Phương Trình Vi Tích Phân

Tài Liệu dùng cho các bạn chuyên toán và không chuyên toán nhằm ôn tập một số kiến thức cơ bản về phương trình vi tích phânHi vọng bộ tài liệu này sẽ giúp ích được các bạn trong quá trình ôn tập.Người biên soạn là sinh viên nên trong quá trình đánh máy không tránh khỏi sai sót mong các bạn góp ý

ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN Lê Văn Huy Chương 1 Phương trình vi phân cấp 1 1.1 Phương trình biến số phân ly và phân ly được 1.1.1 Phương trình biến số phân ly Phương trình dạng X(x)dx + Y (y)dy = 0 (4.1) ở đây hàm dx là hàm chỉ phụ thuộc vào biến x, Hệ số dy chỉ phụ thuộc vào biến y. Ta sẽ giả thiết rằng các hàm X, Y liên tục trên tập xác định của nó. Khi đó phương trình (4.1) được viết dưới dạng d[  X(x)dx +  Y (dy)] = 0 Do đó:  X(x)dx +  Y (dy) = C (4.2) Biểu thức 4.2 cho ta tích phân tổng quát của biểu thức (4.1). Ví Dụ: Phương trình: 2x x 2 + 1 dx + 2y y 2 + 1 dy = 0 Có tích phân tổng quát là:  2x x 2 + 1 dx +  2y y 2 + 1 dy = C 1 hay ln(1 + x 2 ) + ln(1 + y 2 ) = C, C > 0 Do đó (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = C là tích phân tổng quát của phương trình. 1.1.2 Phương trình biến số phân ly được Phương trình dạng: m 1 (x)n 1 (y)dx + m 2 (x)n 2 (y)dy = 0 (4.4) với các hàm m 1 , n 1 , m 2 , n 2 được giả thiết là liên tục trong miền đang xét. Giả sử n 1 (y)m 2 (x) = 0 Chia cả 2 vế của biểu thức (4.4) cho n 1 (y)m 2 (x) ta được: m 1 (x) m 2 (x) dx + n 2 (x) n 1 (y) = 0 Tức là ta đi đến phương trình biến số phân ly:  m 1 (x) m 2 (x) dx +  n 2 (x) n 1 (y) = 0 = C (4.5) Chú ý: Ngoài ra ta còn phải xét trường hợp n 1 (y)m 2 (x) = 0 Những trường hợp y = a làm cho n 1 (y) = 0 cũng là nghiệm của phương trình. Nếu muốn tìm cả nghiệm dưới dạng x = x(a) thì những giá trị x = b làm m 1 (x) = 0 cũng là nghiệm của phương trình. Ví dụ: Giải các phương trình: 1. x(y 2 − 1)dx + y(x 2 − 1)dy = 0 2. x  1 −y 2 dx + y  1 −y 2 dy = 0 Giải: 1. x(y 2 − 1)dx + y(x 2 − 1)dy = 0 Giả sử phương trình: (y 2 − 1)(x 2 − 1) = 0 Chia cả 2 vế của phương trình cho: (y 2 − 1)(x 2 − 1) ta được: x x 2 − 1 dx + y y 2 − 1 dy = 0 2 ⇔  x x 2 − 1 dx +  y y 2 − 1 dy = C ⇔ ln|1 − x 2 | + ln|1 − y 2 | = C ⇔ |1 −x 2 ||1 −y 2 | = |C|C = 0 ⇔ (1 −x 2 )(1 −y 2 ) = C Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là : (1 −x 2 )(1 −y 2 ) = C Với (y 2 − 1)(x 2 − 1) = 0 ⇔   x = ±1 y = ±1 Thế trực tiếp vào phương trình ta thấy x = ±1, y = ±1 cũng là nghiệm của phương trình 2. x  1 −y 2 dx + y  1 −y 2 dy = 0 Giả sử:  1 −y 2  1 −y 2 = 0 chia cả 2 vế cho  1 −y 2  1 −y 2 ta được: xdx √ 1 −x 2 + ydy  1 −y 2 = 0 Tính tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: √ 1 −x 2 +  1 −y 2 = C, C > 0 Với  1 −y 2  1 −y 2 = 0 ta được, x = ±1, y = ±1 thế trục tiếp vào phương trình ta có: x = ±1, y = ±1 cũng là nghiệm của phương trình. Bài Tập tương tự: 1.y  cos2y − siny = 0 2. y  = 1 x −y + 1 3. x  1 + y 2 dx + y  1 + y 2 dy = 0, y(0) = 1 4. √ 1 −x 2 dy +  1 −y 2 dx = 0 5.  