tích phân phổ thông trung học phần 8 pptx

Tích phân Trần Só Tùng Trang 106 phân từng phần, xong đó lại không phải ý kiến hay. Điều đó cho thấy việc nhìn nhận tính chất cận và đặc tính của hàm số dưới dấu tích phân để từ đó đònh hướng việc lựa chọn phương pháp giải rất quan trọng. 2. Tuy nhiên với một bài thi thì vì tính chất 1 không được trình bày trong phạm vi kiến thức của sách giáo khoa do đó các em học sinh lên trình bày như sau: 01/2 1/20 1x1x Icosx.lndxcosx.lndx 1x1x - ỉưỉư =+ ç÷ç÷ ++ èøèø òò . (1) Xét tính chất 0 1/2 1x Jcosx.lndx 1x - - ỉư = ç÷ + èø ò Đặt xtdxdt =-Þ=- Đổi cận: 11 xt. 22 =-Þ= x = 0 Þ t = 0. Khi đó: 01/21/2 1/200 1t1t1x Icos(t).lndtcost.lndtcosx.lndx 1t1t1x + ỉưỉưỉư = =-=- ç÷ ç÷ç÷ -++ èø èøèø òòò (2) Thay (2) vào (1) ta được I = 0. 3. Vậy kể từ đây trở đi chúng ta sẽ đi áp dụng ý tưởng trong phương pháp chứng minh tính chất để giải ví dụ trong mục áp dụng. Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên đoạn [–a ; a] thì: aa a0 If(x)dx2f(x)dx. - == òò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi I về dạng: a0a aa0 If(x)dxf(x)dxf(x)dx ==+ òòò (1) Xét tính phân 0 a Jf(x)dx. - = ò Đặt xtdxdt =-Þ=- Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0 Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f(–t) = f(t) Khi đó: 0aaa a000 Jf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(x)dx = === òòòò (2) Thay (2) vào (1) ta được a 0 I2f(x)dx = ò đpcm. Chú ý quan trọng: 1. Trong phạm vi phổ thông tính chất trên không mang nhiều ý nghóa ứng dụng, do đó khi gặp các bài toán kiểu này chúng ta tốt nhất cứ xác đònh: a a If(x)dx - = ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 107 bằng cách thông thường, thí dụ với tích phân: 1 2 1 Ixdx. - = ò Ta không nên sử dụng phép biến đổi: 1 1 3 2 0 0 2x2 I2xdx. 33 === ò bởi khi đó ta nhất thiết cần đi chứng minh lại tính chất 2, điều này khiến bài toán trở nên cồng kềnh hơn nhiều so với cách làm thông thường, cụ thể: 1 3 1 x2 I. 33 - == 2. Tuy nhiên không thể phủ nhận sự tiện lợi của nó trong một vài trường hợp rất đặc biệt. Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục và là chẵn trên R thì : x 0 f(x)dx If(x)dxvớiRvàa0. a1 aa + -a =="> + òò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi I về dạng: 0 xxx 0 f(x)dxf(x)dxf(x)dx I a1a1a1 aa -a-a ==+ +++ òòò Xét tính phân 0 1 x f(x)dx I a1 -a = + ò Đặt xtdxdt =-Þ=- Đổi cận: x = 0 Þ t = 0; x = –a Þ t = a. Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f)–t) = f(t). Khi đó: 0 tt 1 ttt 00 f(t)dtaf(t)dtaf(t)dt I a1a1a1 aa - a - === +++ òòò Vậy: tx txx 0000 af(t)dtf(x)dx(a1)f(x)dx If(x)dx. a1a1a1 aaaa + ==== +++ òòòò Áp dụng: Ví dụ 2: Tính tích phân: 1 4 x 1 xdx I 21 - = + ò Giải: Biến đổi I về dạng: 01 44 xx 10 xdxxdx I 2121 - =+ ++ òò (1) Xét tích phân 0 4 x 1 xdx J 21 - = + ò Đặt x = –t Þ dx = –dt Đổi cận: x = –1 Þ t = 1, x = 0 Þ t = 0. Tích phân Trần Só Tùng Trang 108 Khi đó: 011 44t4x ttx 100 (t)dtt.2.dtx.2.dx J 212121 - - =-== +++ òòò (2) Thay (2) vào (1) ta được: 1111 4x44x 4 xxx 0000 x.2.dxxdxx(21)dx1 Ixdx. 5 212121 + =+=== +++ òòòò Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên 0; 2 p éù êú ëû thì: /2/2 00 f(sinx)dxf(cosx)dx. pp = òò CHỨNG MINH Đặt txdxdt 2 p =-Þ=- Đổi cận: x0t, 2 p =Þ= xt0. 2 p =Þ= Khi đó: /20/2/2 0/200 f(sinx)dxf(sin(t)dtf(cost)dtf(cosx)dx 2 ppp p p = == òòòò đpcm. Chú ý quan trọng: Như vậy việc áp dụng tính chất 4 để tính tích phân: /2/2 00 If(sinx)dx(hoặcIf(cosx)dx). pp == òò thường được thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Bằng phép đổi biến tx 2 p =- như trong phần chứng minh tính chất, ta thu được /2 0 If(cosx)dx. p = ò Bước 2: Đi xác đònh kI (nó được phân tích /2/2 00 kIf(sinx)dxf(cosx)dx)), pp =a+b òò thường là: /2/2/2 000 2If(sinx)dxf(cosx)dx[f(sinx)f(cosx)]dx ppp =+=+ òòò . Từ đó suy ra giá trò của I. Áp dụng: Ví dụ 3: Tính tích phân: /2 n nn 0 cosxdx I cosxsinx p = + ò Giải: Đặt txdxdt 2 p =-Þ=- Đổi cận: x0t, 2 p =Þ= xt0. 2 p =Þ= Trần Só Tùng Tích phân Trang 109 Khi đó: n 0/2/2 nn nnnn nn /200 cost(dt) sintdtsinx 2 Idx. costsintcosxsinx costsint 22 pp p p ỉư ç÷ èø === pp ỉưỉư++ -+- ç÷ç÷ èøèø òòò Do đó: /2/2 nn nn 00 cosxsinx 2IdxdxI. 24 cosxsinx pp +pp ===Þ= + òò Tính chất 5: Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = f(x) thì bb aa ab Ixf(x)dxf(x)dx. 2 + == òò CHỨNG MINH Đặt xabtdxdt =+-Þ=- Đổi cận: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a Khi đó: ab ba I(abt)f(abt)(dt)(abt)f(t)dt =+-+ +- òò bbbbb aaaaa (ab)f(t)dttf(t)dt(ab)f(t)dtxf(x)dx(ab)f( t)dtI =+-=+-=+- òòòòò bb aa ab 2I(ab)f(t)dtIf(x)dx. 2 + Û=+Û= òò Hệ quả 1: Nếu f(x) liên tục trên [0 ; 1] thì: Ixf(sinx)dxf(sinx)dx 2 p-ap-a aa p == òò