằng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được
1
=
3
1
1 3
d t
t dt
−
1
dt
−
1
t
t t
t
+
Từ đó 7 1ln 3 1 1ln 1 1 2 arctan 2 1 1ln 3 1 1ln 1 1 arctan 2 1
Bình luận:
Ngoài cách sử dụng kĩ thuật nhảy tầng lầu trực tiếp như trên, chúng ta có thể biến đổi theo hướng khác như sau
Trang 3( )
−
I
t 1 ( t 1 )( t t 1 ) ( t 1 ) ( t 1 ) 3( t 1 ) 3 ) u u 3u 3
( − ) − ( + + −( ) ( + ) + +) + ( )
3u 6u 3 3 u 3u 3 3u
Thay vào ta được :
+
+ +
∫
u
Ví dụ 4: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) ( 2sin )
3 sin 2 cos (2 cos )
3
sin
1 cos
x
x
= +
∫
Ví dụ 5: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 1 tan tan sin
2
x
c) 3 cos sin cos
2 sin
I
x
+
=
+
3
4
sin 3 sin
1 cos 3
x
−
= +
∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
sin cos
dx I
3 sin 2 2 sin
2 cos 4 1
xdx I
x
=
−
∫
Bài 2: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 3
sin
dx
I
x
3
cos sin
x dx I
x
=∫
sin cos
dx I
=∫
Bài 3: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 1 sin 22
cos
x
x
+
3 cos
x
= +
∫
c) 3 sin 2
1 cos
x
x
=
+
2 cos 2
x
x
= +
∫
Bài 4: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
1 cos cos 4
2 1 cos sin cos
Trang 4c) I3=∫sin cos (1 cos )x x + x 2dx d) 4 cos 2
1 sin cos
x
= +
∫
Bài 5: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) I1=∫cos 2 (sinx 4x+cos4x dx) b)
3
sin
1 cos
x
x
= +
∫
c) I3=∫(sin3x+cos3x dx)
Bài 6: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 sin 2 sin
1 sin
x
=
−
Bài 7: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
2
tan
4 cos
xdx I
x
=
+
2
tan 3 cos
dx I
=
+
∫
c) 3 3sin2 4 cos2
3sin 4 cos
+
=
+
3
sin cos
1 cos
x
= +
∫
Bài 8: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
1 cos 4 (sin cos )
3
sin
3 sin
x
x
= +
∫
c) 3 cos
5 cos 2
xdx I
x
=
+
1 2 cos
x
+
=
+
∫
Bài 9: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 cos 3
sin
x
x
3
sin cos
1 cos
x
= +
∫
c)
3
3
4 sin
1 cos 4
xdx I
x
=
+
6 cos 5
x
+
=
−
∫