tích phân các hàm số có mãu số chứa tam thức bậc hai

12 381 0
tích phân các hàm số có mãu số chứa tam thức bậc hai

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2. I. Dạng 1: 2 dx A = ax + bx + c ∫ ( ) ( ) 1 2 2 2 dx 3dx d(3x 2) 1 3 2 10 ln 2 10 3 2 10 3 4 2 3 2 10 3 2 10 x A C x x x x x − − − = = = = + − + − − − − − − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 3 3 13 d 2 2 dx dx 1 1 2 2 2 ln 2 2 13 3 13 4 6 1 3 13 3 13 2 2 2 2 2 2 4 2 4 x x A C x x x x x   − − −     = = − = − = − + − + +     − + − − − −         ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 2 2 dx 5dx d(5 4) 1 5 4 arctan 5 14 4 5 8 6 5 4 14 5 4 14 x x A C x x x x − − = = = = + − + − + − + ∫ ∫ ∫ 2 4 2 1 dx 1 12 5 arctan arctan 7 17 17 17 7 4 3 A x x   = = −     − + ∫ 1 5 2 0 dx 1 1 3 arctan arctan 39 39 39 6 3 2 A x x   = = +     − + ∫ 1 6 2 0 dx 1 1 1 arctan arctan 6 3 3 3 3 4 6 3 A x x   = = +     − + ∫ 3 7 2 2 dx 7 ln 5 3 2 1 A x x = = − − ∫ 1 8 2 0 dx 1 4 1 arctan arctan 15 3 3 5 2 2 A x x   = = +     − + ∫ 0 9 2 1 dx ln 5 3 8 4 A x x − = = − + ∫ www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2 ( ) 1 10 2 0 dx 1 arctan 2 2 2 3 4 2 A x x = = − + ∫ 1 11 2 0 dx 1 3 69 7 69 ln ln 2 3 69 7 69 4 14 5 A x x   + + = = −     − + − + − −   ∫ ( ) 2 1 12 2 0 4 5 dx 3 1 1 arctan 2 4 2 4 8 x x A x x π − +   = = − −     − + ∫ II. Dạng 2: ( ) 2 mx + n B = dx ax + bx + c ∫ ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 3 19 8 6 4 6 1 7 3 dx 3 19 8 4 8 4 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 x dx d x x x dx B x x x x x x x x −   − + − −   − −   = = = + − − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 3 13 2 3 19 3 2 2 ln 4 6 1 ln 4 6 1 ln 8 4 8 3 13 2 2 2 x x x A x x C x − − − − = − − − = − − + + − + ( ) 2 2 2 3 4 dx 3 5 4 7 13 ln 2 7 9 ln 4 4 4 7 13 2 7 9 x x B x x C x x x − − − = = − + + + − + − + ∫ ( ) 2 3 2 2 7 dx 7 18 5 2 ln 5 8 4 ln 2 10 5 5 8 4 5 5 x x B x x C x x x − − − = = − − − + − − + ∫ ( ) 2 4 2 15 6 dx 15 13 16 9 465 ln 12 9 8 ln 16 465 16 9 465 12 9 8 x x B x x x x x + − + − = = − − + + + − − ∫ ( ) 2 5 2 3 10 dx 5 19 8 5 ln 4 5 2 arctan 2 4 7 4 5 2 x x B x x x x − − = = − − + − − + ∫ www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 3 ( ) 2 6 2 2 3 dx 1 7 3 1 ln 3 2 1 ln 3 3 3 3 3 2 1 x x B x x x x x + − = = + − + + + − ∫ ( ) 1 1 2 7 2 0 0 3 7 dx 3 1 1 ln 4 4 3ln 2 2 2 2 4 4 x B x x x x x −   = = − + + = − −   −   − + ∫ ( ) 2 1 1 2 8 2 0 0 1 dx 2 1 ln 1 arctan 1 ln 3 6 3 1 x x x B x x x x x π − + +   = = − + + + = − +     + + ∫ ( ) 2 2 2 2 9 2 1 1 2 3 5 dx 4 1 13 9 5 ln 2 3 7 arctan 1 ln 7 arctan 7 arctan 6 23 23 23 2 3 x x x B x x x x x − − +   = = − + + − = − − +     + + ∫ ( ) 5 5 2 10 2 2 2 2 3 dx 7 3 ln 2 ln 4 3 ln 2 1 2 4 3 x x B x x x x x +  −  = = − + + = −   − − +   ∫ ( ) 