08 PP tung phan tim nguyen ham pros (1)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP: Công thức nguyên hàm phần I = ∫ P ( x).Q ( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu Độ ưu tiên lựa chọn đặt u: Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ ( ) Nếu I có chứa ln n [ g ( x)] đặt u = ln n [ g ( x)]  → du = ln n [ g ( x)] ' Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) đặt u = P(x) Nếu I có chứa hàm lượng giác hàm mũ ta đặt tùy ý, nhiên qua trình tính gồm vòng lặp Để việc tính toán vòng lặp, thao tác đặt u phải dạng hàm với Chú ý: Với toán tìm nguyên hàm phần, sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) cách giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính dạng ∫ udv ) mà không cần đặt u, v Tuy nhiên cách giải nhanh dùng học sinh phải thành thạo vi phân Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ ∫ a) I1 = x sin x dx ∫ b) I = xe3 x dx c) I = x cos x dx ∫ d) I = x ln x dx Hướng dẫn giải: ∫ a) I1 = x sin x dx u = x du = dx Cách 1: Đặt  ← → sin xdx = dv v = − cos x ∫ ∫  → I1 = x sin xdx = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x + C Cách 2: I1 = x sin x dx = − xd (cos x) = −  x cos x − cos x dx  = − x cos x + sin x + C   ∫ ∫ ∫ ∫ b) I = xe3 x dx du = dx u = x  ← → Cách 1: Đặt  x 3x e dx = dv v = e 1 1 3x 1  → I = xe3 x dx = xe3 x − e3 x dx = xe3 x − e d (3 x) = xe3 x − e3 x + C 3 9 1 1   1  Cách 2: I = xe3 x dx = x d e3 x =  xe3 x − e3 x dx  =  xe3 x − e3 x d (3 x)  =  xe3 x − e3 x  + C  3 3 3   3 -c) I = x cos x dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ u = x  du = xdx ← → Cách 1: Đặt  cos x dx = dv v = sin x ∫ ∫ Khi I = x cos x dx = x sin x − x sin x dx = x sin x − J u = x  du = dx Xét J = ∫ x sin x dx Đặt  ← →  → J = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x sin x dx = dv v = − cos x  → I = x sin x − ( − x cos x + sin x ) + C ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 2: I = x cos x dx = x d (sin x) = x sin x − sin x d ( x ) = x sin x − x sin x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ∫ Facebook: LyHung95 ∫ = x sin x + xd (cos x) = x sin x + x cos x − cos x dx = x sin x + x cos x − 2sin x + C -d) I = x ln x dx ∫ dx   du = x u = ln x x2 x dx x x2 ← →  → I = x ln x dx = ln x − = ln x − + C Cách 1: Đặt  2 x  x dx = dv v = x  ∫ ∫  x2  x2 x2 x2 x dx x x2 Cách 2: I = x ln x dx = ln x d   = ln x − d ( ln x ) = ln x − = ln x − + C 2 x   Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ ∫ = ∫ ln ( x + ∫ a) I = x ln x dx c) I ∫ ∫ b) I = x ln ( x + 1) dx ) + x dx d) I8 ∫ = ∫e x sin x dx Hướng dẫn giải: ∫ a) I = x ln x dx dx  du =  u = ln x x3 x dx x x3 x  ← →  → I = x ln x dx = ln x − = ln x − + C Cách 1: Đặt  3 x  x dx = dv v = x  ∫ ∫  x3  x3 x3 x3 x3 dx x3 x3 d ( ln x ) = ln x − = ln x − + C Cách 2: I = x ln x dx = ln x d   = ln x − 3 x   -b) I = x ln ( x + 1) dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  x2  x2 x2 Ta có I = x ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) d   = ln ( x + 1) − d ln ( x + 1)   2 2 x x 2ln ( x + 1) x x x2 = ln ( x + 1) − dx = ln ( x + 1) − ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) − J 2 x +1 x +1 2 x ( x − 1) + 1   Xét J = ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) dx =  x − +  ln ( x + 1) dx = x +1 x +1 x +1  ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫  x2  dx = ln ( x + 1) d  − x  + ln ( x + 1) d ( ln ( x + 1) ) = x +1   2 x  x  ln ( x + 1)  x  ln ( x + 1) x2 − x =  − x  ln ( x + 1) −  − x  d ( ln ( x + 1) ) + =  − x  ln ( x + 1) − dx + 2 x +1       2 x − 2x  x  dx =  x − + Xét K = − 3x + 3ln x +  dx = x +1 x +1  = ∫ ( x − 1) ln ( x + 1) dx + ln ( x + 1) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  x2   ln ( x + 1)  x2  → J =  − x  ln ( x + 1) −  − 3x + 3ln x +  + + C 2 2    x ln ( x + 1)  x   ln ( x + 1)  x2 Từ ta I = −  − x  ln ( x + 1) +  − 3x + 3ln x +  − + C 2 2    ∫ ( ) c) I = ln x + + x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ) ( Facebook: LyHung95 ) ( ) ∫ ( ) d x +1 = x ln x + + x − + x + C 2 1+ x ( ) 1+ ( x + x x dx Ta có I = ln x + + x dx = x ln x + + x − xd  ln x + + x  = x ln x + + x −   x + + x2 ∫ ( ) = x ln x + + x − ( ∫ x dx + x2 ) = x ln x + + x − ∫ ( ) ∫ ) ( Vậy I = x ln x + + x − + x + C -d) I8 = e x sin x dx ∫ ( ) ( ) Ta có I8 = e x sin x dx = sin x d e x = e x sin x − e x d ( sin x ) = e x sin x − e x cos x dx = e x sin x − cos x d e x = ex ∫ ∫ sin x − ∫ cos x d ( e ) = e x x ∫ ∫ ∫ sin x − e x cos x − e x d ( cos x )  = e x sin x −  e x cos x + e x sin x dx      ∫ ∫ e x sin x − e x cos x + C Nhận xét: Trong nguyên hàm I8 thấy rõ việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, vòng ta quán đặt u hàm lượng giác (sinx cosx) việc tính toán tính trực tiếp = e x sin x −  e x cos x + I8  = e x sin x − e x cos x − I8  → I8 = BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau:   1 a) I1 = ∫  x +  ln x dx x b) I = ∫ x ln(3 + x )dx c) I = ∫ ( x + x)sin x dx d) I = ∫ ln ( x + x ) dx  Bài 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ x ln( x + 1) dx b) I = ∫ x tan x dx c) I = ∫ x ln( x + 1) dx d) I8 = ∫ x sin x dx Bài 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ ln( x − 1) dx (2 x + 1)2 c) I11 = ∫ x.sin x.cos x dx b) I10 = ∫ ln(2 x + 1) dx (1 − x)2 d) I12 = ∫ x2e x dx ( x + 2) Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I13 = ∫ x.ln c) I15 = ∫ 1+ x dx 1− x x ln( x + + x ) + x2 b) I14 = ∫ ln( x + + x ) dx dx d*) I16 = ∫ x ln( x + + x ) x + + x2 dx Bài 5: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: x ln x dx ( x + 1) a) I17 = ∫ x ln( x + + x ) dx b) I18 = ∫ c) I19 = ∫ cos(ln x)dx  d) I 20 = ∫  −  dx  ln x ln x  1 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!