tích phân phổ thông trung học phần 2 pot

Tích phân Trần Só Tùng Trang 16 Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: 23 dx I (1x) = + ò Giải: Đặt: xtgt;t 22 pp =-<< . Suy ra: 3 22 23 dtdxcostdt dx&costdt. costcost (1x) === + Khi đó: 2 x IcostdtsintCC 1x ==+=+ + ò Chú ý: 1. Trong ví dụ trên sở dó ta có: 22 1x costvàsint 1x1x == ++ là bởi: 2 2 costcost tcost0 x 22 sinttgt.cost 1x ì = pp ï -<<Þ>Þ í == ï + ỵ 2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát: 222k1 dx I,vớikZ. (ax) + =Ỵ + ò Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân If(x)dx. = ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Xác đònh vi phân =y dt'(x)dx. + Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó Ig(t)dt. = ò Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu có t là mẫu số Hàm số f(x,(x) j t(x) =j Hàm a.sinxb.cosx f(x) c.sinxd.cosxe + = ++ xx ttg(vớicos0) 22 =¹ Hàm 1 f(x) (xa)(xb) = ++ · Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt: txaxb =+++ · Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt: txaxb =-+ Trần Só Tùng Tích phân Trang 17 Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: 328 Ix(23x)dx. =- ò Giải: Đặt: 2 t23x =- . Suy ra: dt6xdx = 328228898 2t2t11 x(23x)dxx(23x)xdx.t.dt(t2t)dt. 33618 ỉư -=-==-=- ç÷ èø Khi đó: 98109109 111211 I(t2t)dtttCttC 181810918081 ỉư =-=-+=-+ ç÷ èø ò Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: 2 xdx I 1x = - ò Giải: Đặt: 2 t1xx1t =-Þ=- Suy ra: 222 42 xdx(1t)(2tdt) dx2tdt&2(t2t1)dt t 1x =-==-+ - Khi đó: 425342 122 I2(t2t1)dt2tttC(3t10t15)tC 5315 ỉư =-+= ++= ++ ç÷ èø ò 22 22 [3(1x)10(1x)15]1xC(3x4x8)1xC 1515 = +-+=-++-+ Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: 522 3 Ix(12x)dx. =- ò Giải: Đặt: 3 3 22 1t t12xx 2 - =-Þ= . Suy ra: 2 3 2xdxttdt, 2 =- 3 5222222274 33 1t33 x(12x)dxx(12x)xdx.ttdt(tt)dt. 248 - ỉư -=-=-=- ç÷ èø Khi đó: 7485632 33113 I(tt)dtttC(5t8t)tC 8885320 ỉư =-=-+=-+ ç÷ èø ò 22222 3 3 [5(12x)8(12x)](12x)C 320 = + 4222 3 3 (20x4x3)(12x)C. 320 = + Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: 3 Isinxcosxdx. = ò Giải: Đặt: 2 tcosxtcosx =Þ= dt = sinxdx, Tích phân Trần Só Tùng Trang 18 322 462 sinxcosxdxsinxcosxsinxdx(1cosx)cosxsinxd x (1t).t.(2tdt)2(tt)dt. ==- =-=- Khi đó: 627362 112 I2(tt)dt2ttC(3t7t)tC 7321 ỉư =-=-+=-+ ç÷ èø ò 3 2 (cosx7cosx)cosxC. 21 =-+ Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh: 3 2 cosx.sinxdx I 1sinx = + ò Giải: Đặt: 22 t1xx1tat1sinx =-Þ=-=+ Suy ra: dt2sinxcosxdx, = 32 22 cosx.sinxdxsinx.cosx.sinxdx(t1)dt11 1dt. 1sinx1sinx2t2t - ỉư ===- ç÷ ++ èø Khi đó: 22 111 I1dtf12(tlntC[1sinxln(1sinx)]C 2t2 ỉư =-=-+=+-++ ç÷ èø ò Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh: 2 8 cosxdx I. sinx = ò Giải: Đặt: t = cotgx Suy ra: 2 1 dtdx, sinx =- 22 2222 862422 222 cosxdxcosxdx1dxdx cotgxcotgx.(1cotgx) sinxsinxsinxsinxsinxsinx t.(1t)dt. ===+ =+ Khi đó: 22642753 121 It.