2 1 1 2 11 2 3 3 2 4 7 dx 3 9 2 4 ln 6 13 9 arctan 4 4ln 2 2 4 6 13 x x x B x x x x x π − − − − + − +   = = − + + − = − −     + + ∫ ( ) ( ) 1 1 12 2 0 0 4 11 dx 9 3ln 2 ln 3 ln 2 5 6 x B x x x x + = = + + + = + + ∫ III. Dạng 3: 2 dx C = ax + bx + c ∫ 2 1 2 2 dx 1 dx 1 4 4 13 ln 3 3 9 3 3 3 8 1 4 13 3 9 C x x C x x x   = = = − + − − +     − +   − −     ∫ ∫ 2 2 2 2 dx 1 dx 1 5 arcsin 10 10 43 7 8 10 43 2 50 50 5 x C C x x x + = = = + − −   − +     ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4 4 4 3 4 4 2 2 4 4 3 2 2 dx dx 1 1 2 2 3 2 arcsin arcsin 2 2 2 2 5 2 9 5 2 9 5 12 4 2 5 2 9 3 2 2 2 2 2 x x C x x x − − = = = = + + − −   + − −     ∫ ∫ ( ) 1 1 2 4 2 0 0 dx 1 3 3 63 1 ln ln 2 2 1 4 4 16 2 2 2 3 9 C x x x x       = = − + − + = − −         − +   ∫ 1 1 2 5 2 0 0 dx 1 5 5 23 1 1 2 6 ln ln 6 6 36 3 3 4 3 5 3 5 4 C x x x x   +     = = − + − + =     −     − +   ∫ 1 1 6 4 4 2 0 0 dx 1 2 3 1 5 3 arcsin arcsin arcsin 2 2 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 9 3 2 2 x C x x     + = = = −         + + + − −     ∫ IV. Dạng 4: ( ) 2 mx + n dx D = ax + bx + c ∫ ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 11 6 2 dx 5 4 dx 2 (3 2 1) 11 3 3 3 3 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 9 x x d x x dx D x x x x x x x −   − +   − − +   = = = − + − + − + − +   − +     ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 4 11 1 1 2 3 2 1 ln 3 3 3 9 3 3 x x x x C −   = − + + − + − + +     ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 43 4 5 dx 2 5 1 3 7 dx 3 43 4 4 4 4 2 2 5 1 2 5 1 2 5 1 5 33 4 16 x d x x x dx D x x x x x x x   − + − −   +   = = = + − − − − − −   − −     ∫ ∫ ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 5 2 2 3 43 5 5 33 2 5 1 ln 8 4 4 16 4 2 x x x x C   = − − + − + − − +     ( ) 2 3 2 8 11 dx 17 4 3 2 9 6 4 arcsin 2 3 5 9 6 4 x x D x x C x x − − = = − − − − + − − ∫ ( ) 2 4 2 4 5 dx 1 10 7 6 7 5 arcsin 13 2 5 6 7 5 x x D x x C x x − − = = + − + + + − ∫ ( ) 2 2 2 5 2 3 7 4 dx 7 2 3 3ln 1 ( 1) 4 2 3 x D x x x x C x x − − − = = − − + − + − − + − − ∫ ( ) 0 2 6 2 1 9 5 dx 9 1 2 1 2 4 4 arcsin 4 4 3 2 4 4 x x D x x C x x − − + = = − − − + − − ∫ V. Dạng 5: ( ) 2 dx E = px + q ax + bx + c ∫ 1, ( ) 2 1 2 1 dx 2 3 3 1 E x x x = + + − ∫ ðặt 2 1 1 3 1 1 1 2 1 2 2 5 1 2 x t t x x x t t t dx dt t  = → =   −  + = ⇒ = ⇒ = → =   −  =   Do ñó 1 1 5 3 1 2 2 1 1 2 3 5 1 4 9 1 1 1 2 . 