TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Giaovienvietnam.com Buổi CHỦ ĐỀ 1+2 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN A Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn • Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) • Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng K • Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K • Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng K • Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K hàm số không đổi khoảng K  Chú ý  Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f ( x) liên tục đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b ] có đạo hàm f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K khoảng ( a; b ) hàm số đồng biến đoạn [ a; b ]  Nếu f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K ( f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K ) f ′ ( x ) = số điểm hữu hạn K hàm số đồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K ) Kĩ 4.1 Lập bảng xét dấu biểu thức P ( x ) Bước Tìm nghiệm biểu thức P ( x ) , giá trị x làm biểu thức P ( x ) không xác định Bước Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Bước Sử dụng máy tính tìm dấu P ( x ) khoảng bảng xét dấu 4.2 Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) tập xác định Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y ′ = f ′( x) Bước Tìm nghiệm f ′( x) giá trị x làm cho f ′( x) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận 4.3 Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f ( x ) đồng biến, nghịch biến khoảng ( a; b ) cho trước Cho hàm số y = f ( x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D :  Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b)  Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) a1 x + b1 : cx + d Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ (a; b) Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (a; b)  Chú ý: Riêng hàm số y =   * Nhắc lại số kiến thức liên quan: Cho tam thức g ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) a > a) g ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ ≤ a < c) g ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ ≤ a < b) g ( x) > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ > a < d) g ( x) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ <  Chú ý: Nếu gặp tốn tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) :  Bước 1: Đưa bất phương trình f ′( x) ≥ (hoặc f ′( x) ≤ ), ∀x ∈ ( a; b) dạng g ( x) ≥ h( m) (hoặc g ( x) ≤ h( m) ), ∀x ∈ (a; b)  Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số g ( x) (a; b)  Bước 3: Từ bảng biến thiên điều kiện thích hợp ta suy giá trị cần tìm tham số m B Cực trị hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục khoảng (a; b) (có thể a −∞ ; b +∞ ) điểm x0 ∈ (a; b) • Nếu tồn số h > cho f ( x ) < f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x) đạt cực đại x0 • Nếu tồn số h > cho f ( x ) > f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x) đạt cực tiểu x0 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục K = ( x0 − h; x0 + h) có đạo hàm K K \{x0 } , với h > • Nếu f ' ( x ) > khoảng ( x0 − h; x0 ) f '( x ) < ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f ( x) • Nếu f ′ ( x ) < khoảng ( x0 − h; x0 ) f ′( x) > ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f ( x) Minh họa bảng biến thiên  Chú ý Giaovienvietnam.com  Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f ( x0 ) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu fCĐ ( f CT ) , điểm M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số  Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Kĩ 3.1 Quy tắc tìm cực trị hàm số • Quy tắc 1: Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tính f ′ ( x ) Tìm điểm f ′ ( x ) f ′ ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị • Quy tắc 