(1t)dt(t2tt)dttttC 753 ỉư =+=++=+++ ç÷ èø òò 753 1 (15cotgx42cotgx35cotgx)C. 105 =+++ Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: xx/2 dx I ee = - ò Giải: Đặt: x/2 te - = Suy ra: x/2 x/2 1dx dtedx2dt, 2e =-Û-= x/2 xx/2xx/2x/2x/2 dxdxedx2tdt1 2(1)dt eee(1e)e(1e)1tt1 - - ====+ Trần Só Tùng Tích phân Trang 19 Khi đó: x/2x/2 1 I21dt2(elne1)C. t1 ỉư =+=+++ ç÷ - èø ò Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến x/2 te, - = tuy nhiên với cách đặt x/2 te = chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán. Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh: x dx I 1e = + ò . Giải: Cách 1: Đặt: x2x t1et1e =+Û=+ Suy ra: x 222 x 2tdtdx2tdt2tdt 2tdtedxdx&. t1t(t1)t1 1e =Û=== + Khi đó: x 2 x dtt11e1 I2lnClnC t1t1 1e1 -+- ==+=+ -+ ++ ò Cách 2: Đặt: x/2 te - = Suy ra: x/2 x/2 1dx dtedx2dt, 2e - =Û-= xxxx/2x2 dxdxdx2dt 1ee(e1)ee1t1 - === ++++ Khi đó: 2x/2x 2 dt I22lntt1C2lnee1C t1 =-=-+++=-+++ + ò Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh: 2 dx I,vớia0. xa =¹ + ò . Giải: Đặt: 2 txxa =++ Suy ra: 2 222 xxaxdxdt dt1dxdx t xaxaxa ++ ỉư =+=Û= ç÷ +++ èø Khi đó: 2 dt IlntClnxxaC. t ==+=+++ ò Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh: dx I (x1)(x2) = ++ ò . Giải: Ta xét hai trường hợp: · Với x10 x1 x20 +> ì Û>- í +> ỵ Đặt: tx1x2 =+++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 20 Suy ra: 11(x1x2)dxdx2dt dtdx t 2x12x22(x1)(x2)(x1)(x2) +++ ỉư =+=Û= ç÷ ++++++ èø Khi đó: dt I22lntC2lnx1x2C t ==+=++++ ò · Với x10 x2 x20 +< ì Û<- í +< ỵ Đặt: t(x1)(x2) =-++-+ Suy ra: [(x1)(x2)]dx 11 dtdx 2(x1)2(x2)2(x1)(x2) -++-+ éù = = êú -+-+++ ëû dx2dt t (x1)(x2) Û=- ++ Khi đó: dt I22lntC2ln(x1)(x2)C t =-=-+= ++-++ ò BÀI TẬP Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 29 f(x)x(x1); =- b/ 4 10 x f(x); x4 = - c/ 2 3 xx f(x); (x2) - = - d/ 2 4 x1 f(x); x1 - = + ĐS: a/ 121110 121 (x1)(x1)(x10)C. 121110 -+-+-+ b/ 5 5 1x2 lnC. 20x2 - + + c/ 2 2x5 lnx2C; (x2) - + - d/ 2 2 1xx21 lnC. 22xx21 -+ + ++ Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2 2x f(x); xx1 = +- b/ 223 1 f(x)(a0) (xa) => + ; c/ 32 1 f(x). xx = - ĐS: a/ 323 22 x(x1)C; 33 + b/ 222 x C; axa + + c/ 3 66 x 6xlnx1C. 2 ỉư ++-+ ç÷ èø Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 5 3 cosx f(x); sinx = b/ 1 f(x) cosx = ; c/ 3 sinxcosx f(x) sinxcosx + = - ; d/ 3 cosx f(x); sinx = e/ 4 1 f(x). sinx = ĐS: a/ 2148 333 333 sinxsinxsinxC; 2144 +-+ Trần Só Tùng Tích phân Trang 21 b/ x lntgC; 24 p ỉư ++ ç÷ èø c/ 3 3 1sin2xC; 2 -+ d/ 2 1 lnsinxsinxC; 2 -+ e/ 3 1 cotgxcotgxC. 3 + Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2x 1 f(x); 1e = + b/ x x1 f(x); x(1xe) + = + c/ xx xx 2.3 f(x); 94 = - d/ 1 f(x); xlnx.ln(lnx) = ĐS: a/ x2x ln(ee1)C; -+++ b/ x x xe lnC; 1xe + + c/ xx xx 132 ,lnC; 2(ln3ln2)32 - + -+ d/ lnln(lnx)C. + Tích phân Trần Só Tùng Trang 22 Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tính tích phân từng phần: udvuvvdu. =- òò Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh If(x)dx. = ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: 12 If(x)dxf(x).f(x)dx. == òò + Bước 2: Đặt: 1 2 uf(x) du dvf(x)dxv = ì ì Þ íí = ỵ ỵ + Bước 3: Khi đó: Iuvvdu. =- ò Ví dụ 1: Tích tích phân bất đònh: 2 2 