VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Hai cách để kiểm tra tính chất nghiệm của phương trình, tính chất nghiệm kép.. Dùng bảng TABLE Mode 7 để khả
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Hai cách để kiểm tra tính chất nghiệm của phương trình, tính chất nghiệm kép
Cách 1 Dùng bảng TABLE ( Mode 7 ) để khảo sát đồ thị hàm số
Ví dụ Ta xét bài toán phương trình sau 2x+ =1 2 x+ 2x−1 (x∈ℝ )
2
x≥ nên ta có bảng sau:
X F(X)
0.5 0.5857
1.5 0.1362
2 0.4395
2.5 0.8377
3 1.2998
3.5 1.8088
4 2.3542
4.5 2.9289
5 3.5178
Từ bảng giá trị trên, ta nhận đấy đồ thị có dấu hiệu như một parabol tiếp xúc với trục hoành tại nghiệm duy nhất
Cách 2 Dùng tính chất đạo hàm
Ví dụ Ta xét bài toán phương trình sau 2x+ =1 2 x+ 2x−1 (x∈ℝ )
Trước hết, sử dụng máy tính CASIO với chức năng SHIFT CALC để tìm nghiệm của phương trình, với
1
x
d
thay giá trị x=1 vào biểu thức đạo hàm cấp 1 của hàm số f x( )=2x+ −1 2 x− 2x−1 và
1
x
d
dx + − − − = =
Do đó kết luận x=1 chính là nghiệm kép của phương trình
Ví dụ 1 [Video]. Giải phương trình ( )
1
x x
−
Ví dụ 2 [Video]. Giải phương trình 2 ( ) 2
2x x + + +3 x 1 4 3− x =6x+2
Ví dụ 3 [Video]. Giải phương trình x2−2x+ +1 2x2− + =x 4 x2+ +x 3
Ví dụ 4 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 3
2x −11x+21 3 4= x−4.
A Phân tích CASIO
2X −11X + −21 3 4X − =4 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =3
2X −11X + −21 3 4X −4 : X − =3 0
08 KĨ THUẬT TÌM NGHIỆM KÉP CỦA PT VÔ TỈ
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
Trang 2Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x=3.
2 3
4
x
−
Ta tính được f ' 3( )=0 Để tính f '' 3( ) ta bấm như sau:
Bấm SHIFT d
4
3
d x
x
Như vậy
( )
( )
( )
3 0
'' 3 0
f
f
=
≠
là nghiệm kép của (1)
Ta cần cân bằng
3 3
3 4 4 3 4.3 4
a b
a
ax b x
a
b x
B Lời giải
ĐK: x∈ℝ (*)
x
3
3
x x
x
= −
− =
Điều này là vô lý nên dấu " "= không xảy ra ⇒T >0
T
3 2
3
15
0
2
x x
x
=
+
3
2
4 4
x
2 2
Trang 32 2
3
3
x x
x
+
Do đó (3) ⇔ =x 3 thỏa mãn (1)
Đ/s: x=3
C Nhận xét
Cũng với hướng làm như trên ta có thể làm mịn hơn như sau:
8
2 2
3
T
3 2
x
T
+
T
+
> ⇒ + > nên (3) ( )2
⇔ − = ⇔ = thỏa mãn (1)
Ví dụ 5 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 3
x − x+ = x− + x−
A Phân tích CASIO
X − X + − X − − X − =
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm
Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x=2
2 3
Ta tính được f ' 2( )=0 Để tính f '' 2( ) ta bấm như sau:
Bấm SHIFT d
3
2
d x
x
Bấm dấu = đợi một lúc máy tính sẽ hiện 5⇒ f '' 2( )= ≠5 0
Như vậy
( )
( )
( )
2 0
'' 2 0
f
f
=
≠
là nghiệm kép của (1)
Trang 4Ta cần cân bằng
1
1 1
2 3 2.2 3
a b
a
ax b x
b a
x
= −
Ta cần cân bằng
3 3
1
3 5
c d
c
cx d x
x
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B Lời giải
ĐK: 3
2
x≥ (*)
x
2
4 4 0
1 2 3
x x T
2
2 0
1 2 3
x T
2
1 2 3
x T
x x
T
+
2
x T
T
+
Đ/s: x=2
PHÂN TÍCH CASIO Phương trình có chứa phân thức nên để nhân liên hợp với phân thức là cực kỳ khó
khăn
Nhưng trước hết, dùng SHIFT CALC ta tìm được nghiệm của phương trình là x=6 và kiểm tra tính chất
1
81 1
1 2
2
x
x
+
−
−
phương trình đã cho Vì thế, trước tiên ta sẽ tạo hằng đẳng thức ( )2
6
x− sau đó giải phương trình còn lại
để tìm nhân tử chung là ( )2
6
Trang 5
Bây giờ, ta chỉ cần xét đến phương trình 2 ( ) ( )
Ta lại xét
1 2
4 1
2
x
x
a
=
=
⇒
2 ∗ ⇔4x −46x+212+4 x−16 x− = ⇔2 0 5x −60x+180+ −x 16 4 x− − −2 x 2 =0
x
+
Vì
x
x
+
LỜI GIẢI Điều kiện: x≥2
x
x
+
Vì
x
x
+
Lời giải:
Điều kiện: 9 1
5≥ ≥x 5 Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm kép x=1
x
2 2
2
⇒
là các
hằng đẳng thức cần tạo nên phương trình đã cho tương đương với:
2
1 0
x x
x
− =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=1
Lời giải:
Trang 6Nên phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( )2
2
4 x+ −1 3 x + 13 x+ −1 8 x−4x+ 2 x− −1 1 =0
2
2
2
2
2
2
2
x
≥ ⇒ + > ⇒
nên phương trình ( )∗ trở thành:
4
x
x
− =
4
x=
2
Lời giải:
Điều kiện: x≥0 Phương trình đã cho tương đương với:
2 2
2
2
2
≥ ⇒ + > ⇒
nên phương trình ( )∗ trở thành:
2
x
=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=4
x + x + x+ = x x + x+ + x + +x
Lời giải:
2 2
2
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
Trang 7( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
1
2
x
− − =
− − =
2
x= +
PHÂN TÍCH CASIO
Kiểm tra điều kiện nghiệm kép với TABLE ( Mode 7 )
Nhập các giá trị
• Start ? START =3.1
• End ? END=4
• Step ? STEP=0.1
Qua bảng bên, ta nhận thấy nghiệm nằm trong lân cận giá trị 3.3
đồng thời hàm số F X( ) có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành Vì
vậy nghiệm x≃3.302774567 là nghiệm kép của F X( )=0
Đồng thời ta lại có: 3 2 ( ) ( 2 )
x +x − x+ = x+ x − x+
Thay x≃3.302774567 vào các căn thức ta được:
2 2
x
x
≃
≃
≃
≃
2
x+ − x − x+
LỜI GIẢI Điều kiện: x≥ −2
x +x − x+ = x+ x − x+ = x+ x − x+ Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:
2 2
2
2
2
2
x= +
X F X( )
5.919.10−
4.346.10−
5.366.10−