• Khi giải phương trình f x =0, để kiểm tra tính chất nghiệm có nghiệm bội ba hay không, ta thực hiện theo các bước sau: o Sử dụng TABLE để kiểm tra phương trình, ta thấy phương trình có
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) NGHIỆM BỘI BA
• Dạng của bài toán nghiệm bội ba ( ) ( )3
x−α g x
• Khi giải phương trình f x( )=0, để kiểm tra tính chất nghiệm có nghiệm bội ba hay không, ta thực hiện theo các bước sau:
o Sử dụng TABLE để kiểm tra phương trình, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất
x=α
o Sử dụng chức năng để kiểm tra tính chất nghiệm bội:
Nếu ( '( ) ) 0
x
d
dx =α ≠ suy ra x=α là nghiệm đơn
Nếu ( '( ) ) 0
x
d
dx =α = suy ra x=α là nghiệm bội ba
o Để tìm liên hợp cho n g x( ) trong bài toán, ta thực hiện các bước sau:
Đặt n ( ) 2
( )
'
2 n
x
g x d
a
dx n g x
α
=
=
, (n ( ) ) 2
x
d
=
Tìm được các giá trị , ,a b c ta sẽ tìm được biểu thức liên hợp
o Hoặc có thể kiểm tra nghiệm bội bằng cách tìm giới hạn như sau:
2) HAI NGHIỆM KÉP HỮU TỶ
• Dạng của bài toán nghiệm bội ba ( ) (2 ) ( )2
x−α x−β g x
• Khi giải phương trình f x( )=0, để kiểm tra tính chất nghiệm có hai nghiệm kép hữu tỷ hay không, ta thực hiện theo các bước sau:
o Sử dụng TABLE để kiểm tra phương trình, ta thấy phương trình có hai nghiệm x
x
α β
=
=
o Sử dụng đạo hàm để kiểm tra tính chất nghiệm bội:
Ta có đạo hàm f '( )x
Nhận thấy rằng f '( ) α = f '( ) β =0
• Để tìm nghiệm ta sẽ có hai hướng chủ đạo đó chính là LIÊN HỢP hoặc đưa phương trình về dạng TÍCH CÁC SỐ HẠNG
9x −12x −7x −6x− +16 4 x+3 x + + =x 2 0 x∈ℝ
PHÂN TÍCH CASIO Với chức năng SHIFT CALC hoặc TABLE ta sẽ tìm được hai nghiệm của
phương trình đã cho như sau:
-5 6926.4 -4 2953 -3 992
09 BIẾN DẠNG NGHIỆM KÉP, NGHIỆM BỘI BA
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
Trang 2Nhập ( ) 4 3 2 ( ) 2
• Start = −5
• End =5
• Step =1
Ta nhập thấy phương trình có một nghiệm x=1 đồng thời kiểm tra bằng
chức năng SHIFT CALC ta có được 1
3
x= − Bây giờ ta sẽ đi kiểm tra tính chất nghiệm bằng cách:
2
2
x x
+ +
• Nhận thấy ( ) 1
3
= − =
Suy ra là hai nghiệm kép của phương trình đã cho 1; 1
3
x= x= − Khi đó ta có ( ) (2 )2
x− x+ và đi tìm biểu thức liên hợp cho căn x2+ +x 2 như sau:
x+ x + + =x ax +bx+c
• Với hai nghiệm 1; 1
3
x= x= − ta có hệ phương trình
8
a b c
+ + =
• Với điều kiện nghiệm kép 1; 1
3
x= x= − ta được 9a+5b+ =c 28
• Do đó suy ra 5; 5; 17
a= b= c= Nên biểu thức liên hợp là
4 x+3 x + + −x 2 5x −10x−17
Nên phương trình đã cho tương đương với
9x −12x −2x +4x+ +1 4 x+3 x + + −x 2 5x −10x−17=0
4 x+3 x + + +x 2 5x +10x+16>0 nên suy ra 1; 1
3
x= x= −
Hoặc với nghiệm kép hữu tỷ 1; 1
3
x= x= − ta có thể tạo nhân tử bằng cách như sau:
2
2
a b
a b
+ =
2
2 x + + − −x 2 x 3
Sau đó thực hiện phép chia đa thức đó là:
2 2
+ + − −
2 x + + + +x 2 x 2 2 x + + + +x 2 x 4 =0 vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1; 1
3
x= x= −
-2 216 -1 15.313
0 0.9705
2 48.568
3 397.79
4 1515.3
Trang 3Ví dụ 2. Giải phương trình 3 2 2 ( )
PHÂN TÍCH CASIO Sử dụng chức năng TABLE ( mode 7 ) của máy tính để tìm nghiệm của phương
