Bài tập vi tích phân a2

3 Cho Giới hạn của hàm hai biến.. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: 4... Tính dz và dx.. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của z... bằng phương pháp đổi biến... TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘ

BÀI TẬP VI TÍCH PHÂN A2

1) Tìm miền xác định của các hàm số:

a) z = x2 + y2 b) z = 1−x2 −y2 c 2 2 1 ln(4 2 2)

y x y

x

)

2

2 2

2 2

2

1

c

z b

y a

x

r y x z z

y x R

u= − − − + + + − (0 < r < R) e)

)

d

x

y xy y x

f( , )= + Tìm f(y,x); f(- x, - y); (1, )

x

y f

2) Cho hàm số:

xy

y x y x

f

2 ) , (

2

2 −

= Tính (1,1)

y x

f , f(- x, -y)

3) Cho

Giới hạn của hàm hai biến

1) Tìm các giới hạn sau:

a) lim( 2 2 2 6 4)

3

→

y

3

y

→

1 1 (

lim

2 2

2 2

0

+

→

y x

y

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

≠ +

=

) 0 , 0 ( ) , ( , 0

) 0 , 0 ( ) , ( ,

2

2 2

y x

y x y x

xy z

2) Xét sự liên tục của hàm tại O(0,0):

Đạo hàm và vi phân

1) Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:

a) z = x2y + 3xy4 +4y2 b) z = xy (x > 0) c) u x y z= + + − x2 +y2 +z2

2) Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:

a) z = (sinx)xy (sinx > 0) b) z ln(x= + x2 +y )2 c)

1 u

=

a) z 10= x 2 − y 2 b) xy( x 2 y ) 2 2 y

x

+

3) Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:

4) Cho z = yln(x2 – y2) Chứng minh rằng: 1 z 1 z z2

Hàm khả vi và vi phân toàn phần

1) Tìm vi phân của hàm số sau: z = xy2

2) Tìm vi phân toàn phần của hàm số sau: z arctgx

y

= 3) Tìm vi phân toàn phần của hàm số sau: z = yx + xy, với y > 0

4) Cho

1 u

=

+ + 2 Tính du

Ứng dụng của vi phân

Tính gần đúng giá trị của biểu thức: A ln( 1,03= 3 + 0,98 1)− , A = (0,98)2 +(0,03)3

Đạo hàm của hàm hợp:

1) Cho z = eu.sinv, với u = x2 + y2, v = xy Tính z, z

∂ ∂

2) Cho hàm z = (1 + xy)y, x = u2 – v2, y = u + v Tính z, z

∂ ∂

3) Cho z = ex.siny với x = uv, y = u + v Tính z, z

∂ ∂

4) Cho z x= 3 + y trong đó y = sin2x Tính dz

dx 5) Cho hàm z = sin2(x + y2), trong đó x = cos3t, y = sin3t Tính dz

dt

Đạo hàm của hàm ẩn:

1) Tính y’x, biết: a)

1

a + b = b) y + tg(x + y) = 0 2) Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z = z(x,y) các định bởi pt: x2 + y2 + z2 = 1

3) Tính các đạo hàm riêng của hàm z, biết:

a) x2 + z3 – 3xyz = a3 b) z3 – x3 – y3 = a3 c) x3 + y3 – z3 = sin(xyz)

4) a) x3 + y3 + ln(x2 + y2) = a2 Tính y’ b) y siny y

x + x = Tính dx

dy

c) x zlnz

y

= Tính dz và dx d) xey + yex – xez = 1 Tính dz

Đạo hàm và vi phân cấp cao:

1) Tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của: a) z = 2x2y3 b) z = sinx.cosy 2) Cho hàm z e= x y + 2 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của z

3) Cho hàm z x.e= −yx Chứng minh rằng:

2

∂ + ∂ +∂ = ∂

4) Tính vi phân toàn phần cấp hai của các hàm số: a) z = ln(x – y) b) z = (x + y)ex + y

Cực trị của hàm nhiều biến:

1) Tìm cực trị của hàm a) z = x3 + 3xy2 – 30x – 18y b) z = x2 + y2 + xy – 3x – 6y 2) Tìm cực trị của hàm số: z= 1 x− 2 −y2 , với điều kiện x + y – 1 = 0

3) Tìm cực trị của hàm số: f(x,y) = 6 – 4x – 3y, với điều kiện x2 + y2 = 1

TÍCH PHÂN BỘI

1) Tính: a) b) trong đó D là miền

D

(x y)dxdy+

∫∫

D

xydxdy

∫∫ ⎧⎨ ≤ ≤⎩0 x 10 y 1≤ ≤ 2) Tính , trong đó:

