Bài tập ví dụ vi tích phân 1b đạo hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN an co ng c om BTC ÔN THI HỌC KỲ KHÓA 2016 du o ng th BÀI TẬP VÍ DỤ VI TÍCH PHÂN 1B u CHƯƠNG: ĐẠO HÀM cu PHẦN: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM  Lâm Cương Đạt Cập nhật: 14/02/2017 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Bài 1: Một máy bay bay theo chiều ngang độ cao dặm, với vận tốc v = 500 dặm/giờ, bay thẳng qua phía trạm radar Tìm tốc độ tăng cự ly máy bay trạm máy bay trạm dặm Ta có h = dặm, D = dặm, D cự ly máy bay trạm radar an co ng c om Ở ta đặt câu hỏi ta biết lúc ta biết máy bay nằm bên phải radar mà khơng bên trái Vì đề hỏi độ tăng cự ly, tức máy bay bay xa trạm th Ta có D  L2  h , đạo hàm hai vế theo biến khoảng cách L (dặm) dL dD L  1 , ta lại có  v   độ tăng khoảng cách theo thời gian dt dL L h (vận tốc) dD Lv  dt L  h2 u Lấy 1     du o ng  cu Khi D = dặm  L  D2  h  Vậy ta có biểu thức độ tăng cự ly theo khoảng cách L, thay L  , h = ta có độ tăng cự ly thời điểm mà khoảng cách máy bay trạm  500  433.0127 (dặm/giờ) 2 1 Bài 2: Nếu cầu tuyết tan chảy cho diện tích bề mặt giảm với tốc độ cm , tìm tốc độ giảm đường kính đường kính 10 cm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Diện tích bề mặt cầu tuyết S    a (cm2) a (cm) đường kính cầu Lấy đạo hàm theo biến đường kính a  Ta lại có 1  2    da  v 1 dt 2a c om Lấy dS  v  1cm dt dS  2a da ng Ta vừa thiết lập mối liên hệ độ giảm đường kính theo thời gian đường kính Thay a = 10 cm, ta có độ giảm đường kính cầu thời điếm đường kính cịn 10 cm  0.0159 cm 210 cu u du o ng th an co Bài 3: Vào lúc 12:00 PM, tàu A cách 150 km phía tây tàu B Tàu A di chuyển phía đơng với tốc độ 35 km/h tàu B di chuyển phía bắc với tốc độ 25 km/h Khoảng cách xe thay đổi theo thời gian vào lúc 4:00PM Ở phát sinh câu hỏi thời điểm t đủ lớn A vượt qua O có cần chia trường hợp Câu trả lời không, ta thiết lập biểu thức, ta thấy rõ điều OA  s A  v A t  150 (km) thời điểm Tại thời điểm t bất kỳ, khoảng cách hai tàu L  s 2A  s B2  Vị trí A B so với O (vị trí ban đầu B) thời điểm t CuuDuongThanCong.com 150  v A t    vBt  Vậy biểu thức thời điểm t https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Lấy đạo hàm theo biến thời gian t (giờ), ta có biểu thức thay đổi khoảng cách L theo dL  150  v A t   v A  v B t thời gian t  2 dt 150  v t    v t  A B Thay t = ta có tốc độ thay đổi khoảng cách hai tàu theo thời gian  150  4v A   v A  4v 2B  21.3933 km h 2 150  4v  4v   B A Đáp số dương cho thấy khoảng cách tăng .c om Bài 4: Một sân bóng chày hình vng với chiều dài cạnh a = 90 ft Một vận động viên bóng chày đánh vào bóng chạy mức với tốc độ 24 ft/s ng a) Khoảng cách so với mức hai giảm với tốc độ mức thứ nhất? cu u du o ng th an co b) Khoảng cách so với mức thứ ba tăng với tốc độ thời điểm? a) Khoảng cách vận động viện so với mức thời điểm t (s) (khi vận động viên chưa chưa đến mức 1) L2  a  v  t   a (ft) Lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t   a  v  t    v  (ft/s) dL2  dt a  v  t   a2 a Thay t  t  thời gian kể từ lúc ném đến người chạy đến mức vị v trí ném Tại thời điểm t , độ thay đổi khoảng cách người với mức theo thời gian CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 a    a  v     v  24 2v      10.733 ft , dấu trừ thể khoảng cách giảm s a   a  v   a 2v   giảm với “vận tốc” có độ lớn 24  10.733 ft s b) Tương tự ta có khoảng cách vận động viên so với mức thời điểm t (khi vân động viên khoảng từ vị trí ném đến mức 1) c om dL L3   v  t   a , lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t   dt 2 v2 t v t  a2 ng th an co ng a Thay t  t  thời gian kể từ lúc ném đến người chạy đến mức vị v trí ném Tại thời điểm t , độ thay đổi khoảng cách người với mức theo thời gian a v2  24 2v   10.733 ft , đáp số dương thể khoảng cách tăng s a   v   a  2v  du o tăng với “vận tốc” có độ lớn 24  10.733 ft s cu u Bài 5: Độ cao tam giác gia tăng với tốc độ cm/min diện tích tam giác gia tăng với tốc độ cm Cạnh ứng với chiều cao (cạnh đay) tam giác thay đổi với tốc độ độ cao tam giác 10 cm diện tích 100 cm Đặt cạnh đáy a (cm), chiều cao h (cm), diện tích S (cm2) thay đổi theo thời gian t (min) Ta có dh dS  cm  cm2 , dt dt Ta có S  2S a h  a  Lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t h CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 da dS 2S dh , thay h = 10 cm S = 100 cm vào ta tìm tốc độ thay đổi độ   dt h