Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc tử số P(x) lớn Q(x) ta phải chia đa thức để quy nguyên hàm có bậc tử số nhỏ mẫu số II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo) Khi Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả xảy với Q(x) TH1: Q(x) = có nghiệm phân biệt x1 x2 TH2: Q(x) = có nghiệm kép Khi Q(x) biểu diễn dạng Q( x) = ( ax + b ) →I = ∫ P( x) ( ax + b )2 dx dx = a d ( ax + b ) Nếu P(x) số ta sử dụng biến đổi sau du = − + C ∫ u u m bm ax + b ) + n − ( mx + n dx bm dx a dx = m Nếu P ( x) = mx + n →I = ∫ dx = ∫ a +n − ∫ ∫ 2 a ax + b a ( ax + b ) ( ax + b ) ( ax + b ) bm n− d ax b + ( )+ m a d ( ax + b ) = m ln ax + b − na − bm + C = 2∫ ax + b a ∫ ( ax + b )2 a a a ax + b Nếu P(x) có bậc lớn ta chia đa thức, quy toán hai trường hợp có bậc P(x) để giải Chú ý: t −b x = → Ngoài cách giải nêu trên, dạng nguyên hàm có cách giải tổng quát đặt t = ax + b a dt = adx Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx dx c) I = 6x + 9x + 25 x − 10 x + Hướng dẫn giải: 2dx dx d ( x − 1) 2 a) I1 = =2 =2 =− + C → I1 = − + C 2 x − x −1 x − 2x + ( x − 1) ( x − 1) dx dx d (3x + 1) 1 b) I = ∫ =∫ = ∫ =− + C → I2 = − + C 2 6x + 9x + (3 x + 1) (3 x + 1) 3(3 x + 1) 3(3 x + 1) dx dx d (5 x − 1) 1 c) I = ∫ =∫ = ∫ =− + C → I3 = − + C 2 25 x − 10 x + (5 x − 1) (5 x − 1) 5(5 x − 1) 5(5 x − 1) a) I1 = ∫x ∫ 2dx − 2x + b) I = ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) I = ∫ 2x −1 dx 4x + 4x + b) I = ∫ 4x2 − dx x + 12 x + Hướng dẫn giải: c) I = ∫ 9x − 5x dx − 24 x + 16 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) I = ∫ 4x 2x − dx = + 4x + 2x −1 ∫ ( x + 1) Facebook: LyHung95 dx Cách 1: 2 x = t − Đặt t = x + → → I4 = dt = 2dx 2x −1 ∫ ( x + 1) dx = ∫ t − dt dt 2dt 1 = − = ln t + + C 2 t t 2 t t ∫ 1 → I = ln x + + + C 2x + Cách 2: (8 x + ) − (8 x + ) dx − 2x −1 = I4 = dx dx = 2 4 x2 + x + 4x + 4x + 4x + 4x + ∫ = ∫ ( ) ∫ ∫ dx ∫ ( x + 1) ( ) d ( x + 1) d 4x + 4x + = − 4x + 4x + ( x + 1)2 ∫ ∫ d ( x + 1) 1 d 4x + 4x + 1 1 − = ln x + x + + + C = ln x + + + C 2 4 x + 2 x +1 4x + 4x + ( x + 1) ∫ b) I = ∫ c) I = ∫ d ( x + 3) 4x2 − 12 x + 12 dx dx = ∫ 1 − = x − 6∫ =x+ + C dx = ∫ dx − 12 ∫ 2 x + 12 x + 2x + x + 12 x + ( x + 3) ( x + 3) ∫ 9x 2 − 5x dx = − 24 x + 16 − 5x ∫ ( 3x − ) dx Cách 1: 5(t + 4) t+4 1− x = − 5t + 17 x dt Đặt t = x − → → I6 = dx = =− dt 2 t t2 ( 3x − ) dt = 3dx 1 17 1 17 17 = − 5ln t − + C → I = − 5ln x − − + C + C = − ln x − + 9 t 9 3x − 9(3x − 4) Cách 2: 17 − ( 3x − ) − − 5x dx 17 dx d ( x − ) 17 d ( 3x − ) 3 dx = − I6 = dx = − =− − 2 3x − ( x − ) 3x − ( 3x − )2 ( 3x − ) ( 3x − ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 17 17 = − ln 3x − + + C → I = − ln 3x − + + C 9 3x − 9 ( 3x − ) TH3: Q(x) = vô nghiệm b 4ac − b 2 Khi đó, Q(x) biểu diễn dạng Q( x) = ax + b + c = a x + ≡ ( mx + n ) + k + 2a 4a dx = a d ( ax + b ) Nếu P(x) số ta sử dụng biến đổi sau du u = arctan + C ∫ 2 u + a a a Nếu P(x) = αx + β ta có phân tích sau: α bα ( 2ax + b ) + β − αx + β dx a 2a dx = α ( 2ax + b ) dx dx + β − bα I =∫ dx = ∫ ∫ ∫ 2 2a ax + bx + c 2a ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 bα β− α d ax + bx + c bα dx α dx 2a = dx + β − ∫ = ln ax + bx + c + ∫ ∫ 2 2 2a 2a 2a a ax + bx + c b 4ac − b b 4ac − b a x + x + + + 2a 4a 2a 4a b bα bα 2β − dx+ β− α α 2ax + b 2a 2a 2a = ln ax + bx + c + = ln ax + bx + c + arctan + C ∫ 2 2a a 2a b 4ac − b 4ac − b 4ac − b x+ + 2a 4a Nếu P(x) có bậc lớn ta chia đa thức, quy toán hai trường hợp có bậc P(x) để giải Nhận xét: Nhìn vào biểu thức toán tổng quát ban đầu làm cho bạn phát hoảng, đừng bận tâm đến nó, bạn cần nắm ý tưởng thực phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu số, tách thành hai toán nhỏ thuộc dạng đơn giản học ( ) Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx dx c) I = 4x + 4x + x + 24 x + 20 Hướng dẫn giải: d x + ( ) dx dx x +1 a) I1 = = = = arctan + C 2 x + 2x + ( x + 1) + ( x + 1) + a) I1 = ∫x dx + 2x + ∫ b) I = ∫ c) I = b) I = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) d ( x + 1) dx dx 1 =∫ = ∫ = arctan ( x + 1) + C 2 4x + 4x + ( x + 1) + ( x + 1) + 2 ∫ 9x dx = + 24 x + 20 dx ∫ ( 3x + ) +4 = d ( 3x + ) ∫ ( 3x + ) 3x + = arctan + C +2 Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) I = ∫ 3x + dx 2 x + x + 10 b) I = ∫ 3x + a) I = dx = 2 x + x + 10 ∫ + x + 10 ) + 17 ) ∫ c) I = ∫ x4 − x dx x2 + 2x + 17 ( x + 1) + dx 4 dx = ( x + 1) dx + 17 2 x + x + 10 x + x + 10 x + x + 10 ∫ ∫ ( ) dx 17 dx = ln x + x + 10 + x x + x + 10 79 x2 + + x + + 16 1 dx+ 17 17 4x + 4 = ln x + x + 10 + = ln x + x + 10 + arctan + C 2 79 79 79 x + + 17 4x + Vậy I = ln x + x + 10 + arctan + C 79 79 (12 x + ) − 4x − 1 (12 x + ) dx dx b) I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx − 4∫ 2 6x + 9x + 6x + 9x + 6x + 9x + 6x + 9x + d ( x + 1) d (6x + 9x + 4) dx = ∫ dx − 4∫ = ln ( x + x + ) − ∫ 2 6x + 9x + ( x + 1)2 + ( 3x + 1) + 3 = ∫ d (2x 4x −1 dx 6x2 + 9x + Hướng dẫn giải: ∫ ( ( ∫ ( ∫ ) ) ( ) 1 3x + 3x + = ln ( x + x + ) − arctan + C → I = ln ( x + x + ) − arctan + C 3 3 3 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x4 − x 25 x − x3 25 x − dx = x − x + + dx = − 2x2 + x + dx 2 x + 2x + x + 2x + x + 2x + 25 ( x + ) − 32 dx 25 x − 25 ( x + ) dx dx = 2 dx = dx − 32 Đặt J = 2 x + 2x + x + 2x + x + 2x + x + 2x + c) I = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 25 d x + x + = dx − 32 x2 + x + ∫ ∫ ∫ dx ∫ ( x + 1) +6 = ∫ ( ) 25 ln x + x + − 32 ∫ d ( x + 1) ( x + 1)2 + ( ) 25 32 x +1 x3 25 32 x +1 ln x + x + − arctan → I6 = − x + x + ln x + x + − arctan + C 6 Tổng kết: Qua ba phần trình bày hàm phân thức có mẫu số bậc hai, nhận thấy điểm mấu chốt giải toán xử lý mẫu số P ( x) 1 A B ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) → = + ax + bx + c a x − x1 x − x2 ( Nếu ) P ( x) ax + bx + c ( ) du u = arctan + C α α u +α du ax + bx + c = ( mx + n ) →∫ = − + C u u ax + bx + c = ( mx + n ) + k →∫ 2 III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA Khi Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả xảy với Q(x) TH1: Q(x) = có nghiệm phân biệt x1; x2; x3 Tương tự trường hợp mẫu số bậc hai có hai nghiệm phân biệt Ta có cách giải truyền thống phân tích đồng hệ số Ngoài ta sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm mẫu (tùy thuộc vào biểu thức tử số bậc mấy) P ( x) A B C Ta có Q( x) = ax + bx + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) → = + + Q ( x) x − x1 x − x2 x − x3 Đồng hệ số hai vế ta A, B, C Bài toán quy nguyên hàm có mẫu số bậc xét Chú ý: Để việc đồng được, ta phải tuân thủ nguyên tắc biến đổi cho bậc tử số phải nhỏ bậc mẫ u s ố Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx x2 + x − 3x − x + 3x − a) I1 = b) I = dx c) I = dx x x2 − x x2 + x − ( x − 2) x2 − ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) Hướng dẫn giải: dx a) I1 = = ( x − )( x + 3)( x − 3) ( x − 2) x − ∫ Ta có dx ( ) ∫ A B C = + + → ≡ A( x − 9) + B( x − 2)( x − 3) + C ( x − 2)( x + 3) ( x − )( x + 3)( x − 3) x − x + x − A = − 0 = A + B + C ⇔ 0 = −5B + C ⇔ B = 30 1 = −9 A + B − 6C C = Nhận xét: Ngoài cách giải truyền thống trên, biến đổi cách khác sau mà không nhiều thời gian cho việc tính toán, suy nghĩ: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG I1 = dx ( x + 3) − ( x − 3) 1 Facebook: LyHung95 dx dx ∫ ( x − 2)( x + 3)( x − 3) = ∫ ( x − 2)( x + 3)( x − 3) dx = ∫ ( x − )( x − 3) dx − ∫ ( x − )( x + 3) Đến đây, toán trở dạng biến đổi đơn giản xét đến! x2 + x − x2 + x − = b) I = dx dx x ( x + 1)( x − 1) x x2 − ∫ ( ∫ ) Cách 1: Ta có A B C x2 + x − = + + → x + x − ≡ A( x − 1) + Bx( x − 1) + Cx( x + 1) x ( x + 1)( x − 1) x x + x − A = 6 = A + B + C 2 3 ⇔ 1 = − B + C ⇔ B = → I2 = + + dx = 2ln x + ln x + + ln x − + C 2 x x +1 x −1 −2 = − A C = ∫ Cách 2: I = =2 ∫ ( d x3 − x x −x x2 + x − ∫ x(x ) dx + ) −1 dx = ∫ ( ) x − + ( x − 1) + x −x dx dx ∫ x( x + 1) + ∫ x( x − 1)( x + 1) = 2ln x dx = ∫ ( 3x ) − dx x −x dx + ∫ ( x − 1) dx + x −x ∫x dx = −x −x +J +K ( x + 1) − x x 1 dx = − dx = ln x − ln x + = ln x( x + 1) x +1 x x +1 dx ( x + 1) − x dx dx x − ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) K= = dx = − = dx − dx = x( x − 1)( x + 1) x( x − 1)( x + 1) x( x − 1) x( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) Với J = dx ∫ x( x + 1) = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x − ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) 1 1 x −1 x −1 dx − dx = − dx − − − ln dx = ln ( x + 1)( x − 1) x −1 x +1 x +1 x( x − 1) x x −1 x x x −1 x −1 Từ ta I = 2ln x3 − x + ln + ln − ln + C x +1 x x +1 Nhận xét: Cách phân tích chưa thực tối ưu, em tìm lời giải khác thông minh nhé! 2 3x − x + 3x − 3x − + x − 3x + dx = x − x + J c) I = dx = x x2 + x − x x2 + x − x − 3x + x − 3x + Với J = dx = dx x ( x − 1)( x + ) x x2 + x − = ∫ ∫ Ta có ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ A B C x − 3x + = + + → x − x + ≡ A( x − 1)( x + 2) + Bx( x + 2) + Cx( x − 1) x ( x − 1)( x + ) x x − x + 15 A = − 8 = A + B + C −2 15 ⇔ −3 = A + B − C ⇔ B = →J = + + dx = − ln x + 4ln x − + ln x + + C x −1 x + 2 x 15 7 = −2 A C = 3x 15 V ậy I = − x − ln x + 4ln x − + ln x + + C 2 ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ 4x −1 dx x + 2x + b) I8 = ∫ 3x + dx 4x + 4x + c) I = ∫ 3x + dx x2 + x + Bài 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) I10 = ∫ x − 3x + dx 4x2 − 4x + Facebook: LyHung95 x + 3x + dx x2 − x + c) I12 = ∫ − 2x dx x − 6x + 3x + dx x + x+2 c) I15 = ∫ dx 2x − x + x +1 dx 4x + x + c) I18 = ∫ 4x + dx x − x +1 2x +1 dx ( x + 1)( x − 9) c) I = ∫ x2 + x + dx ( x + 2)( x + x + 3) x +1 dx x( x − 4) c) I = ∫ x2 dx ( x − 1)( x + 2) b) I11 = ∫ Bài 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I13 = ∫ − 3x dx x − 4x + b) I14 = ∫ 2 Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I16 = ∫ 2x −1 dx x −x+4 b) I17 = ∫ 2 Bài 5: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ dx x( x − 1) b) I = ∫ Bài 6: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ 5x + dx (1 + x)(4 − x ) b) I = ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!