Hướng dẫn chứng minh: Đặt x = p – t Þ dx = –dt. Áp dụng: Ví dụ 4: Tính tích phân: 2 0 xsinxdx I. 4cosx p = - ò Giải: Biến đổi I về dạng: 22 000 xsinxdxxsinxdx Ixf(sinx)dx. 4(1sinx)3sinx ppp === + òòò Đặt xtdxdt =p-Þ=- Đổi cận: x = p Þ t = 0; x = 0 Þ t = p. Khi đó: 0 2222 000 (t)sin(t)dt(t)sintdtsintdttsintdt I 4cos(t)4cost4cost4cost ppp p p-p-p-p =-==- -p òòòò 222 000 d(cost)d(cost)d(cost) I2I 4cost4costcost4 ppp =-p-Û=-p=p òòò 2 0 0 d(cost)1cost2ln9 I.ln. 224cost28 cost4 p p pp-p Û=== + - ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 110 Hệ quả 2: Nếu f(x) liên tục trên [0 ; 1] thì: 22 Ixf(cosx)dxf(cosx)dx. p-ap-a aa ==p òò Hướng dẫn chứng minh: Đặt x = 2p – t Þ dx = –dt. Áp dụng: Ví dụ 5: Tính tích phân: 2 3 0 Ix.cosxdx p = ò Giải: Đặt x2tdxdt =p-Þ=- Đổi cận: x = 2p Þ t = 0; x = 0 Þ t = 2p. Khi đó: 02 33 20 I(2t).cos(2t)(dt)(2t).costdt p p =p-p =p- òò 222 33 000 2costdttcostdt(cos3t3cost)dtI 2 ppp p =p-=+- òòò 2 0 1 2Isin3t3sint0I0. 23 p p ỉư Û=+=Û= ç÷ èø Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = –f(x) thì b a If(x)dx0. == ò CHỨNG MINH Đặt xabtdxdt =+-Þ=- Đổi cận: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a Khi đó: abb baa If(abt)(dt)f(t)dtf(x)dxI2I0I0. =+ =-=-=-Û=Û= òòò Áp dụng: Ví dụ 6: (CĐSPKT_2000) Tính tích phân: /2 0 1sinx Ilndx. 1cosx p + ỉư = ç÷ + èø ò Giải: Đặt txdxdt 2 p =-Þ=- Đổi cận: x0t, 2 p =Þ= xt0. 2 p =Þ= Khi đó: 0/2 /200 1sint 1cost1sint 2 Iln(dt)lndtlndt 1sint1cost 1cost 2 pp p ỉưp ỉư +- ç÷ ç÷ ++ ỉưỉư èø =-==- ç÷ ç÷ç÷ p ++ỉư èøèø ç÷ +- ç÷ ç÷ èø èø òòò /2 0 1sinx lndxI2I0I0. 1cosx p + ỉư =-=-Û=Û= ç÷ + èø ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 111 Chú ý: Nếu ta phát biểu lại tính chất 6 dưới dạng: “Giả sử f(x) lên tục trên [a ; b], khi đó: ba ab f(x)dxf(abx)dx" =+- òò Điều đó sẽ giúp chúng ta có được một phương pháp đổi biến mới, cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví dụ 7: Tính tích phân: /4 0 Iln(1tgx)dx. p =+ ò Giải: Đặt txdxdt 4 p =-Þ=- Đổi cận: x0t, 4 p =Þ= xt0 4 p =Þ= Khi đó: 0/4/4 /400 1tgt2 Iln[1tg(t)dtln(1)dtlndt 41tgt1tgt pp p p- =-+-=+= ++ òòò /4/4/4 /4 0 000 [ln2ln(1tgt)]dtln2dtln(1tgt)dtln2.tI ppp p =-+=-+=- òòò ln2ln2 2II. 48 pp Û=Û= Tính chất 7: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [0 ; 2a] với a > 0 thì 2aa a0 f(x)dx[f(x)f(2ax)]dx. =+- òò CHỨNG MINH Ta