Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc tử số P(x) lớn Q(x) ta phải chia đa thức để quy nguyên hàm có bậc tử số nhỏ mẫu số I MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT Khi Q(x) = ax + b Nếu bậc P(x) lớn ta chia đa thức Khi P(x) số (bậc 0) ta có I = ∫ P( x) k k d (ax + b) k dx = ∫ dx = ∫ = ln ax + b + C Q( x) ax + b a ax + b a Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) I1 = ∫ dx 2x − b) I = ∫ x +1 dx x −1 c) I = ∫ 2x + dx − 4x d) I = ∫ x2 + x + x+3 Hướng dẫn giải: 4 d (2 x − 1) a) Ta có I1 = dx = = 2ln x − + C 2x −1 2x − x +1 x −1+ dx b) I = dx = dx = 1 + = x + 2ln x − + C dx = dx + x −1 x −1 x − x −1 − (3 − 4x ) + 2x + 5 dx d (3 − 4x ) 2 dx = − + dx = dx = − x + c) I = =− x− 2 (3 − 4x ) − 4x − 4x 2 − 4x − 4x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 = − x − ln − x + C → I = − x − ln − x + C 8 d ( x + 3) x x +x+4 10 = ∫ x − + dx = x − dx + 10 d) I = ∫ ∫( ) ∫ x + = − x + 10ln x + + C x+3 x +3 Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: x3 + x + x + x + 3x + x + c) I = ∫ dx dx x −1 2x + Hướng dẫn giải: 49 x3 − x + 21 a) Chia tử số cho mẫu số ta = x − x+ − 2x + 2x + 49 1 x3 − x + 21 21 49 dx 1 Khi I = ∫ dx = ∫ x − x + − dx = ∫ x − x + dx − ∫ 2x + 2x + 2x + 2 2 x3 x 21 49 d ( x + ) x x 21x 49 = − + x− ∫ = − + − ln x + + C 16 2x + 8 16 3x + 3x + x + b) Ta có I = ∫ dx = ∫ x + x + + dx = x + 3x + x + 9ln x − + C x −1 x −1 x + 3x + x + c) Chia tử số cho mẫu số ta = x3 − x + x − + 2x +1 2x + a) I = ∫ x3 − x + dx 2x + b) I = ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 dx x + 3x + x + 1 Khi I = ∫ dx = ∫ x − x + x − + dx = ∫ x − x + x − dx + ∫ 2x + 2x + 2 2x + x x3 d ( x + 1) x x = − + x − x + ∫ = − + x − x + ln x + + C 4 2x + II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI Khi Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả xảy với Q(x) TH1: Q(x) = có nghiệm phân biệt x1 x2 Nếu P(x) số ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm mẫu số P( x) P ( x) 1 A B Nếu P(x) bậc ta có phân tích Q( x) = a ( x − x1 )( x − x2 ) → = = + Q( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) a x − x1 x − x2 Đồng hệ số hai vế ta A, B Từ đó, quy toán nguyên hàm có mẫu số hàm bậc xét Nếu P(x) có bậc lớn ta chia đa thức, quy toán hai trường hợp có bậc P(x) để giải Chú ý: Việc phân tích đa thức thành nhân tử với phương trình bậc hai có hệ số a khác phải theo quy tắc ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 1)(3 x − 1) : dung ' Ví dụ: 3x − x + = 1 ( x − 1) x − : sai 3 Khi tử số bậc cách đồng trên, ta phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu, tách thành nguyên hàm (xem ví dụ đây) Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx dx − 2x − 2x + c) I = dx x − 3x − 2dx −3 x + x − 3x + d) I = ∫ dx 5x + 6x + Hướng dẫn giải: dx dx dx x − ( x + 1) − ( x − 3) dx a) I1 = dx = = dx = − + C = ln ( x + 1)( x − 3) ( x + 1)( x − 3) 4 x−3 x +1 x +1 x − 2x − 2dx dx dx −2 (3 x − 1) − 3( x − 1) b) I = ∫ dx = −2 ∫ = −2 ∫ = −3 x + x − 3x − x + ( x − 1)(3 x − 1) ∫ ( x − 1)(3 x − 1) a) I1 = ∫x b) I = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx dx 1 d (3 x − 1) 1 3x − = − ∫ −3 = − ln x − + ln x − + C = ln + C = − ln x − + ∫ x − ∫ 3x − 2 3x − 2 x −1 2x + c) I = dx x − 3x − Cách 1: 2x + 2x + A B Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = –1 x = 4, = = + x − x − ( x + 1)( x − ) x + x − ∫ A=− 2 = A + B Đồng ta x + ≡ A ( x − ) + B ( x + 1) → ← → 3 = −4 A + B B = 11 11 −5 2x + dx 11 dx 11 T I = dx = + dx = − + = − ln x + + ln x − + C x +1 x − 5 x − 3x − x + x − 11 Vậy I = − ln x + + ln x − + C 5 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm 2x – nên ta phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu sau: d x − 3x − dx dx 2x + 2x − + (2 x − 3)dx I3 = dx = dx = +6 = +6 ( x + 1)( x − 4) x − 3x − x − 3x − x − 3x − x − 3x − x − 3x − ∫ ∫ = ln x − 3x − + ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( x + 1) − ( x − 4) dx dx x−4 dx = ln x − x − + − + C = ln x − x − + ln ( x + 1)( x − 4) 5 x−4 x +1 x +1 ∫ ∫ ∫ Nhận xét: Nhìn hai cách giải, nhìn lầm tưởng toán hai đáp số Nhưng, vài phép biến đổi logarith đơn giản ta có kết Thật vậy, theo cách ta có: x−4 6 11 ln x − x − + ln = ln x − + ln x + + ln x − − ln x + + C = − ln x + + ln x − x +1 5 5 Rõ ràng, thấy ưu điểm cách đồng nhất, không cần dùng đến giấy nháp ta giải nhanh gọn toán, điều mà mong muốn bạn thực được! 3x + 3x + d) I = ∫ dx = ∫ dx 5x + 6x + ( x + 1)(5 x + 1) Cách 1: A=− = A + B 3x + A B Ta có = + → x + ≡ A(5 x + 1) + B ( x + 1) ← → → = A + B 17 ( x + 1)(5 x + 1) x + x + B = 3x + 17 dx 17 dx T I = ∫ dx = ∫ − + + dx = − ∫ ( x + 1)(5 x + 6) x + ∫ 5x + 4( x + 1) 4(5 x + 1) 17 → I = − ln x + + ln x + + C 20 Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm 10x + nên ta phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu sau: 22 (10 x + ) + (10 x + ) 3x + 22 dx 10 dx = I4 = ∫ dx = ∫ 10 dx + ∫ 2 ∫ 5x + 6x + 5x + 6x + 10 x + x + 10 x + x + d ( x + x + 1) 22 dx 22 (5 x + 1) − 5( x + 1) = ∫ + ∫ = ln x + x + − ∫ dx 10 5x + 6x + 10 (5 x + 1)( x + 1) 10 40 (5 x + 1)( x + 1) = x +1 22 dx 5dx 11 ln x + x + − ∫ −∫ + C = ln x + x + − ln 10 40 x + x + 10 20 x + Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) I = ∫ x3 + x − dx x2 − b) I = ∫ 5− x dx − x − x2 Hướng dẫn giải: x3 + x − 6x −1 a) Do tử số có bậc lớn mẫu nên chia đa thức ta I = ∫ dx = ∫ x + dx x −1 x −1 A= = A + B 6x −1 6x −1 A B Ta có = = + → x − ≡ A( x − 1) + B ( x + 1) ⇔ ⇔ − = − A + B x − ( x − 1)( x + 1) x + x − B = → I5 = ∫ x + + dx = x + ln x + + ln x − + C ( x + 1) ( x − 1) 2 5− x x−5 x −5 A B b) Ta có = = = + → x − ≡ A( x + 3) + B ( x − 1) − 2x − x x + x − ( x − 1)( x + 3) x − x + 1 = A + B A = −1 5− x dx dx −1 → ⇔ → I6 = ∫ dx = ∫ + + 2∫ dx = − ∫ − = A − B B = x − x + x − x +3 − 2x − x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x − 3) ( = − ln x − + 2ln x + + C = ln x −1 + C → I6 x − 3) ( = ln x −1 Facebook: LyHung95 + C BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ 2x −1 dx x+3 b) I = ∫ x + 3x − dx x +1 c) I = ∫ x3 + 3x + x + dx x −1 x +1 dx − 3x c) I = ∫ 5x − 3x2 + x dx 3x + 3x + dx 5x + 6x + c) I = ∫ 3x2 + dx x + 3x + 5x + dx 2x2 − x − c) I = ∫ − 5x dx 4x + 5x + Bài 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ x3 − x + dx 2x + b) I = ∫ Bài 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ 2x −1 dx x + 3x + b) I = ∫ Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ + 4x dx − 2x − x2 b) I = ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!