2: Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tính f ′ ( x ) Giải phương trình f ′ ( x ) ký hiệu xi ( i = 1, 2,3, ) nghiệm Bước Tính f ′′ ( x ) f ′′ ( xi ) Bước Dựa vào dấu f ′′ ( xi ) suy tính chất cực trị điểm xi 3.2 Kỹ giải nhanh toán cực trị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) Ta có y ′ = 3ax + 2bx + c • Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình y ′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ b − 3ac >  2c 2b  bc Khi đường thẳng qua hai điểm cực trị : y =  − ÷x + d − 9a  9a  • Bấm máy tính tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị :  x b  x =i ax + bx + cx + d − ( 3ax + 2bx + c )  + ÷→ Ai + B ⇒ y = Ax + B  9a  y′ y ′′ Hoặc sử dụng công thức y − 18a • Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba là: b − 3ac 4e + 16e3 với e = 9a a 3.3 Kỹ giải nhanh toán cực trị hàm trùng phương Cho hàm số: y = ax + bx + c ( a ≠ ) có đồ thị ( C ) AB = x = ′ ′ y = 4ax + 2bx; y = ⇔  x = − b 2a  ( C ) có ba điểm cực trị y ′ = có nghiệm phân biệt ⇔ − b >0 2a   b ∆  b ∆  , C  − ; − ÷ Khi ba điểm cực trị là: A ( 0; c ) , B  − − ; − ÷ ÷ ÷ với ∆ = b − 4ac a a a a     b4 b b Độ dài đoạn thẳng: AB = AC = − , BC = − 16a 2a 2a Các kết cần ghi nhớ: • ∆ABC vuông cân ⇔ BC = AB + AC ⇔−  b4  2b b  b4 b b  b3 b3 = 2 − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ +1 = ÷  ÷ 2 a 16 a a 16 a a a a a     • ∆ABC ⇔ BC = AB ⇔−  2b b4 b b4 3b b  b3 b3 = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ +3=  ÷ a 16a 2a 16a 2a 2a  8a 8a  b3 + 8a α 8a · • BAC ⇔ tan = − = α , ta có: cos α = b − 8a b • S ∆ABC = b2 4a − b 2a b3 − 8a • Bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC R = 8ab • Bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC r = b2 4a − b 2a b4 b b − + − 16a 2a 2a = b2 a + 16a − 2ab3 2 ∆  2 ∆  2 + c ÷y + c  − ÷= • Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: x + y −  −  b 4a   b 4a  II LUYỆN TẬP A Tính đơn điệu hàm số Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: 1/ y = x + x + ; 3/ y = x2 + x −1 ; x−2 2/ y = 2x − 4− x 4/ y = 25 − x Bài 2: Cho hàm số y = (m− 1)x3 + mx2 + (3m− 2)x (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định HD giải Tập xác định: D = R y′= (m− 1)x2 + 2mx + 3m− (1) đồng biến R ⇔ y′≥ 0, ∀x ⇔ m≥ Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 − mx − (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞;0) HD giải Tập xác định: D = R y′= 3x2 + 6x − m y′ có ∆′ = 3(m+ 3) + Nếu m≤ −3 ∆′ ≤ ⇒y′ ≥ 0,∀x ⇒hàm số đồng biến R ⇒m≤ −3 thoả YCBT + Nếu m> −3 ∆′ > ⇒PT y′ = có nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) Khi hàm số đồng biến khoảng (−∞; x1),(x2; +∞) Giaovienvietnam.com  ∆′ >   m> −3   S >  −2 > Do hàm số đồng biến khoảng (−∞;0) ⇔0≤ x1 < x2 ⇔ P ≥ ⇔ −m≥ (VN) Vậy: m≤ −3 Bài 4: Cho hàm số y = −2x3 + 3mx2 − (1) Tìm giá trị m để hàm số (1) đồng biến khoảng (x1; x2) với x2 − x1 = HD giải y' = −6x2 + 6mx , y' = ⇔ x = 0∨ x = m + Nếu m = ⇒ y′ ≤ 0,∀x∈ ¡ ⇒hàm số nghịch biến ¡ ⇒m = không thoả YCBT + Nếu m≠ , y′ ≥ 0,∀x∈ (0; m) m> y′ ≥ 0,∀x∈ (m;0) m< Vậy hàm số đồng biến khoảng (x1; x2) với x2 − x1 = (x ; x ) = (0; m)  m− = ⇔ x2 − x1 = 1⇔  − m= 1⇔ m= ±1 ( x ; x ) = ( m ;0)   B Cực trị hàm số Bài 1: Tìm cực trị hàm số: 1) y = x − x x − 3x x +1 x2 − 2x + 5) y = x−1 3) y = x − 4x2 − 2x + 4) y = 4x + x+ 6) y = x− 2) y = Bài 2: Tìm m để hàm số: x + mx + 1) y = đạt cực đại x = x+m x − mx + m − 2) y = đạt cực tiểu x = x +1 x2 + x + m 3) y = đạt cực tiểu x = x +1 4) y = mx + 3x + x + m đạt cực tiểu x = 5) y = mx + (m − 2) x + (2 − m) x + đạt cực đại x = –1 Bài 3: Cho hàm số y = 2x2 − 3(m+ 1)x2 + 6mx + m3 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho AB = HD giải Ta có: y′ = 6(x − 1)(x − m) Hàm số có CĐ, CT ⇔y′ = có nghiệm phân biệt ⇔m≠ Khi điểm cực trị A(1; m3 + 3m− 1), B(m;3m2) AB = ⇔(m− 1)2 + (3m2 − m3 − 3m+ 1) = ⇔m= 0; m= (thoả điều kiện) Bài 4: Cho hàm số y = x3 − 3(m+ 1)x2 + 9x − m, với m tham số thực Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 − x2 ≤ HD giải Ta có y' = 3x2 − 6(m+ 1)x + + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 ⇔ PT y' = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ PT x2 − 2(m+ 1)x + = có hai nghiệm phân biệt x1, x2  m> −1+ ⇔ ∆ ' = (m+ 1)2 − > ⇔   m< −1− (1) + Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2(m+ 1); x1x2 = Khi đó: x1 − x2 ≤ ⇔ ( x1 + x2 ) − 4x1x2 ≤ ⇔ 4( m+ 1) − 12 ≤ ⇔ (m+ 1)2 ≤ ⇔ −3 ≤ m≤ (2) 2 + Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm −3 ≤ m< −1− −1+ < m≤ III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x +1 Khẳng định khẳng đinh đúng? 1− x A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) Câu Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) Câu Cho hàm số y = − x + x − 3x + Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến ¡ B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng ( 1; +∞ ) D Hàm số đồng biến ¡ Câu Cho hàm số y = − x + x + 10 khoảng sau: (I): ( −∞; − ) ; (II): (− ) 2;0 ; Hàm số đồng biến khoảng nào? A Chỉ (I) B (I) (II) (III): ( 0; ) ; C (II) (III) D (I) (III) 3x − Khẳng định sau khẳng định đúng? −4 + x A Hàm số nghịch biến ¡ B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) ( 2; +∞ ) Câu Cho hàm số y = D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − ) ( −2; +∞ ) Câu Hỏi hàm số sau nghịch biến ¡ ? A h( x) = x − x + B g ( x) = x3 + 3x + 10 x + C f ( x ) = − x + x − x D k ( x) = x3 + 10 x − cos x x2 − 3x + nghịch biến khoảng ? x +1 A (−∞; −4) (2; +∞) B ( −4; ) Câu Hàm số y = C ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) D ( −4; −1) ( −1; ) x − x + x − đồng biến khoảng nào? A (−∞;0) B ¡ C (0; 2) Giaovienvietnam.com Câu Hàm số y = D (2; +∞) Câu Cho hàm số y = ax + bx + cx + d Hàm số đồng biến ¡ nào?  a = b = 0, c > A   a > 0; b − 3ac ≤  a = b = 0, c > B   a > 0; b − 3ac ≥  a = b = 0, c > C   a < 0; b − 3ac ≤ a = b = c = D   a < 0; b − 3ac < Câu Cho hàm số y = x3 + 3x − x + 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) B Hàm số đồng biến ¡ C Hàm số đồng biến ( −9; −5 ) D Hàm số đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) Câu 10 Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) có điểm cực trị A ab < B ab > C b = D c = Câu 11 Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên: x24y′ 00y3 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = C Hàm số đạt cực đại x = B Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số đạt cực đại x = −2 Câu 12 Cho hàm số y = x − x + Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = B Hàm số đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = C Hàm số đạt cực đại x = −2 cực tiểu x = D Hàm số đạt cực đại x = cực tiểu x = −2 Câu 13 Cho hàm số y = x − x + Khẳng định sau đúng? A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số có điểm cực trị C Hàm số khơng có cực trị D Hàm số có điểm cực trị Câu 14 Biết đồ thị hàm số y = x − x + có hai điểm cực trị A, B Viết phương trình đường thẳng AB A y = x − B y = x − C y = −2 x + D y = − x + Câu 15 Gọi M , n giá trị cực đại, giá trị cực tiểu hàm số y = biểu thức M − 2n ? A M − 2n = B M − 2n = x + 3x + Tính giá trị x+2 C M − 2n = D M − 2n = Câu 16 Cho hàm số y = x + 17 x − 24 x + Kết luận sau đúng? A xCD = B xCD = C xCD = −3 D xCD = −12 Câu 17 Cho hàm số y = 3x − x + Kết luận sau đúng? A yCD = −2 B yCD = C yCD = −1 Câu 18 Trong hàm số sau, hàm số đạt cực đại x = A y = x − x + x − x ? B y = − x + x − D y = C y = x − 12 x − D yCD = x −1 x+2 Câu 19 Trong hàm số sau, hàm số có cực đại mà khơng có cực tiểu? A y = −10 x − x + B y = −17 x + x + x + C y = x−2 x +1 D y = x2 + x + x −1 Câu 20 Cho hàm số y = x − x + x − Gọi hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 Tính x1 + x2 ? A x1 + x2 = −6 B x1 + x2 = −4 C x1 + x2 = D x1 + x2 = Câu 21 Tính hiệu số giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số y = x − x + D −4 B −2 C A Câu 22 Xác định hàm số y = ax + bx + cx + d Biết đồ thị hàm số có điểm cực trị gốc tọa độ điểm A(−1; −1) A y = x − x B y = −2 x3 − 3x C y = x + x + x D y = x − x − Câu 23 Hàm số có cực trị? A y = x + C y = x − B y = x + x + x − D y = x +1 2x −1 Câu 24 Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số: y = x − ( 3m − 1) x + 2m + có ba điểm cực trị Đồng thời ba điểm cực trị với điểm D ( 7;3) nội tiếp đường tròn A m = B m = C m = −1 D Khơng tồn m Giaovienvietnam.com Câu 25 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số: y = x − 2mx + m − có ba điểm cực trị Đồng thời ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp m = m = −1 +   A  B  C m = ± D m = −1 + −1 + m=± m=   2 IV ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM D A D B C D D B A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A D A B A A D B B B D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B C C A B Buổi Chủ đề 3+4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN A Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định miền D  f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D • Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f ( x ) D nếu:  ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M Kí hiệu: M = max f ( x) M = max f ( x) x∈D D  f ( x) ≥ m, ∀x ∈ D • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) D nếu:  ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = m Kí hiệu: m = f ( x) m = f ( x) x∈D D Kĩ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) liên tục K (K khoảng, đoạn, nửa khoảng, ) 2.1 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sử dụng bảng biến thiên  Bước Tính đạo hàm f ′( x)  Bước Tìm nghiệm f ′( x) điểm f ′( x) K  Bước Lập bảng biến thiên f ( x) K f ( x), max f ( x)  Bước Căn vào bảng biến thiên kết luận K K 2.2 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số không sử dụng bảng biến thiên  Trường hợp Tập K đoạn [a; b]  Bước Tính đạo hàm f ′( x)  Bước Tìm tất nghiệm xi ∈ [a; b] phương trình f ′( x) = tất điểm α i ∈ [a; b] làm cho f ′( x) không xác định  Bước Tính f ( a) , f (b) , f ( xi ) , f (α i ) f ( x) , m = f ( x)  Bước So sánh giá trị tính kết luận M = max [ a ;b ] [ a ;b ]  Trường hợp Tập K khoảng (a; b)  Bước Tính đạo hàm f ′( x)  Bước Tìm tất nghiệm xi ∈ (a; b) phương trình f ′( x) = tất điểm α i ∈ (a; b) làm cho f ′( x) không xác định f ( x) , B = lim− f ( x) , f ( xi ) , f (α i )  Bước Tính A = xlim →a+ x →b  Bước f ( x) , m = f ( x) So sánh giá trị tính kết luận M = max ( a ;b ) ( a ;b )  Chú ý: Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) B.Đường tiệm cận đồ thị hàm số Đường tiệm cận ngang • Cho hàm số y = f ( x) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞) , (−∞; b) (−∞; +∞) ) Đường thẳng y = y0 đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thỏa mãn lim f ( x) = y0 , lim f ( x) = y0 x →+∞ x →−∞ • Nhận xét: Như để tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số ta cần tính giới hạn hàm số vơ cực Đường tiệm cận đứng • Đường thẳng x = x0 đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thỏa mãn lim+ f ( x) = +∞, lim− f ( x) = −∞, lim+ f ( x) = −∞, lim− f ( x) = +∞ x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 Ngoài cần nhớ kiến thức giới hạn sau: 3) Quy tắc tìm giới hạn vơ cực f ( x) = L ≠ lim g ( x ) = +∞ (hoặc −∞ ) Quy tắc tìm giới hạn tích f ( x).g ( x) : Nếu xlim → x0 x → x0 lim f ( x) g ( x) tính theo quy tắc cho bảng sau x → x0 lim f ( x) x → x0 L>0 L1 D m4 B ≤ m < C < m ≤ D < m < y = m Câu Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng không cắt đồ thị hàm số y = −2 x + x + A < m < B m>4 C m C m ≤ D m = 43 Câu 10 Cho đường cong ( C ) : y = 3x − Có điểm đồ thị ( C ) cho tổng khoảng x−2 cách từ điểm đến đường tiệm cận ( C ) 6? A B C D Câu 11 Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + m + có đồ thị (C ) Gọi (∆ ) tiếp