Ôn tập về tích phân-cách tích tích phân 1 lớp

http://ebook.here.vn – Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình TRAO ðỔI VỀ CÁCH TÍNH ðỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ðẶC BIỆT Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số I – Bắc Ninh Trên THTT số 5/2010 tác giả Trần Xuân ðường ñã trao ñổi về cách tính ñối với một lớp tích phân ñặc biệt dạng ( ) m n p x a bx dx β α + ∫ . Trong ñó tác giả có chia làm 3 trường hợp ñể tính bằng phương pháp ñặt ẩn phụ. Tuy nhiên như vậy theo tôi chưa rèn ñược tư duy và kỹ năng cho học sinh mà học sinh lại phải nhớ các trường hợp. Trên thực tế khi p hữu tỷ tức là tồn tại tích phân chứa căn. Mà trong các kì thi tuyển sinh vào ñại học – cao ñẳng thì ñây là một nội dung rất hay ñược khai thác. Vậy ta nên hình thành cho học sinh một “lối tư duy” hay “cách nghĩ” ñể giải bài toán ñó. Cụ thể là: Nếu gặp dạng ( ) m n p x a bx dx β α + ∫ với m,n, p là các số hữu tỷ; a, b là các số thực ta suy nghĩ theo 2 hướng sau: - Hướng 1: ðặt t=(a+bx n ) hoặc t=(a+bx n ) p . Cách ñặt ñược thoả mãn nếu có thể viết ñược ( ) m n p x a bx dx+ qua f(t)dt. - Hướng 2: ( Nếu hướng 1 không thành công) . Kiểm tra nếu 1 ; p= m s p n r + + ∈¢ thì ta ñặt n r n a bx t x + = . Ta phân tích ví dụ cụ thể sau: Thí dụ 1: Tính tích phân 4 2 7 9 dx I x x = + ∫ (ðH An Ninh A1999 - 2000) Lời giải: ðặt 2 2 2 9 9 7 : 4 4: 5 xdx tdt t x x t x t x t =   = + ⇒ = − ⇒ = =   = =  4 5 5 2 2 2 2 4 4 7 5 1 3 1 7 ln ln 4 6 3 6 4 ( 9) 9 9 xdx tdt dt t I t t t t x x − = = = = = + − − + ∫ ∫ ∫ Tương tự ta tính ñược 2 3 2 5 dx I . x x 4 = + ∫ ( ðH Khối A 2003) Thí dụ 2: Tính tích phân 7 3 3 2 0 1 x dx I x = + ∫ Lời giải: ðặt 2 3 2 2 3 3 2 1 1 0: 1 7 : 2 xdx t dt t x x t x t x t  =   = + ⇒ = − ⇒ = =   = =   7 2 2 2 3 2 5 2 4 3 2 0 1 1 2 . 3 ( 1). 3 3 93 ( ) 1 2 2 2 5 2 10 1 x xdx t t dt t t I t t dt t x   − = = = − = − =   +   ∫ ∫ ∫ http://ebook.here.vn – Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình Tương tự : 4 2 5 0 1 I x dx x = ∫ + (Cð KTKT I 2004) ; ∫ + = 1 0 2 3 1x dxx I ( Dự bị 2002) Thí dụ 3: Tính tích phân 1 3 2 0 1I x x dx= − ∫ ( Dự bị ñại học Khối A 2003 – ðH Ngoại Thương 1996) Lời giải: ðặt 2 2 2 1 1 0: 1 1: 0 xdx tdt t x x t x t x t = −   = − ⇒ = − ⇒ = =   = =  1 0 1 3 5 2 2 2 2 4 0 1 0 1 2 . 1 . (1 ). . ( ) 0 3 5 15 t t I x x xdx t t tdt t t dt   = − = − − = − = − =     ∫ ∫ ∫ Tương tự: 1 5 2 1 0 I x x dx = − ∫ (Cð GTVT 2005); 3 3 2 0 1I x x dx= + ∫ (ðH SP Hà Nội B, M, T ; PV BC & TT 2001 - 2002) 9 3 1 I x 1 xdx= − ∫ (Cao ñẳng Khối T –M ðại học Hùng Vương 2004) Thí dụ 4: Tính tích phân 2 4 2 1 1 dx I x x − = + ∫ Lời giải: - Nếu ñặt 2 1 t x = + thì việc biểu diễn 4 2 1 dx x x+ qua t và dt gặp khó khăn. Tức là hướng 1 không làm ñược. - Ta kiểm tra: m=2; n=2; p=1/2 nên ñặt 2 2 2 1x t x + = ( Xem lời giải THTT số 5/2010) Thí dụ 5: Tính tích phân 3 2 3 3 2 (1 ) dx I x = + ∫ Lời giải: Ta có m =0 ; n=2; p=-3/2 nên ta ñặt 2 2 2 1x t x + = Khi ñó : 2 2 2 2 ( 1) 1 3 : 3 1 2 2 3 3 : 3 tdt xdx t x x t t x t −  =  −    = ⇒ = =  −   = =    và 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 2 2 2 3 3 3 1 1 2 3 1 2 3 (1 ) 1 ( 1) . . . . . 