Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2. I. Dạng 1: 2 dx A = ax + bx + c ∫ ( ) ( ) 1 2 2 2 dx 3dx d(3x 2) 1 3 2 10 ln 2 10 3 2 10 3 4 2 3 2 10 3 2 10 x A C x x x x x − − − = = = = + − + − − − − − − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 3 3 13 d 2 2 dx dx 1 1 2 2 2 ln 2 2 13 3 13 4 6 1 3 13 3 13 2 2 2 2 2 2 4 2 4 x x A C x x x x x − − − = = − = − = − + − + + − + − − − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 2 2 dx 5dx d(5 4) 1 5 4 arctan 5 14 4 5 8 6 5 4 14 5 4 14 x x A C x x x x − − = = = = + − + − + − + ∫ ∫ ∫ 2 4 2 1 dx 1 12 5 arctan arctan 7 17 17 17 7 4 3 A x x = = − − + ∫ 1 5 2 0 dx 1 1 3 arctan arctan 39 39 39 6 3 2 A x x = = + − + ∫ 1 6 2 0 dx 1 1 1 arctan arctan 6 3 3 3 3 4 6 3 A x x = = + − + ∫ 3 7 2 2 dx 7 ln 5 3 2 1 A x x = = − − ∫ 1 8 2 0 dx 1 4 1 arctan arctan 15 3 3 5 2 2 A x x = = + − + ∫ 0 9 2 1 dx ln 5 3 8 4 A x x − = = − + ∫ Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2 ( ) 1 10 2 0 dx 1 arctan 2 2 2 3 4 2 A x x = = − + ∫ 1 11 2 0 dx 1 3 69 7 69 ln ln 2 3 69 7 69 4 14 5 A x x + + = = − − + − + − − ∫ ( ) 2 1 12 2 0 4 5 dx 3 1 1 arctan 2 4 2 4 8 x x A x x π − + = = − − − + ∫ II. Dạng 2: ( ) 2 mx + n B = dx ax + bx + c ∫ ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 3 19 8 6 4 6 1 7 3 dx 3 19 8 4 8 4 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 x dx d x x x dx B x x x x x x x x − − + − − − − = = = + − − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 3 13 2 3 19 3 2 2 ln 4 6 1 ln 4 6 1 ln 8 4 8 3 13 2 2 2 x x x A x x C x − − − − = − − − = − − + + − + ( ) 2 2 2 3 4 dx 3 5 4 7 13 ln 2 7 9 ln 4 4 4 7 13 2 7 9 x x B x x C x x x − − − = = − + + + − + − + ∫ ( ) 2 3 2 2 7 dx 7 18 5 2 ln 5 8 4 ln 2 10 5 5 8 4 5 5 x x B x x C x x x − − − = = − − − + − − + ∫ ( ) 2 4 2 15 6 dx 15 13 16 9 465 ln 12 9 8 ln 16 465 16 9 465 12 9 8 x x B x x x x x + − + − = = − − + + + − − ∫ ( ) 2 5 2 3 10 dx 5 19 8 5 ln 4 5 2 arctan 2 4 7 4 5 2 x x B x x x x − − = = − − + − − + ∫ Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 3 ( ) 2 6 2 2 3 dx 1 7 3 1 ln 3 2 1 ln 3 3 3 3 3 2 1 x x B x x x x x + − = = + − + + + − ∫ ( ) 1 1 2 7 2 0 0 3 7 dx 3 1 1 ln 4 4 3ln 2 2 2 2 4 4 x B x x x x x − = = − + + = − − − − + ∫ ( ) 2 1 1 2 8 2 0 0 1 dx 2 1 ln 1 arctan 1 ln 3 6 3 1 x x x B x x x x x π − + + = = − + + + = − + + + ∫ ( ) 2 2 2 2 9 2 1 1 2 3 5 dx 4 1 13 9 5 ln 2 3 7 arctan 