có: 2aa2a a0a f(x)dxf(x0dxf(x)dx =+ òòò (1) Xét tích phân 2a 2 a If(x)dx. = ò Đặt x2atdxdt =-Þ=- Đổi cận: x = a Þ t = a; x = 2a Þ t = 0. Khi đó: 0aa 2 a00 If(2at)dtf(2at)dtf(2ax)dx = =-=- òòò (2) Thay (2) vào (1) , ta được: 2aaaa a000 f(x)dxf(x)dxf(2ax)dx[f(x)f(2ax)]dx =+-=+- òòòò . (đpcm) Áp dụng: Ví dụ 8: Tính tích phân: 3 0 Isinx.sin2x.sin3x.cos5xdx. p = ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 112 Giải: Viết lại I dưới dạng: 3/23 03/2 Isinx.sin2x.sin3x.cos5xdxsinx.sin2x.sin3 x.cos5xdx. pp p =+ òò (1) Xét tích phân 3 3/2 Jsinx.sin2x.sin3x.cos5xdx. p p = ò Đặt x3tdxdt =p-Þ=- Đổi cận: 33 xt, 22 pp =Þ= x3t0. =pÞ= Khi đó: 0 3/2 Jsin(3t).sin2(3t).sin3(3t).cos5(3t)dt p =-p-p-p-p- ò 3/23/2 00 sint.sin2t.sin3t.cos5tdtsinx.sin2x.sin3x .cos5xdx. pp =-=- òò (2) Thay (2) vào (1), ta được: I = 0. Tính chất 8: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thì : aTT a0 f(x)dxf(x)dx. + = òò CHỨNG MINH Ta có: TaaTT 00aaT f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx + + =++ òòòò (1) Xét tích phân T 3 aT If(x)dx. + = ò Đặt txTdxdt =-Þ= Đổi cận: x = a + T Þ t = a; x = T Þ t = 0. Khi đó: 0aa 3 a00 If(tT)dtf(t)dtf(x)dx. =+=-=- òòò (2) Thay (2) vào (1) , ta được: TaT 0a f(x)dxf(x)dx. + = òò (đpcm) Áp dụng: Ví dụ 8: Tính tích phân: 2004 0 I1cos2xdx. p =- ò Giải: Viết lại I dưới dạng: 2004242004 0022002 I2sinxdx2(sinxdxsinxdx sinxdx) pppp pp ==+++ òòòò (1) Theo tính chất 8, ta được: Trần Só Tùng Tích phân Trang 113 242 020 sinxdxsinxdx1002(sinxdxsinxdx) pppp pp ==- òòòò 2 0 10022(cosxcosx)40082. pp p =+= Nhận xét: Như vậy nếu bài thi yêu cầu tính tích phân dạng trên thì các em học sinh nhất thiết phải phát biểu và chứng minh được tính chất 8, từ đó áp dụng cho tích phân cần tìm. BÀI TẬP Bài 14. Tính các tích phân sau: a/ 2 1 x 1 1x dx; 12 - - + ò b/ 2 2 2 xcosx dx; 4sinx p p - + - ò c/ 3 0 x.sinx.dx; p ò d/ 2 x sinx dx; 31 p -p + ò e/ 22 2 x 2 x|sinx| dx; 12 p p - + ò f/ 4 1 2 1 xsinx dx; x1 - + + ò g/ 2 1 x22 1 (e.sinxe.x)dx; - + ò h/ 1 32 1 ln(xx1)dx; - ++ ò i/ 1 x2 1 dx ; (e1)(x1) - ++ ò k/ 7 2 77 0 sinx dx. sinxcosx p + ò ĐS: a/ ; 4 p b/ 1 ln9; 2 c/ 3 ; 4 p d/ ; 2 p e/ 2; p+ f/ 4 ; 23 p - g/ 2 2 e; 3 h/ 0; i/ ; 4 p k/ . 4 p Bài 15. Cho liên tục trên R và thoả mãn: f(x)f(x)22cos2x,xR +-=-"Ỵ Tính tích phân 3 2 3 2 If(x)dx. p p - = ò ĐS: 6. Bài 16. Chứng minh rằng: tgcotg 11 22 ee x.dxdx 1,(tg0) x1x(x1) aa +=a> ++ òò . Bài 17. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn 1 [0;)thỏamãnf(t)f, t ỉư +¥= ç÷ èø với t0 "> và hàm số. f(tgx),nếu0x 2 g(x) f(0),nếux 2 p ì ££ ï ï = í p ï = ï ỵ Chứng minh rằng: a/ g(x) liên tục trên 0;; 2 p éù êú ëû b/ 2 4 0 4 g(x).dxg(x).dx. p p p = òò Tích phân Trần Só Tùng Trang 114 Vấn đề 7: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ (xem lại vấn đề 7 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 18. Tính các tích phân sau: a/ 4 3 2 0 x1 dx; x9 - + ò b/ 1 2 1 x.dx ; (x2) - + ò c/ 2 5 22 1 (2x18)dx ; (x6x13) + -+ ò d/ 9 52 53 0 x.dx ; (x1) + ò e/ 15 42 0 82 4 x.dx ; (x1) + ò f/ 1 n 0 (1x)dx; + ò g/ 1 2n 0 x(1x)dx; - ò ĐS: a/ 20 18; 3 p - b/ 4 ln3; 3 - c/ 117 ; 84 p + d/ 2 ; 45 e/ 5 3525 .125; 192192 + f/ n1 21 ; n1 + - + g/ 1 . 2(n1) + Bài 19. Tính các tích phân sau: a/ 3 2 8 1 x.dx ; x1 + ò b/ 1 3 2 2 0 x.dx ; x3x2 -+ ò c/ 2 4 0 dx ; x(x1) + ò d/ tgacotga 11 22 ee x.dxdx ,(tga0) 1xx(1x) +> ++ òò e/ 2 b 22 0 (ax)dx ,(a,b0); (ax) - > + ò f/ 26 2 2 4 1 x1 dx; x1 + + + ò g/ 15 2 2 42 1 (x1)dx . xx1 + + -+ ò ĐS: a/ ; 16 p b/ 12137 lnln; 4242 + c/ 132 ln; 417 d/ 1; e/ 2 b ; ab + f/ ; 8 p g/ . 4 p Trần Só Tùng Tích phân Trang 115 Vấn đề 8: TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯNG GIÁC (xem lại vấn đề 8 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 20. Tính các tích phân sau: a/ 8 0 cos2x.dx ; sin2xcos2x p + ò b/ 3 4 4 0 4sinx.dx ; 1cosx p + ò c/ 4 22 0 dx ; sinx2sinxcosx8cosx p +- ò d/ 4 66 0 sinx.dx ; sinxcosx p + ò e/ 66 4 x 4 sinxcosx dx; 61 p p - + + ò f/ 4 3 0 cos2x.dx ; (sinxcosx2) p ++ ò g/ 2 0 sinx7cosx6 dx; 4sinx3cosx5 p ++ ++ ò h/ 2 0 2222 sinx.cosxdx dx(a,b0) a.cosxb.sinx p ¹ + ò ĐS: a/ 1 ln2; 168 p + b/ 322 2ln; 2 + c/ 12 ln; 65 d/ 2 ln4; 3 e/ 5 ; 32 p f/ 2 8582 ; 27 (22) + - + g/ 91 ln; 286 p ++ h/ 1 . |b||a| + Bài 21. Tính các tích phân sau: a/ 3 2 6 cisx.dx ; sinx p p ò b/ 4 0 cosxsinx dx; 2sin2x p - + ò c/ 3 3 2 3 3 cotg.sinxsinx.dx ; sinx p p - ò d/ 3 0 x.sinx.cosx.dx; p ò e/ 3 2 3 x.sinx.dx ; cosx p p - ò f/ 43 0 xcosx.sinx.dx. p - ò ĐS: a/ ln(21); + b/ 32 ln; 21 ỉư + ç÷ + èø c/ 3 9 ; 24 - d/ ; 3 p e/ 4 2ln(23); 3 p -+ f/ 4 . 35 p Bài 22. Tìm hai số A, B để hàm số 2 sin2x f(x) (2sinx) = + có thể biểu diễn dưới dạng: 2 A.cosxB.cosx f(x). 