9 nguyên hàm lượng giác

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM I LÝ THUYẾT (1)  sin xdx   cos x  C (3)  cos x (2)  cos xdx  sin x  C dx  tan x  C (4)  sin x dx   cot x  C Ví dụ Tính nguyên hàm sau: a)  sin xdx e)  cos 3xdx i)  cos b)  sin 2xdx f)  cos( x  1)dx j)  cos 3x dx c)  sin(1  x) dx g)  cos( x  )dx k)  sin ( x) dx  x dx 2 l)  sin  x  1 dx h)  cos xdx d)  sin(2 x  )dx Giải a)  sin xdx   cos x  C b)  sin 2xdx c)  sin(1  3x)dx = =  cos x  C cos(1  x)  C   d)  sin(2 x  )dx =  cos(2 x  ) + C 6 e)  cos 3xdx = f) sin 3x  C  cos( x  1)dx =  sin( x 1)  C  x  g)  cos   h)  cos i)  cos 2 x   x    dx = 2sin  C    xdx =  cos x  1dx  sin x  x  C dx= tanx+C Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! j)  cos 3x dx  tan 3x  C k)  sin ( x) dx  cot( x)  C l)  sin  x  1 dx   2  cos  x  1 dx   1  cos  x    dx 1    x  sin  x     C 2  1  x  sin  x    C Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc chẵn => Dùng công thức hạ bậc (1) cos2 x   cos x sin x   cos x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: b)  sin 2xdx a)  cos xdx c)  cos xdx d)  sin x  cos xdx Giải a)  cos2 xdx    cos x 1 dx    cos xdx  ( x  sin x)  C 2 2 b)  sin 2 xdx    cos x 1 dx    cos xdx  ( x  sin x)  C 2  cos x c)  cos4 xdx   (cos2 x)2 dx   ( ) dx  1  2cos x  cos 2 xdx = 1 1 1 ( x  sin x)   cos 2 xdx  ( x  sin x)  [ ( x  sin x)]  C 4 4 d)  sin x  cos4 xdx   (sin x  cos2 x)2  2sin x.cos2 xdx  1  sin 2 xdx   cos x  1  = 1    dx    1  cos x  dx  x   x  sin x   C 2 4   Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc lẻ => Tách : Bậc chẵn x bậc => Đổi biến Chú ý: sin x  cos2 x  Ví dụ Tính nguyên hàm sau: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! b)  cos5 xdx a)  sin xdx c)  (cos3 x  1) cos xdx Giải a) Ta có :  sin xdx   sin x.sin xdx   (1  cos x) sin xdx Đặt cos x  t   sin xdx  dt  t3   cos3 x   I    1  t  dt    t    C    cos x  C 3    b) Ta có:  cos5 xdx   cos x.cos xdx   (1  sin x) cos xdx Đặt sin x  t  cos xdx  dt  I   1  t c) Ta có: 2t t 2sin x sin x dt   1  2t  t  dt  t    C  sinx   C 5  2   cos x  1 cos xdx   cos5 x  cos xdx   cos5 xdx   cos xdx +) Đặt A   cos5 xdx Làm tương tự ý b,  A  sinx  +) Đặt B   cos xdx   I  A B  sinx  2sin x sin x  C 1   cos xdx   x  sin x   C  2  2sin x sin x      x  sin x   C 2  Các công thức biến đổi tích thành tổng(hiệu) lượng giác: (1) cos x.cos y  cos( x  y)  cos( x  y) (2) sinx.cosy  [sin( x  y)  sin( x  y)] (3) sinx.sin y  [cos(x - y) - cos(x+y)] Ví dụ Tính nguyên hàm sau a)  sin x.cos xdx = b)  cos x cos xdx c)  s inx.sin x.sin xdx Giải 1 1 a)  sin 3x.cos xdx   (sin x  sin x)dx   cos x  ( ) cos x  C 2 2 1 =  cos x  cos x  C Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! b)  cos x cos3xdx   cos3x.cos xdx  1 cos5 x  cos xdx  ( sin x  sinx)  C  2 c)  sinx.sin x.sin 3xdx   (sin 3x.sin x)sin xdx   (cos x  cos5 x)sin xdx = 1 1  cos x.sin xdx   cos5 x.sin xdx  sin xdx  sin x  sin( 4 x) dx 1 1 =  cos2 x  ( cos6 x  cos4 x)  C - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! ...   C 2  1  x  sin  x    C Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc chẵn => Dùng công thức hạ bậc (1) cos2 x   cos x sin x   cos x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: b)  sin 2xdx a)  cos xdx... dx  x   x  sin x   C 2 4   Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc lẻ => Tách : Bậc chẵn x bậc => Đổi biến Chú ý: sin x  cos2 x  Ví dụ Tính nguyên hàm sau: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/... thành tổng(hiệu) lượng giác: (1) cos x.cos y  cos( x  y)  cos( x  y) (2) sinx.cosy  [sin( x  y)  sin( x  y)] (3) sinx.sin y  [cos(x - y) - cos(x+y)] Ví dụ Tính nguyên hàm sau a)  sin