Ôn tập vi tích phân 2b

ÔN TẬP GIẢI TÍCH B2 K14CTT1-CNTT Câu 1: Cho hàm số hai biến 𝒇(𝒙, 𝒚) a) Tìm điểm dừng (critical) ≈ điểm tới hạn (stationary) b) Tính giá trị phân loại điểm dừng c) Tìm MAX MIN miền vơ hạn Tóm tắt: om a Điểm dừng điểm mà 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏) = đạo hàm riêng không tồn b Phân loại điểm dừng (3 loại): Cực tiểu địa phương Cực đại địa phương Điểm yên ngựa Chi tiết: c 1.a/1.b: Tìm điểm dừng, tính giá trị phân loại điểm dừng ng Cần kiến thức đạo hàm riêng cấp chương 14.3 an Đạo hàm riêng hàm số biến: co Cho 𝑓(𝑥, 𝑦) Nếu ta cố định giá trị 𝑦 𝑓 chị lệ thuộc vào 𝑥 Và ta lấy đạo hàm theo 𝑥, ta đạo hàm riêng với ký hiệu sau 𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) ℎ→0 ℎ on g th 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = lim 𝑓(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦) ℎ→0 ℎ du 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = lim cu u Ký hiệu cho đạo hàm riêng: Nếu 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), ta viết: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥 = 𝜕f 𝜕 𝜕𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = = 𝑓1 = 𝐷1 𝑓 = 𝐷𝑥 𝑓 𝜕x 𝜕x 𝜕𝑥 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦 = 𝜕f 𝜕 𝜕𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = = 𝑓2 = 𝐷2 𝑓 = 𝐷𝑦 𝑓 𝜕y 𝜕y 𝜕𝑦 ∎Quy tắc tính đạo hàm riêng 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) :   Để tìm 𝑓𝑥 , ta cố định 𝑦 số đạo hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) theo 𝑥 Để tìm 𝑓𝑦 , ta cố định 𝑥 số đạo hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) theo 𝑦 Ví dụ : Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑥 𝑦 − 2𝑦 , tìm 𝑓𝑥 (2,1) 𝑓𝑦 (2,1) Cố định 𝑦, ta có 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑥𝑦 ⇒ 𝑓𝑥 (2,1) = 22 + 2.2 13 = 16 Cố định 𝑥, ta có 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 𝑦 − 4𝑦 ⇒ 𝑓𝑦 (2,1) = 22 12 − 4.1 = ∘∘∘∘ Superhihiha CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ∘∘∘∘ [1] Định nghĩa: Hàm hai biến có: Cực đại địa phương (𝑎, 𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦)  𝑓(𝑎, 𝑏) (𝑥, 𝑦) gần (𝑎, 𝑏) [Nghĩa 𝑓(𝑥, 𝑦)  𝑓(𝑎, 𝑏) với (𝑥, 𝑦) hình trịn tâm (𝑎, 𝑏).] Cực tiểu địa phương (𝑎, 𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦)  𝑓(𝑎, 𝑏) (𝑥, 𝑦) gần (𝑎, 𝑏) Số 𝑓(𝑎, 𝑏) gọi giá trị cực đại/cực tiểu địa phương ∎Nếu bất đẳng thức Định nghĩa [1] cho điểm (𝑥, 𝑦) miền xác định 𝑓 𝑓 có cực đại tuyệt đối (hoặc cực tiểu tuyệt đối) (𝑎, 𝑏) [2] Định lý: Nếu f có cực đại cực tiểu địa phương (𝑎, 𝑏) đạo hàm riêng cấp tồn 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = ng c om ∎Điểm (𝑎, 𝑏) gọi điểm tới hạn (critical) hay điểm dừng (stationary) 𝑓 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 0, hai đạo hàm riêng khơng tồn th an co [3] Định lý: Giả sử đạo hàm riêng cấp hai f liên tục hình trịn tâm (a, b), giả sử 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏) = 0, tức (𝑎, 𝑏) điểm tới hạn 𝑓 Giả sử 𝐷 = 𝐷(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) ∗ 𝑓𝑦𝑦 (𝑎, 𝑏) − [𝑓𝑥𝑦 (𝑎, 𝑏)]2 (a) Nếu 𝐷 > 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) > 𝑓(𝑎, 𝑏) cực tiểu địa phương (b) Nếu 𝐷 > 𝑓𝑥𝑥 (𝑎, 𝑏) < 𝑓(𝑎, 𝑏) cực đại địa phương (c) Nếu 𝐷 < 𝑓(𝑎, 𝑏) điểm yên ngựa g (d) Nếu 𝐷 = 𝑓(𝑎, 𝑏) loại on ∆ Chú ý: Định lý [3] cần sử dụng Đạo hàm cấp cao du Ví dụ 6: Tìm đạo hàm cấp hai 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑥 𝑦 − 2𝑦 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 𝑦 − 4𝑦 u Trong ví dụ ta tìm 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑥𝑦 cu Nên ta có : 𝑓𝑥𝑥 = 𝜕 (3𝑥 + 2𝑥𝑦 ) = 6𝑥 + 2𝑦 𝜕𝑥 𝑓𝑦𝑦 = 𝜕 (3𝑥 𝑦 − 4𝑦) = 6𝑥 𝑦 − 𝜕𝑦 𝑓𝑥𝑦 = 𝜕 (3𝑥 + 2𝑥𝑦 ) = 6𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝑓𝑦𝑥 = 𝜕 (3𝑥 𝑦 − 4𝑦) = 6𝑥𝑦 𝜕𝑥 Định lý Clairaut (Cờ-le-rô): Nếu hàm số biến 𝑓 xác định đĩa tròn 𝐷 chứa (𝑎, 𝑏) cho đạo hàm riêng 𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑥 xác định liên tục 𝐷 : 𝑓𝑥𝑦 (𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑦𝑥 (𝑎, 𝑏) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 ∘∘∘∘ Superhihiha CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ∘∘∘∘ Ví dụ 1.a/1.b: Tìm giá trị cực đại địa phương cực tiểu địa phương điểm yên ngựa 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 – 4𝑥𝑦 + (Hình 4) Bước 1: Xác định điểm tới hạn Ta có: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − 4𝑦 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 4𝑦 − 4𝑥 𝑣à 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − 4𝑦 = Giải hệ PT: { ⇔{ 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 4𝑦 − 4𝑥 = nghiệm (𝑥, 𝑦) = {(𝟎, 𝟎), (𝟏, 𝟏), (−𝟏, −𝟏)} Vậy ta tìm điểm tới hạn (𝟎, 𝟎), (𝟏, 𝟏), (−𝟏, −𝟏) Bước 2: Phân loại tính giá trị điểm tới hạn Ta có: 𝑓𝑥𝑥 = 12𝑥 , 𝑓𝑦𝑦 = 12𝑦 2, 𝑓𝑥𝑦 = −4, 𝐷(𝑥, 𝑦) = 144𝑥 𝑦 − 16 om →Xét điểm (𝟎, 𝟎) có 𝐷(0,0) = −16 < suy điểm (𝟎, 𝟎) điểm n ngựa 𝒇 khơng có cực trị địa phương (0, 0) .c →Xét điểm (𝟏, 𝟏) có 𝐷(1,1) = 128 > 𝑣à 𝑓𝑥𝑥 (1,1) = 12 > suy điểm (𝟏, 𝟏) điểm cực tiểu địa phương có giá trị 𝒇(𝟏, 𝟏) = −𝟏 ng →Xét điểm (−𝟏, −𝟏) có 𝐷(−1, −1) = 128 > 𝑣à 𝑓𝑥𝑥 (−1, −1) = 12 > suy điểm (−𝟏, −𝟏) điểm cực tiểu địa phương có giá trị 𝒇(−𝟏, −𝟏) = −𝟏 co Tìm MAX MIN miền hữu hạn (Đọc thêm) Miền vô hạn xem tài liệu thầy Nguyễn Vũ Huy: https://app.box.com/s/3ug3arygvde0mytd4bkid55wz9g8ztlo th an [8] Định lý: Cực trị hàm hai biến Nếu 𝑓 liên tục miền đóng giới nội 𝐷 𝑅2 f đạt giá trị cực đại tuyệt đối 𝑓(𝑥1 , 𝑦1 ) giá trị cực tiểu tuyệt đối 𝑓(𝑥2 , 𝑦2 )tại điểm (𝑥1 , 𝑦1 ) (𝑥2 , 𝑦2 )trong 𝐷 du on g [9] Để tìm cực trị tuyệt đối hàm liên tục 𝑓 miền đóng giới nội 𝐷: Tìm giá trị 𝑓 điểm tới hạn miền 𝐷 Tìm giá trị cực trị f biên 𝐷 Giá trị lớn giá trị giá trị cực đại tuyệt đối, giá trị nhỏ giá trị giá trị cực tiểu tuyệt đối cu u Ví dụ 1.c: Tìm cực trị tuyệt đối hàm (Tìm MAX MIN) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 – 2𝑥𝑦 + 2𝑦 miền chữ nhật 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) |  𝑥  3,  𝑦  2} Vì 𝑓 đa thức, liên tục miền đóng giới nội nên theo Định lý [8], có cực đại tuyệt đối cực tiểu tuyệt đối Bước 1: Tìm giá trị 𝑓 điểm tới hạn miền 𝐷 Ta có: 𝑓𝑥 = 2𝑥 − 2𝑦, Giải hệ: { 𝑓𝑥 = −2𝑥 + 𝑥=1 2𝑥 − 2𝑦 = ⇔{ (nhận) Vậy 𝑓 có điểm dừng (1,1) có giá trị 𝑓(1,1) = 𝟏 𝑦 =1 −2𝑥 + = Bước 2: Tìm giá trị cực trị f biên 𝐷 Biên 𝐷 gồm đoạn thẳng 𝐿1 , 𝐿2 , 𝐿3 , 𝐿4 hình 12 o Trên 𝐿1 ta có 𝑦 = 𝑓(𝑥, 0) = 𝑥 đồng biến đoạn [0,3] nên 𝑓(𝑥, 0) = 𝑓(0,0) = 𝟎 max 𝑓(𝑥, 0) = 𝑓(3,0) = 𝟗 [0,3] [0,3] ∘∘∘∘ Superhihiha CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ∘∘∘∘ o Trên 𝐿2 ta có 𝑥 = 𝑓(3, 𝑦) = − 4𝑦 nghịch biến [0,2] nên 𝑓(3, 𝑦) = 𝑓(3,2) = 𝟏 max 𝑓(3, 𝑦) = 𝑓(3,0) = 𝟗 [0,2] [0,2] o Trên 𝐿3 ta có 𝑦 = 𝑓(𝑥, 2) = 𝑥 − 4𝑥 + = (𝑥 − 2)2 nên 𝑓(𝑥, 2) = 𝑓(2,2) = 𝟎 max 𝑓(𝑥, 2) = 𝑓(0,2) = 𝟒 [0,3] [0,3] o Trên 𝐿4 ta có 𝑥 = 𝑓(0, 𝑦) = 2𝑦 đồng biến đoạn [0,2] nên 𝑓(0, 𝑦) = 𝑓(0,0) = 𝟎 max 𝑓(0, 𝑦) = 𝑓(0,2) = 𝟒 [0,2] [0,2] Vậy ta tìm giá trị 𝑓 = 𝟎 max 𝑓 = 𝟗 biên 𝐷 Bước 3: Tổng hợp kết luận Từ kết ta kết luận GTNN 𝒇(𝟎, 𝟎) = 𝒇(𝟐, 𝟐) = 𝟎 GTLN 𝒇(𝟑, 𝟎) = 𝟗 (Hình 13 mơ tả đồ thị 𝑓) om Bài tập chương 14.7: 5-18, 19-20, 29-36, 39-56 Bài 14.7.35: Tìm GTLN GTNN 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 miền 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 𝑦 ≤ 1} 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 4𝑦 c Ta có: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 6𝑥 2, ng 𝑓𝑥 = 𝑥=0 6𝑥 = Giải hệ : { ⇔{ ⇔{ (nhận) Vậy điểm tới hạn 𝑓 (0,0) có 𝑓(0,0) = 𝑓𝑦 = 𝑦=0 4𝑦 = co Xét đường tròn 𝑥 + 𝑦 = hay 𝑦 = − 𝑥 an 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + (1 − 𝑥 )2 = 𝑥 + 2𝑥 − 2𝑥 + 1, −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏 𝑓 (2 , ± √3 ) = 𝑔 (2) = 13 , (𝒙, 𝒚) = (−𝟐, −𝟑) ∉ 𝑫 g 𝑓(0, ±1) = 𝑔(0) = 1, th 𝑔′ (𝑥) = 4𝑥 + 6𝑥 − 4𝑥 = => 𝑥 = {0, −2, 1/2} on Kiểm tra điểm nằm đường tròn : 𝑓(−1,0) = 𝑔(−1) = −2 du 𝑓(1,0) = 𝑔(1) = 2, Kết luận: GTLT 𝑓 𝑓(1,0) = 2, GTNN 𝑓 𝑓(−1,0) = −2 u Cách khác: với 𝑥 + 𝑦 = 1, ta đặt 𝑥 = cos ∝, 𝑦 = sin ∝ cu → 𝑓(cos ∝ , sin ∝) = 2𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑠𝑖𝑛4 ∝, ≤∝≤ 2𝜋 Bài 14.7.16: Tìm, tính giá trị phân loại điểm tới hạn 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑦 (𝑦 − 𝑥 ) Ta có: 𝑓𝑥 = −2𝑥𝑒 𝑦 , 𝑓𝑦 = (2𝑦 + 𝑦 − 𝑥 )𝑒 𝑦 , 𝑓𝑥𝑥 = −2𝑒 𝑦 , 𝑓𝑦𝑦 = (2 + 4𝑦 + 𝑦 − 𝑥 )𝑒 𝑦 , 𝑓𝑥𝑦 = −2𝑥𝑒 𝑦 𝑓𝑥 = 𝑥=0 𝑥=0 −2𝑥𝑒 𝑦 =0 Giải hệ : { ⇔{ ⇔{ ∨ { 𝑓𝑦 = (2𝑦 + 𝑦 − 𝑥 )𝑒 𝑦 = 𝑦=0 𝑦 = −2 Vậy 𝑓 có điểm tới hạn (0,0) (0, −2) 𝐷(0,0) = (−2)(2) − 02 = −4 < nên điểm (𝟎, 𝟎) điểm yên ngựa 𝐷(0, −2) = (−2𝑒 −2 )(−2𝑒 −2 ) − 02 = 4𝑒 −4 > 𝑓𝑥𝑥 (0, −2) = −2𝑒 −2 < nên 𝒇(𝟎, −𝟐) = 𝟒𝒆−𝟐 cực đại địa phương ∘∘∘∘ Superhihiha CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ∘∘∘∘ ... nghiệm (