Phương trình vi - tích phân trung tính kiểu sóng khuếch tán

Bài viết trình bày nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm phân rã cho phương trình vi - tích phân trung tính kiểu sóng khuếch tán bằng cách sử dụng phương pháp điểm bất động.

NGÀNH TỐN HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TRUNG TÍNH KIỂU SĨNG KHUẾCH TÁN NEUTRAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF DIFFUSION-WAVE TYPE Nguyễn Thị Diệp Huyền, Dương Thị Hương, Phạm Thị Hường Email: diephuyendhsaodo@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 7/3/2018 Ngày nhận sửa sau phản biện: 26/3/2018 Ngày chấp nhận đăng: 28/3/2018 Tóm tắt Trong báo này, nghiên cứu tồn nghiệm phân rã cho phương trình vi - tích phân trung tính kiểu sóng khuếch tán cách sử dụng phương pháp điểm bất động Từ khóa: Phương trình vi - tích phân; nghiệm tích phân; điểm bất động Abstract In this paper, we study the existence optical-beam-deflection neutral integro-differential equations of diffusion-wave type by using a fixed point approach Keywords: Integro-differential equations; integral solution; fixed point GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Ta xét toán sau không gian Banach X: Cho L ( X ) khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn X Ta nhắc lại vài ý kết toán tử giải thức bậc phân số sử dụng cho phần d H (u )(t ) = dt t ∫ (t - s )α -2 AH (u )( s )ds Γ (α -1) ) + f (t , u (t ), ut ), t > 0, u ( s ) + g (u )( s ) =ϕ ( s ), s ∈ [-t , 0], (1) (1) (2) (2) , A tốn tử đó: đóng, tuyến tính không bị chặn, f , g h hàm vectơ Với α ∈ (1, 2) ut kí hiệu hàm trễ theo thời gian t , tức là, Chúng muốn tồn nghiệm phân rã (hay nghiệm ổn định) với (1) - (2) với tỉ lệ phân rã xác định tốn Để tìm nghiệm phân rã (1) - (2), sử dụng phương pháp điểm bất động khởi xướng Burton Furumochi cho phương trình vi phân hàm thường gặp (xem [1, 2]) Chúng xây dựng không gian phù hợp gồm hàm triệt tiêu vô với tỉ lệ phân rã xác định, tốn tử nghiệm tốn có điểm bất động Định nghĩa Cho A tốn tử tuyến tính đóng với miền xác định D ( A ) không gian Banach X Ta nói A sinh giải thức α tồn ω ∈  hàm liên tục mạnh Sα :  + → L ( X ) thỏa mãn λ α : Re λ > ω ⊂ ρ ( A) (tập giải A ), { } ( λ α −1 λ α I − A ) −1 ∫ ∞ x= e−λt Sα ( t ) xdt , Re λ > ω , x ∈ X Ta biết rằng, trường hợp α = , Sα (.) = S1 (.) C0 − nửa nhóm, α = ta có họ cosin S2 (.) Nếu A sinh giải thức β với β > α sinh giải thức α Trường hợp riêng, A sinh họ cosin, tồn giải thức α sinh A với α ∈ (1, ) Đặc biệt, cho A tốn tử đóng