Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc tử số P(x) lớn Q(x) ta phải chia đa thức để quy nguyên hàm có bậc tử số nhỏ mẫu số III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA Khi Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả xảy với Q(x) TH1: Q(x) = có nghiệm phân biệt x1; x2; x3 TH2: Q(x) = có nghiệm: nghiệm đơn, nghiệm kép Khi ta có Q( x) = ax3 + bx + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) P( x) P ( x) A Bx + C = = + Q ( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) x − x1 ( x − x2 )2 Đồng hệ số hai vế ta A, B, C Bài toán trở dạng xét đến Chú ý: Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta phân tích tử số theo đạo hàm mẫu để giải Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx x −1 x2 + x + a) I1 = b) I = dx c) I = dx x ( x + 2) x ( x − 1) ( x + 1)2 ( x − 3) Để đồng được, ta phải phân tích theo quy tắc: ∫ ∫ ∫ Hướng dẫn giải: a) Xét I1 = dx ∫ x ( x + 2) Cách 1: (Đồng hai vế) A = 0 = A + B A Bx + C 1 Bx C x B C Ta có = + → ≡ Ax + + + ⇔ = + → ( )( ) B = − x ( x + 2) x + x 1 = 2C C = 1 − x+ dx dx dx dx x + Khi đó, I1 = = + 2 dx = − + = ln − + C x+2 x x x 2x x ( x + 2) x x+2 Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 1 x + x − 3x( x + 2) + x + 3x + x x( x + 2) 2x + = = = − + = 3 2 4 x + 2x x ( x + 2) x + 2x x + 2x x + 2x x + 2x2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3x + x dx 3x + x dx dx = − + → I = = dx − + = 2 x + 2x x x x x2 x ( x + 2) x + 2x ∫ ( ∫ ∫ ∫ ) d x + 2x 1 1 = dx − ln x − = ln x3 + x − ln x − + C → I1 = ln x3 + x − ln x − + C 4 2x 4 2x 4 2x x + 2x ( x + 1) − t−2 d ( x + 1) = dt , với t = x + b) I = t ( 2t − ) ( x + 1) ( x + 1) − 5 Cách 1: (Đồng hai vế) ∫ ∫ ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 A = − 25 0 = A + C t−2 At + B C Ta có = + → t − ≡ ( At + B )( 2t − ) + Ct ⇔ 1 = B − A → B = 2t − 5 t ( 2t − ) t −2 = −5B C = 25 2 − 25 t + t −2 dt dt d ( 2t − ) Từ ta I = dt = + 25 dt = − + + = 2t − 25 t t 25 2t − t ( 2t − ) t 1 2t − 2x − = − ln t − + ln 2t − + C = ln − + C = ln − + C 25 5t 25 25 t 5t 25 x + 5( x + 1) Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 6t − 10t − 3t ( 2t − ) − ( 2t − ) t−2 ( 2t − ) − 2t = − =− − = 2 t ( 2t − ) 25 t ( 2t − ) t ( 2t − ) t ( 2t − ) t ( 2t − ) ∫ ∫ ∫ ( ∫ ∫ ) 1 6t − 10t = − − − − − t 2t − 25 2t − 5t t 2t I2 = − ( ) dt d ( 2t − ) 6t − 10t 12 dt dt dt d ( 2t − ) d 2t − 5t dt + − dt + + = + − + = 2 t 2t − 25 2t − 5t 25 t t 25 t 2t − 25 t2 2t − 5t ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2t − ln t + ln 2t − − ln 2t − 5t − + C → I = − ln t + ln 2t − − + C = ln − + C 25 25 5t 25 25 5t 25 t 5t 2x − − + C Thay lại t = x + ta I = ln 25 x + 5( x + 1) = x2 + x + dx x ( x − 1) Cách 1: (Đồng hai vế) c) I = ∫ 2 = A + C A = −9 x + x + Ax + B C 2 = + → x + x + ≡ ( Ax + B )( x − 1) + Cx ⇔ 1 = − A + B → B = −4 Ta có 2 2x − x ( x − 1) x 4 = − B C = 20 2x2 + x + 20 dx dx 20 −9 x − dx = + −4 + dx = −9ln x + + 10ln x − + C dx = −9 2 2x −1 x 2x − x x ( x − 1) x x Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) → I3 = Ta có ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 ( x − 1) − x − x − x − x + ( x − 1) = 2x2 + x + 4 = + + = − x ( x − 1) x ( x − 1) x − x ( x − 1) x ( x − 1) x − x ( x − 1) ( ) ( ) 6x2 − x x2 − 2x 