tuyến với đồ thị (C ) điểm thuộc (C ) có hồnh độ Tìm tất giá trị tham số m để (∆ ) vng góc với đường thẳng ( d ) : y = A m = −1 x − 2016 B m = C m = y= D m = 2x −1 x − với trục Oy Viết phương trình tiếp tuyến Câu 12 Gọi M giao điểm đồ thị hàm số với đồ thị điểm M 3 y =− x+ y = x+ y =− x− 4 2 A B C D y= x− 2 Câu 13 Tìm số tiếp tuyến qua gốc toạ độ O đồ thị (C ) : y = x − x A Câu 14 Cho hàm số y = B.1 C D 2x − (C ) Tìm hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị (C) cho tiếp x −1 tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A, B thoả mãn OA = 4OB A k = − B k = C k = −1 D k = Câu 15 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = x + m tiếp tuyến đường cong y = x3 + x - ém =- ém = ê A ê B ê ê ëm = ëm = ém =- C ê ê ëm = ém = - D ê ê ëm = - x3 Câu 16 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = + x − biết tiếp tuyến có hệ số góc k = −9 A y – 16 = –9 ( x – 3) B y + 16 = –9 ( x + 3) C y – 16 = –9 ( x + 3) Câu 17 Cho hàm số y = D y = –9 x – 27 2x + có đồ thị (C ) Tìm điểm M đồ thị (C ) cho khoảng cách x +1 từ hai điểm A ( 2; ) B ( −4; −2 ) đến tiếp tuyến (C ) M A M ( 0;1) B M 1;  M  2;   ÷  ÷  2  2 44 Giaovienvietnam.com  3 C M  1; ÷  2  3 D M ( 0;1) , M ( −2;3) M  1; ÷  2 Câu 18 Tìm hệ số góc nhỏ tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số y = x3 − 3x + A −3 B C −4 D Câu 19 Tìm tất giá trị tham số m để qua điểm M ( 2; m ) kẻ ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số y = x − x A m ∈ ( 4; 5) B m ∈ ( −2; 3) C m ∈ ( −5; −4 ) D m ∈ ( −5; ) Câu 20 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d : y = mx – 2m – cắt đồ thị ( C ) : y = x3 – x + x – A m > −3 điểm phân biệt B m < C m < −3 D m > Câu 21 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d : y = – x + m cắt đồ thị −2 x + hai điểm A, B cho AB = 2 x +1 A m = 1; m = −7 B m = 1; m = C m = −7; m = ( C) : y = D m = 1; m = −1 2 Câu 22 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x ( x – ) + = m có nghiệm phân biệt A m < B m > C m > D m > m = Câu 23 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số x −1 hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 = x A m ∈ {−3;1} B m ∈ {−2; −1} C m ∈ {0; 2} y= Câu 24 Gọi M ∈ ( C ) : y = D m = 2x +1 có tung độ Tiếp tuyến ( C ) M cắt trục tọa độ x −1 Ox , Oy A B Tính diện tích S tam giác OAB A S = 121 B S = 119 C S = 123 D S = 125 Câu 25 Cho hàm số y = x + ( C ) đường thẳng d m : y = x + m Tìm giá trị tham số m để x +1 ( C ) cắt d m hai điểm phân biệt A , B cho ∆OAB vuông O A m = B m = C m = D m = − 3 3 IV ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 10 11 12 C D B C A D B C A A C A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B B A C D A C A A D C A C 45 ĐỀ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ MA TRẬN ĐỀ (Chuyên đề hàm số) Ma trận Cấp độ Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Cấp độ thấp Cấp độ cao Tính đơn điệu hàm số Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số câu: Số điểm: 0,4 Số điểm: 0,4 Cực trị hàm số Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,8 Số câu: Số điểm: 0,4 Giá trị lớn nhỏ hàm số Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,4 Đường tiệm cận đồ thị hàm số Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,4 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,8 Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 1,2 Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: 10 Số câu: Số điểm: 4,0 Số điểm: 2,8 (40%) (28%) Số câu: Số điểm: 1,2 (12%) Một số toán thường gặp đồ thị Ứng dụng thực tế Tổng Số câu: Số điểm: 2,0 ( 20%) Số câu: Số điểm: 0,4 Cộng Số câu: Số điểm: 1,6 (16%) Số câu: Số điểm: 1,6 (16%) Số câu: Số điểm: 1,2 (12%) Số câu: Số điểm: 1,2 (12%) Số câu: Số điểm: 1,6 (16%) Số câu: Số điểm: 2,0 (20%) Số câu: Số điểm: 0,8 (8%) Số câu: 25 Số điểm: 10 (100%) Các chuẩn đánh giá Chủ đề Chuẩn đánh giá Tính đơn điệu I Mức