Định lý cơ bản của vi tích phân và ứng dụng

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA VI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Thầy Aki Le – ĐH Pôn Pa Trong viết nhỏ này, trình bày định lý Vi tích phân đưa số ứng dụng Ở đây, tơi muốn đưa góc nhìn liên quan định lý khơng có định hướng đến việc hệ thống kết theo trật tự có hệ thống Định lý Vi tích phân Để tránh phiền hà, viết tơi khơng đưa định nghĩa tích phân xác định Bạn đọc tham khảo cách tiếp cận khác giáo trình giải tích, chẳng hạn sử dụng nguyên hàm; sử dụng tổng Riemann; sử dụng tổng Darboux Trong viết này, sử dụng số ký hiệu sau:  F ( x) x=a để thay cho F (a) d F ( x) để thay cho F ( x) số trường hợp cần thiết dx Ở đây, ngồi việc thừa nhận định nghĩa tích phân, ta cịn thừa nhận số tính chất tích phân như:  Với f g thỏa  b 1)  b 2)  b 3) a a a b a b f ( x)dx,  g ( x)dx tồn số thực c, d , ta có kết bổ trợ a 0dx = 0, b b a a (cf ( x) + dg ( x))( x)dx = c  f ( x)dx + d  g ( x)dx , c b f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx a c 4) Nếu f ( x)  g ( x) với x [a; b]  c a  b a  f ( x)dx b c f ( x)dx tồn b f ( x)dx   g ( x)dx a Các tính chất khác tích phân sử dụng chứng minh lại Ở đây, ta qui ước:  a a f ( x)dx =  b a a f ( x)dx = −  f ( x)dx a  b b Trong lĩnh vực số học, định lý phân tích số tự nhiên thừa số nguyên tố Định lý Số học Trong Đại số, định lý tồn nghiệm (phức) đa thức bậc lớn với hệ số phức định lý Đại số Tương tự vậy, Giải tích/ Vi tích phân có định lý gọi Định lý Vi tích phân Định lý cầu nối hai vấn đề trung tâm lĩnh vực Vi tích phân (đạo hàm tích phân) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Định lý (Định lý Vi tích phân) hàm liên tục Khi Cho f :[a, b] → i) G ( x) :=  x  f (t )dt , x  [a, b] nguyên hàm hàm f [a; b], nghĩa G ( x) = f ( x) với a x  [a; b] ii) Với nguyên hàm F f [a; b] , ta có  b a f ( x)dx = F ( x) a := F (b) − F (a) (*) b Chứng minh định lý bỏ qua việc chứng minh tùy thuộc vào định nghĩa tích phân Thậm chí SGK Giải tích 12 sử dụng định lý định nghĩa tích phân xác định Một số nhận xét: • Ở đạo hàm a ( b ) G hiểu đạo hàm phải (đạo hàm trái) định nghĩa dựa vào mở rộng hàm G (c; d )  [a; b] • Phần thứ nhất, i), Định lý Vi tích phân viết lại dạng d dx • ( x a ) f (t )dt = f ( x) Phần thứ hai, ii), Định lý Vi tích phân biết cơng thức Newton- Leibniz phát biểu lại: Nếu F có đạo hàm liên tục [a; b]  b a • F  (t )dt = F (b) − F (a) “Định lý Vi tích phân” tên gọi cho định lý cụ thể cách chung chung cho định lý Vi tích phân Nó có vai trị quan trọng việc kết nối hai khái niệm quan trọng bật Vi tích phân, đạo hàm tích phân Đồng thời định lý cho ta liên hệ tích phân xác định tích phân bất định • Theo phần thứ Định lý, ta có G ( x) =  x a f (t )dt nguyên hàm f [a; b] b b a a G (b) =  f (t )dt Điều mâu thuẫn với phần thứ hai Định lý: G (b) − G (a ) =  f (t )dt Tuy nhiên điều khơng có điều bất ổn Ta có G (a ) =  b a f (t )dt = G (b) − G (a) = G (b) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  a a f (t )dt = Do đó, NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM • Đẳng thức (*) không phụ thuộc vào nguyên hàm chọn Thật vậy, giả sử H nguyên hàm khác f [a; b] ; đó, theo định lý giá trung bình, ta nhận H = F + C [ a; b] với C hàm số thực (có thể xem hàm hằng), b H (b) − H (a) = ( F (b) + C ) − ( F (a) + C ) = F (b) − F (a) =  f (t )dt a Một số hệ Định lý Vi tích phân Hệ Mọi hàm liên tục đoạn có ngun hàm đoạn  Ví dụ Tính f (0) với f ( x) =  x e t dt x Bình luận Phần thứ Định lý Vi tích phân dẫn đến g ( x) = e có nguyên hàm Tuy nhiên, ta biết hàm khơng có ngun hàm sơ cấp Chính thế, ta khơng cố gắng bỏ cơng sức để tìm cơng thức tường minh, hình thức đơn giản, f ( x) = f Tuy vậy, ta dễ dàng tìm x e t2 dt từ ta tính đạo hàm hàm f  (0) nhờ vào Định lý Vi tích phân Lời giải  x Áp dụng phần thứ Định lý Vi tích phân, ta nhận f ( x) = e với x  Do  f (0) = e =  1 1 2 x sin   − cos   Ví dụ Cho hàm f ( x) =   x  x 0  x  0, x = Chứng minh f không liên tục f có nguyên hàm (trên  1  x sin   F ( x) =  x 0  ) x  0, x = Lời giải  Ta có f   2k    = −1, f    (2k + 1)  nhiên, lim f  k →  2k   = −1  = lim k →        hội tụ Tuy  = đồng thời dãy  2k  ,     (2k + 1)    f  (2k + 1)   Vì f khơng liên tục  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM 1 x 1 x 1  x Mặt khác, hàm g ( x) = x sin   − cos   đạo hàm h( x) = x sin   {0} Để hoàn tất chứng minh ta cần kiểm tra F nguyên hàm f Thật vậy, với x  0, ta có {0} Do F  (0) = = f (0) F ( x) − F (0) 1 =| x | sin    x Điều dẫn đến x−0 x −x  F ( x) − F (0)  x , x  x−0 Hơn nữa, lim ( − x ) = lim x = x →0 x →0 Khi đó, áp dụng định lý kẹp, ta nhận lim F ( x) − F (0) = Do đó, theo định nghĩa đạo hàm, F (0)  x →0 x−0  tồn F (0) = = f (0)  Ví dụ cho thấy điều kiện liên tục hệ điều kiện đủ không điều kiện cần  Hệ Nếu f có đạo hàm liên tục [a; b] f ( x) = f (a ) + Hệ Cho hàm số u dx (  ) Khi d u ( x) a  x a f  (t )dt với x [a; b] khả vi khoảng I hàm số f liên tục khoảng K chứa a u( I ) f (t )dt = f (u( x))u '( x) với x  I Chứng minh Phần thứ Định lý vi tích phân dẫn đến tồn hàm F nguyên  hàm hàm f khoảng K , nghĩa F ( x) = f ( x) với x  K Áp dụng phần thứ hai Định  u ( x) a d dx x  lý vi tích phân dẫn đến a f (t )dt = F ( x) − F (a) với x  K Hơn nữa, f (t )dt = F (u ( x)) − F (a) nên áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp, ta nhận ( u ( x) a ) f (t )dt = F  (u( x))u ( x) = f (u ( x))u '( x) Hệ Cho hàm f :[a; b] → thỏa f ( x)  với x [a; b]   b a f (t )dt = Khi f ( x) = với x  [a; b] Chứng minh Xét hàm số F ( x) =  x a  f (t )dt [a; b] Ta có F ( x) = f ( x)  với x [a; b] Chính F hàm khơng giảm Do đó, = F (a)  F ( x)  F (b) = với x [a; b] Từ đó, ta thấy F ( x) = với x [a; b] Vì f ( x) = F  ( x) = Nhận xét Kết suy từ kết bổ trợ 4) phương pháp phản chứng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Hệ Cho hàm f :[a; b] → liên tục thỏa f ( x)  với x  [a; b] Khi  b a f ( x)dx  Hệ (Định lý giá trị trung bình cho tích phân) Cho hàm f liên tục [a, b] Khi có số thực c  (a, b) cho b f (t )dt = f (c)  a b−a  Chứng minh Điều cần chứng minh tương đương Ta xét hàm F ( x) =  x a b a f (t )dt = f (c) ( b − a ) f (t )dt [a; b] Hiển nhiên hàm có đạo hàm [a; b] Vì thế, theo định lý  