Phương trình vi tích phân Volterra loại Hyperbolic

Bài viết nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy dạng vi tích phân. Để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu mời các bạn cùng tham khảo bài viết.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA LOẠI HYPERBOLIC Lê Hồn Hố*, Trần Trí Dũng†, Lê Thị Kim Anh‡ Giới thiệu Trong báo này, nghiên cứu tồn nghiệm toán Cauchy dạng vi tích phân sau : t  u '(t )  A(t )u (t )   K (t , s , u ( s ))ds  f (t ), t   u (0)  u  (P) ( A(t ), D( A(t ))) t 0 sinh họ tiến hoá liên tục mạnh U (t , s ) 0s t không gian Banach (X , ) họ tiến hoá thỏa mãn U (t , s )  Me (t  s ) , (t , s ) :  s  t ( M ,  số xuất định lí Hille - Yosida), A(t ) : D  X , D  X Ta giả sử ánh xạ u  K (t , s, u (s )) xác định từ D vào X Bài toán (P) nhiều nhà Toán học quan tâm, nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau, chẳng hạn tác giả [1], [2], [3] Những tốn tích phân Volterra loại hyperbolic xuất tự nhiên nghiên cứu đàn hồi chất rắn Trong [1] tác giả nghiên cứu tốn (P) với A khơng phụ thuộc vào biến thời gian Mục đích chúng tơi mở rộng số kết [1] xét A phụ thuộc vào biến thời gian Các kết Để tồn nghiệm cho toán (P), trước hết ta xét toán (P1) sau u '(t )  A(t )u (t )  f (t ), t   u (0)  u0 (P1) * PGS.TS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP Tp.HCM ThS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP Tp.HCM ‡ ThS, Đại học Tiền Giang † 65 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Hồn Hố, Trần Trí Dũng, Lê Thị Kim Anh Định lí sau sở cho nghiên cứu tồn nghiệm mạnh tốn (P) Định lí 2.1 : Giả sử toán (P1), ta có giả thiết sau : (i) U (t , s ) 0s t họ nửa nhóm liên tục ánh xạ t  A(t ) liên tục (ii) Đối với x  X ta có : U t (t , s ) x  A(t )U (t , s ) x , U s (t , s) x  U (t , s ) A( s ) x đạo hàm riêng liên tục theo X- chuẩn (iii) f  W 1,1 ([0,  ], X ) Khi tồn u  C1 ([0, ]; X )  C ([0, ]; D) thỏa mãn toán (P1) [0, ] Ngoài ra, với t  [0, ] ta có đánh giá sau : t   u (t )  Met  u0   e  s f ( s) ds    (2.1) t   A(t )u (t )  f (t )  Met  A(0)u0  f (0)   e  s f '( s) ds    (2.2) t  u (t )  u0  M   e (t  s ) f ( s )  A( s )u0 ds  0  (2.3) t  A(t )u (t )  A(t )u0  A(t )u (t )  f (t )  f (0)  M   e ( t  s ) f '( s ) ds  0  (2.4) u (.) nghiệm toán : u '(t )  A(t )u (t )  A(t )u0  f (0), t   u (0)  (2.5) Chứng minh Sự tồn nghiệm toán (P1) [0, ] với giả thiết (i) (iii) chứng minh tương tự [2] Khi nghiệm u (P1) thỏa mãn u  C1 ([0, ]; X )  C ([0, ]; D) công thức biến thiên số sau : 66 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 t u (t )  U (t , 0)u0   U (t , s ) f ( s) ds,  t   t Từ ta có u(t )  U (t , 0)u0   U (t , s ) f (s )ds  t   Suy u(t )  Met  u0   es f ( s) ds  , hay (2.1) chứng minh  Tiếp theo ta có : t t  Me  (ts) t f '( s ) ds   U (t , s ) f '(s ) ds   U (t, s) f '(s)ds 0 t  f (t )  U (t , 0) f (0)   A(t )U (t , s ) f ( s ) ds (*) Me (t ) A(0)u0  f (0)  U (t , 0) A(0)u0  U (t , 0) f (0)  A(t )U (t , 0)u0  U (t , 0) f (0) (**) Kết hợp (*) (**), ta suy vế phải (2.2) lớn t f (t )  U (t , 0) f (0)   A(t )U (t , s ) f ( s ) ds  A(t )U (t , 0)u0  