1 ln 7 arctan 7 arctan 6 23 23 23 2 3 x x x B x x x x x − − + = = − + + − = − − + + + ∫ ( ) 5 5 2 10 2 2 2 2 3 dx 7 3 ln 2 ln 4 3 ln 2 1 2 4 3 x x B x x x x x + − = = − + + = − − − + ∫ ( ) 2 1 1 2 11 2 3 3 2 4 7 dx 3 9 2 4 ln 6 13 9arctan 4 4 ln 2 2 4 6 13 x x x B x x x x x π − − − − + − + = = − + + − = − − + + ∫ ( ) ( ) 1 1 12 2 0 0 4 11 dx 9 3ln 2 ln 3 ln 2 5 6 x B x x x x + = = + + + = + + ∫ III. Dạng 3: 2 dx C = ax + bx + c ∫ 2 1 2 2 dx 1 dx 1 4 4 13 ln 3 3 9 3 3 3 8 1 4 13 3 9 C x x C x x x = = = − + − − + − + − − ∫ ∫ 2 2 2 2 dx 1 dx 1 5 arcsin 10 10 43 7 8 10 43 2 50 50 5 x C C x x x + = = = + − − − + ∫ ∫ Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t 4 4 4 3 4 4 2 2 4 4 3 2 2 dx dx 1 1 2 2 3 2 arcsin arcsin 2 2 2 2 5 2 9 5 2 9 5 12 4 2 5 2 9 3 2 2 2 2 2 x x C x x x − − = = = = + + − − + − − ∫ ∫ ( ) 1 1 2 4 2 0 0 dx 1 3 3 63 1 ln ln 2 2 1 4 4 16 2 2 2 3 9 C x x x x = = − + − + = − − − + ∫ 1 1 2 5 2 0 0 dx 1 5 5 23 1 1 2 6 ln ln 6 6 36 3 3 4 3 5 3 5 4 C x x x x + = = − + − + = − − + ∫ 1 1 6 4 4 2 0 0 dx 1 2 3 1 5 3 arcsin arcsin arcsin 2 2 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 9 3 2 2 x C x x + = = = − + + + − − ∫ IV. Dạng 4: ( ) 2 mx + n dx D = ax + bx + c ∫ ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 11 6 2 dx 5 4 dx 2 (3 2 1) 11 3 3 3 3 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 9 x x d x x dx D x x x x x x x − − + − − + = = = − + − + − + − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 4 11 1 1 2 3 2 1 ln 3 3 3 9 3 3 x x x x C − = − + + − + − + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 43 4 5 dx 2 5 1 3 7 dx 3 43 4 4 4 4 2 2 5 1 2 5 1 2 5 1 5 33 4 16 x d x x x dx D x x x x x x x − + − − + = = = + − − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t 5 2 2 3 43 5 5 33 2 5 1 ln 8 4 4 16 4 2 x x x x C = − − + − + − − + ( ) 2 3 2 8 11 dx 17 4 3 2 9 6 4 arcsin 2 3 5 9 6 4 x x D x x C x x − − = = − − − − + − − ∫ ( ) 2 4 2 4 5 dx 1 10 7 6 7 5 arcsin 13 2 5 6 7 5 x x D x x C x x − − = = + − + + + − ∫ ( ) 2 2 2 5 2 3 7 4 dx 7 2 3 3ln 1 ( 1) 4 2 3 x D x x x x C x x − − − = = − − + − + − − + − − ∫ ( ) 0 2 6 2 1 9 5 dx 9 1 2 1 2 4 4 arcsin 4 4 3 2 4 4 x x D x x C x x − − + = = − − − + − − ∫ V. Dạng 5: ( ) 2 dx E = px + q ax + bx + c ∫ 1, ( ) 2 1 2 1 dx 2 3 3 1 E x x x = + + − ∫ ðặ t 2 1 1 3 1 1 1 2 1 2 2 5 1 2 x t t x x x t t t dx dt t = → = − + = ⇒ = ⇒ = → = − = Do ñ ó 1 1 5 3 1 2 2 1 1 2 3 5 1 4 9 1 1 1 2 . 