trù mật Giả sử A toán tử quạt kiểu (ω , θ ), tức là, tồn ω ∈ ,  π ρ ( A) ⊂  \ ∑ θ ∈  0,  , M > cho ω ,θ  2 ( λ I − A ) −1 L( X ) ≤ M λ −ω , λ∉ ∑ω θ , , đó: Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 51 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ∑ω θ = {ω + λ : λ ∈ , arg ( −λ ) < 0} , Trong trường hợp ≤ θ ≤ π (1 − α / ) , Sα (.) tồn cho công thức: −1 = Sα ( t ) etλ λ α −1 λ α I − A d λ , t ≥ 0, 2π i γ γ đường phù hợp nằm ∑ ω ,θ Hơn ta có khẳng định sau Sα (.): ( ∫ ) Định lý [3] Cho A : X → X toán tử quạt kiểu (ω ,θ ) với ≤ θ ≤ π (1 − α / ) Khi tồn C > độc lập với t thỏa mãn C + ωt α eω1/α t , ω ≥ 0,  Sα ( t ) ≤ C L( X ) , ω < 0,  α 1 + ω t ( ) với t ≥ Ta tìm khái niệm phù hợp nghiệm tích phân tốn (1) - (2) Ký hiệu L phép biến đổi Laplace hàm nhận giá trị X xác định  + Đặt y ( t ) = H ( u )( t ) áp dụng biến đổi Laplace tốn (1) - (2), ta có: λ L [ y ] ( λ= ) − y ( ) α −1 AL [ y ] ( λ ) + L [ f ] ( λ ) λ Do (λ α ) I − A L ( y )( λ ) = λ α −1 Như ( (λ ) I − A) L [ y ] ( λ ) = λ α −1 λ α I − A + λ α −1 α y (0) + λ −1 −1 α −1 L [ f ](λ ) y (0) + L [ f ](λ ) , = L [ y ] ( λ ) L Sα ( λ ) y ( ) + L Sα ( λ ) L [ f ] ( λ ) (3) Sử dụng định lý phép tịnh tiến thứ hai định lý tích chập biến đổi Laplace nghịch đảo (3), ta y ( t ) = Sα ( t ) y ( ) t ∫ Sα (t − s ) f ( s, u ( s ) , u ) ds, t ≥ ( + ∫ t Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) ds, t ≥ ) (4) Cho T > 0, ta ký hiệu C= C ([ −t , T ] ; X ) không gian hàm liên tục u : [ −t , T ] → X Khi đó, C T khơng gian Banach với chuẩn T u C T := sup u ( t ) t∈[ −t ,T ] − Sα ( t ) h ( 0, ϕ − g ( u ) ) + t ∫ Sα (t − s ) f ( s, u ( s ) , u ) ds, s với t ∈ [ 0, T ] Cho F : C T → C T , ϕ ( t ) − g ( u )( t ) , t ∈ [ −t , 0] ,  h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( ) − g ( u )( )   F ( u )( t ) =  − S ( t ) h ( 0, ϕ − g ( u ) )  α  t + Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) ds, t ∈ [ 0, T ]  ∫ Khi u nghiệm tích phân tốn (1) - (2) điểm bất động toán tử nghiệm F KẾT QUẢ ỔN ĐỊNH NGHIỆM (A) Toán tử A toán tử quạt kiểu (ω , θ ) cho ω < ≤ θ < π (1 − α / ), tức giải thức α , Sα (.) sinh A liên tục theo chuẩn với t > (F) Hàm phi tuyến f :  + × X × Ct → X thỏa mãn: f (., v, w ) đo với v ∈ X , w ∈ Ct , f ( t ,.,.) hàm liên tục với t ∈  + , f ( t , 0, ) = tồn k ∈ L1  + , cho ( ) f ( t , v1 , w1 ) − f ( t , v2 , w2 ) ( ≤ k ( t ) v1 − v2 X X + w1 − w2 ),t ∈  , + Ct (G) Hàm không cục g : C T → Ct liên tục, thỏa mãn g ( ) = có số η khơng âm cho Điều suy u (t ) = h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( ) − g ( u )( )  − Sα ( t ) h 0,ϕ − g ( u ) u (t ) = h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( ) − g ( u )( )  với v1 , v2 ∈ X , w1 , w2 ∈ Ct s Định nghĩa Hàm u ∈ C T gọi nghiệm tích phân toán (1) - (2) khoảng [ −t ,T ] u= ( t ) ϕ ( t ) − g ( u )( t ) với t ∈ [ −t , 0] Đặt C = C ([ −t , 0] ; X ) Để nghiên cứu toán (1) t – (2) ta xét giả thiết sau đây: với λ thỏa mãn Re λ > 0, λ α ∈ ρ ( A ) Cho Sα (.) giải thức α sinh A, + Từ (4) ta định nghĩa nghiệm tích phân tốn (1) - (2) sau: g ( w1 ) − g ( w2 ) Ct ≤ η w1 − w2 CT , với w1 , w2 ∈ C T , với T > (H) Hàm h :  + × Ct → X thỏa mãn: (1) h liên tục; h ( t , ) = (2) h ( t ,.) thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức 52 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 NGÀNH TOÁN HỌC h ( t , v1 ) − h ( t , v2 ) X ≤ l ( t ) v1 − v2 Ct + , với v1 , v2 ∈ Ct , l hàm giá trị thực, bị chặn  + Bây ta tìm nghiệm ổn định toán (1) - (2), ta xét không gian hàm sau BCα = { u ∈ C ([ −t , ∞ ] ; X ) : t α u ( t ) = O (1) , < t < ∞} = sup u ( t ) ∞ X t ≥−t t Sα ( t − s ) ≤ l∞ ut + ∫ t + Sα ( t ) Ct Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) L( X ) L( X ) (ϕ Ct ( k (s) u (s) L( X ) ds X ) + η R (1 + l∞ ) X + us Ct ) ds = E1 ( t ) + E2 ( t ) + E3 ( t ) , (6) X E1 ( t ) = l∞ ut với chuẩn u ∫ = E2 ( t ) Sα ( t ) ∫ , Ct L( X ) (ϕ Khi đó, BCα khơng gian Banach ( t E3 ( t ) = Sα ( t − s ) ) + η R (1 + l∞ ) Ct k (s) u (s) L( X ) + us X Ct ) ds Sử dụng (5) ta Ta có kết sau đây: = t α E1 ( t ) l∞= t α ut C O (1) t → ∞ Định lý Giả sử giả thiết (A), (F), (G) (H) t thoả mãn Khi tốn (1) - (2) có Liên quan đến E2 ( t ) , sử dụng Định lý ta có nghiệm tích phân u thỏa mãn u ( t ) = O t −α X = t α E2 ( t ) t α Sα ( t ) ϕ C + η R ) (1 + l∞ ) L( X ) ( t t → ∞ , với điều kiện α Ct O (1) t → ∞ ≤ ϕ C + η R (1 + l∞ ) = l∞ + η (1 + l∞ ) Sα∞ t + ω tα ( ) ) ( + 2sup t ≥0 ∫ t Sα ( t − s ) L( X ) Sα∞ = sup Sα ( t ) t ≥0 k ( s ) ds < 1, Với E3 ( t ) , ta có  t α E3 ( t ) = tα   l∞ = sup l ( t ) t ≥0 t /2 ∫ + ( ∫   Sα ( t − s ) L( X )  t t /2 Chứng minh Ta chứng tỏ toán tử nghiệm k ( s ) u ( s ) + us X F ánh xạ BCα vào ánh xạ co Ta nhắc lại = t α E3a ( t ) + t α E3b ( t ) ; h ( t , ut ) + Sα ( t ) ϕ ( ) − g ( u )( )  −    − Sα ( t ) h ( 0, ϕ − g ( u ) ) +  F ( u )( t ) =  t + Sα ( t − s ) f ( s, u ( s ) , us ) ds, t > 0,  ϕ ( t ) − g ( u )( t ) , t ∈ [ −t , 0]  t α E3a ( t ) ∫ ≤ ≤ Cho u ∈ BCα cho= R u ∞ > Ta chứng minh F ( u ) ∈ BCα , tức là, tα F ( u )( t ) = O (1) X t → ∞ Do u ∈ BCα , tồn số K > cho X α = t ut C t t X sup u ( t + µ ) µ∈[ −t ,0] +l∞ Sα ( t ) + ω (t / 2) (5) X ≤ K , ∀t ∈ t L( X ) (ϕ X L( X ) Ct + (ϕ Ct + g (u ) + g (u ) Ct ) Ct ) t/2 RCt α k α + ω (t / 2) ∫ + tα ∫ ( X + us ( ) t → ∞ O (1) , = t t/2 Sα ( t − s ) L( X ) L( X ) k (s) u (s) k ( s ) us t/2 ds + ds α ∫ ∫ X Ct t t Sα ( t − s ) k ( s ) sα u ( s ) = L( X )  s  t/2   t ) ds Ct k ( s ) ds L1  + t ) ds k (s) u (s) t α E3b ( t ) = tα Sα ( t − s ) + ≤ h ( t , ut ) + Sα ( t ) ∫ α t/2 Khi với t > 0, F ( u )( t ) RCt α ≤ K, α L( X ) ∫ tα u ( t ) t/2 = tα Sα ( t − s ) Ct Sα ( t − s ) ≤ KC X ds + α t k ( s ) sα us L( X )  s    Ct ds ( t / s )α ∫t / + ω ( t − s )α k ( s ) ds t ≤ 2α +1 KC ∫ t t /2 k ( s ) ds ≤ 2α +1 KC k ( ) L1  + Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 53 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Do t α E3 ( t ) = O(1) t → ∞ Thay vào (6) ta t α F ( u )( t ) ≤ t α  E1 ( t ) + E2 ( t ) + E3 ( t )  tử quạt kiểu ( λ1 , ) với λ1 < giá trị riêng A , tức { L2 ( Ω ) −λ= sup ∇v = O (1) , t → ∞ : v } = L2 ( Ω ) Hệ phương trình (7) - (8) dạng tổng quát (1) - (2) với Điều F ( BCα ) ⊂ BCα Ta chứng minh F ánh xạ co Giả sử u , v ∈ BCα , = f ( t , v, w )( x ) k ( t ) f ( x, v ( x ) , w ( −t , x ) ) , sử dụng (F), (G) (H) ta có m g u s x = − βi u ( ti + s, x ), ( )( )( ) F u t −F v t ≤ l t u −v ( )( ) ( )( ) () t + Sα ( t ) L( X ) +l ( t ) Sα ( t ) + ∫ t Sα ( t − s ) ≤ l∞ u − v  +2  ∫ t Sα ( t − s ) g ( u )( ) − g ( v )( ) L( X ) g (u ) − g (v ) L( X ) ∞ + l∞ Sα∞η u − v  k ( s ) ds  u − v  ∞ i =1 X ∞ ≤  u −v X ds t ≥0 ∫ Sα ( t − s ) f ( x, y , z ) − f ( x, y , z ) 1 2 , ∞ ≤ µ ( x ) ( y1 − y2 + z1 − z2 ) , µ ∈ L∞ ( ∞ ) , với x ∈ Ω, y1 , y2 , z1 , z2 ∈  L( X ) Cho v1 , v2 ∈ X , w1 , w2 ∈ Ct , ta có k ( s ) ds ≤ Cho Ω miền bị chặn  n với biên trơn ∂Ω Xét toán sau đây: α −2 (t − s ) ∫0 Γ (α − 1) ∆ x H (u )( s, x ) ds + k ( t ) f ( x, u ( t , x ) , u ( t − t , x ) ) , t > 0, x ∈ Ω, t u ( t ,= x ) 0, t > 0, x ∈ ∂Ω, m s, x ) ∑ β u (t += i i H ( u )( t , x ) = u (t, x ) − ϕ ( s ) , s ∈ [ −t , 0] , X ( v ( x ) − v ( x ) ) dx + ∫ ( w ( −t , x ) − w ( −t , x ) ) dx ≤ k (t ) 2 ∞ µ ∫ Ω 2 Ω ≤ k (t ) ≤ k (t ) 2 µ ∞ ( v −v µ ∞ ( v −v 2 X + w1 ( −t ,.) − w2 ( −t ,.) 