3 ( 1) xdx tdt dt I t t x x t t t x t x x = = = = − = + + − − ∫ ∫ ∫ http://ebook.here.vn – Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình Như vậy qua thí dụ 1,2,3 ta ñã hình thành ñược một “lối tư duy” cho học sinh khi gặp bài toán tích phân có chứa căn thức. Phát huy ñiều ñó ta có thể giải ñược một số bài toán khác sau: Thí dụ 6: Tính tích phân / 2 0 sin 2x sin x I dx 1 3cos x π + = + ∫ ( ðề thi ðH khối A – 2005) Lời giải: ðặt 2 2tdt sin xdx 3 t 1 t 1 3cos x cosx x 0 : t 2 3 x : t 1 2  − =   − = + ⇒ = ⇒ = =   π  = =  2 /2 2 2 3 2 0 1 1 t 1 t(2. 1) 2 sinx(2cos x 1) 2 2 2 2t 34 3 I dx dt (2t 1)dt . t 1 3 t 9 9 3 27 1 3cos x π − +   + = = = + = + =   +   ∫ ∫ ∫ Tổng quát : ∫ + + β α dx xdc xbxa cos sin2sin. hoặc .sin 2 s a x bcosx dx c d inx β α + + ∫ ta ñặt xdc cos+ =t . Thí dụ 7: Tính tích phân 2 1 1 1 xdx I x = + − ∫ ( ðH Khối A 2004) Lời giải: ðặt 2 2 1 1 1: 0 2 : 1 dx tdt t x x t x t x t =   = − ⇒ = + ⇒ = =   = =  1 1 2 3 2 2 0 0 1 ( 1) 2 11 2 2 2 2 2 2ln 1 4ln 2 0 1 1 3 2 3 t t t t I dt t t dt t t t t   +   = = − + − = − + − + = −     + +     ∫ ∫ Tổng quát: ( ) b a p x dx ax b c + + ∫ với p(x) là một ña thức chứa x ta ñặt t ax b c= + + hoặc t ax b= + Thí dụ 8: Tính tích phân e 1 1 3ln x ln x I dx. x + = ∫ (ðại học KB 2004) Lời giải: ðặt 2 dx 2tdt x 3 t 1 t 1 3ln x ln x x 1: t 1 3 x e : t 2  =   − = + ⇒ = ⇒ = =   = =   2 2 2 5 3 4 2 1 1 2 t 1 2t 2 2 t t 116 I t. . dt (t t )dt 1 3 3 9 9 5 3 135   − = = − = − =     ∫ ∫ http://ebook.here.vn – Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình Kết thúc bài viết mời các bạn làm các bài tập sau: 1 3 2 20 1 0 (1 ) I x x dx = − ∫ ( ) 16 2 4 1 1 dx I x x = + ∫ 1 2 3 3 0 2 I x x dx = + ∫ ( ) 1 5 2 4 4 0 1 I x x dx = + ∫ 2 3 5 2 5 4 dx I x x = + ∫ 7 3 6 3 2 0 1 x dx I x = + ∫ 2 7 3 1 1 dx I x x = + ∫ 2 2 2 8 1 4 3 I x x dx = − ∫ ( ) 2 3 2 9 1 1 I x dx = − ∫ 2 2 2 10 1 1 I x x dx = − ∫ 3 2 11 2 1I x dx= − ∫ 3 2 12 2 1 1 x dx I x + = ∫ 5 3 3 13 2 0 2 1 I x x dx x = + ∫ + (CðSP KA 04) 3 14 2 4 tan cos 1 cos I x dx x x π π = ∫ + (CðSP Bắc Ninh 2004) 3 2 15 1 ln ln 1 e x I dx x x = ∫ + 16 2 1 1 ln e I dx x x = ∫ − (Cð SP Vĩnh Phúc 2005) . 6 3 2 0 1 x dx I x = + ∫ 2 7 3 1 1 dx I x x = + ∫ 2 2 2 8 1 4 3 I x x dx = − ∫ ( ) 2 3 2 9 1 1 I x dx = − ∫ 2 2 2 10 1 1 I x x dx = − ∫ 3 2 11 2 1I x dx=. Tính tích phân 2 1 1 1 xdx I x = + − ∫ ( ðH Khối A 2004) Lời giải: ðặt 2 2 1 1 1: 0 2 : 1 dx tdt t x x t x t x t =   = − ⇒ = + ⇒ = =   = =  1 1 2 3