3 1 2 2 dt dt E t t t t t t t t − = = + − − − + − ∫ ∫ Bài 2: Tích phân các hàm s ố có m ẫ u s ố ch ứ a tam th ứ c b ậ c hai Khóa LT ð H ñả m b ả o – Th ầ y Tr ầ n Ph ươ ng Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t 6 1 3 1 5 1 9 2 1 1 1 arcsin arcsin arcsin 3 3 13 13 5 13 t − = = + Các bài 2, 3, 4 sau ñ ây ta làm t ườ ng t ự , có ñ áp s ố nh ư sau: ( ) 3 3 2 2 2 2 2 3 d dx 4 2, 3 4 2 3 7 3 25 3 47 3 2 4 4 4 8 x E x x x x x + = = − + + + − + + ∫ ∫ 13 2 2 11 2 25 47 3 2 4 8 du u u = − + ∫ ( ) 3 3 2 2 dx 1 3 10 3, ln 2 1 10 1 1 E x x + = = + − + ∫ ( ) 2 2 4 2 2 1 1 2 d dx 5 4, 3 2 5 4 2 2 4 2 14 3 5 5 5 5 5 x E x x x x x − = = − + − − − + − ∫ ∫ 8 5 2 3 5 4 14 3 5 5 5 du u u = − − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 5 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 d 1 dx dx 5, 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 x x du E x x x u u x x x x + = = = = + − − − + − + − + − ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 2: Tích phân các hàm s ố có m ẫ u s ố ch ứ a tam th ứ c b ậ c hai Khóa LT ð H ñả m b ả o – Th ầ y Tr ầ n Ph ươ ng Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t 7 ( ) 1 2 2 2 6 2 2 2 2 2 4 4 4 2 d nx cot dx cos dx 6, 2 sin nx 2 sin nx 2 sin 2 si x x du E x si x si x u u π π π π π π = = = = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ VI. Dạng 6: ( ) ( ) 2 mx + n dx F = px + q ax + bx + c ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 4 67 5 8 dx 4 7 dx 4 67 5 5 1, 5 5 8 5 3 4 2 8 5 3 4 2 3 4 2 8 5 3 4 2 x x dx dx F x x x x x x x x x x x − − + + + − = = = + − − + − − + − + − − + ∫ ∫ ∫ ∫ Ta tính l ầ n l ượ t tích phân: 1 1 1 2 2 0 0 1 3 3 4 2 2 2 3 9 dx dx F x x x ′ = = − + − + ∫ ∫ 1 2 0 1 2 2 2 1 3 1 ln ln 3 3 9 3 3 6 2 x x + = − + − + = − ( ) 1 1 2 0 8 5 3 4 2 dx F x x x ′′ = − − + ∫ . ðặ t 2 1 8 1 1 8 5 5 5 t x x dx dt t t t − − = ⇒ = ⇒ = Khi 1 0 8 x t = ⇒ = và 1 1 3 x t = ⇒ = . Do ñ ó ( ) ( ) 1 1 1 3 3 3 1 2 2 2 2 1 1 1 8 8 8 82 28 3 3 8 1 20 8 1 2.258 1 8 1 5 3 4 2 5 5 dt dt dt F t t t t t tt t t t t ′′ = = = − + − − − +− − − + ∫ ∫ ∫ Bài 2: Tích phân các hàm s ố có m ẫ u s ố ch ứ a tam th ứ c b ậ c hai Khóa LT ð H ñả m b ả o – Th ầ y Tr ầ n Ph ươ ng Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t 8 1 1 3 2 3 2 1 1 8 8 20 25 1 1 7 7 25 1 123 738 ln ln 41 41 3362 82 82 82 15 25 7 25 328 2624 41 3362 dt t t t + = = − + − + = − + − + ∫ V ậ y 1 1 1 20 25 4 67 4 3 1 67 123 738 ln ln 5 5 5 3 6 2 5 82 15 25 328 2624 F F F + − − + ′ ′′ = + = + − − + ** Ta làm t ươ ng t ự cho các bài sau: 2, ( ) ( ) 1 2 2 0 6 7 dx 2 5 4 x F x x x − = + − + ∫ 3, ( ) ( ) 1 3 2 0 7 9 dx 4 3 2 1 x F x x x − = + + + ∫ VII. Dạng 7 : ( ) 2 2 xdx G = ax + b cx + d ∫ 1, ( ) 2 1 2 2 1 dx 4 3 5 x G x x = − − ∫ . ðặ t 2 2 2 2 2 5 5 5 t x t x x t xdx tdt = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − Khi 1 2 x t = ⇒ = và 2 1 x t = ⇒ = . Do ñ ó: ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 17 2 ln 2 17 2 17 4 4(5 ) 3 tdt dt t G t t t t − + = = = − − − − ∫ ∫ 1 4 17 17 2 1 9 2 17 ln ln ln 2 2 4 17 17 2 9 2 17 + + + = − = − + − − ** Ta làm t ươ ng t ự cho các bài sau: Bài 2: Tích phân các hàm s ố có m ẫ u s ố ch ứ a tam th ứ c b ậ c hai Khóa LT ð H ñả m b ả o – Th ầ y Tr ầ n Ph ươ ng Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t 9 2, ( ) 2 2 2 2 1 dx 1 4 10 5 ln 90 4 10 5 5 11 7 3 x G x x − + = = − − − ∫ 3, ( ) ( ) 1 3 2 2 0 dx 1 126(7 3 161) ln 56 14 7 161 8 7 2 1 x G x x + = = + − + ∫ VIII. Dạng 8: ( ) 2 2 dx H = ax + b cx + d ∫ 1, ( ) 2 1 2 2 1 d 3 1 5 2 x H x x = − − ∫ . ðặ t ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 5 tdt xt x x t x x xdx t t = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 5 5 2 5 . . 5 dx xdx tdt dt x xt t x t t t ⇒ = = = − − − − Khi 1 3 x t= ⇒ = và 3 2 2 2 x t= ⇒ = . Do ñ ó: ( ) 3 2 3 2 2 2 1 2 2 3 3 2 6 1 1 5 5 dt dt H t t t = = + − − − ∫ ∫ = 3 2 2 3 3 2 arctan arctan 2 3 t π = = − ** Ta làm t ươ ng t ự cho các bài sau: Bài 2: Tích phân các hàm s ố có m ẫ u s ố ch ứ a tam th ứ c b ậ c hai Khóa LT ð H ñả m b ả o – Th ầ y Tr ầ n Ph ươ ng Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t 10 2, ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 d d 2 3 2 3 1 3 1 3 13 2 4 2 4 x x H x x x x x x + = = + + + − + − + − ∫ ∫ 7 2 2 2 5 2 d 1 13 4 4 u u u = − − ∫ 12 6 1 arctan arctan 3 7 12 5 = − 3, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 5 3 d d 2 2 5 5 2 5 x x dx dx H x x x x x x x x + + = = = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 6 6 ln 6 1 arctan 2 arctan 2 2 = − + − 4, ( ) 5 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 1 d d d 2 3 5 1 1 1 3 1 5 4 4 2 4 2 4 x x u H x x x x u u x x + = = = + + + − + − + + + − ∫ ∫ ∫ 5, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 d d 1 1 2 2 1 2 x x dx dx H x x x x x x x x + + = = = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 6 6 ln arctan 3 2 1 3 π + = + − + IX. Dạng 9: ( ) ( ) 2 2 mx + n dx I = ax + b cx + d ∫ [...]...Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 1 1, I1 = ∫ ( 0 4 − 2x − x 2 =∫ 2 ) ( 2 ) 2u + 3 (7 − 3 ( x + 1))d ( x + 1) ) = 7∫ ( ( 2 − 3∫ 0 3 − ( x + 1) 2 2 2 Xét G = ∫ =∫ du 2x2 + 4x + 5 (7 − 3u )du 1 3−u • 1 (4 − 3 x)dx 1 3−u 2 ) 2 2 ( x + 1) + 3 2 2 2u + 3 udu ( 1 3−u 2 ) = 4 H − 3G 2 2u + 3 udu ( 1 3−u 2 ) 2u 2 + 3 t2 − 3 t ð t t = 2u + 3 ⇒ t = 2u... udu = dt 2 2 2 2 2 2 Khi u = 1 ⇒ t = 5 và u = 2 ⇒ t = 11 Do ñó: 11 11 11 1 3+t G= ∫ = ∫ = ln 2 6 2 3−t 9−t 5 2 3 − t − 3 t 5 2 tdt dt 5 ( 1 3 + 11 3 + 5 1 2 3 + 11 = ln − ln = ln 6 3 − 11 3− 5 3 3+ 5 2 • Xét H = ∫ ) du ( 1 3−u 2 ) 2u 2 + 3 ð t ut = 2u 2 + 3 ⇒ u 2t 2 = 2u 2 + 3 ⇒ u 2 = 3 t2 − 2 ⇒ udu = −3tdt ⇒ du 2u 2 + 3 (t 2 − 2) udu = = u (ut ) 3 t2 − 2 2 = t Hocmai.vn... Vi t 11 −3dt t2 − 2 −3tdt (t 2 − 2) 2 Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương Khi u = 1 ⇒ t = 5 và u = 2 ⇒ t = 11 2 11 Do ñó 2 5 5 −3dt dt 1 t− 3 H= ∫ = ∫ = ln 3 2 t 2 − 3 2 3 t + 3 11 5 3− 11 t 2 2 t2 − 2 2 ( = ) 1 5− 3 − 11 + 2 3 1 2( 11 + 2 3) ln − ln ln = 2 3 5+ 3 11 + 2 3 3 5+ 3 ( 2 3 + 11 4 2( 11 + 2 3) ln − ln 3... ln 3 5+ 3 3+ 5 V y I1 = 4 H − 3G = ) ** Tương t các bài còn l i 1 2, I 2 = ∫ (7 − 5 x)dx ( ) 2 0 x + 4x +1 3 3, I3 = ∫ 3 x 2 + 12 x + 8 17 18( 6 + 5) 10 2( 2 2 + 5) ln − ln 9 3( 23 + 5) 15 23 + 5 (6 x − 1)dx ( ) 2 2 3x − 6 x + 1 1 4, I 4 = ∫ = 2x2 − 4x + 7 (4 x − 5)dx ( 0 9 − 4x − 2x 2 ) 3x 2 + x + 1 Ngu n: Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 12 Hocmai.vn . 4 2 2 4 4 3 2 2 dx dx 1 1 2 2 3 2 arcsin arcsin 2 2 2 2 5 2 9 5 2 9 5 12 4 2 5 2 9 3 2 2 2 2 2 x x C x x x − − = = = = + + − − + − − ∫ ∫ ( ) 1 1 2 4 2 0 0 dx 1 3 3 63 1 ln ln 2 2. ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 tdt ut u u t u u udu t t − = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − − ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 3 ( ) 2 2 3 . 2 tdt t du udu dt u ut t u t t − − − ⇒ = = = − + − Bài 2: Tích phân các. cx + d ∫ 1, ( ) 2 1 2 2 1 d 3 1 5 2 x H x x = − − ∫ . ðặ t ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 5 tdt xt x x t x x xdx t t = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 5 5 2 5 . . 5 dx xdx