Lagrange, tồn c  (a, b) cho F (b) − F (a) = F (c)(b − a) Điều dẫn đến Nhận xét Đại lượng  b a f (t )dt = f (c) ( b − a )  b f (t )dt “gán” ý nghĩa giá trị trung bình hàm f [a; b]  a b−a Một số ứng dụng Định lý Vi tích phân Bài tốn Cho hàm số f xác định liên tục Tìm giới hạn lim  x →0 x x2 − x f (t )dt Lời giải Xét F ( x) =  x2 − x f (t )dt Ta có hàm F khả vi , F (0) = 0, F  ( x) = f ( x − x)(2 x − 1) Áp định nghĩa đạo hàm Hệ 2, ta nhận x2 − x F ( x) − F (0) f (t )dt = lim = F '(0) = − f (0) x →0 x 0 x →0 x−0 lim Bài toán Cho hàm số f :[0;1] → xác định f ( x) =  x2 − x + t dt với x  Tìm giá trị nhỏ hàm f Lời giải Ta có f  ( x) = (2 x − 1) − ( x − x)  Trên khoảng (0;1), phương trình f ( x ) = có nghiệm x = Hàm liên tục f đạt giá trị nhỏ [0;1] Hơn nữa, ta có   1 min[0;1 f =  f (0), f   , f (1)  2   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM 1 2 Mặt khác f (0) = f (1) =  f   Do min[0;1] f = f (0) = Bài toán Cho số thực a, b c thỏa a + b + c = Chứng minh phương trình ax + bx + c = có nghiệm thuộc [0;1] Lời giải Xét hàm số f ( x) = ax + bx + c Áp dụng Hệ 6, ta có số thực x0  (0;1) cho 1 f (t )dt = f ( x0 ) − 0 Do f ( x0 ) = a + b + c = Từ đó, ta thu điều cần chứng minh Bài toán Cho f :[0;1] → [0;1] hàm liên tục [0;1] Chứng minh phương trình x x −  f (t )dt = có nghiệm [0;1] Lời giải Xét hàm số G ( x) = x −  x f (t )dt − [0;1] Ta có hàm G khả vi (0;1) liên tục [0;1] Ta có G (0) = −1  0, G (1) = −  1 f (t )dt  −  dt = (vì f ( x) [0;1] với x [0;1] ) Do đó, theo định lý giá trị trung gian, tồn c [0;1] cho G(c) = Hơn nữa, (0;1), ta có G  ( x) = − f ( x)  với nghiệm c x  (0;1) Do hàm liên tục G đơn điệu [0;1] Từ đó, ta suy phương trình G( x) = nghiệm phương trình [0;1] Bài tốn Tìm tất hàm số thực f xác định liên tục thỏa x −  x f (t )dt = với x  Lời giải Giả sử tồn hàm f thỏa đề Vì x −  x f (t )dt = với x  nên đạo hàm vế ta nhận − f ( x) = với x  Khi đó, x −  x x f (t )dt = x −  2dt =  đó, khơng tồn hàm f thỏa đề Bài tốn Cho a  hàm f khả vi [0, +) thoả mãn điều kiện: f (0)  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Do NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM f  (x) + af (x)  với x [0; +) Chứng minh f (x)  với x  Lời giải Ta xét g (t ) = e f (t ) [0; ) Ta có g  (t ) = e at ( f  (t ) + af (t ) )  với t [0; +) at  Ta có g ( x) − g (0) = x ax g  (t )dt  với x  Do e f ( x)  f (0)  với x  Từ đó, ta nhận điều cần chứng minh Bài toán Cho hàm số f liên tục đoạn [0,1] thoả mãn điều kiện  x 1− x2 f (t)dt  ,x  [0,1] Hãy chứng minh   f ( x) 2 dx   xf (x)dx Lời giải Xét hàm số F :[0;1] → với F ( x) =  f (t)dt với x [0;1] Khi F (1) = 0, x 1− x2 F ( x) = − f ( x) F ( x)  với x [0,1] Ta cần chứng minh   ( F ( x) )  ( )  (   ) +xF ( x)  dx 0    Vì F ( x) +xF ( x) = F ( x) + x − xF ( x) − x  − xF ( x) − x với x [0;1] nên ( ) ( 2 ) 1    0  F ( x) +xF ( x)  dx  0 − xF ( x) − x dx = − xF ( x) + 0 F ( x)dx − ( ) 1 1   F ( x)dx −   − x dx − = 0 3 Bài toán Cho hàm số liên tục f :[0,1] → [0; +) thoả mãn điều kiện [ f (x)]  + x [0,1] Chứng minh  Lời giải Đặt F ( x) = f (t)dt với x2 f (t)dt  x + , x  [0,1] x   x x  f (t)dt với