• Start =0
• End 10=
• Step =1
Ta được bảng giá trị
cũng như đồ thị như
sau: Nhận thấy rằng
1
x= chính là nghiệm
duy nhất của phương
trình đã cho Và bây
giờ ta sẽ đi kiểm tra
Tính chất nghiệm là:
Cách 1 Tính giới hạn của hàm số
1
1
x
x
→
−
•
2 1
1
x
x
→
−
•
3 1
1
x
x
→
−
Cách 2 Kiểm tra bằng đạo hàm
2
4 2 3
x
−
− + và thấy rằng
( ) ( )
1
' 1 0
x
f d
=
=
Do đó ta kết luận x=1 chính là nghiệm bội bậc ba của phương trình đã cho
Tiếp theo ta sẽ đi tìm biểu thức liên hợp của x2 −3x+3 như sau:
• Ta có giá trị của a b c là: , , ( )
( ) 1
8
2
x
f x d
a
dx n f x
=
( )
2
4
x
d
=
8
x
c= f x =α −aα −bα = Nên biểu thức liên hợp chính là 8 x2 −3x+ −3 3x2+10x−15
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
3
Và chú ý các điều sau:
•
2
− + = − + > ∀
3
x − x+ = − x − x + x− ≥ ⇔ x − x + x− ≤ ⇔ ≤x
3 9.8564
4 25.166
5 52.844
6 98.66
7 168.54
8 268.45
9 404.39
10 582.35
Trang 4Do đó phương trình ( ) ( )3
33 9
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=1
PHÂN TÍCH CASIO Sử dụng chức năng TABLE ( mode 7 ) của máy tính để tìm nghiệm của phương
trình đã cho Ta nhập ( ) ( ) 3 2
• Start =0
• End 10=
• Step =1
Ta được bảng giá trị
cũng như đồ thị như
sau: Nhận thấy rằng
1
x= chính là nghiệm
duy nhất của phương
trình đã cho Và bây
giờ ta sẽ đi kiểm tra
Tính chất nghiệm là:
Kiểm tra bằng đạo hàm
Ta có ( )
2 3
− +
và thấy rằng
( ) ( )
1
' 1 0
x
f d
=
=
Do đó ta kết luận x=1 chính là nghiệm bội bậc ba của phương trình đã cho
Tiếp theo ta sẽ đi tìm biểu thức liên hợp của 33x2 −3x+1 như sau:
• Ta có giá trị của a b c là: , , ( )
( ) 1
'
0
2
x
f x d
a
dx n f x
=
( )
x
d
=
0
x
=
Nên biểu thức liên hợp chính là 33x2 −3x+ −1 x
Khi đó phương trình đã cho trở thành: ( ) 3 2
2 3
3 3
2
3 3
2
1
1
x x
x
−
+
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=1
2 0.1581
3 0.7239
4 1.6677
5 2.952
6 4.5474
7 6.4309
8 8.5839
9 10.99
10 13.638
Trang 5Ví dụ 4. Giải phương trình 3 2 ( ) 3 2 ( 2 ) ( )
x − x + − + +x x x +x − − =x x + −x x∈ℝ
PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện của bài toán
3 2
3 2
2
2 0
x
⇔ ≥
+ − − ≥
Bước 1 SHIFT CALC x=2
2.25992105
x
⇒ =
Bước 2 Thay vào căn
3 2
2 2 1.25992105
x − x + − =x
Do đó, đánh giá
3 2
x − x + − = −x x
Do đó phương trình đã cho tương đương với
x − x + − − + + +x x x x +x − − −x x+ =
3 2
3
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 3
Ví dụ 5. Giải bất phương trình 2x3+4x2 +4x− 316x3+12x2 +6x− ≥3 4x4 +2x3−2x−1
PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện của bài toán x≥0
0.793700526
x
⇒ =
3 2
2x +4x +4x =2.587401052
Do đó, đánh giá
3 2
2x +4x +4x =2x+1
2
3
3
2x+ −1 16x +12x +6x−3
Do đó bất phương trình đã cho tương đương:
3
4 2 1
x x
3
g x = x+ + x+ x + x + x− + x + x + x−
Vì x ≥0 suy ra f x ≥( ) 1, g x >( ) 0 nên
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương 3
3
0;
x
x x
≥
Trang 6Ví dụ 6. Giải phương trình 4 3 2 ( ) 2 ( )
9x −12x −7x −6x− +16 4 x+3 x + + =x 2 0 x∈ℝ
PHÂN TÍCH CASIO Với chức năng SHIFT CALC hoặc TABLE ta sẽ tìm được hai nghiệm của
phương trình đã cho như sau:
• Start = −5
• End =5