2 24 28 − + − + − → I = − − + − dx = x 2x − x 2x − 2x − x2 x3 − x x ( x − 1) x − x 4 = − ln x − 4ln x3 − x + 14ln x − + + C = −9ln x + 10ln x − + + C x x = ∫ TH3: Q(x) = có nghiệm đơn ( ) Khi ta có Q ( x) = ax3 + bx + cx + d = ( x − x1 ) mx + nx + p , mx + nx + p = vô nghiệm Để đồng được, ta phải phân tích theo quy tắc: P( x) P ( x) A Bx + C = = + 2 Q ( x) ( x − x1 ) mx + nx + p x − x1 mx + nx + p ( ) Đồng hệ số hai vế ta A, B, C Bài toán trở dạng xét đến Chú ý: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG du Facebook: LyHung95 u ∫ u + a = u arctan a + C - Nguyên hàm - Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta phân tích tử số theo đạo hàm mẫu để giải Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx 2x + x2 − x + a) I1 = b) I = dx c) I = dx x x2 + x x2 + x − ( x − 1) x + ∫ ( ∫ ) ( ∫ ( ) ) Hướng dẫn giải: dx ∫ x(x a) I1 = ) +1 Cách 1: (Đồng hai vế) 0 = A + B A =1 A Bx + C = + →1 ≡ A x + + ( Bx + C ) x ⇔ 0 = C → B = −1 x x + x x +1 1 = A C = ( ( ) ) ( ) −x dx −x d x +1 1 Khi đó, I1 = = + + dx = ln x − = ln x − ln x + + C dx = 2 x 2 x +1 x +1 x x +1 x x +1 ∫ ( dx ) ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) ( ) x x +1 b) I = (x = ) + − x2 ( = ) x x +1 2x + ∫ ( x − 1) ( x +4 ) ( ) x dx xdx − → I1 = − dx = ln x − ln x + + C x x +1 x x +1 ∫ ∫ dx Cách 1: (Đồng hai vế) A = 0 = A + B 2x + A Bx + C = + → x + ≡ A x + + ( Bx + C )( x − 1) ⇔ 2 = − B + C → B = − ( x − 1) x + x − x + 3 = A − C C = 2x + 3 dx −3 x + 3 x dx dx Khi ta có I = + = ln x − − + = dx = 2 x −1 x + 5 x +4 x +4 ( x − 1) x + ( ( ) ) ∫ ∫ ∫ ( ) 3 3 x = ln x − − ln ( x + ) + arctan + C = ln x − − ln ( x 10 5 10 2 ∫ ) +4 + ∫ x arctan + C 10 2 Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) ( x − 1) + 2x + 2t + 3 Ta có = = = + ; t = x −1 2 ( x − 1) x + ( x − 1) ( x − 1) + ( x − 1) + 5 t t + 2t + t + 2t + t t + 2t + ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ) 2 3t + 4t − t + 2t + + 2t 3t + 4t Mà = − = − + − 2 2 5 t + 2t + 5t t + 2t + t t + 2t + t t + 2t + ( ) ) Suy 3t + 4t 2 3t + 4t + = − + − + = − + − 2 2 2 5 t 5 t t + 2t + t t + 2t + t + 2t + t + 2t + t + 2t + t + 2t + t + 2t + ( Thay vào ta I = ) 2x + ∫ ( x − 1) ( x +4 ) dx = 3t + 4t dt dt = − dt + − 2 t + 2t + 5 t t t + 2t + ∫( 2t + ) ∫ ∫ dt ∫ ( t + 1) +4 = 1 t +1 t +1 = − ln t + 2t + + ln t − arctan + C = − ln t + 2t + + ln t − arctan + C 5 5 5 TH4: Q(x) = có nghiệm bội ba: Trường hợp dễ, thầy bỏ qua! Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Phương trình bậc ba có hai nghiệm (một nghiệm đơn, nghiệm kép): x −1 dx x ( x + 1) 4x + 10) I10 = ∫ dx (2 x − 1)( x + 1) 7) I = ∫ x2 + dx ( x + 2)2 (2 x − 1) 4−x 11) I11 = ∫ dx x (3 − x) 8) I8 = ∫ 2x2 + dx x( x + x + 1) x+5 12) I12 = ∫ dx ( x + 2)2 ( x + 3) 9) I = ∫ Phương trình bậc ba có nghiệm bội ba: 13) I10 = ∫ 2−x dx ( x + 2)3 14) I14 = ∫ 3x − dx (2 x + 1)3 15) I15 = ∫ (3 x + x)dx (4 x + 3)3 16) I16 = ∫ x4 dx ( x + 2)3 17) I17 = ∫ x3 − dx ( x + 1)3 18) I18 = ∫ x2 − dx ( x − 1)3 Phương trình bậc ba có nghiệm đơn: 19) I19 = ∫ 2x + dx x( x + x + 1) 20) I 20 = ∫ 3x + dx x3 − 21) I 21 = ∫ x dx x3 + 22) I 22 = ∫ x2 + dx ( x + 3) x 23) I 23 = ∫ x+2 dx (2 x + 3)( x − 1) 24) I 24 = ∫ x2 − dx (3x + 1)(1 − x) 2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!