1 + y 2 cosxdx −ysin 2 xdy = 0 với y  π 2  = 0 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một Cách giải: Phương trình tuyến tính cấp một có dạng: y  + p(x)y = q(x) 3 (3) Khi q(x) = 0∀x thì (3) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất. Giải ra: y = Ce −  p(x)dx y = 0 cũng là một nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. Khi q(x) = 0 thì (3) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Có công thức nghiệm là: y(x) = e −  p(x)dx  C +  (q(x)e  p(x)dx )dx  Ví dụ: Giải phương trình: 1.y  + 3xy = 0 2. (x + y)dx + xdy = 0 3.y  + 4xy = x 2 4. y  − 2 x y = x 2 sinx 5.y  + 2xy = e −x 2 (2x −3) Giải: 1.3 Phương trình vi phân toàn phần Phương trình: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0(1.7) với M(x, y), N (x.y), ∂M(x, y) ∂y , ∂N(x, y) ∂x là những hàm liên tục trên D ⊂ R 2 được gọi là vi phân toàn phần Khi và chỉ khi: Tồn tại U(x,y) khả vi (Các ĐHR của U liên tục) sao cho: dU(x, y) = ∂U ∂x (x, y)dx + ∂U ∂y (x, y)dy = M(x, y)dx + N (x, y)dy Ví Dụ: xdx + ydy = 0 4 Ta có: xdx + ydy = d  1 2 (x 2 + y 2 )  Vì vậy tích phân tổng quát là x 2 + y 2 = C Định lý: Giả sử: M(x,y), N(x,y) thỏa mãn giả thiết của định nghĩa, Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.7) là phương trình vi phân toàn phần là: ∂M(x, y) ∂y = ∂N(x, y) ∂x , (∀(x, y) ∈ D) Chứng Minh: Điều Kiện cần: Giả sử phương trình M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0 là phương trình vi phân toàn phần. Khi đó ∃u(x, y) sao cho: du = ∂u ∂x dx + ∂u ∂y dy = M dx + Ndy∀(x, y) ∈ D ⇒      ∂u ∂x dx = M (x, y) ∂u ∂y dy = N (x, y) ⇒        ∂ 2 u ∂x∂y dx = ∂M(x, y) ∂y ∂ 2 u ∂x∂y dy = ∂N(x, y) ∂x Mà ∂M(x, y) ∂y ; ∂N(x, y) ∂x liên tục trên D. ⇒ ∂ 2 u ∂x∂y ; ∂ 2 u ∂x∂y liên tục trên D ⇒ ∂ 2 u ∂x∂y = ∂ 2 u ∂x∂y ⇒ ∂M(x, y) ∂y = ∂N(x, y) ∂x Điều Kiện đủ: Giả sử ∂M(x, y) ∂y = ∂N(x, y) ∂x ∀(x, y) ∈ D ta cần chứng minh Phương trình M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0 là phương trình vi phân toàn phần. Gọi u(x, y) là hàm khả vi sao cho:      ∂u ∂x dx = M (x, y) ∂u ∂y dy = N (x, y) ta có: ∂u ∂x dx = M (x, y) Do đó: 5 u(x, y) =  x x 0 M(x, y)dx + ϕ(y)(∗) (ở đây ta chọn (x 0 , y 0 ) ∈ D sao cho tại đó các hàm M(x, y), N(x, y) không đồng thời triệt tiêu.) Bây giờ ta chọn hàm ϕ(y) sao cho: ∂u ∂y dy = N (x, y) Nghĩa là:  x x 0 ∂M(x, y) ∂y + ϕ  (y) = N (x, y) hay: ϕ  (y) = N (x, y) −  x x 0 ∂M(x, y) ∂y dx = N(x, y) −  x x 0 ∂N(x, y) ∂x dx = N (x, y) − N(x, y) + N(x 0 , y) Từ đây suy ra: ϕ(y) =  y y 0 N(x, y) Thay ϕy vào (*) ta được u(x, y) =  x x 0 M(x, y)dx +  y y 0 N(x, y) và do đó hệ thức: u(x, y) =  x x 0 M(x, y)dx +  y y 0 N(x, y) = C là tích phân tổng quát cua phương trình M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 trong D Ví Dụ: Giải Phương trình: 1. (7x + 3y)dx + (3x − 5y)dy = 0 2. (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 0 3.(2xy + 3y 2 − 4)dx − (5y 4 − x 2 − 6xy)dy = 0 4. 2x y 3 dx + y 2 − 3x 2 y 4 dy = 0 5.  