Tính Rs của tập nghiệm mạnh phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic

Trong bài báo này chứng minh tập nghiệm mạnh S của phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic sau là tập Rs. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu.

Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ TÍNH R CỦA TẬP NGHIỆM MẠNH PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LÊ HỒN HĨA*, NGUYỄN NGỌC TRỌNG** TĨM TẮT Trong báo này, chúng tơi chứng minh tập nghiệm mạnh S phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic sau tập R t   u t  A t u t  L t u  V t , u t               Kt,s,u s ,us  ds  f t , t   t  u  C r 0 1 Do S khác rỗng, compact, liên thơng Cơng cụ sử dụng định lý điểm bất động tốn tử dạng Krasnosel’skii khơng gian lồi địa phương, định lý tính R tập điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục Từ khóa: Tập R , phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic ABSTRACT The R property of a set of strong solutions of the nonlinear hyperbolic Volterra integro-differential equation with deviating argument In this paper, we prove the R property of a set S of strong solutions of the following nonlinear Hyperbolic Voltera integro-differential equation with deviating argument t   u t  A t u t  L t u  V t , u t           t    K t,s,u s ,us  ds  f t, t 0  u C r 0 1 Hence, S is a non empty, compact, connected set The Theorem of a fixed point of the Krasnosel’skii-operator in a locally convex space and the Theorem about the R property of a set of fixed points of completely continuous maps are mainly used Keywords: R  set, nonlinear Volterra integro-differential equation with deviating argument * ** PGS TS, Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP HCM Học viên Cao học Trường Đại học Sư phạm TP HCM Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 _ Giới thiệu Khi khảo sát phương trình, trước tiên ta muốn nghiên cứu tồn nghiệm Khi phương trình có nghiệm câu hỏi tự nhiên đặt là: liệu nghiệm có hay khơng trường hợp phương trình có nhiều nghiệm tập nghiệm có tính chất gì? Năm 1942, N.Aronszajn chứng minh tập nghiệm S toán giá trị đầu x  f  t , x  , x    x0 (trong x  n , t  I   0, T  , f bị chặn liên tục I  n ) tập R không gian C  I  tất hàm liên tục từ I vào n Điều suy S khác rỗng, compact, liên thông Trong báo này, chứng minh tính R tập nghiệm mạnh phương trình 1 Cơng cụ sử dụng định lý điểm bất động tốn tử dạng Krasnosel’skii khơng gian lồi địa phương, định lý tính R tập điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục số định lý khác Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa: Cho  không gian metric đầy đủ B tập khác rỗng  B gọi co rút (contractible) tồn x0  B ánh xạ liên tục h :  0,1  B  B thỏa h  0, x   x0 h 1, x   x với x  B B gọi R B đồng phôi với giao dãy giảm  Bn n , Bn co rút với n  Một tập R khác rỗng, compact, liên thơng Định nghĩa: Cho X , Y không gian metric ánh xạ f : X  Y f gọi ánh xạ riêng (proper map) f liên tục với tập compact M Y ta có f 1  M  tập compact X Điều kiện  A  [2] Cho X không gian lồi địa phương P họ nửa chuẩn tách X , D tập X U : D  X Với a  X , ta định nghĩa U a : D  X U a  x   U  x   a Toán tử U : D  X gọi thỏa điều kiện  A  tập  X  A.1 Với a   : U a  D   D Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _  A.2  Với a   p  P , tồn k a  với tính chất: Với   ,   cho với x , y  D thỏa  ap  x, y      tồn r   ap U ar  x  ,U ar  y     Ở    ap  x, y   max p U  x   U aj  y   : i, j  0,1,2, , ka ,  1,2,  ,  0,1, 2,  Định lý  B  [2] Cho X không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với họ nửa chuẩn tách P giả sử U , C toán tử X cho  B.1 U thỏa điều kiện  A  X  B.2  Với p  P , tồn k p  (k p phụ thuộc vào p ) cho: p U  x   U  y    k p p  x  y  với x, y  X  B.3 Tồn x0  X với tính chất: Với p  P tồn r     0,1 ( r ,  phụ thuộc vào p ) cho p U xr  x   U xr  y     p  x  y  với 0 x, y  X  B.4  C hoàn toàn liên tục p  C  A     với A  X , p  A   p  A  sup  p  x  : x  A  B.5 p (lim x ) p C  x  p x  với p  P Khi U  C có điểm bất động Chú ý 1: Từ chứng minh định lý  B  ta thấy: Trong trường hợp X không gian Banach,  I U  1 tồn  cầu mở B  x0 , r  X thỏa mãn  C B  x0 , r   B  x0 , r  , U  C có điểm bất động B  x0 , r  điểm bất động U  C thuộc B  x0 , r  , B  x0 , r  cầu đóng tâm x0 , bán kính r Định lý  C  [2] Cho X không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách P, D tập đầy đủ theo dãy X Cho U toán tử liên tục D (tức với p  P   , tồn   cho p  x  y    dẫn đến p U  x   U  y     ) Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Giả sử U thỏa điều kiện I U  1  A tập  X Khi toán tử định nghĩa tốt liên tục  Với a   , toán tử U a có điểm bất động D  I  U  1 a lim U an  x    I  U  1 n   a  với x D Chú ý 2: [2] Nếu điều kiện  A  ,  chọn độc lập với a   với 1 giả thiết định lý ta có  I  U  liên tục  Định lý  D  [1] Cho X không gian metric,  E ,   không gian Banach ánh xạ riêng f : X  E Giả sử có dãy ánh xạ riêng f k : X  E thỏa  D.1 fk  x  f  x   D.2  Với k với x  X k u  E thỏa u  , phương trình f k  x   u có nghiệm k Khi tập M  f 1   R  Định lý  E  ([1]) Cho X n ,  np ,  hệ ngược Nếu X n R giới hạn ngược lim  X n R Kết 3.1 Giới thiệu toán Cho r  Ta ký hiệu  chuẩn không gian Banach E     0,    Cr  C   r ,0 , E  với chuẩn u  sup u  t  : t    r ,0  C   r ,   , E  không gian hàm liên tục từ   r ,   vào E với họ nửa   chuẩn  n n định nghĩa sau: x n  sup  x  t  : t   r , n  , n  Với u  C  r ,   , E  t  đặt ut  Cr định nghĩa ut    u  t    với    r ,0 Với u  C   r , d  , E  t   0, d  đặt ut  Cr định nghĩa ut    u  t    với    r ,0 Với u  X , đặt u :   r ,    E định nghĩa sau Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ u  s       u   , s  u s   , s    r , 0   s  Với u  C   0, d  , E  , đặt u :   r , d   E định nghĩa sau u  s       u   , s   0, d  u s   , s    r , 0   s  Với n  , đặt X n  C 0, n , E  không gian Banach gồm hàm liên tục u :  0, n  E với chuẩn u X  C  n  , E  không gian Frechet hàm liên tục từ   định nghĩa sau: chuẩn    sup u  t  : t  0, n  n n u n   vào E với họ nửa   sup u  t  : t  0, n  với n  Xét phương trình t   u t  A t u t  L t u  V t , u t        t      K  t , s, u  s  , us  ds  f  t , t      u    C r  1  A  t t 0 họ tốn tử tuyến tính liên tục từ E vào E ,  L  t  họ tốn tử t 0 tuyến tính liên tục từ Cr vào E , f :   E liên tục,  i  t  A  t  liên tục t  L  t  liên tục  ii  V :   E  E liên tục tồn hàm liên tục  :    V  t , x   V  t , y     t  x  y với x, y  E t    iii  K :     E  Cr  E hoàn toàn liên tục K  t , s , x, y   theo  t , s  đoạn bị chặn tùy ý  iv  x lim y  x y    cho Định nghĩa: u :  r ,    E gọi nghiệm mạnh phương trình 1 u 0,   C  0,   , E  u thỏa phương trình 1 , C1 0,   , E  không gian hàm khả vi liên tục u :  0,    E 3.2 Các định lý Định lý Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Cho  E ,   không gian Banach, D tập mở, bị chặn E ánh xạ hoàn toàn liên tục L : D  E Giả sử có dãy ánh xạ hoàn toàn liên tục Lk : D  E thỏa (1.1) Lk  x   L  x   với x  D k (1.2) Với k  u  E thỏa u  , phương trình x  Lk  x   u có k nghiệm Khi tập điểm bất động L R Chứng minh: Ký hiệu i : D  E định i  x   x Đặt f  i  L, f k  i  Lk với k  Theo định lý  D  ta có điều phải chứng minh Định lý Cho tập  đóng, khác M  X C rỗng  ,E Với n , đặt  M n  x 0, n : x  M Nếu M n R M R Chứng minh : Với m  p , đặt  mp : M p  M m định  mp  x   x 0,m Ta có M n ,  np ,  hệ ngược M đồng phôi với lim  M n Theo định lý  E  , M R Định lý Nếu điều kiện  i  ,  ii  ,  iii  ,  iv  thỏa mãn tập nghiệm mạnh toán 1 R Chứng minh : Đặt g :   Cr  E định g  t , u   A  t  u    L  t  u Ta thấy  I  tương đương với phương trình tích phân sau t t s    u  t    g  s, us   V  s, u  s    f  s  ds     K  s, , u   , u  d  ds     , t   00   u           V  s, u  s    f  s  , Đặt P, H ,U , C : X  X định P  u  s   g s, u s Lê Hoàn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ t  t t 0    ds,U u t    Pu  s ds, C u t    Hu  s ds    0 H  u  t    K t, s, u  s  , u s Đặt  tập điểm bất động U  C  tập nghiệm mạnh 1 u  t  , t  Khi u   u       nên u  t      t  , t    r , 0 Đặt F :    định F  u   u Khi F phép đồng phơi Vậy ta chứng minh  tập R Ta cần bổ đề sau Bổ đề [3] g :   Cr  E liên tục với n  tồn k n  cho với x, y  Cr t   0, n  ta có g  t , x   g  t , y   k n x  y Bổ đề [3] Với s   0, n x, y  X ta có  x s  x   y  s s  x  y n 2 x n  đặt d n  max   s  : s  0, n  Bổ đề [3] Ta có C liên tục Với n  j z j z  x U  y n  ncn   j x  y n với j  j! x, y, z  X Do U thỏa điều kiện  B.1   B.3 định lý  B  cn  2k n  d n Khi ta có U Bổ đề C hoàn toàn liên tục lim u n  C u  u n  với n  Khi   X thỏa n mãn  n   ta có C    n   Chứng minh bổ đề : Theo bổ đề ta có C liên tục Lấy  X bị chặn Đặt  x  : x  , s  0, n Khi P, Q bị chặn Vì K hồn tồn liên tục nên B : K 0, n   P  Q  compact Do tồn   cho K  t , s, u  s  ,  u     với  t , s   0, n  u   P   x  s  : x  , s   0, n  , Q  s 2 s Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _  cho với u   t1 , t2   0, n mà n max  t1 ,t2  s       K s ,  , u   , u d ds   t1 ,t2    Vậy lấy   tồn    t1  t2   Cu  t1   Cu  t2    n t1  t  n   Do Cu   0,n   : u   đẳng liên tục  Lấy nửa khơng gian đóng u  E : b*  u   r  chứa B , với b*  E * r  Theo tính chất tích phân Bochner tính tuyến tính b* ta có :  ts   ts b*     K s, , u   , u d ds      b* K s,  , u   , u n     n 0  0 với u   với t   0, n   Vậy t s  K s,  , u   , u  n 0  0      d ds  u  E : b u   r  *       d  ds  r      với u   t   0, n  Vì giao tất nửa khơng gian đóng chứa B bao lồi đóng conv  B  t s B nên ta có    K s,  , u   , u 00      d ds  n  conv  B   với u   t  0, n    Với t  0, n  đặt  C    n  t  :  Cu   t  : u    0,n  Khi  C    n  t   n conv  B      Do B tập compact nên ta có  C      t  tập compact tương đối Vậy C    tập compact tương đối Suy C n hoàn toàn liên tục Do  iv  nên với   tồn m  cho với x  E y  Cr mà  x  y  với  t , s   0, n   12n Do K hoàn toàn liên tục nên tồn   cho với x  E y  Cr mà x  y  m K  t , s, x, y   x  y  m K  t , s, x, y    với  t , s   0, n Vậy K  t , s, x, y      x y 12n 2  với  t , s   0, n  , x  E , y  Cr Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Khi với t  0, n u  X ta có : t s  Cu  t      K s,  , u   , u d ds      00  t s          u    u d  ds       12n  00      n2   u n      0 12       4n       Chọn  n  max  , ,  Khi u     Lấy  X  n   thỏa n  n Cu u n  n P   x  s  : x  , s   0, n  Đặt  x  : x  , s  0, n Do    nên P, Q bị chặn Vì K hồn tồn liên tục nên tồn   cho K  t , s, u  s  ,  u     với  t , s   0, n  , u   Q n s s Vậy C  u    n     với u   Do C    n   n Ta chứng minh định lý qua hai bước Bước Ta chứng minh    Theo bổ đề bổ đề ta có U , C thỏa điều kiện định lý  B  Vậy    Bước Ta chứng minh  tập R   Đặt  n  u 0,n : u   Ta chứng minh  n R Để đỡ nặng nề mặt ký hiệu ta đặt P, H ,V , G : X n  X n định t      V  s, u  s   f  s  , Hu t    K t, s, u  s  , u   ds, Pu  s   g s, u s s t t V  u  t    Pu  s ds, G  u  t    Hu  s ds     với t  0, n  0 Tương tự chứng minh U , C ta có V , G thỏa kết luận bổ đề bổ j j đề Vậy với z , u , v  X n ta có Vz  u   Vz  v  n  ncn   j! j u v n với j  Do 1 V thỏa điều kiện  B.1   B.3 định lý  B  , V liên tục đều,  I  V  Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ 1 định nghĩa tốt liên tục X n Đặt A   I  V  G Khi A hồn tồn liên tục Ta gọi tập điểm bất động A  Bổ đề  n   Chứng minh bổ đề : Khi u   u 0,n điểm bất động A Vậy  n   t t Lấy y   Ta có y  t    Py  s ds   Hy  s ds     với t  0, n  0 Xét phương trình t   u t  g t , u  V t , u t   t       K  t , s, u  s  , u s  ds  f  t , t  n      , t  r , n u  t   y  t   2 Tương tự phương trình 1 ta thấy phương trình   có nghiệm u Đặt  y  t  , t   0, n  x t    Khi x   x 0,n  y Do y   n Tức    n u  t  , t  Bởi  ncn   p!  ncn  lim j j! j   nên tồn p  cho  ncn  j! j  với j  p Đặt p    ncn Theo định lý  C  tồn điểm bất động z0 V G  x  p1 i  Đặt   1        Ta có lim x n  x  z  i0  cho x  z0 n  R1 G  x   x  z0 n n 2 1  Đặt M  x  X n : x  z0 n  nên tồn R1  n   R1 Khi G  M  n   nên tồn R2  cho G  x   R2 với x  X n thỏa mãn x  z0 n 1 n n  R1  I  V  liên tục X n , nên tồn  1 1  I  V   x    I  V   y  n   với x, y  X n mà x  y n   Lấy   , 10  thỏa mãn  3 Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Chọn R3    R1   R2 tương tự phần chứng minh định lý  B  [2] ta  I  V  G  B  z0 , R3    B  z0 , R3  , V  G có điểm bất động B  z0 , R3  điểm bất động V  G thuộc B  z0 , R3  , tức  n  B  z0 , R3  1 thấy      Đặt Pn  u  s  : s   0, n  , u  B  z0 , R3  , Qn  u : s   0, n  , u  B  z0 , R3  Ta có s Pn , Qn bị chặn Do K liên tục nên tồn mở rộng liên tục K * K 0, n2  P Q lên n  E  Cr cho K *    E  Cr   convK 0, n   Pn  Qn Khi tồn tốn tử Lipschitz địa phương K xác định cho K   với  t , s, x, y   2n 2  E  Cr   convK 0, n   Pn  Qn K   t , s, x , y   K *  t , s , x , y   n   E  Cr   convK *    E  Cr  E  Cr  Vì K hoàn toàn liên tục Pn , Qn bị chặn nên K   E  Cr  compact tương đối Vậy K hoàn toàn liên tục t s  Đặt C : X n  X n định C  u  t      K  s,  , u   , u d ds     với  00  t   0, n  Vì K hồn tồn liên tục nên chứng minh hồn tồn tương tự bổ đề ta có   1 C hoàn toàn liên tục Đặt A   I  V  C Khi A hoàn toàn liên tục Với t  0, n u  B  z0 , R3  ta có t s  C  u  t   G  u  t      K s,  , u   , u  K s,  , u   , u d ds   00  t s       K s,  , u   , u  K * s,  , u   , u d ds   00          t s        d ds  2n 00  Do C  u   G  u  n   với u  B  z0 , R3  4 Từ  3 ,   ta có A  u   A  u    với u  B  z0 , R3  n Lấy h  X n , ta xét phương trình u  A  u   h với u  X n  5 11 Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _  5 tương đương u  V  u   h  V  h   C  u  Đặt W  u   V  u   h  V  h  Ta phương thấy trình phương trình sau Bổ đề W  C có điểm bất động Chứng minh bổ đề : j j Với z , u , v  X n ta có Vz  u   Vz  v  n  ncn   j j! u v n với j  Lại có h cố định Wz  VhV  h  z nên với z , u , v  X n ta có j j Wz  u   Wz  v  n  ncn   tự Tương WCpm  z0   z0   x n j uv j! phần n với j  chứng   C  x  minh định lý x Xn với n  B m [2] , ta có p 1  1    1      i   i0  Vậy WCpm  z   z0   x x  X n m  n    C  x  n   C  x   G  x  n  G  x  n  với Do với x  B  z0 , R3  m  ta có: WCpm  z0   z0   x n       G  x n  2  Lấy x  B  z0 , R3  Ta xét hai trường hợp TH1 x  z0 n  R1 Khi WCpm x   z0   z0  pm C  x  W n        G  x n     R2  R3 Điều cho ta 2   z0   B  z0 , R3  TH2 R1  x  z0 n WCpm  z0   z0   x  R3 Ta có:      G  x n 2    x  z0 2    x  z0 n      2  R3 R3    R3 n 2 n Điều cho ta WCpm  z0   B  z0 , R3    x 12 Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Vậy WCpm  z0   B  z0 , R3  với x  B  z0 , R3  m    x 1 Theo định lý  C  ta có lim WCpm  z0    I  W  C  x  với x  X n Do   x m   I W  1 C  x   B  z0 , R3  với x  B  z0 , R3   1  Như  I  W  C B  z0 , R3   B  z0 , R3  Theo định lý  C  ta có  I  W  1 1 1 liên tục nên  I  W  C liên tục Do C hoàn   toàn liên tục nên  I  W  C B  z0 , R3  tập compact tương đối Vậy theo định lý 1 điểm bất động Schauder ta thấy  I  W  C có điểm bất động B  z0 , R3  Đó điểm bất động W  C Vậy phương trình   có nghiệm thuộc B  z0 , R3  Ta chứng minh nghiệm Giả sử x, y hai nghiệm phương trình   tức x, y hai điểm bất động W  C Khi x    y        h   Đặt b  max    0, n  : x  t   y  t  , t   0,   Ta chứng minh b  n Giả sử trái lại b  n Do K Lipschitz địa phương  0, n   E  Cr nên tồn   cho K Lipschitz 0, n   B1  B2 với số Lipschitz m ,     B1  z  E : z  x  b    , B2  z  Cr : z  x b    Đặt  n  k n  d n Với u  X n cố định ánh xạ s  u liên tục nên tồn   cho    x , y   B s s s s  u  s  , b    n ; x  s  , y  s   B1  n  mn  với s  b, b    Vậy với s   0, n   b, b    ta có     K  s, , y   ,  y    m  x    y     x    y  Đặt X  C b, b    , E  với chuẩn u  max  u  s  : s  b, b    Ta thấy với   b, b     x    y   x  y Do  s ,  , x    ,  x    K  s ,  , y   ,  y    m x  y  K s, , x   , x   b 1 K     b    b   b 13 Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _     y Với    0,b  x    y   , x t b  Vậy    K s, , x   , x b0         K  s, , y   ,  y   d ds      Ta lại có x, y điểm bất động W  C nên với t  b, b    ta có t t s x  t    Px  s  ds     K  s , , x   , x b b0 t  t s y  t    Py  s  ds     K s, , y   , y b b0 t     d ds  x  b         d ds  y  b  Do       ds   V  s, x  s    V  s, y  s   ds x  t   y  t    g s, x b s  g s, y t s      K  s ,  , x   , x bb  s   t b      K  s, , y   ,  y   d ds     Vậy x  t   y t    n x  y  xy Do x  y b  b b  t  b   2mn x y b  t  b    n  2mn  x y b với t  b, b    x  y b Vậy x  y b  Do x  t   y  t  với t  b, b    Vậy x  t   y  t  với t   0, b    Điều mâu thuẫn với định nghĩa b Vậy b  n Do x  y Vậy phương trình   có nghiệm thuộc B  z0 , R3  Đặt L  A B z , R3  L  A B  z0 , R3  Ta thấy  n tập điểm bất động L L thỏa điều kiện định lý nên  n tập R Do U , C liên tục nên tập điểm bất động  U  C đóng theo bước    Vậy theo định lý ta có  R 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO G Gabor (1999), “On the acyclicity of fixed point sets of multivalued maps”, Topological Methods in Nonlinear Analysis, vol.14, pp 327-343 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Hồn Hóa tgk _ L H Hoa, K Schmitt (1994), “Fixed point theorems of Krasnosel’skii type in locally convex space and applications to integral equation”, Results in Mathematics, vol.25, pp 291-313 L H Hoa, N N Trong, L T K Anh (2010), “Nghiệm mạnh phương trình vi tích phân với đối số lệch”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TP HCM,  24  , tr 104 -114 15 ... Mathematics, vol.25, pp 291-313 L H Hoa, N N Trong, L T K Anh (2010), Nghiệm mạnh phương trình vi tích phân với đối số lệch , Tạp chí Khoa học ĐHSP TP HCM,  24  , tr 104 -114 15 ... nghiệm câu hỏi tự nhiên đặt là: liệu nghiệm có hay khơng trường hợp phương trình có nhiều nghiệm tập nghiệm có tính chất gì? Năm 1942, N.Aronszajn chứng minh tập nghiệm S toán giá trị đầu x  f...  E gọi nghiệm mạnh phương trình 1 u 0,   C  0,   , E  u thỏa phương trình 1 , C1 0,   , E  không gian hàm khả vi liên tục u :  0,    E 3.2 Các định lý Định lý Số 27 năm