độ nhận biết: hàm số - Nhớ điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng - Biết mối liên hệ tính đồng biến, nghịch biến hàm số dấu đạo hàm cấp - Nhận dạng bảng biến thiên số hàm số đơn giản Ví dụ Phát biểu sau đúng? 46 Giaovienvietnam.com A Hàm số y = f ( x ) nghịch biến ( a; b) f ' ( x ) £ 0, " x Ỵ ( a; b) ' B Nếu f ( x ) £ 0, " x Ỵ ( a; b) hàm số y = f ( x ) nghịch biến ( a; b) C Hàm số y = f ( x ) nghịch biến ( a; b) f ' ( x ) < 0, " x Ỵ ( a; b) ' D Nếu f ( x ) < 0, " x Ỵ ( a; b) hàm số y = f ( x ) nghịch biến ( a; b) II Mức độ thông hiểu - Biết xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp Ví dụ: Chỉ khoảng nghịch biến hàm số y = x3 - 3x - 9x+ m khoảng đây: A ( - 1;3) B ( - ¥ ; - 3) ( 1;+¥ ) C ¡ D ( - ¥ ; - 1) ( 3;+¥ ) III Mức độ vận dụng thấp -Vận dụng khái niệm, điều kiện hàm số đồng biến, nghịch biến tìm điều kiện tham số để hàm số thường gặp đơn điệu khoảng Ví dụ: Hàm số y = A m > x- nghịch biến khoảng ( - ¥ ; 2) khi: x- m B m ³ C m ³ D m >1 IV Mức độ vận dụng cao -Vận dụng khái niệm, điều kiện hàm số đồng biến, nghịch biến kết hợp phương pháp đổi biến tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng Ví dụ:Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = ỉ pư 0; ữ ữ ng bin trờn khong ỗ ỗ ữ ç è 4ø Cực trị hàm số tan x - tan x - m A m £ £ m < B m £ C £ m < D m ³ I Mức độ nhận biết: -Nhớ khái niệm: Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị hàm số -Nhớ điều kiện đủ để có điểm cực trị hàm số - Từ bảng biến thiên nhận dạng điểm cực trị hàm số, đồ thị hàm số Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: 47 Khẳng định sau khẳng định ? A Hàm số có cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -1 D Hàm số đạt cực đại x=0 đạt cực tiểu x=1 II Mức độ thơng hiểu - Tìm điểm cực trị hàm số, giá trị cực trị hàm số cực trị đồ thị hàm số - Tìm điều kiện tham số cho hàm bậc ba có hai cực trị, khơng có cực trị - Tìm điều kiện tham số cho hàm bậc bốn có ba cực trị, cực trị Ví dụ: Đồ thị hàm số y = x - x có hai điểm cực trị là: A (0;0) (1;-2) B (0;0) (2;4) C (0;0) (2;-4) D (0;0) (-2;-4) III Mức độ vận dụng thấp Vận dụng khái niệm, điều kiện hàm số có cực trị tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 3 Ví dụ: Cho hàm số y = x - 3( m +1) x + 6mx + m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B cho độ dài AB = A m=0 Giá trị lớn nhỏ hàm số B m=0 m=2 C m=1 D m=2 I Mức độ nhận biết: -Nhớ khái niệm giá trị lớn, giá trị nhỏ hàm số tập hợp số -Từ bảng biến thiên nhận dạng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất( có) hàm số tập hợp số - Từ tính chất đơn điệu hàm số đoạn, nhận dạng GTLN, GTNN hàm số đoạn Ví dụ: Giá trị lớn hàm số y = x + x + đoạn [- 5;0] A B -143 C D II Mức độ thơng hiểu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất( có) hàm số tập hợp số x2 +3 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = đoạn [ 2; 4] x- y =6 A [ 2;4] y =- B [ 2;4] y =- C [ 2;4] D y = [ 2;4] 19 48 Giaovienvietnam.com III Mức độ vận dụng thấp Vận dụng khái niệm giá trị lớn, giá trị nhỏ hàm số tập hợp số tìm giá trị tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện Ví dụ: Tìm giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số x - m2 + m đoạn [ 0;1] - ? f ( x) = x +1 ém = ém = ém =- ém =- ê ê ê A ê B C D ê ê ê ê ëm = ëm =- ëm =- ëm = I Mức độ nhận biết: -Nhớ khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số - Nhận dạng tiệm cận đồ thị hàm số biết số giới hạn - Nhận biết số tiệm cận số đồ thị hàm số đơn giản f ( x ) = lim f ( x ) =- Khẳng Ví dụ: Cho hàm s y = f ( x ) cú xlim đ+Ơ xđ+Ơ nh no sau õy l khng nh ỳng ? A Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = y =- D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng x = x =- II Mức độ thông hiểu Đường tiệm cận Tìm tiệm cận đồ thị hàm số cách tính giới hạn từ suy đồ thị hàm số số tiệm cận đồ thị hàm số x2 - x - Ví dụ: Đồ thị hàm số y = có: x- A Tiệm cận đứng x =- , tiệm cận xiên y = x B Tiệm cận đứng x = , tiệm cận xiên y = x C Tiệm cận đứng x = , tiệm cận xiên y =- x D Kết khác III Mức độ vận dụng thấp Vận dụng khái niệm tiệm cận đồ thị hàm số tìm giá trị tham số để đồ thị hàm số có tiệm cận Ví dụ: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y= x- mx + có hai tiệm cận ngang A Khơng có giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu đề B m < C m = D m > Khảo sát biến I Mức độ nhận biết: thiên vẽ đồ thị - Nhận dạng đồ thị số hàm thường gặp qua số đặc điểm đặc hàm số trưng đồ thị loại hàm cho biết nhiều loại hàm Ví dụ: Đồ thị sau hàm số nào? 49 A y =- x - x - y B y = x + 3x - C y = x - x - x -2 -1 O D y = -2 x- x +1 y II Mức độ thông hiểu Nhận dạng đồ thị số hàm thường gặp qua số dấu hiệu nhánh vơ cực, điểm đồ thị, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận cho biết số hàm loại… - Từ đồ thị, biện luận theo tham số số nghiệm phương trình Ví dụ: Đồ thị sau hàm số nào? x +1 y A y = x +1  O B y = x +3 x +1 C y = x x +1 D y = x- x +1 x III Mức độ vận dụng thấp Từ đồ thị hàm số y = f ( x) tìm đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối liên quan Ví dụ: Cho hàm số y = x - x + x có đồ thị Hình Đồ thị Hình hàm số đây? y x O 50 Giaovienvietnam.com y x -1 O -3 Hình y Hình A y =- x + x - x B y = x + x + x C y = x - x + x D y = x - x + x Một số toán I Mức độ thông hiểu thường gặp đồ - Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị thị - Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm thuộc đồ thị hàm số - Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong tiếp điểm Ví dụ: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Giá trị m để phương trình y f ( x ) = m có hai nghiệm phân biệt là: -1 O A m > x B m = -1 C m < −1 D m = −1 II Mức độ vận dụng : - Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết điều kiện hệ số góc qua điểm -Vận dụng kiến thức tương giao hai đồ thị kiến thức phương trình tìm điều kiện tham giao điểm hai đồ thị thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = x − 2m cắt đồ thị hàm số y = x −3 hai điểm phân biệt có hồnh độ dương x +1 A < m <  m < −2 B  m > C < m < D < m < Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d : y = x − m + 51 cắt đồ thị hàm số y = 2x hai điểm phân biệt A B cho độ dài x −1 AB ngắn A m = −3 B m = −1 C m = D m = Giải số toán ứng dụng thực tế liên qua tới nhiều kiến thức tổng hợp đạo hàm, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât, diện tích, thể tích, Ví dụ mức độ vận dụng thấp: Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t f ( t ) = 45t − t (kết khảo sát tháng vừa qua) Nếu xem f ' ( t ) tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ: A 12 B 30 C 20 D 15 Ví dụ mức độ vận dụng cao: Một bác thợ gò hàn muốn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) Ứng dụng thực tế tơn thể tích 62,5 dm3 Chiếc thùng có đáy hình vng cạnh x ( dm ) , chiều cao h ( dm ) Để làm thùng, bác thợ phải cắt miếng tơn hình vẽ Tìm x để bác thợ sử dụng nguyên liệu h A ( dm ) B ( dm ) h x C ( dm ) D ( dm ) h x h ĐỀ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Các câu hỏi sau có phương án trả lời Hãy khoanh tròn vào phương án trả lời Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = lim f ( x) = −1 Khẳng định sau khẳng x →+∞ x →−∞ định ? 