x [0,1] Ta có F (0) = 0, F ( x) = f ( x)  với x [0,1]  Do F ( x)  + 2F ( x) với x [0,1] Từ đó, ta nhận F  ( x)  với x [0,1] + F ( x) x Sử dụng bất đẳng thức tích phân (kết bổ trợ 4)), ta nhận  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc x F  (t )dt   dt với + F (t ) NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM + 2F ( x) −  x với x [0,1] Chính thế, ta nhận x [0,1] Điều tương đương  x x2 f (t)dt  x + , x  [0,1] Một số toán liên quan Bài toán Chứng minh hàm số g ( x) =  x2 x ds hàm tăng 1;  ) ln s x Bài toán Cho hàm số f  t f (t )dt liên tục dương [0; +) Chứng minh hàm số F ( x) =  f (t )dt x đồng biến [0; +) xác định f ( y) =  Bài toán Cho hàm f xác định 1− y y ( ) x − x + − x + dx với y  Tìm giá trị nhỏ hàm f [0;1] Bài tốn Tìm hàm số thực f xác định liên tục thỏa f ( x) =  x f (t )dt + với x  Bài toán Cho hàm f :[a; b] → [0; ) liên tục có x0  [a; b] thỏa f ( x0 )  Khi Bài tốn Cho hàm số f (x) xác định liên tục [0,1] thoả mãn điều kiện x2  b a   f ( x)  x1 f ( x)dx  dx  x23 − x13 với x1 , x2  [1, 2] cho x1  x2 Chứng minh  f (x)dx  Bài tốn Tìm hàm số thực f xác định liên tục thỏa x −  x f (t )dt = với x  Bài toán Cho hàm f khả vi đoạn [a, b] đồng thời thỏa f (a) = có số không âm C cho f  ( x)  C f ( x) với x [a, b] Chứng minh f ( x) = với x [a, b] Bài toán Cho hàm số liên tục f :[0,1] → tồn số thực  cho x  f (x)    f (t)dt, x  0 Chứng minh f ( x) = với x  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Bài tốn 10 Tìm tất hàm số xác định liên tục (−, +) thoả mãn điều kiện sau: f ( x) − f ( y ) =  x+ y x+2 y f (t )dt , x, y  (−; +)  Bài toán 11 Cho f hàm số thực xác định 1; ) thỏa f (1) = f ( x) = với x + f ( x) x  Chứng minh lim f ( x) tồn nhỏ +  x → Bài toán 12 Cho f :[0,1] → [0,1] liên tục cho: c  (0,1) cho:  1 f ( x)dx =  x f ( x)dx Chứng minh tồn c f (c) =  f ( x)dx Bài toán 13 Cho hàm số f xác định liên tục đoạn [a, b] thoả mãn điều kiện c Chứng minh tồn c  (a, b) cho f (c) = 2005  Bài toán 14 Cho hàm số f :[0,1] → thỏa  f ( x)dx  ( ) a  b a f (x)dx = f (x)dx liên tục  x f ( x)dx = Chứng minh f ( x)dx Bài tốn 15 Cho hàm số f có đạo hàm liên tục [a; b] f (a) = f (b) = , f  ( x)  1, x  [a, b] Chứng minh  b a | f ( x) | dx  (b − a)2 Tài liệu tham khảo [1] Văn Phú Quốc, Bài tập Giải tích dành cho Olympic Toán, Trường Đại Học Quảng Nam [2] Kaczor, W J., and M T Nowak Problems in mathematical analysis 3, Integration American Mathematical Society https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc ... (a) ? ?Định lý Vi tích phân? ?? tên gọi cho định lý cụ thể cách chung chung cho định lý Vi tích phân Nó có vai trị quan trọng vi? ??c kết nối hai khái niệm quan trọng bật Vi tích phân, đạo hàm tích phân. .. := F (b) − F (a) (*) b Chứng minh định lý bỏ qua vi? ??c chứng minh tùy thuộc vào định nghĩa tích phân Thậm chí SGK Giải tích 12 sử dụng định lý định nghĩa tích phân xác định Một số nhận xét: • Ở... trái) định nghĩa dựa vào mở rộng hàm G (c; d )  [a; b] • Phần thứ nhất, i), Định lý Vi tích phân vi? ??t lại dạng d dx • ( x a ) f (t )dt = f ( x) Phần thứ hai, ii), Định lý Vi tích phân biết cơng