U (t , 0) f (0)  f (t ) t   A(t )U (t, s) f ( s)ds  A(t )U (t , 0)u  A(t )u (t ) Vậy (2.2) chứng minh Để chứng minh (2.3) ta ý phương trình (2.6) sau : v '(t )  A(t ) v(t )  f (t )  A(t )u0 ,   t   v(0)  (2.6) có nghiệm v(t )  u(t )  u0 Áp dụng (2.1), ta thu : t  u (t )  u0  M   e (t  s ) f ( s )  A( s )u0 ds  , 0  hay (2.3) chứng minh Cuối cùng, để chứng minh (2.4) đúng, ta xét phương trình (2.7) sau : 67 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Hồn Hố, Trần Trí Dũng, Lê Thị Kim Anh  w '(t )  A(t ) w(t )  f (t )  f (0),   t    w(0)  (2.7) Khi (2.7) có nghiệm w(t) thỏa mãn : w(t )  u (t )  u (t )  u0 Áp dụng (2.2) cho w(t) ta thu : A(t )u (t )  A(t )u0  A(t )u (t )  A(t ) w(t ) t   A(t )u (t )  f (t )  f (0)  M   e (t s ) f '(s ) ds  0  Vậy (2.4) Định lí hồn tồn chứng minh Bước kế tiếp, cần kết sau : Bổ đề 2.2 : [1] Đặt (0, t1 )  (t , s )  R :  s  t  t1 Giả sử : i) K : (0, t1 )  D  X liên tục, ii) K t (t , s, x) tồn liên tục từ (0, t1 )  D  X Với    t1 u  C ([0, ]; D ) , ta định nghĩa Ju :[0, ]  X : t ( Ju )(t )   K (t , s, u ( s ))ds (2.8) Khi Ju  C ([0, ]; X ) t ( Ju ) '(t )  K (t , t , u (t ))   K t (t , s, u ( s )) ds (2.9) Bổ đề 2.3 Giả sử điều kiện (i) (ii) bổ đề (2.2) thỏa mãn Khi với   [0, t1 ] cố định với u  C ([0, ]; D ) cho trước, tồn z  Pu  C ([0, ]; X )  C ([0, ]; D ) nghiệm toán sau : 68 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 z '(t )  A(t ) z (t )  ( Ju )(t ), t  [0, ] z (0)  Ngồi ra, ta có thêm giả thiết (iii) sau : (iii) Với u0  D , tồn b, c, r số dương cho : K t (t , s, x1 )  K t (t , s, x2 )  c x1  x2 , với K (t , s , x1 )  K (t , s , x2 )  b x1  x2 (t , s)   (0, t1 ) x1, x2  BD (u0 , r ) :  x  D x  u0  r với u1, u2  C ([0, ], BD (u0 , r )) ta có : t Pu1 (t )  Pu2 (t )  (Mb  e (t  s ) sds ) u1  u2 C ([0, ]; D ) t  [0, ] (2.10) t A(t ) Pu1 (t )  A(t ) Pu2 (t )  (bt  M  e ( t  s ) (b  cs )ds ) u1  u2 C ([0, ]; D ) t  [0,  ] (2.11) Chứng minh Theo bổ đề (2.2) ta có Ju  C1 ([0, ]; X ) Do đó, theo định lí (2.1) ta suy phần đầu bổ đề Với u1 , u2  C ([0, ], BD (u0 , r )) , ta có : Ju1  Ju2  C ([0, ]; X ) d ( Pu1 (t )  Pu2 (t ))  A(t )( Pu1  Pu2 )(t )  Ju1 (t )  Ju2 (t ), t  [0,  ] dt Áp dụng kết (2.1) (2.2), ta thu : t Pu1 (t )  Pu2 (t )  M  e ( t  s ) Ju1 ( s )  Ju2 (s ) ds (2.12) t A(t ) Pu1 (t )  A(t ) Pu2 (t )  Ju1 (t )  Ju2 (t )  M  e ( t  s ) ( Ju1 ) '(s )  ( Ju2 ) '( s ) ds (2.13) Sử dụng giả thiết (iii), ta có với  s   : 69 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Hồn Hố, Trần Trí Dũng, Lê Thị Kim Anh s Ju1 ( s )  Ju2 ( s )   K ( s , r , u1 ( r ))  K ( s, r , u2 ( r )) dr  bs u1  u2 C ([0, ]; D ) (2.14) Tương tự ta có : s ( Ju1 ) '( s)  ( Ju2 ) '( s )  K ( s, s , u1 (s ))  K ( s, s, u2 ( s ))   K s ( s, r , u1 (r ))  K s ( s, r , u2 (r )) dr  (b  cs ) u1  u2 C ([0, ]; D ) (2.15) Cuối cùng, từ (2.12) đến (2.15), ta suy bổ đề chứng minh hoàn toàn Hệ 2.4 Với u1 , u2  C ([0, ], BD (u0 , r )) ,    t1 , ta có : Pu1  Pu2 C ([0, ]; D )   ( ) u1  u2 C ([0, ]; D ) , (2.16) lim  ( p )   phụ thuộc vào M ,  , b, c p  0 Định lí 2.5 Giả sử giả thiết (i), (ii), (iii) bổ đề (2.2) (2.3) thỏa mãn f  W 1,1 ([0, t1 ], X ) Khi tồn   (0, t1 ] cho toán (P) u '(t )  A(t )u (t )  f (t )  ( Ju )(t ), t  [0, ] u(0)  u0 có nghiệm u  C1 ([0, ]; X )  C ([0, ]; D) Ngồi ra, ta có nghiệm u  :[0,  )  D (P) theo nghĩa u  C1 ([0, ']; X )  C ([0, ']; D ) nghiệm (P)  '    Ta gọi u  nghiệm cực đại (P) Chứng minh Với   (0, t1 ] , ta đặt Y : u  C ([0, ]; D) : u (t )  u0  r  , với r chọn giả thiết (iii) Khi Y tập đóng khác rỗng không gian Banach C ([0, ]; D) Gọi v0 nghiệm (duy nhất) phương trình : 70 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 v0 '(t )  A(t )v0 (t )  f (t ), t  [0,  ] v0 (0)  u0 Định nghĩa toán tử S Su : v0  Pu Khi điểm bất động S nghiệm (P) Ta có số dương  cho    S thỏa mãn điều kiện sau : Su1  Su2 C ([0, ]; D )  u1  u2 Su0  u0 C ([0, ]; D ) C ([0, ]; D )  u1 , u2  Y , (2.17) r , (2.18) u0 hàm Y, nhận giá trị u0 Từ để chứng minh S có điểm bất động Y, ta chứng minh S : Y  Y Thật vậy, với u1 , u2  Y , ta có Su1  Su2  Pu1  Pu2 , từ theo hệ (2.4) tồn số dương 1 cho (2.17) xảy   1 Để chứng minh (2.18), ta quan sát Su0  u0  v1  v2 với v1 , v2  C ([0, ]; X )  C ([0, ]; D) nghiệm t  v1 '(t )  A(t )v1 (t )  f (t )  f (0)   K (t , s , u0 )ds, t  [0, ]  v (0)  1 (2.19) v2 '(t )  A(t )v2 (t )  A(t )u0  f (0), t  [0, ]  v2 (0)  (2.20) Do Su0  u0  v1  v2 Mặt khác ta có lim vi ( si )  vi (0)  0, vi ( si )  vi ,  si   (i  1, 2)  0  r r Do tồn số dương  cho    v1  , v2  Chọn   min(1 ,  ) (2.17) (2.18) xảy    71 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Hồn Hố, Trần Trí Dũng, Lê Thị Kim Anh Để kết thúc phần đầu định lí ta S : Y  Y Thật vậy, với u  Y , ta có Su  C ([0, ]; D) Su (t )  u0  Su (t )  Su0  Su0  u0  r u (t )  u0   r , t  [0,  ] 2 Vậy Su  Y Ta kết thúc phần đầu định lí Ở phần tiếp theo, ta chứng minh tồn nghiệm cực đại Trước hết ta tính nghiệm tốn (P) đoạn [0,  ] (  số thực thỏa mãn phần đầu định lí) Thật vậy, giả sử u, v nghiệm (P) [0,  ] , ta đặt t : max t  [0,  ] : u ( s)  v(s ), s  [0, t ] Giả sử t   , đặt y0  u (t)  v(t) t t 0 h(t ) :  K (t , s, u ( s))ds  f (t )   K (t , s, v( s )) ds  f (t ), t  [t,  ] Bởi h  W 1,1 ([t,  ], X ) nên theo phần đầu định lí, tồn   (0,   t ] cho toán t    u '(t )  A(t )u (t )   K (t , s, u (s ))ds  h (t ), t  [t , t   ]   t   u (t )  y0 có nghiệm Do u (t )  v(t ) t  [t, t   ] , điều mâu thuẫn với định nghĩa t Vậy t   , tức u  v [0,  ] Cuối nghiệm cực đại (P) xây dựng thông qua cách nối nghiệm thông thường Định lí chứng minh Trong phần ta nghiên cứu tính chất nghiệm cực đại Định lí 2.6 Giả sử ngồi giả thiết định lí (2.5) thỏa mãn, ta có thêm giả thiết sau : 72 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 (iv) K K t bị chặn tập bị chặn (0, t1 )  D Khi nghiệm cực đại u  :[0,  )  D (P) thỏa mãn hai kết sau : a)    t1 u mở rộng thành nghiệm (P) [0, t1 ] b) lim sup u  (t )   t   Chứng minh Giả sử b) không xảy ra, ta chứng minh a) phải xảy Thật vậy, ảnh u tập bị chặn D Với  t  t  h   , ta đặt v(t ) : u (t  h )  u (t ) th g (t ) : f (t  h)  f (t )  t  K (t  h, s, u( s))ds   K (t , s, u (s))ds 0 Ta suy : v '(t )  A(t )v(t )  g (t ), t  [0,   h)    v(0)  