3 1 2 2 dt dt E t t t t t t t t − = = + − − −   + −     ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 6 1 3 1 5 1 9 2 1 1 1 arcsin arcsin arcsin 3 3 13 13 5 13 t −   = = +     Các bài 2, 3, 4 sau ñây ta làm tường tự, có ñáp số như sau: ( ) 3 3 2 2 2 2 2 3 d dx 4 2, 3 4 2 3 7 3 25 3 47 3 2 4 4 4 8 x E x x x x x   +     = = − + +       + − + +             ∫ ∫ 13 2 2 11 2 25 47 3 2 4 8 du u u =   − +     ∫ ( ) 3 3 2 2 dx 1 3 10 3, ln 2 1 10 1 1 E x x + = = + − + ∫ ( ) 2 2 4 2 2 1 1 2 d dx 5 4, 3 2 5 4 2 2 4 2 14 3 5 5 5 5 5 x E x x x x x   −     = = − + −       − − + −             ∫ ∫ 8 5 2 3 5 4 14 3 5 5 5 du u u =   − −     ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 5 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 d 1 dx dx 5, 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 x x du E x x x u u x x x x + = = = = + − − −   + − + − + −     ∫ ∫ ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 7 ( ) 1 2 2 2 6 2 2 2 2 2 4 4 4 2 d nx cot dx cos dx 6, 2 sin nx 2 sin nx 2 sin 2 si x x du E x si x si x u u π π π π π π = = = = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ VI. Dạng 6: ( ) ( ) 2 mx + n dx F = px + q ax + bx + c ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 4 67 5 8 dx 4 7 dx 4 67 5 5 1, 5 5 8 5 3 4 2 8 5 3 4 2 3 4 2 8 5 3 4 2 x x dx dx F x x x x x x x x x x x −   − + +   + −   = = = + − − + − − + − + − − + ∫ ∫ ∫ ∫ Ta tính lần lượt tích phân: 1 1 1 2 2 0 0 1 3 3 4 2 2 2 3 9 dx dx F x x x ′ = = − +   − +     ∫ ∫ 1 2 0 1 2 2 2 1 3 1 ln ln 3 3 9 3 3 6 2 x x +   = − + − + =   −   ( ) 1 1 2 0 8 5 3 4 2 dx F x x x ′′ = − − + ∫ . ðặt 2 1 8 1 1 8 5 5 5 t x x dx dt t t t − − = ⇒ = ⇒ = Khi 1 0 8 x t = ⇒ = và 1 1 3 x t = ⇒ = . Do ñó ( ) ( ) 1 1 1 3 3 3 1 2 2 2 2 1 1 1 8 8 8 82 28 3 3 8 1 20 8 1 2.258 1 8 1 5 3 4 2 5 5 dt dt dt F t t t t t tt t t t t ′′ = = = − + − − − +− −   − +     ∫ ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 8 1 1 3 2 3 2 1 1 8 8 20 25 1 1 7 7 25 1 123 738 ln ln 41 41 3362 82 82 82 15 25 7 25 328 2624 41 3362 dt t t t +   = = − + − + =   −     + − +     ∫ V ậy 1 1 1 20 25 4 67 4 3 1 67 123 738 ln ln 5 5 5 3 6 2 5 82 15 25 328 2624 F F F + − − + ′ ′′ = + = + − − + ** Ta làm tương tự cho các bài sau: 2, ( ) ( ) 1 2 2 0 6 7 dx 2 5 4 x F x x x − = + − + ∫ 3, ( ) ( ) 1 3 2 0 7 9 dx 4 3 2 1 x F x x x − = + + + ∫ VII. Dạng 7: ( ) 2 2 xdx G = ax + b cx + d ∫ 1, ( ) 2 1 2 2 1 dx 4 3 5 x G x x = − − ∫ . ðặt 2 2 2 2 2 5 5 5 t x t x x t xdx tdt = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − Khi 1 2 x t = ⇒ = và 2 1 x t = ⇒ = . Do ñó: ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 17 2 ln 2 17 2 17 4 4(5 ) 3 tdt dt t G t t t t − + = = = − − − − ∫ ∫ 1 4 17 17 2 1 9 2 17 ln ln ln 2 2 4 17 17 2 9 2 17   + + + = − =     − + − −   ** Ta làm t ương tự cho các bài sau: www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 9 2, ( ) 2 2 2 2 1 dx 1 4 10 5 ln 90 4 10 5 5 11 7 3 x G x x − + = = − − − ∫ 3, ( ) ( ) 1 3 2 2 0 dx 1 126(7 3 161) ln 56 14 7 161 8 7 2 1 x G x x + = = + − + ∫ VIII. Dạng 8: ( ) 2 2 dx H = ax + b cx + d ∫ 1, ( ) 2 1 2 2 1 d 3 1 5 2 x H x x = − − ∫ . ðặt ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 5 tdt xt x x t x x xdx t t = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 5 5 2 5 . . 