2sinx (2sin) =+ ++ Từ đó tính: 0 2 f(x).dx. p - ò ĐS: A = –4; B = 2; ln4 – 2. Bài 23. Tính các tích phân sau: a/ 2 2 0 x.cosx.dx; p ò b/ 2 2 2 4 cos(x).dx; p p ò c/ 3 2 4 x.dx ; sinx p p ò [...]... x)1+cosx 2 ln 0 1 + cosx ò p ĐS: a/ ; 8 p b/ ln 2; 8 dx; p b/ ò 4 ln(1 + tgx)dx; 0 x.ex dx ; 0 (1 + e x )3 d/ ò 1 e2 + 4e + 1 1 ỉ e + 1 ư c/ 2 ln 2 - 1; d/ - ln ç ÷ 4(e + 1)2 2 è 2 ø Trang 119 Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 11: PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Để giải phương trình, bất phương trình tích phân thông thường trước tiên ta cần đi xác đònh tích phân trong phương trình, bất phương trình... 27.a/ b/ Chứng minh rằng: p 2 0 ò 1 ln 3; 4 cos2x.dx cos x - 3 sin x 1 3 -1 b/ K = ln 3 8 2 p cos6 x.cos6x.dx = ò02 cos5 x.sin x si n6x.dx p Tính: J = ò 2 cos5 x.cos7 x.dx 0 ĐS: b/ J = 0 Trang 116 Trần Só Tùng Tích phân Vấn đề 9: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ (xem lại vấn đề 9 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 28 Tính các tích phân sau: a/ d/ ỉ x -1 ư 3 dx ò2 3 ç x + 1 ÷ (x - 1)2 ; è ø ò0 2 2 b/ 1+ x dx; 1- x... ; (a > 0,n Ỵ N) a/ Với giá trò nào của n thì I không phụ thuộc vào a b/ Tính I với n tìm được 1 ĐS: a/ n = ; 2 b/ 2 ln(1 + 2 ) 3 Trang 1 18 Trần Só Tùng Tích phân TÍCH PHÂN CÁC HÀM SIÊU VIỆT Vấn đề 10: (xem lại vấn đề 10 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 33 Tính các tích phân sau: a/ ò ln 2 d/ ò e 0 1 dx ; x(1 + ln 2 x ĐS: a/ ln 5 1 - e2x dx; b/ ò0 e/ ò e 1 ex e x - 1 dx; ex + 3 1 + ln 2 x dx; x 1ỉ 2- 3ư.. .Tích phân d/ Trần Só Tùng p 4 0 ò p3 8 0 x.tg x.dx; p2 a/ - 2; 4 ĐS: 2x x f/ ò x 2 sin dx; 0 2 e/ ò sin 3 x.dx; 2 3p2 1 b/ + ; 8 2 c/ p 1 p2 d/ - ln 2 - ; e/ 3p - 6; 4 2 32 p(9 - 4 3) ; 36 f/ -8( p2 + 4) Bài 24 Tính các tích phân sau: a/ c/ p n-1 ò0 sin p x.cos(n + 1).dx, (n Ỵ N, n ³ 1); b/ ò cosn -1 x.sin(n - 1)x.dx;... x2 a 2 2 a -x ; 1 x 2 dx 0 2x - x 2 d/ ò ; x n -1.dx d/ Bài 31 Tính các tích phân sau: a/ 1 2 1 4 2n (a > 0; n ³ 2) 1 (3p - 8) ; 4 ; Tích phân c/ Trần Só Tùng dx 2 ò1 x2 ( ĐS: a/ x2 + 1 + x) ; 19 - 3 - 2; 6 c/ ln (2x + 1)dx 8 ò4 x 2 - 4x + x + 2 x n dx 0 x3 + a3 ; b/ 1; (2 + 5)( 2 - 1) 2 2 - 5 + ; 2 2 a Bài 32 Cho I = ò d/ 1 d/ 8 - 3 2 - ln(3 + 2 2) 2 ; (a > 0,n Ỵ N) a/ Với giá trò nào của n thì I không... x x c/ p ; 6 f/ 3 3 ( 16 - 1) 8 Bài 34 Tính các tích phân sau: a/ 2 ò0 ln x dx; x2 e2 ỉ 1 1 ư b/ ò ç 2 ÷ dx; e è ln x ln x ø p 3 p 6 e ln x.dx ln(x + 1).dx d/ ò ; e/ ò1 ; 0 (x + 1)2 x +1 1 ĐS: a/ 1 (1 - 2 ln 2 ); 2 b/ d/ 2 ln 4 - 4 2 + 4; f/ ò 1 (2e - e2 ); 2 e/ 0; ln(lnx).dx ; x e3 c/ òe2 ln(sin x).dx cos2 x c/ ln f/ 27 ; 4e 3 3 3 p ln - 3 2 6 Bài 35 Tính các tích phân sau: a/ c/ p 2 0 ò log 2 (1... ò0 , m Ỵ N* c/ p - 4; 1 - 1 2 m Bài 29 Tính các tích phân sau: a/ d/ dx 4 ò2 x 2 ò-1 16 - x 2 ; b/ x 2 4 - x 2 dx; 1 ỉ pư ĐS: a/ - ln ç tg ÷ ; 4 è 12 ø d/ 5p 3 ; 6 4 dx 6 ò2 3 x x2 - 9 1 c/ ò x3 1 + x2 dx; ; 0 2 e/ ò x (x 2 + 4)3 dx; f/ ò 0 b/ p ; 18 e/ x 2 (3 - x 2 )3 2 ( 2 - 1); 15 32 (4 2 - 1); 5 c/ 0 3 2 f/ 9 (4 p + 9 3) 64 Bài 30 Tính các tích phân sau: a/ e/ 4 4 3 3 ò a ò0 x2 - 4 dx; x x 2... 1 1 : vô nghiệm 2 1 · m= :x=1 2 1 · m > : 2 nghiệm 2 ĐS: · m < x Bài 38 Cho I(x) = ò (e2t + e-2t )dt 0 a/ Tính I(x) khi x = ln2 b/ Giải và biện luận phương trình: I(x) = m 15 ĐS: a/ ; b/ x = ln m + 1 + m 2 , "m 8 Bài 39 Giải các phương trình sau với ẩn x (x > 0) : x x x dt p p 1 + ln t a/ ò b/ ò = ; c/ ò et - 1.dt = 2 - ; dt = 18; 2 2 2 t 1 0 2 t t -1 e x d/ ò (2 t -1.ln 2 - 2t + 2)dt = 2 x 0 2 -x... c/ p n-1 ò0 sin p x.cos(n + 1).dx, (n Ỵ N, n ³ 1); b/ ò cosn -1 x.sin(n - 1)x.dx; 0 p 2 cosn 0 ò p 2 0 d/ ò cos n x.sin(n + 2)x.dx x.sin(n + 1)x.dx; ĐS: a/ 0; b/ 0; c/ 0; d/ 1 n +1 Bài 25 Tính các tích phân sau: a/ I = ò ( cos x - sin x )dx; p 2 0 c/ I = ò 5cosx - 4sinx ; (cosx + sin x)3 ĐS: a/ 0; b/ p Bài 26 Đặt: I = ò 6 0 p 2 0 cosn x.dx ; cosn x + sin n x p 2 0 p 2 0 3sin x + 4 cos x dx 3sin 2 . f/ ; 8 p g/ . 4 p Trần Só Tùng Tích phân Trang 115 Vấn đề 8: TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯNG GIÁC (xem lại vấn đề 8 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 20. Tính các tích phân. 2 4 0 4 g(x).dxg(x).dx. p p p = òò Tích phân Trần Só Tùng Trang 114 Vấn đề 7: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ (xem lại vấn đề 7 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 18. Tính các tích phân sau: a/ 4 3 2 0 x1 dx; x9 - + ò . 2 2 e4e11e1 ln. 224(e1) +++ ỉư - ç÷ èø + Tích phân Trần Só Tùng Trang 120 Vấn đề 11: PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Để giải phương trình, bất phương trình tích phân thông thường trước tiên ta cần đi xác đònh tích