u (h)  u (0) (2.21) Áp dụng (2.1) (2.2), ta suy tồn  không phụ thuộc t h cho : t   u  (t  h)  u  (t )    u  ( h)  u  (0)  A(0)v (0)  g (0)  g (t )    g ( s)  g '(s )  ds    (2.22) Theo giả thiết (iv) ta có :    sup  K (t , s, u ( s )) :  s  t      c1  sup K (t , s, u  ( s )) :  s  t     c2  t Vì ta suy : 73 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Hồn Hố, Trần Trí Dũng, Lê Thị Kim Anh th t g (t )   K (t  h, s, u  (s ))  K (t , s, u  ( s)) ds   K (t  h, s, u  ( s)) ds  f (t  h)  f (t ) t t h   f '( s) ds  c2 h  c1h t (2.23) Theo bổ đề (2.2) ta có : g '( s )  f '( s  h)  f '( s )  K ( s  h, s  h, u  ( s  h ))  K ( s, s , u  ( s ))  s h   s K s (s  h, r , u  (r ))dr   K s ( s, r , u  ( r )) dr hầu khắp nơi [0,   h) 0 Từ ta suy : t t t g '(s ) ds   f '( s  h )  f '(s ) ds   K ( s  h, s  h, u  (s  h))  K ( s, s, u  (s )) ds   0 t t s    K s ( s  h, r  h, u  (r  h)) drds    K s ( s  h, r  h, u  (r  h ))  K s (s , r , u  (r ) drds h 0 (2.24) Từ (2.22) đến (2.24) từ đẳng thức u '(h)  u '(0)  A(0)v(0)  g (0) , ta thu kết sau : Với   , tồn    cho :  h     u  (t  h)  u  (t )   ,  t  t  h   Do tồn   D : lim u  (t )    t   Đặt u ( )   u thỏa mãn (P) đoạn [0,  ] Do tính cực đại u  ta phải có   t1 Định lí chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Rainer Nagel and Eugenio Sinestrari, (1996), Nonlinear hyperbolic Volterra integrodifferential equations, Nonlinear Analysis, Vol 27, 167 – 186 74 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 [2] Rainer Nagel and Eugenio Sinestrari, (1994), Inhomogeneous Volterra integrodifferential equations for Hille – Yosida operators, Functional Analysis, Vol 150, 51 – 70 [3] Melvin L Heard, (1981), An abstract semilinear hyperbolic Volterra integrodifferential equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications 80, 175 – 202 [4] J Wu, (1996), Theory and applications of partial functional differential equations, App Math Sc.199, Springer-Verlag [5] K J Engel and R Nagel, (2000), One – parameter semigroups for linear evolution equations, Springer – Verlag Tóm tắt Phương trình vi tích phân Volterra loại hyperbolic Trong báo tồn nghiệm tốn Cauchy dạng vi tích phân sau : t  u '( t )  A ( t ) u ( t )   0 K (t, s, u( s))ds  f (t ), t   u (0)  u  Abstract Hyperbolic Volterra integrodifferential equations In this article, we prove existence and uniqueness of solutions for the following Cauchy integro-differential equations : t  u '( t )  A ( t ) u ( t )   0 K (t, s, u( s))ds  f (t ), t   u (0)  u  75 ... evolution equations, Springer – Verlag Tóm tắt Phương trình vi tích phân Volterra loại hyperbolic Trong báo tồn nghiệm toán Cauchy dạng vi tích phân sau : t  u '( t )  A ( t ) u ( t )   0... Inhomogeneous Volterra integrodifferential equations for Hille – Yosida operators, Functional Analysis, Vol 150, 51 – 70 [3] Melvin L Heard, (1981), An abstract semilinear hyperbolic Volterra integrodifferential... (0), t  [0, ]  v2 (0)  (2.20) Do Su0  u0  v1  v2 Mặt khác ta có lim vi ( si )  vi (0)  0, vi ( si )  vi ,  si   (i  1, 2)  0  r r Do tồn số dương  cho    v1  , v2  Chọn