5 dx xdx tdt dt x xt t x t t t ⇒ = = = − − − − Khi 1 3 x t= ⇒ = và 3 2 2 2 x t= ⇒ = . Do ñó: ( ) 3 2 3 2 2 2 1 2 2 3 3 2 6 1 1 5 5 dt dt H t t t = =   + − −   −   ∫ ∫ = 3 2 2 3 3 2 arctan arctan 2 3 t π = = − ** Ta làm tương tự cho các bài sau: www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 10 2, ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 d d 2 3 2 3 1 3 1 3 13 2 4 2 4 x x H x x x x x x   +     = =   + + + −       + − + −             ∫ ∫ 7 2 2 2 5 2 d 1 13 4 4 u u u =   − −     ∫ 12 6 1 arctan arctan 3 7 12 5   = −     3, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 5 3 d d 2 2 5 5 2 5 x x dx dx H x x x x x x x x + + = = = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 6 6 ln 6 1 arctan 2 arctan 2 2   = − + −       4, ( ) 5 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 1 d d d 2 3 5 1 1 1 3 1 5 4 4 2 4 2 4 x x u H x x x x u u x x   +     = = =     + + + −     + −     + + + −               ∫ ∫ ∫ 5, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 d d 1 1 2 2 1 2 x x dx dx H x x x x x x x x + + = = = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 6 6 ln arctan 3 2 1 3 π + = + − + IX. Dạng 9: ( ) ( ) 2 2 mx + n dx I = ax + b cx + d ∫ www.VNMATH.com [...]...Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai www.VNMATH.com Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 1 1, I1 = ∫ 0 2 =∫ 1 ( 4 − 2x − x2 ) 2 x2 + 4 x + 5 (3 − u ) 2 Xét G = ∫ 1 =∫ 0 2 (7 − 3u )du 2 2u + 3 2 • 1 (4 − 3 x)dx... + 3 ⇒ u 2 = 3 t2 − 2 ⇒ udu = −3tdt ⇒ du 2u 2 + 3 (t 2 − 2) udu = = u (ut ) 3 t2 − 2 2 = t Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 11 −3dt t2 − 2 −3tdt (t 2 − 2) 2 Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai www.VNMATH.com Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương Khi u = 1 ⇒ t = 5 và u = 2 ⇒ t = 11 2 11 Do ñó 2 5 5 −3dt dt 1 t− 3 H= ∫ = ∫ = ln  3  2 t 2 − 3 2 3 t + 3 11 5 3− 11... 5 3− 11  t −2 2  t2 − 2  2 ( = ) − 11 + 2 3  1 1  5− 3 2( 11 + 2 3) ln − ln  ln =   2 3 5+ 3 11 + 2 3  3 5+ 3 ( 2 3 + 11 4 2( 11 + 2 3) ln − ln 3 5+ 3 3+ 5 V y I1 = 4 H − 3G = ) ** Tương t các bài còn l i 1 2, I 2 = ∫ (7 − 5 x)dx ( ) 2 0 x + 4x +1 3 3, I3 = ∫ 3 x 2 + 12 x + 8 17 18( 6 + 5) 10 2(2 2 + 5) ln − ln 9 3( 23 + 5) 15 23 + 5 (6 x − 1)dx ( ) 2 2 3x − 6 x + 1 1 4, I 4 = ∫ = 2 x2 − . Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM. + = − =     − + − −   ** Ta làm t ương tự cho các bài sau: www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn. 2 arctan arctan 2 3 t π = = − ** Ta làm tương tự cho các bài sau: www.VNMATH.com Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương Hocmai.vn

Ngày đăng: 30/12/2014, 22:31

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan