Tìm nguyên hàm bằng pp từng phần

Gv ThS Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tìm nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần 2017 Phương pháp: Nếu hai hàm số u ( x ) v ( x ) có đạo hàm liên tục khoảng hay đoạn đó, khoảng hay )v′ ( x ) dx u ( x ) v ( x ) − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx ∫ u ( x= đoạn đó: Hay ∫ udv= du = f ′ ( x ) dx u = f ( x ) Chú ý: Đặt  ⇒ = ) dx G ( x ) + C dv g ( x ) dx = v ∫ g ( x= uv − ∫ vdu Ta thường chọn C = ⇒ v = G ( x ) Các dạng bản: Cho P ( x ) đa thức ☻ Dạng 1: u = P ( x ) Đặt P x ax + b dx sin ( ) ( )  ∫ = dv sin ( ax + b ) dx ☻ Dạng 2:  ∫ P ( x ) cos ( ax + b ) dx Đặt= dv u = P ( x ) cos ( ax + b ) dx  P ( x) u = ☻ Dạng 3: ∫ P ( x ) e ax +b dx Đặt  ax + b dv = e dx = u ln ( ax + b ) ☻ Dạng 4: ∫ P ( x ) ln ( ax + b ) dx Đặt  dv = P ( x ) dx ☻ Dạng 5: ∫ e ax +b sin ( a′x + b′ ) dx ∫ e ax +b cos ( a′x + b′ ) dx Dùng tích phân phần hai lần với u = e ax +b Bài : Tìm nguyên hàm a) ∫ x sin xdx b) ∫ x cos xdx c) ∫ xe x dx d) ∫ x ln xdx Hướng dẫn giải a) ∫ x sin xdx Vậy = u x= du dx Đặt  ⇒ dv = sin xdx v = − cos x ∫ x sin xdx= ∫ udv= uv − ∫ vdu = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C b) ∫ x cos xdx Vậy ∫ x sin xdx = = u x= du dx Đặt  ⇒ = = xdx v sin x dv cos ∫ udv= uv − ∫ vdu = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C | Đăng kí học thêm Toán Biên Hòa – Đồng Nai : 0914449230 (facebook – zalo) Cần thêm tài liệu Toán – Vật Lý luyện thi Quốc gia 2017 vui lòng liên hệ facebook Gv cần mua tài liệu giảng dạy (giáo trình phù hợp với trắc nghiệm) vui lòng liên hệ Gv ThS Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) c) = u x= du dx ⇒ Đặt   x = dx v e x dv e= x ∫ xe dx Vậy 2017 ∫ xe dx= ∫ udv= x uv − ∫ vdu = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C dx  du =  u = ln x  x d) ∫ x ln xdx Đặt  ⇒ dv = xdx  v = x dx  Vậy ∫ x ln xdx= ∫ udv= uv − ∫ vdu= x2 x x2 x4 = ln x − ∫ dx ln x − + C 2 Bài : Tìm nguyên hàm: a) ∫x b) ∫ ln xdx sin xdx c) ∫ x ln ( x − 1) dx d) ∫ ( ln x ) dx Hướng dẫn giải: a) u = x du = xdx ⇒ Đặt  dv = sin xdx v = − cos x ∫ x sin xdx − x cos x + ∫ x cos xdx ∫ x sin xdx = ♥ Tính ∫ x cos xdx Vậy: 2 x u 2= du 2dx Đặt  ⇒ = = xdx v sin x dv cos ∫ x cos xdx = x sin x − 2∫ sin xdx = x sin x + cos x + C Tóm lại: ∫ x sin xdx = − x cos x + x sin x + cos x + C Vậy: 2 dx  u = ln x du = Đặt  ⇒ x dv = dx v = x  b) ∫ ln xdx Vậy: ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C c) ∫ x ln ( x − 1) dx  dx = u ln ( x − 1) du = Đặt  ⇒ x −1 dv = xdx v = x  x2 dx x −1   = x ln ( x − 1) − ∫  x + +  dx x −1   Vậy ∫ x ln ( x − 1= ) dx x ln ( x − 1) − ∫ = x ln ( x − 1) − d) ∫ ( ln x ) dx x2 − x − ln x − + C 2 ln x  u = ( ln x )2 dx du = Đặt  ⇒ x v = x dv = dx | Đăng kí học thêm Toán Biên Hòa – Đồng Nai : 0914449230 (facebook – zalo) Cần thêm tài liệu Toán – Vật Lý luyện thi Quốc gia 2017 vui lòng liên hệ facebook Gv cần mua tài liệu giảng dạy (giáo trình phù hợp với trắc nghiệm) vui lòng liên hệ Gv ThS Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Vậy x ) dx x ( ln x ) ∫ ( ln= 2 − 2∫ ln xdx 2017  u = ln x du = dx Đặt  ⇒ x dv = dx v = x  ♥ Tính ∫ ln xdx Vậy ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C dx x ( ln x ) ∫ ( ln x )= Bài : Tính ∫ e sin xdx Tóm lại: − x ln x + x + C x Hướng dẫn giải x u e= du e x dx = ⇒ Đặt  dv = sin xdx v = − cos x A = ∫ e sin xdx x A= uv − ∫ vdu = −e x cos x + ∫ e x cos xdx (1) x u e= du e x dx = ⇒ ♥ Ta tính: B = ∫ e cos xdx Đặt  = = xdx v sin x dv cos x B = uv − ∫ vdu = e x sin x − ∫ e x sin xdx= e x sin x − A Thay vào (1), ta có: A= −e cos x + e sin x − A x x ex Vậy: A= ( sin x − cos x ) + C | Đăng kí học thêm Toán Biên Hòa – Đồng Nai : 0914449230 (facebook – zalo) Cần thêm tài liệu Toán – Vật Lý luyện thi Quốc gia 2017 vui lòng liên hệ facebook Gv cần mua tài liệu giảng dạy (giáo trình phù hợp với trắc nghiệm) vui lòng liên hệ