BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM I LÝ THUYẾT (1) sin xdx cos x C (3) cos x (2) cos xdx sin x C dx tan x C (4) sin x dx cot x C Ví dụ Tính nguyên hàm sau: a) sin xdx e) cos 3xdx i) cos b) sin 2xdx f) cos( x 1)dx j) cos 3x dx c) sin(1 x) dx g) cos( x )dx k) sin ( x) dx x dx 2 l) sin x 1 dx h) cos xdx d) sin(2 x )dx Giải a) sin xdx cos x C b) sin 2xdx c) sin(1 3x)dx = = cos x C cos(1 x) C d) sin(2 x )dx = cos(2 x ) + C 6 e) cos 3xdx = f) sin 3x C cos( x 1)dx = sin( x 1) C x g) cos h) cos i) cos 2 x x dx = 2sin C xdx = cos x 1dx sin x x C dx= tanx+C Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! j) cos 3x dx tan 3x C k) sin ( x) dx cot( x) C l) sin x 1 dx 2 cos x 1 dx 1 cos x dx 1 x sin x C 2 1 x sin x C Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc chẵn => Dùng công thức hạ bậc (1) cos2 x cos x sin x cos x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: b) sin 2xdx a) cos xdx c) cos xdx d) sin x cos xdx Giải a) cos2 xdx cos x 1 dx cos xdx ( x sin x) C 2 2 b) sin 2 xdx cos x 1 dx cos xdx ( x sin x) C 2 cos x c) cos4 xdx (cos2 x)2 dx ( ) dx 1 2cos x cos 2 xdx = 1 1 1 ( x sin x) cos 2 xdx ( x sin x) [ ( x sin x)] C 4 4 d) sin x cos4 xdx (sin x cos2 x)2 2sin x.cos2 xdx 1 sin 2 xdx cos x 1 = 1 dx 1 cos x dx x x sin x C 2 4 Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc lẻ => Tách : Bậc chẵn x bậc => Đổi biến Chú ý: sin x cos2 x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! b) cos5 xdx a) sin xdx c) (cos3 x 1) cos xdx Giải a) Ta có : sin xdx sin x.sin xdx (1 cos x) sin xdx Đặt cos x t sin xdx dt t3 cos3 x I 1 t dt t C cos x C 3 b) Ta có: cos5 xdx cos x.cos xdx (1 sin x) cos xdx Đặt sin x t cos xdx dt I 1 t c) Ta có: 2t t 2sin x sin x dt 1 2t t dt t C sinx C 5 2 cos x 1 cos xdx cos5 x cos xdx cos5 xdx cos xdx +) Đặt A cos5 xdx Làm tương tự ý b, A sinx +) Đặt B cos xdx I A B sinx 2sin x sin x C 1 cos xdx x sin x C 2 2sin x sin x x sin x C 2 Các công thức biến đổi tích thành tổng(hiệu) lượng giác: (1) cos x.cos y cos( x y) cos( x y) (2) sinx.cosy [sin( x y) sin( x y)] (3) sinx.sin y [cos(x - y) - cos(x+y)] Ví dụ Tính nguyên hàm sau a) sin x.cos xdx = b) cos x cos xdx c) s inx.sin x.sin xdx Giải 1 1 a) sin 3x.cos xdx (sin x sin x)dx cos x ( ) cos x C 2 2 1 = cos x cos x C Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! b) cos x cos3xdx cos3x.cos xdx 1 cos5 x cos xdx ( sin x sinx) C 2 c) sinx.sin x.sin 3xdx (sin 3x.sin x)sin xdx (cos x cos5 x)sin xdx = 1 1 cos x.sin xdx cos5 x.sin xdx sin xdx sin x sin( 4 x) dx 1 1 = cos2 x ( cos6 x cos4 x) C - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! ... C 2 1 x sin x C Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc chẵn => Dùng công thức hạ bậc (1) cos2 x cos x sin x cos x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: b) sin 2xdx a) cos xdx... dx x x sin x C 2 4 Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc lẻ => Tách : Bậc chẵn x bậc => Đổi biến Chú ý: sin x cos2 x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/... thành tổng(hiệu) lượng giác: (1) cos x.cos y cos( x y) cos( x y) (2) sinx.cosy [sin( x y) sin( x y)] (3) sinx.sin y [cos(x - y) - cos(x+y)] Ví dụ Tính nguyên hàm sau a) sin