• Step =1
Ta nhập thấy phương trình có một nghiệm x=1 đồng thời kiểm tra bằng
chức năng SHIFT CALC ta có được 1
3
x= − Bây giờ ta sẽ đi kiểm tra tính chất nghiệm bằng cách:
• Tính
2
2
x x
+ +
• Nhận thấy ( ) 1
3
= − =
Suy ra là hai nghiệm kép của phương trình đã cho 1; 1
3
x= x= − Khi đó ta có ( ) (2 )2
x− x+ và đi tìm biểu thức liên hợp cho căn x2+ +x 2 như sau:
x+ x + + =x ax +bx+c
• Với hai nghiệm 1; 1
3
x= x= − ta có hệ phương trình
8
a b c
+ + =
• Với điều kiện nghiệm kép 1; 1
3
x= x= − ta được 9a+5b+ =c 28
• Do đó suy ra 5; 5; 17
a= b= c= Nên biểu thức liên hợp là
4 x+3 x + + −x 2 5x −10x−17
Nên phương trình đã cho tương đương với
9x −12x −2x +4x+ +1 4 x+3 x + + −x 2 5x −10x−17=0
4 x+3 x + + +x 2 5x +10x+16>0 nên suy ra 1; 1
3
x= x= −
Hoặc với nghiệm kép hữu tỷ 1; 1
3
x= x= − ta có thể tạo nhân tử bằng cách như sau:
2
2
a b
a b
+ =
2
2 x + + − −x 2 x 3
Sau đó thực hiện phép chia đa thức đó là:
2 2
+ + − −
-5 6926.4 -4 2953 -3 992 -2 216 -1 15.313
0 0.9705
2 48.568
3 397.79
4 1515.3
Trang 7Và chú ý rằng phương trình ( 2 )( 2 )
2 x + + + +x 2 x 2 2 x + + + +x 2 x 4 =0 vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1; 1
3
x= x= −
Ví dụ 7. Giải phương trình 3x(2 x− −2 x+ +3) 40 x− +2 42 x+ =3 24 (x−2)(x+ +3) 80
PHÂN TÍCH CASIO Với chức năng SHIFT CALC hoặc TABLE ta sẽ tìm được hai nghiệm của
phương trình đã cho như sau: Nhập hàm số
• Start =0
• End 10=
• Step =1
Ta nhập thấy phương trình có một nghiệm x=6 đồng thời kiểm tra bằng
chức năng SHIFT CALC ta có được 2.444444444 22
9
Bây giờ ta sẽ đi kiểm tra tính chất nghiệm bằng cách:
x
+
• Nhận thấy ( ) 22
9
= =
Suy ra là hai nghiệm kép của phương trình đã cho 1; 1
3
x= x= − Khi đó đi tìm biểu thức nhân tử cho hai căn như sau:
• Ta đặt x− +2 a x+ +3 b
• Với hai nghiệm 1; 1
3
x= x= − ta có hệ phương trình
2
2 7
4 0
3 3
a b
a b
a b
+ + =
⇔
=
• Nhân tử sẽ là ( )2
x− − x+ + Sau đó thực hiện phép chia đa thức đó là:
Nên phương trình đã cho tương đương với
2
2
22
9
x
x
=
=
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2; 22
9
x= x=
Ví dụ 8 Giải phương trình 2x3−6x2+8x+ =1 3 6x2+ +2 39x2+9x+9
2 0.4984
3 0.0454
4 0.0824
5 0.0355
7 0.0597
8 0.2774
9 0.6985
10 1.3563
Trang 8A Phân tích CASIO
Tương tự như nghiệm kép của phương trình, ta có kết quả sau:
Phương trình f x( )=0 có nghiệm bội ba x=a khi
( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( )
0
0
f a
f a
f a
f a
=
=
Nhập vào máy tính 2X3−6X2+8X + −1 36X2+ −2 3 9X2+9X + =9 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1
Nhập vào máy tính
0 1
X
−
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm
Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x=1
Kiểm tra
( )
( )
( ) ( ) 3 ( )
1 0 ' 1 0
1 '' 1 0
1 0
f
f
x f
f
=
⇒ =
=
≠
là nghiệm bội ba của (1)
1
2 3
1
6 2 12 6.1 2 12.1 1
a b
a b
1
9.1 9.1 9 3
1
2 1
c d
c x
d c
=
=
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B Lời giải
ĐK: x∈ℝ (*)
x+ − x + + + −x x + x+ − x− + x − x + x+ = (2) Đặt ( ) (2 )3 2 ( 2 )2 3 2 2 ( 2 )2
Ta có
2
+ + = + + >
3
2
2
Do đó (2) ( 1)3 (6 2 2) ( 2)3 (9 2 9 9) ( 3 2 )