1 y sin x y − y x 2 cos y x + 1  dx + ( 1 x cosyx − x y 2 sin x y + 1 y 2 )dy Giải: 6 Chương 2 Phương Trình vi phân cấp một chưa giải ra đạo hàm. 2.1 Phương trình chỉ chứa biến và đạo hàm của hàm cần tìm. Dạng Tổng quát:F (x, y  ) = 0 a. Nếu từ phương trình F (x, y  ) = 0 (1.6) ta giải được y  : y  = f(x) thì: y =  f(x)dx + C Là nghiệm của phương trình (1.6). b. Nếu từ phương trình (1.6) giải ra được x: x = ϕ(y  ) thì đặt y  = p và xem p như tham số ta có: dy = pdx + pϕ  (p)dp và do đó: y =  pϕ  (p)dp + C 7 Ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình dưới dạng tham số:    x = ϕ(p) y =  pϕ  (p)dp + C c. Từ phương trình (1.6) ta biểu diễn được x và y  qua tham số t: x = ϕ(t); y  = ψ(t) Khi đó: y =  y  dx =  ϕ  (t)ψ(t) + C Và ta được nghiệm tổng quát dưới dạng tham số là:    x = ϕ(t) y =  ϕ  (t)ψ(t) + C Ví Dụ:Giải Phương Trình: a. y  − e −y  + x = 0 b.e y  + y  − x = 0 c. x 3 + y 3 − 3xy  = 0 Giải: 2.2 Phương trình chứa hàm và ĐHR của hàm cần tìm Dạng: F (y, y  ) = 0 (1.7) Ta xét các trường hợp: a. Từ (1.7) ta gải được y’ y  = f(y) Và do đó tích phân của nó có dạng:  dy f(y) = x + C ngoài ra y = y 0 với f (y 0 ) cũng là nghiệm của phương trình. b. Từ (1.7) Giải được y: y = ϕ(y  ) Đặt y  = p và coi như tham số ta được: 8 y = ϕ(p) mà y  = dy dx ⇒ dx = ϕ  (p)dp p ta suy ra: x =  ϕ  (p)dp p + C Vậy ta được nghiệm dưới dạng tham số là:      x =  ϕ  (p)dp p + C y = ϕ(p) c. Từ (1.7) ta biểu diễ được y và y’ qua tham số t: y = ϕ(t); y  = ψ(t) khi đó: dx = ϕ  (t) ψ(t) dt và: x =  ϕ  (t) ψ(t) dt + C Nghiệm tồng quát của phương trình là:      x =  ϕ  (t) ψ(t) dt + C y = ϕ(t) Ví Dụ: 1. lny  − y  + y = 0 2.y  + lny  − y = 0 3.1 + y 2 = 1 y 2 4. y 3 − y 2 (a −y  ) = 0 với a = const 9 [...]... y = 3sinx √ x − x 3 2 sin m.y + y + y = e 2 20 Chương 5 Hệ Phương trình vi phân cấp một Đưa phương trình vi phân cấp 1 về một phương trình vi phân cấp cao Ví dụ: giải phương trình:   dx  = 3x − 2y dt  dy = 2x − y   dt  dy = z  dx 2  dz = z  dx y  y2  dy  = dx z 1  dy  = y dx 2 Phương pháp tổ hợp tích phân Ví dụ: Giải Phương Trình:   dx = y − z    dt   dx   =y dy dt b a dy =z−x... Hay y (k) = ω(x, C1 , C2 , ., Ck ) Ta được phương trình của mục 3.1.a Nếu tích phân phương trình F (x, z, z , z (n−k) ) = 0 ta được tích phân tổng quát: φ(x, z, C1 , C2 , , Ck ) = 0 thì ta có: φ(x, y (k) , C1 , C2 , , Ck ) = 0 Ta lại quay về phương trình của mục 3.1.a Ví Dụ: Giải Phương trình: a 4y + y 2 = 4xy b.y − xy + y 2 =0 13 Chương 4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 4.1 Định nghĩa và các... Dụ:Giải phương trình: a y − 4x2 = 0 b ey + y − x = 0 c x + y − lny = 0 d.x − y ey + y 2 =0 3 e ay = −(1 + y 2 ) 2 f y 3.2 2 + x2 = 1 Phương trình vi phân giải được bằng phương pháp hạ thấp cấp Dạng Tổng Quát: F (x, y (k) ), y (k+1) ), y (k+2) y (n) )(k ≥ 1) 12 Đặt y k = z và coi z như một hàm số mới ta đưa phương trình về dạng: F (x, z, z , z (n−k) ) = 0 Đây là phương trình cấp n − k Ta giả sử phương trình. .. tính chất cơ bản Định nghĩa:PTVP tuyến tính cấp n là phương trình có dạng: a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + + an−1 (x)y + an (x)y = g(x) (2.7) Tính Chất: 1 Tính tuyến tính của pt (2.7) không thay đổi khi thay biến số độc lập x = ϕ(t) với ϕ khả vi đến cấp n và ϕ (t) = 0 Chứng minh:Chỉ đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp 3 Xét Phương trình vi phân tuyến tính cấp 3 dạng: a1 (x)y + a2 (x)y + a3 (x)y... 0(1.1) Với phương trình đặc