D

(x y)dxdy+

∫∫

a) D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y = 2 – x2

b) D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = x2 và x + y = 2

3) Tính theo biến x trước y sau tích phân được cho bởi bài 2)

4) Tính 2 với D giới hạn bởi

D

2

= , y = 2x2, y = 4

5) Đổi thứ tự lấy tích phân: a) b)

2

dx f (x, y)dy

−∫ ∫

2

2

dx − f (x, y)dy

−

6) Tính với D là miền phẳng giới hạn bởi các đường sau:

D

xydxdy

∫∫

y = x, y = 3x, y = x2, y = 3x2 (bằng phương pháp đổi biến)

7) Tính x 2 y 2 với D là miền tròn:

D

I=∫∫e + dxdy x2 + y2 ≤R2

8) Tính

D

1

=

∫∫ , trong đó D là miền giới hạn bởi x2 + y2 = ay (a > 0) 9) Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:

a) y2 – 2y = x, x – y = 0 b) đường Axtroit: x23 +y23 = a23

c) Giới hạn bởi: y x 1; y x 3; y 1x 7; y 1x 5

10) Tính thể tích vật thể:

a) Giới hạn bởi các mặt: x2 + y2 = 4, 2z = x2 + y2 và z = 0

b) Giới hạn bởi các mặt: x2 + y2 = 2z, z = 6 - x2 - y2

11) Tính diện tích mặt cong:

a) Phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2, nằm phía trong mặt trụ x2 + y2 = ay (a > 0)

b) Phần mặt y = x2 + z2 bị cắt bởi mặt trụ x2 + z2 = 1 trong góc phần tám thứ nhất

TÍCH PHÂN BA LỚP

V

(1 x y)dxdydz− −

∫∫∫

a) với V là miền được xác định bởi: 0 x 1, 2 y 5, 2 z 4≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

b) với V là miền được xác định bởi: x + y + z = 1 x = 0, y = 0, z = 0

V

(x +y )dxdydz

∫∫∫

a) với V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x2 + y2 = 2x, và các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = a b) với V là miền giới hạn bởi nữa trên hình vành cầu a2 ≤ x2 + y2 +z2 ≤b2, z ≥ 0

Ứng dụng tích phân ba lớp:

1) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt: x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2

2) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 6 mặt:

+ + = ±

⎧

⎪ + − = ±

⎨

⎪ + + = ±

⎩ 3) Tính khối lượng của vật thể giới hạn bởi mặt trụ x2 = 2y và các mặt phẳng y + z = 1, 2y + z = 2, nếu khối lượng riêng tại mỗi điểm của thể bằng tung độ của điểm đó

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

1) Tính , trong đó AB là đường cong xác định bởi x = a(1 – cost), y = asint,

, a > 0

AB

I= ∫ xyds

0 t≤ ≤ π

2) Tính 23 23

L

I=∫(x +y )ds , trong đó L là đường Axtroit: x23 +y23 = a23

3) Tính 2 , trong đó AB là cung y = lnx và A(1,0); B(e,1)

AB

I= ∫ x ds

y

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

2 AB

I= ∫ (xy 1)dx x ydy− +

a) trong đó AB được xác định bởi x = cost, y = 2sint, A(1,0); B(0,2)

b) trong đó AB được xác định bởi 4x + y2 = 4, A(1,0); B(0,2)

2) Tính 2 , với L là cung Parabol x = y

L

3) Tính 2 2 , với L là:

L

I=∫xy dx x zd−

a) Đoạn thẳng AB, A(1,2,2); B(0,0,4)

b) Cung tròn AB trong góc phần tám thứ nhất cho bởi phương trình x2 + y2 + z2 = 9, y = 2x, A(1,2,2); B(0,0,3)

L

I (1 x )ydx x(1 y )d

+

5) , dọc theo chu vi của tam giác OAB theo chiều thuận chiều kim đồng hồ, trong đó O(0,0), A(1,0), B(0,1)

I= ∫(x +y )dx (x+ − y )dy

a) Bằng cách tính trực tiếp

b) Bằng cách dùng công thức Green

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

Giải phương trình: 1) x(1 + y2)dx – y(1 + x2)dy = 0

2) (x2 + 2xy)dx + xydy = 0 3) y’ – y = xy5

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II

Giải các phương trình: 1) y’’ – 2y’ + y = x + 1 2) y’’ – 2y’ - 3y = e-x

3) y’’ – 8y’ + 16y = e4x 4) y’’ + y = 4x.sinx

5) y’’ – 7y’ + 6y = (1 – x)ex 6) y’’ – y = e3x cosx