xln(xx1) I x1 ++ = + ò . Giải: Viết lại I dưới dạng: 2 2 x Iln(xx1)dx. x1 =++ + ò Đặt : 2 2 22 2 2 1x uln(xx1) dx x1 du x xx1x1 dv x1 vx1 + ì ì ï =++ + ï ï == Þ íí +++ = ïï + ỵ ï =+ ỵ Khi đó: 2222 Ix1ln(xx1)dxx1ln(xx1)xC. =+++-=+++-+ ò Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: Icos(lnx)dx. = ò Giải: Đặt : 1 ucos(lnx) dusin(lnx)dx x dvdx vx - ì = = ì ï Þ íí = ỵ ï = ỵ Khi đó: Ixcos(lnx)sin(lnx)dx. =+ ò (1) Xét Jsin(lnx)dx. = ò Đặt: 1 usin(lnx) ducos(lnx)dx x dvdx vx. ì = = ì ï Þ íí = ỵ ï = ỵ Khi đó: Jx.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I =-=- ò (2) Trần Só Tùng Tích phân Trang 23 Thay (2) vào (1), ta được: x Ix.cos(lnx)x.sin(lnx)II[cos(lnx)sin(lnx) ]C. 2 =+-Û=++ Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân: 12 Isin(lnx)dxvàIcos(lnx)dx == òò ta nên lựa chọn cách trình bày sau: · Sử dụng tích phân từng phần cho I 1 , như sau: Đặt : 1 usin(lnx) ducos(lnx)dx x dvdx vx ì = = ì ï Þ íí = ỵ ï = ỵ Khi đó: 12 Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3) =-=- ò · Sử dụng tích phân từng phần cho I 2 , như sau: Đặt : 1 ucos(lnx) dusin(lnx)dx x dvdx vx ì = =- ì ï Þ íí = ỵ ï = ỵ Khi đó: 21 Ix.cos(lnx)sin(lnx)dxx.cos(lnx)I.(4) =-=+ ò · Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được: 12 xx I[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)] C. 22 =-+=++ Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh: 2 ln(cosx) Idx. cosx = ò Giải: Đặt : 2 uln(cosx) sinx dudx cosx dx dv vtgx cosx = ì ì =- ïï Þ íí = ïï = ỵ ỵ Khi đó: 2 2 1 Iln(cosx).tgxtgxdxln(cosx).tgx1dx cosx ỉư =+=+- ç÷ èø òò ln(cosx).tgxtgxxC. =+-+ Bài toán 2: Tính IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx) =aa òò với P là một đa thức thuộc * R[X]vàR. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tích phân Trần Só Tùng Trang 24 Ta lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Đặt : duP'(x)dx uP(x) . 1 dvsinxdx vcosx = ì = ì ï Þ íí =a =-a ỵ ï + Bước 2: Khi đó: 11 IP(x)cosP'(x).cosx.dx. =-a+a aa ò + Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức. · Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Ta có: IP(x)cosxdxA(x)sinxB(x)cosxC.(1) =a=a+a+ ò trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x). + Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: P(x).cosx[A'(x)B(x)].sin[A(x)B'(x)].cosx (2) a=+a++ Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x) + Bước 3: Kết luận. Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần. Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau: – Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1. – Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2. Ví dụ 4: Tính : 2 Ix.sinxdx = ò (ĐHL_1999) Giải: Biến đổi I về dạng cơ bản: 2 1cos2x1111 Ixdxxdxxcos2xdxxxcos2xdx(1) 22242 - ỉư ==-=- ç÷ èø òòòò Xét Jxcos2xdx. = ò Đặt : 2 dx dudx ux x1 dvcos2xdx 1 vsin2x 2 ì == ï = ì ï + Þ íí = ỵ ï = ï ỵ Khi đó: x1x1 Jsin2xsin2xdxsin2xcos2xC. 2224 =-=++ ò (2) Thay (2) vào (1) ta được: 2 1x1 Ixsin2xcos2xC. 448 =+++ Ví dụ 5: Tính : 32 I(xx2x3)sinxdx. =-+- ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 25 Giải: Ta có: 32 I(xx2x3)sinxdx =-+- ò 3232 11112222 (axbxcxd)cosx(axbxcxd)sinxC(1) =++++++++ Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: 3232 2121212 32 1212121 (xx2x3)sinx[ax(3ab)x(2bc)xcd].cosx [ax(3ab)x(2bc)xcd].sinx(2) -+-=++++++- +- Đồng nhất đẳng thức, ta được: 22 1221 1221 1221 a0a1 3ab03ab1 (I)và(II) 2bc02bc2 cd0cd3 =-= ìì ïï +=-=- ïï íí +=-= ïï ïï +=-+=- ỵỵ Giải (I) và (II), ta được: 11112222 a1,b1,c4,d1,a0,b3,c2,d4. =-======-=- Khi đó: 322 I(xx4x1)cosx(3x2x4)sinxC. =-++++-++ Bài toán 3: Tính ( ) axax Iecos(bx)dxhoặcesin(bx)vớia,b0. =¹ òò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Đặt : ax ax dubsin(bx)dx ucos(bx) . 1 ve dvedx a =- ì = ì ï Þ íí = = ỵ ï ỵ Khi đó: axax 1b Iecos(bx)esin(bx)dx.(1) aa =+ ò + Bước 2: Xét ax Jesin(bx)dx. = ò Đặt ax ax dubcosx(bx)dx usin(bx) 1 ve dvedx a = ì = ì ï Þ íí = = ỵ ï ỵ Khi đó: axaxax 1b1b Jesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(2) aaaa =-=- ò + Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được: ãax 1b1b Iecos(bx)[esin(bx)I] aaaa =+- ax 22 [a.cos(bx)b.sin(bx)e IC. ab + Û=+ + · Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước : + Bước 1: Ta có: axax Iecos(bx)dx[Acos(bx)B.sin(bx)]eC.(3) ==++ ò trong đó A, B là các hằng số. [...]... cos 2x + 2( ex si n2x - 2J) Û J = (cos2x + 2 sin 2x)ex + C 5 Cách 2: (4) Thay (4) vào (1), ta được: 1 1 1 I = [ex + (cos2x + 2 sin 2x)ex ] + C = (5 + cos2x + 2sin 2x)ex + C 2 5 10 1 I = ò ex (1 + cos 2x)dx = (a + b.cos2x + c.sin 2x)ex + C (5) 2 Lấy đạo hàm hai vế của (5), ta được: 1 x e (1 + cos 2x) = ( - b.sin 2x + 2c.cos2x)ex + (a + b.cos2x + c.sin 2x)e x 2 = [a + (2x + b) cos 2x + (c - 2b)sin 2x]ex... 2x + 4)e2 x dx Giải: Ta có: I = ò (2x3 + 5x 2 - 2x + 4)e2 x dx = (ax 3 + bx 2 + cx + d)e2x + C (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: (2x 3 + 5x 2 - 2x + 4)e2x = [2ax 3 + (3a + 2b)x 2 + (2b + 2c)x + c + 2d]e2 x ì2a = 2 ìa = 1 ï3a + 2b = 5 ïb = 1 ï ï Đồng nhất đẳng thức ta được: í Û í ï2b + 2c = -2 ïc = -2 ïc + 2d = 4 ïd = 3 ỵ ỵ Khi đó: I = (x 3 + x 2 - 2x + 3)e2x + C Bài toán 5: Tính I = ò x a ln... cos2x)dx = ( ò ex dx + ò ex cos 2xdx) = (ex + ò ex cos2xdx) (1) 2 2 2 · Xét J = ò e x cos 2xdx Trang 26 Trần Só Tùng Tích phân ì u = cos2x Đặt: í Þ x ỵdv = e dx ìdu = -2 sin 2xdx í x ỵv = e Khi đó: J = ex cos2x + 2 ò ex sin 2xdx · (2) Xét: K = ò ex sin 2xdx ì u = sin 2x ìdu = 2 cos 2xdx Đặt: í Þ í x x ỵdv = e dx ỵv = e Khi đó: K = ex sin 2x - 2 ò e x cos 2xdx = ex sin 2x - 2J (3) Thay (3) vào (2) ,... 1 )2 sin 2x (x + 1) cos2x sin 2x c/ + + + C; 6 4 4 8 e -2 x d/ (3sin 3x - 2 cos3x) + C; 13 f/ e/ x [sin(ln x) + cos(ln x ] + C; 2 x 2 K x + K + ln x + x 2 + K + C 2 2 Bài 18 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ f(x) = x 3 ln x (HVQY_1999) b/ f(x) = (x 2 + 2) sin 2x (ĐHPĐ _20 00) c/ f(x) = x sin x (ĐHMĐC_1998) ĐS: a/ 1 4 1 x ln x - x 4 + C; 4 16 1 x 1 b/ - (x2 + 2) cos2x + sin2x + cos2x + C; 2 2 4 c/ -2. .. + C b/ 1 (2x 2 - x + 3)e2x + C; 4 c/ (2 - x )2 cos x + 2sin x + C; ĐS: d/ 1 x e (sin x - cos x) + C; 2 e/ 2 x (x - 6)sin x + 6(x - 2) cos x + C; f/ ex tgx + C Bài 17 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 2 a/ f(x) = e ; ỉ ln x ư b/ f(x) = ç ÷ ; è x ø d/ f(x) = e -2 x cos3x; e/ f(x) = sin(ln x); f/ f(x) = x 2 + K , (K ¹ 0); x ĐS: a/ 2( x - 1)e x c/ f(x) = (x + 1 )2 cos2 x; ln 2 x b/ 2 ln x - 2x + C; x... a +1 (a + 1 )2 Trang 28 (2) Trần Só Tùng Tích phân Ví dụ 9: Tính I = ò x 2 ln 2xdx ì u = ln 2x Đặt : í Þ dv = x 2 dx ỵ dx ì ïdu = x x3 x3 x3 ï Khi đó: I = ln 2x ò x 2 dx = ln 2x - + C í 3 3 9 ïv = 1 x 3 ï 3 ỵ BÀI TẬP Bài 16 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ f(x) = ln x; b/ f(x) = (x 2 + 1)e2x ; c/ f(x) = x 2 sin x; d/ f(x) = ex sin x; e/ f(x) = x.cos x; f/ f(x) = ex (1 + tgx + tg2 x) a/ x ln... ï a ỵ 1 b 1 b Khi đó: I 2 = eax sin(bx) - ò eax cos(bx)dx = eax sin(bx) - I1 a a a a · Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được: (3) (4) [a.cos(bx) + b.sin(bx)]eax [a.sin(bx) - b.cos(bx)]eax + C I2 = + C a2 + b 2 a2 + b 2 2 Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân: I1 = J1 = ò eax sin 2 (bx)dx và J 2 = ò eax cos2 (bx)dx Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: I = ò ex cos2 xdx Giải: Cách 1: Viết... (2x + b) cos 2x + (c - 2b)sin 2x]ex (6) ì2a = 1 ìa = 1/ 2 ï ï Đồng nhất đẳng thức, ta được: 2( 2c + b) = 1 Þ í b = 1/ 10 2( c - 2b) = 0 ï c = 1/ 5 ỵ ỵ 1 Vậy: I = (5 + cos 2x + 2sin 2x)ex + C 10 Bài toán 4: Tính I = ò P(x)eax dx với P là một đa thức thuộc R[X] và a Ỵ R* PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần) Ta thực hiện theo các bước sau: ìdu =... nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta có: sin 4 x + cs 4 x f(x) + g(x) = = 1 Þ F(x) + G(x) = ò dx = x + C1 sin 4 x + cos 4 x cos 4 x - sin 4 x cos2 x - sin 2 x cos 2x f(x) - g(x) = = = 4 4 2 2 2 2 2 sin x + cos x (cos x + sin x) - 2 cos x.sin x 1 - 1 sin 2 2x 2 Trang 30 ... tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau: · Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1 · Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2 Ví dụ 7: Tính : I = ò xe3x dx Giải: ìu = x Đặt: í Þ 3x ỵdv = e dx ìdu = dx 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x ï 1 3x Khi đó: I = xe - ò e dx = xe - e + C í 3 3 3 9 ïv = 3 e ỵ Ví dụ 8: Tính : I = ò (2x 3 + 5x 2 - 2x + 4)e2 x dx . Tùng Tích phân Trang 25 Giải: Ta có: 32 I(xx2x3)sinxdx =-+- ò 323 2 111 122 22 (axbxcxd)cosx(axbxcxd)sinxC(1) =++++++++ Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: 323 2 21 2 121 2 32 121 2 121 (xx2x3)sinx[ax(3ab)x(2bc)xcd].cosx [ax(3ab)x(2bc)xcd].sinx (2) -+-=++++++- . Tính : 322 x I(2x5x2x4)edx =+-+ ò Giải: Ta có: 322 x 322 x I(2x5x2x4)edx(axbxcxd)eC.(1) =+-+=++++ ò Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: 322 x 322 x (2x5x2x4)e[2ax(3a2b)x(2b2c)xc2d]e (2) +-+=++++++. 22 222 3 3 [5(12x)8(12x)](12x)C 320 = + 422 2 3 3 (20 x4x3)(12x)C. 320 = + Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: 3 Isinxcosxdx. = ò Giải: Đặt: 2 tcosxtcosx =Þ= dt = sinxdx, Tích phân