trưng là: λn + a1 λn−1 + + an = 0 Phương pháp giải: Phương trình đặc trưng có n nghiệm khác nhau: λ1 ; λ2 ; ; λn ; với λi = λj Khi đó ta xây dựng được n nghiệm riêng của phương trình (1.1) sau: y1 = eλ1 x ; y2 = eλ2 x .yn = eλn x Vậy Nghiệm tổng quát của phương trình là: y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x + + Cn eλn x Với C1 ; C2 ; ; Cn là những hằng số bất kì Phương trình đặt...Chương 3 Phương trình vi phân cấp cao 3.1 Phương trình vi phan giải được bằng phương pháp cầu phương 3.1.1 Phương trình chỉ chứa biến độc lập và đạo hàm cấp n Dạng F (x, y (n) ) = 0(1) Ta xét các trường hợp: a Từ (1) ta giải ra được đạo hàm y (n) y (n) = f (x) Khi... y =ỹ+y∗ là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) 17 (x) =0 Tính Chất Nghiệm 2: Nếu y1 ; y2 lần lượt là các nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất L[y] = f1 (x) và L[y] = f2 (x) thì y = y1 + y2 là nghiệm tổng quát của phương trình L[y] = f1 (x) + f2 (x) Đây được gọi là nguyên lý chồng chất nghiệm 4.2 4.2.1 Phương Trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng Phương trình tuyến tính thuần nhất với... của ptvptt TN "Nếu y1 (x); y2 (x); ., yn (x) là nghiệm của phương trình thuần nhất thì: C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + Cn yn (x) cũng là nghiệm của phương trình thuần nhất " y(x) là nghiệm của phương trình thuần nhất 0 0 0 Mặt khác:α1 ; α2 .αn là nghiệm của hệ phương trình (1) nên từ (1)và (2) ta có: 16 (k) y0 = y (k) , ∀k = 0, 1 , n − 1 Do phương trình vptttn có nghiệm tầm thường z(x) = 0 và thỏa mãn z (k)... phương trình VPTTTN L[y] = 0 y* là một nghiệm của phương trình VPTT không thuần nhất L[y] = f (x) thì y =ỹ+y∗ là nghiệm của phương trình a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + + an−1 (x)y + an (x)y = f (x)(1.1) với L[y] = 0 = a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + + an−1 (x)y + an (x)y(1.2) Chứng minh: Giả sử ỹ= y1 C1 + y2 C2 + + yn Cn là nghiệm tổng quát của phương trình L[y] = 0 và y* là một nghiệm của phương trình. .. phức bội k; 18 Nếu λ1 = a + bi là nghiệm phức bội m thì trong trường hợp này phương trình có 2m nghiệm thực là: y1 = eax cosbx; y2 = xeax cosbx; ; ym = xe(m−1) cosbx và y1 = eax sinbx; y2 = xeax sinbx; ; ym = xe(m−1) sinbx Kết hợp với những nghiệm còn lại ta sẽ được nghiệm tổng quát của phương trình Ví Dụ: Giải các phương trình: a y − y − 4y + 4y = 0 b.y − 3y + 9y + 13y = 0 c y − 3y + 3y − y = 0 d.y . 0 13 Chương 4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 4.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản Định nghĩa :PTVP tuyến tính cấp n là phương trình có dạng: a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n−1) + + a n−1 (x)y  +. α 0 n Xét hàm: y(x) = α 0 1 y 1 (x) + α 0 2 y 2 (x) + + α 0 n y n (x)(2) Theo tính chất nghiệm của ptvptt TN "Nếu y 1 (x); y 2 (x); , y n (x) là nghiệm của phương trình thuần nhất thì: C 1 y 1 (x). của phương trình (1.1) 17 Tính Chất Nghiệm 2: Nếu y 1 ; y 2 lần lượt là các nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất L[y] = f 1 (x) và L[y] = f 2 (x) thì y = y 1 + y 2 là nghiệm tổng quát của