Trang 9( )
3
x
Với M N, 0 1 1 2 0
> ⇒ + + > nên (3) ( )3
⇔ − = ⇔ = thỏa mãn (*) Đ/s: x=1
C Nhận xét
Để tìm lượng cân bằng ax b+ =3 6x2+2 ta còn một cách khác như sau:
ax b+ − x − =a x + a x b+ axb + −b x −
3 3 ( 2 ) 2 2 3
Ta cần phân tích 3 3 ( 2 ) 2 2 3
a x + a b− x + ab x b+ − để chứa ( )3 3 2
x− = −x x + x− Đồng nhất thức
3 3
2
0 2
a b
a b a b ab a b a ab b ab a b
a b ab
+ =
a b
= −
Từ đó ta tìm được a= =b 1 thỏa mãn Chú ý, ta ngầm hiểu với nhau là a>0
Ví dụ 9 Giải phương trình 2 ( ) 3 2
A Phân tích CASIO
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1
0 1
X
=
− Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm
Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x=1
Kiểm tra
( )
( )
( ) ( ) 3 ( )
1 0 ' 1 0
1 '' 1 0
1 0
f
f
x f
f
=
⇒ =
=
≠
là nghiệm bội ba của (1)
1
2 3
1
6 2 12 6.1 2 12.1 1
a b
a b
Quan sát (x−1) 2x−1 đã có x−1
Ta cần cân bằng cx+ =d 2x−1 để khi liên hợp có nhân tử ( )2
1
x− (nghiệm kép)
Trang 10.1 2.1 1 1
1
0 1
2 2 1 2.1 1
c d c
x
=
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B Lời giải
ĐK: 1
2
x≥ (*)
Đặt ( ) (2 )3 2 ( 2 )2
2
T = +x + +x x + + x + > ∀ ≥x
Ta có ( ) 2 ( ) ( )3 ( 2 )
2 1
2 1
x
T
x
T
Với 1
2
2 1
T
T
> ⇒ + >
+ − nên (2) ⇔ =x 1 thỏa mãn (*) Đ/s: x=1
Ví dụ 10 Giải phương trình 2 ( )
x + x− =x x− + +x x−
A Phân tích CASIO
X + X− −X x− − X + X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2
X + X − −X x− − X + X − X− = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1
X − + −X X − − X + X − X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm
Như vậy (1) có hai nghiệm là x=1 và x=2⇒ (1) có nhân tử ( )( ) 2
Ta cần cân bằng ax b+ = 5x−1 khi biết hai nghiệm x=1, x=2
1
a b
+ = − =
Ta cần cân bằng cx+ =d 3x−2 khi biết hai nghiệm x=1, x=2
0
d
+ = − = =
=
x x− x− + +x x+ − x− − − +x x + +x x− =
2
2
Trang 11( 2 ) 1
+
+
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2
X
+
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1
+
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm
T
+
T
+
Lượng cân bằng thích hợp lại xuất hiện và lời giải bài toán được bắt đầu
Một hướng tiếp cận khác như sau:
Kiểm tra được (1) có 2 nghiệm kép x=1, x=2 như trên
Quay trở lại việc cân bằng ban đầu, ta thấy lượng cân bằng này là chưa đủ mạnh, cần cân bằng mạnh hơn
để được luôn 2 nghiệm kép x=1, x=2
Tư duy 1 Liên hợp nghiệm kép x=1 trước sau đó liên hợp nghiệm kép x=2
Hướng này có vẻ khá khó khăn vì ta có thể hình dung được ngay khi liên hợp nghiệm kép x=1 trước thì biểu thức trong dấu ngoặc còn lại rất phức tạp
Tư duy 2 Ta nghĩ đến đại lượng ( )2
x− x− và ( )2
x+ − x− Hướng này có vẻ khả quan vì vế trái của (1) đã có sẵn x 3x− + +2 (x 1) 5x−1
2 x 5x 1 2x 3x 2 2 x 1 5x 1
Tuyệt vời là ( 2 ) ( ( )2 ) 2
Từ đó ta có ngay ( ) (2 )2
x− x− + + −x x− và lời giải bài toán được bắt đầu
B Lời giải
ĐK: 2
3
x≥ (*)
2 x 5x 1 2x 3x 2 2 x 1 5x 1
Trang 12( )
2
2
2 3
2
x
x
≥
=
thỏa mãn (*)
Đ/s: 1
2
x
x
=
=
Lời giải 2
ĐK: 2
3
x≥ (*)
2
2
+
2
1
1 0 (3)
− + =
2
x
x
=
− + = ⇔
=
thỏa mãn (*)
+
0
2 2
0
0
2
2
x
x
=
=
thỏa mãn (*)
Đ/s: 1
2
x
x
=
=