2 X + w1 − w2 Ct ) + w1 − w2 Ct ) Vì (7) (8) ∫ t a ( s ) u (t + s, x ) ds, − ∆ x toán tử Laplace (đối với biến x ), tức n ∂2 ∆x = ∑ Cho = X L2 ( Ω ) , A = ∆ x với i =1 ∂xi D( A = ) H ( Ω ) ∩ H ( Ω ) Ta biết A toán f ( t , v1 , w1 ) − f ( t , v2 , w2 ) Ví dụ: i =1 f : Ω ×  ×  →  f ( x, 0, ) = 0, Sau xét ví dụ mơ hình toán đặt ra: u ( s, x ) − Giả sử k ∈ L1  + cho Hoàn thành chứng minh ∂ = H ( u )( t , x ) ∂t ( ) ∞  =l∞ + η (1 + l∞ ) Sα∞ + t − ti > 0, βi ∈ , i ∈ {1, , m} + 2sup ∫ t a ( s ) w ( s, x ) ds, a ∈ L ( −t , 0;  ) với u ∈ C ([ −t , ∞ ] ; L ( Ω ) ) , v ∈ L ( Ω ) , w ∈ Ct := C ([ −t , 0] ; L ( Ω ) ) , Suy F (u ) − F (v ) = h ( t , w )( x ) Ct f ( s, u ( s ) , us ) − f ( s, v ( s ) , vs ) L( X ) + Sα∞η u − v ∞ ∑ t C t f ( t , v1 , w1 ) − f ( t , v2 , w2 ) ≤ k (t ) µ ∞ ( v −v X X Với hàm không cục g , rõ ràng g ( u1 ) − g ( u2 ) Ct m ∑ ∫ ≤ m sup βi2 s∈[ −t ,0] i =1 ≤m m ∑β i =1 i u1 − u2 Ω u1 ( ti + s, x ) − u2 ( ti + s, x ) dx CT , 54 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 X ) NGÀNH TOÁN HỌC ( ) T C [ t , T ] ; L2 ( Ω ) với T > 0, C =−  =l∞ + η (1 + l∞ ) Sα∞ + Do đó, +2 µ g ( u1 ) − g ( u2 ) Ct  ≤ m    βi  u1 − u2   m ∑ i =1 CT , sup ∞ t ≥0 ∫ t Sα ( t − s ) L( X ) k ( s ) ds ≤ 1, l∞ = t a L2 ( −t ,0 ) η = m ∀T >   Ω L2 ( −t ,0 ) ≤ a L2 ( −t ,0 ) ≤t a X TÀI LIỆU THAM KHẢO ≤ a ∫ t (∫ 0 ∫t L2 ( −t ,0 ) − [1] T.A Burton (2006) Stability by Fixed Point Theory ) for  w1 ( s, x ) − w2 ( s, x )  dx ds Ω − i  a ( s )  w1 ( s, x ) − w2 ( s, x )  ds  dx −t  ∫ ∫ ∑β i =1 Với w1 , w2 ∈ Ct , ta có h ( t , w1 ) − h ( t , w2 ) m w1 ( s,.) − w2 ( s,.) w1 − w2 Do h ( t , w1 ) − h ( t , w2= ) X Ct X Differential Equations Dover Publications, New York ds [2] T.A Burton, T Furumochi (2001) Fixed points and problems in stability theory for ordinary and functional t a L2 ( −t ,0 ) w1 − w2 Functional differential equations Dyn Sys Appl 10 89-116 [3] E Cuesta (2007) Asymptotic behaviour of the Ct Áp dụng Định lý 2, tốn (7) - (8) có nghiệm tích phân BCα , với điều kiện solutions of fractional integro-differential equations and some time discretizations Discrete Contin Dyn Syst (Supplement) 277-285 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 55 ... Dyn Sys Appl 10 8 9-1 16 [3] E Cuesta (2007) Asymptotic behaviour of the Ct Áp dụng Định lý 2, tốn (7) - (8) có nghiệm tích phân BCα , với điều kiện solutions of fractional integro-differential equations... trị riêng A , tức { L2 ( Ω ) −λ= sup ∇v = O (1) , t → ∞ : v } = L2 ( Ω ) Hệ phương trình (7) - (8) dạng tổng quát (1) - (2) với Điều F ( BCα ) ⊂ BCα Ta chứng minh F ánh xạ co Giả sử u , v ∈ BCα... , us ) ds, t ∈ [ 0, T ]  ∫ Khi u nghiệm tích phân tốn (1) - (2) điểm bất động toán tử nghiệm F KẾT QUẢ ỔN ĐỊNH NGHIỆM (A) Toán tử A toán tử quạt kiểu (ω , θ ) cho ω < ≤ θ < π (1 − α / ), tức