52 Giaovienvietnam.com A Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng x = x = −1 D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = y = −1 2x −1 Câu 2: Tìm đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = x −1 A x = 2; y = B x = 1; x = C x = 1; y = D x = 1; y = Câu 3: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x − x + m = có nghiệm m ≤ m < C  D  m = m = x−2 Câu 4: Tìm khoảng đồng biến hàm số y = x −1 A ¡ B ¡ \{1} C ( −∞;1) (1; +∞) D (−∞;1) ∪ (1; +∞) Câu 5: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2(m + 1) x + m có điểm A m = B m < cực trị tạo thành tam giác vuông A m = ±1 B m = −1 Câu 6: Xác định hàm số có đồ thị sau C m = 2x −1 2x + x +1 B y = C y = x −1 x −1 x−2 Câu 7: Tìm điểm cực đại hàm số y = x − 3x + A x = B x = C x = A y = D m = D y = 2x + x +1 D x = −2 x − m2 + 2m Câu 8: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = nghịch biến khoảng x−m ( −∞;1) A ≤ m < B ≤ m ≤ Câu 9: Xác định hàm số có đồ thị sau C < m ≤ D < m < 53 A y = x3 + x + B y = x + x + C y = x − x + D y = x3 − 3x + Câu 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = A -1 2x −1 đoạn [ 0;1] x +1 B C D r 2x −1 Tịnh tiến đồ thị (C) theo vectơ v = (2;1) ta x +1 đồ thị (C’) Tìm phương trình đồ thị (C’) 3x − 3x − 3x − 3x + A y = B y = C y = D y = x −1 x +1 x −1 x −1 Câu 12: Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị (C): Câu 11: Cho đồ thị (C) có phương trình y = 2x −1 hai điểm phân biệt A, B cho độ dài đoạn AB ngắn x −1 A m = −1 B m = C m = D m = Câu 13: Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y= 2mx + (C) tạo với hai đường tiệm cận (C) tam giác có diện tích 10 x−m A m = B m = ±1 C m = D m = ±2 Câu 14: Một công ty sữa cần làm hộp sữa hình trụ, tích 0,2 (lít) Tính bán kính đáy hộp để cơng ty tốn ngun liệu làm hộp y= 200 150 250 (cm) B (dm) C (dm) π π π Câu 15: Tìm hàm số khơng có cực trị hàm số cho x2 A y = x − x + B y = x −1 C y = x − x + x + D y = x − x + A D 100 (cm) π Câu 16: Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (H1) hình vẽ Tìm hàm số có đồ thị (H2) hàm số cho 54 Giaovienvietnam.com (H1) A y = ( x − 1) − 4( x − 1) + (H2) B y = x − x + C y = ( x + 1) − 4( x + 1) + D y = x − x + Câu 17: Cho y ≥ 0; x + x + y = Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M P = x + y − xy + A m = M = 10 B m = −10 M = C m = −6 M = 10 D m = −10 M = 10 2 Câu 18: Tìm tất giá trị tham số m hàm số y = x − x − ( m − m − ) x + đồng biến khoảng (−1;0) A −1 < m < B −1 ≤ m ≤  m ≤ −1 C  m ≥  m < −1 D  m > x3 x2 − − biết tiếp tuyến cắt trục hoành A, cắt trục tung B cho OB = 2OA (O gốc tọa độ)  y = 2x +1  y = −2 x + y = − x −  y = 2x −  A  B  C  D   y = 2x −  y = −2 x −  y = 2x +  y = −2 x +   2 Câu 20: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − 2m x + 3m + đạt cực tiểu Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = điểm x = A m = B m = ±1 C m = D m = −2 x2 + x −1 A B C D y = − x + m cắt đồ thị hàm số m Câu 22: Tìm tất giá trị tham số để đường thẳng (d) : Câu 21: Tìm số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = y = x − x − x + 10 (C) ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng A m = B m = −1 C m = −2 D m = Câu 23: Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = x − x + A (−∞; −1) (0;1) B ¡ C (−∞; −1) ∪ (0;1) D ¡ \ { (−1;0) ∪ (1; +∞)} 55 Câu 24: Từ tơn hình vng cạnh 15(cm) người ta cắt mỡi góc tơn hình vng nhỏ gị thành hộp (hình hộp chữ nhật) khơng có nắp hình vẽ Tìm thể tích lớn hộp A 400(cm3 ) B 300(cm3 ) C 250(cm3 ) D 200(cm3 ) Câu 25: Tìm giá trị lớn M hàm số y = x − x + đoạn 0;    A M = B M = C M = D M = - HẾT ĐÁP ÁN Câu D Câu A Câu 11 A Câu 16 A Câu 21 D Câu C Câu B Câu 12 B Câu 17 D Câu 22 D Câu D Câu A Câu 13 B Câu 18 B Câu 23 A Câu C Câu C Câu 14 D Câu 19 B Câu 24 C Câu C Câu 10 A Câu 15 C Câu 20 B Câu 25 D Tên trường thực Chuyên đề Hàm số: 1) Trường THPT Chuyên Tuyên Quang 2) Trường THPT Yên Hoa 3) Trường THPT Hòa Phú 56 ... cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -1 D Hàm số đạt cực đại x=0 đạt cực tiểu x=1 II Mức độ thơng hiểu - Tìm điểm cực trị hàm số, giá trị cực trị hàm số cực trị. .. (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số  Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Kĩ 3.1 Quy tắc tìm cực trị hàm số. .. 0,4 Số câu: Số điểm: 0,8 Số câu: Số điểm: 0,4 Giá trị lớn nhỏ hàm số Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số điểm: 0,4 Đường tiệm cận đồ thị hàm số Số câu: Số điểm: 0,4 Số câu: Số