dt h dt 2 100 dài cạnh đáy 2 1   cm , đáp số âm cho thấy độ dài đáy 10 10 giảm chiều cao tăng nên diện tích tăng, khơng có điều nghịch lý  c om Bài 6: Một thuyền kéo vào bến tàu sợi dây gắn vào mũi thuyền qua ròng rọc bến tàu, mà cao 1m so với mũi thuyền Nếu sợi dây kéo vào với tốc độ m/s thuyền tiến đền gần đến bến tàu nhanh cách bến tàu 8m ng Gọi D (m) chiều dài dây từ ròng rọc đến mũi thuyền, D thay đổi theo thời gian t (s) dD  v  m s vận tốc kéo thuyền dt ng Ta có Ta có L  D2  h th an co Xét thời điểm t bất kỳ, lúc thuyền chưa cập bến du o dL dL dD D dD Dv      2 dt dD dt D  h dt D2  h cu u Tại thời điểm L = m D  L2  h  65 Thay D ta có vận tốc thuyền thời điểm L = m dL  dt 65 1 65  12  65 m s   Bài 7: Một hạt di chuyển dọc theo đường cong y  2sin  x  Khi hạt qua điểm 2  1   ,1 tọa độ x tăng với tốc độ 10 cm s Khoảng cách từ hạt tới gốc tọa độ thay đổi 3  nhanh thể CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Vector vận tốc hạt (vector màu xanh) phân tích thành vetor thành phần màu đỏ hai phương Ox Oy Vì đề nói vận tốc hồnh độ tăng nên vector vận tốc theo phương Ox (vector màu đỏ ngắn hơn) phải hướng theo trục Ox Vì ta xác định chiều mà hạt chuyển động dx  10 cm s , vận tốc phương Ox dt c om Ta có v x  co Vậy ta có vận tốc hạt so với gốc tọa độ ng Tìm vận tốc phương Oy Ta có dy       dx   y  2sin  x   v y     cos  x      cos  x   v x , đạo hàm hai vế theo dt 2    dt 2  biến thời gian t 2         v  v  v     cos  x   v x   v 2x  v x     cos  x    2       an y th x ng     Thay x  , ta có v  10     cos       9.166 cm s    cu u du o Bài 8: Một máng nước dài 10 m, mặt cắt ngang có hình dạng hình thang cân đáy rộng a = 30 cm, đáy rộng b = 80 cm, có chiều cao H = 50 cm Nếu máng bơm đầy nước với tốc độ 0.2 m3 Mực nước tăng lên nhanh nước sâu 30 cm Ta có AK a   AK  30 cm (tam giác đồng dạng) AK  H b Ta có : ED AK  h AK  h AK  h   ED  BC   b BC AK  H AK  H AK  H Thể tích phần nước máng thời điểm t mà mực nước có độ cao h (h < H) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Công nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 V 1  AK  h    a  ED   h  L    a  b  h L 2  AK  H   b  AK  h2  a  h L  bL  AK  H  AK  H Lấy đạo hàm hai vế theo biến độ sâu h   v co    dh  1 dt   a  b  AK  h L  bL AK  H  AK  H an Lấy ng Ta lại có độ biến thay đổi thể tích theo thời gian dV  v  0.2 m3  200 000 cm3   dt c om dV  b  AK  h  a  1 L  bL dh  AK  H  AK  H du o ng th Thay h = 30 cm số liệu khác, ta có độ tăng mực nước theo thời gian thời điểm t 200000 10 cm  mà mực nước cao h = 30 cm  80  30  30   30   1000  80 1000   30  50  30  50 Bài 9: Một hồ chứa nước có hình mặt cắt ngang hình thang BCED hình vẽ, dài 20 m, rộng m, chỗ sâu có độ sâu m Nước bơm vào hồ với lưu lượng v  0.025 m Mức nước dâng cao nhanh lúc mực nước hồ 1.6 m u  cu  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  1, tan   3 an Ta có tan   co ng c om Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 18 (m) 11 th Ta lại có AH  tan   tan     AH  du o ng 1 18 54 Diện tích tam giác ADE SADE  AH  DE     (m ) 2 11 11 Diện tích tam giác ABC cu u 1  AH  h   BC   AH  h    AH  h    tan   tan    2   AH  h   tan   tan   SABC  Vậy thể tích bể chứa theo chiều cao h V   SABC  SADE   r  54  AH  h   tan   tan    r  11 với r chiều rộng bể r = m Đạo hàm hai vế theo biến h CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 dV   AH  h  tan   tan    r dh (1) Mà ta lại có tốc độ biến thiên thể tích theo thời gian lưu lượng nước bơm vào hồ  dV  v  0.025 m dt (2) (2) dh v 0.025    (1) dt  AH  h  tan   tan    r  18     h     11   c om Lấy  Thay h = 1.6  ng Vậy thời điểm mà mực nước h=1.6 m độ thay đổi mực nước  cu u du o ng th an co dh 0.025    0.00035 m 18 dt  2848     1.6     11   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... tốc độ thời điểm? a) Khoảng cách vận động vi? ??n so với mức thời điểm t (s) (khi vận động vi? ?n chưa chưa đến mức 1) L2  a  v  t   a (ft) Lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t   a  v... b) Tương tự ta có khoảng cách vận động vi? ?n so với mức thời điểm t (khi vân động vi? ?n khoảng từ vị trí ném đến mức 1) c om dL L3   v  t   a , lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t   dt... nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ơn thi Học kỳ – Khóa 2016 Diện tích bề mặt cầu tuyết S    a (cm2) a (cm) đường kính cầu Lấy đạo hàm theo biến đường kính a  Ta lại có 1  2    da  v 1